2.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦直线的一般式方程核心知识点，衔接之前学习的点斜式、斜截式等四种直线方程形式，通过分析其适用局限性引出一般式，系统讲解二元一次方程表示直线的条件、方程互化及平行垂直判定，搭建完整知识支架。 资料以问题链驱动数学抽象与逻辑推理，如通过“直线与二元一次方程关系”探究深化理解，例题涵盖不同条件下方程转化及参数问题培养数学运算能力。情境导入激发兴趣，规律方法总结助学生掌握转化技巧，课中辅助教学，课后练习题分层设计便于查漏补缺。

2.2.3　直线的一般式方程 课标要求 情境导入 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）都表示直线（逻辑推理）. 3.会进行直线方程的五种形式间的转化（逻辑推理、数学运算）. 　　前面我们学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.是否存在一种方程形式，对任何直线都适用呢？ 知识点一　直线的一般式方程 问题　（1）平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，由点斜式y－y0＝k（x－x0），方程为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程. （2）任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线. 1.定义：关于x，y的二元一次方程　Ax＋By＋C＝0　（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称　一般式　. 提醒：系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）；②当B＝0，A≠0时，则－＝a（x轴上的截距），此时斜率不存在. 2.一般式与其他形式的互化 （链接教材P65例5）根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； 解：因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. （2）斜率为，且在y轴上的截距为4； 解：由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4. 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； 解：由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 规律方法 1.由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程（化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了）. 2.反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件. 训练1　（1）与直线y＝2x－6交于点（a，0）且倾斜角为135°的直线的一般式方程为　x＋y－3＝0　； 解析：依题意，a＝3，直线斜率k＝－1，所以直线的点斜式方程为y＝－（x－3），即x＋y－3＝0. （2）将直线方程x－2y＋6＝0作如下转换： ①化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距； ②化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距. 解：①将原方程移项，得2y＝x＋6， 两边同除以2，得斜截式方程为y＝x＋3， 因此它的斜率k＝，在y轴上的截距为3. ②将原方程移项，得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式方程为＋＝1. 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，3. 知识点二　一般式下两直线的平行或垂直 问题　（1）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 提示：l1∥l2时，＝且≠，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1； l1⊥l2时，（－）（－）＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. （2）在问题（1）中若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 提示：l1∥l2时，B1＝B2＝0且≠，即B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1；l1⊥l2时，A2＝0，A1≠0. 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0）. （1）l1∥l2⇔　A1B2－A2B1　＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）； （2）l1⊥l2⇔　A1A2＋B1B2　＝0. 角度1　由平行、垂直求直线方程 〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方程是　x－2y＋2＝0　；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是　2x＋y－1＝0　. 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为，所以平行于直线l的直线的斜率等于，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝－1，所求直线方程为2x＋y－1＝0. 规律方法 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程； （2）可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）；与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0. 角度2　由直线的平行或垂直求参数 已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：（a－1）x＋ay＋1＝0，a∈R.分别求a的值，使： （1）l1∥l2； 解：由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行⇔ A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0， 得a－2a（a－1）＝0，且－（a－1）≠1， 解得a＝. （2）l1⊥l2. 解：由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直⇔ A1A2＋B1B2＝0， 得a－1＋2a2＝0，解得a＝或a＝－1. 规律方法 判定平行、垂直的两种方法 （1）化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况； （2）化成一般式方程，用充要条件判断. 训练2　（1）直线l过点（－1，2），且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是（　A　） A.3x＋2y－1＝0 B.3x＋2y＋7＝0 C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝0 解析：依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，又直线l过点（－1，2），代入可得c＝－1，故所求直线方程为3x＋2y－1＝0. （2）已知直线l1：x＋ay－1＝0和直线l2：（3a－2）x－ay－2＝0，则“a＝”是“两直线平行的”（　A　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若直线l1：x＋ay－1＝0和直线l2：（3a－2）x－ay－2＝0平行，则解得a＝或a＝0，因此“a＝”是“两直线平行”的充分不必要条件. 提能点　含参一般式方程的应用 已知方程（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0（m∈R）. （1）若该方程表示一条直线，求实数m的取值范围； 解：当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线. 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m｜m≠－1}. （2）当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； 解：当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由（1）知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. （3）已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值. 解：易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在. 依题意，令y＝0得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－（m＝3舍去）. 所以实数m的值为－. 变式　若直线l的方程为（a2－1）x＋y＋2－a＝0（a∈R），求直线倾斜角的取值范围. 解：因为直线的斜截式方程为y＝（1－a2）x＋a－2，（a∈R），所以直线的斜率k＝1－a2≤1， 当0≤k≤1时，直线的倾斜角的取值范围是［0，］； 当k＜0时，直线的倾斜角的取值范围是（，π）， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围是［0，］∪（，π）. 规律方法 含参直线方程的研究策略 （1）若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0； （2）令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式； （3）解分式方程要注意验根. 训练3　设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.