2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行和垂直的判定”核心知识点，基于直线倾斜角与斜率概念，通过问题链探究平行时倾斜角相等及斜率关系（含斜率不存在情况），推导垂直时斜率之积为-1的判定条件，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以过山车轨道为情境导入，激发学生用数学眼光观察现实，通过逻辑推理推导判定条件培养数学思维，结合判断梯形、菱形等实例强化数学语言应用。课中助力教师引导探究，课后训练题与综合应用帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 课标要求 情境导入 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）. 2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）. 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 知识点一　两条直线平行的判定 问题　（1）平面中两条平行直线的倾斜角有