∴a＝2时满足条件，此时直线方程为3x＋y＝0； 当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不符合题意； 当a≠－1，且a≠2时，由＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0时，直线在x轴，y轴截距都为－2，直线方程为x＋y＋2＝0.∴a＝2或a＝0时，l在两坐标轴上的截距相等，直线方程分别为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. （2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数a，使直线l不经过第二象限，将直线l的方程化为斜截式方程为y＝－（a＋1）x＋a－2，∴或解得a≤－1， 故实数a的取值范围为（－∞，－1]. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示.（　√　） （2）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）.（　√　） （3）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.（　×　） （4）若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足A2＋B2≠0.（　√　） 2.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是（　　） A.30° B.60° C.150° D.120° 解析：C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C. 3.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为（　　） A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1 解析：D　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 4.分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式： （1）经过点B（－，2），倾斜角是30°； （2）经过点（1，2）且与直线x－y＋1＝0垂直. 解：（1）因为直线经过点B（－，2），倾斜角是30°，所以斜率为，所以直线的点斜式方程为y－2＝（x＋），即x－y＋2＋＝0. （2）设所求直线方程为y＝－x＋b， 将点（1，2）的坐标代入可得b＝1＋2＝3， 所以所求的直线方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0. （时间：45分钟　满分：86分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是（　　） A.（－3，0） B.（3，0） C.－3 D.3 解析：C　令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C. 2.过点（－3，0）和（0，4）的直线的一般式方程为（　　） A.4x＋3y＋12＝0 B.4x＋3y－12＝0 C.4x－3y＋12＝0 D.4x－3y－12＝0 解析：C　由截距式得直线方程为＋＝1整理得4x－3y＋12＝0. 3.过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　） A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 解析：A　过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0. 4.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（　　） A.AB＞0 B.AB＜0 C.A＞0且B＜0 D.A＞0或B＜0 解析：B　因为倾斜角为锐角，所以k＝－＞0，所以AB＜0.故选B. 5.已知直线ax＋y－2＋a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　） A.1 B.－1或－2 C.1或2 D.2 解析：C　当－2＋a＝0，即a＝2时，直线ax＋y－2＋a＝0即2x＋y＝0，它在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当－2＋a≠0，即a≠2时，直线ax＋y－2＋a＝0可化为＋＝1，因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以a≠0，且＝2－a，解得a＝1.综上所述，实数a＝2或1. 6.〔多选〕关于直线l：x＋y＋2＝0，下列说法正确的有（　　） A.直线l的斜率为－ B.经过点（－，1） C.在y轴上的截距为2 D.直线l经过第二、三、四象限 解析：BD　因为直线l：x＋y＋2＝0，令x＝－，可得y＝1，即直线经过点（－，1），故B正确；由x＋y＋2＝0可得y＝－x－2，所以直线的斜率为－，直线在y轴上的截距为－2，直线l经过第二、三、四象限，故A、C错误，D正确.故选B、D. 7.〔多选〕已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：（m－2）x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是（　　） A.若l1∥l2，则m＝－1 B.若l1∥l2，则m＝3 C.若l1⊥l2，则m＝－ D.若l1⊥l2，则m＝ 解析：BD　若直线l1∥l2，则3－m（m－2）＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝－1时，两直线的方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0（即x－y－1＝0），两直线重合；当m＝3时两直线平行，故A错误，B正确.若l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，得m＝，故C错误，D正确.故选B、D. 8.将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，所得直线方程为　y＝－x　. 解析：直线3x－y＝0的斜率为3，将其绕原点逆时针旋转90°，其所得直线与原直线垂直，故其斜率为－，故直线方程为y＝－x. 9.三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围为　a≠±1　. 解析：直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 10.（13分）根据下列条件分别求直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点A（5，3），且倾斜角为120°； （2）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； （3）过点P（－1，2），且与直线x－2y－3＝0平行； （4）过点B（1，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数. 解：（1）直线的斜率为－，由点斜式方程得y－3＝－（x－5），即x＋y－3－5＝0. （2）y＝3，即y－3＝0. （3）根据题意可设直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠－3），将点P（－1，2）代入可得C＝5，可得直线l的方程为x－2y＋5＝0. （4）当直线过原点时满足题意， 此时设直线方程为y＝ax，由直线过点B（1，2）， 得a＝2，故直线方程为y＝2x，化为一般式为2x－y＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即－＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0. 11.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在同一坐标系中的图形大致是（　　） 解析：C　将l1与l2的方程分别化为斜截式得l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a，根据直线的斜率和纵截距的符号判断，选项A中，若两直线平行，则a＝b，与条件矛盾，A错误；选项B中，由直线l1得a＜0，b＞0，则直线l2的纵截距为负数，与图形矛盾，B错误；选项C中，由直线l1得a＞0，b＞0，则直线l2的斜率与纵截距都大于0，符合题意，C正确；选项D中，由直线l1得a＞0，b＜0，则直线l2的斜率为负数，与图形矛盾，D错误.故选C. 12.〔多选〕已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），则下列结论正确的是（　　） A.不存在k，使得l2的倾斜角为90° B.对任意的k，l1与l2都有公共点 C.对任意的k，l1与l2都不重合 D.对任意的k，l1与l2都不垂直 解析：BD　对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误；对于B，直线l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），即k（x＋y＋1）＋x＝0过定点（0，－1），而点（0，－1）在直线l1上，故B正确；对于C，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误；对于D，若两直线垂直，则1×（k＋1）＋（－1）×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确. 13.（15分）已知直线l1：ax－by＋4＝0，l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值： （1）l1⊥l2，且直线l1过点M（－4，－1）； （2）直线l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数. 解：（1）∵l1过点M（－4，－1），∴－4a＋b＋4＝0.∵l1⊥l2，∴a×（a－1）－b＝0.∴或 （2）由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当b＝0时，两条直线分别化为ax＋4＝0，（a－1）x＋y＝0，可知两条直线不平行.b≠0时两条直线分别化为：y＝x＋，y＝（1－a）x－b，∴＝1－a，＝b，解得或 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $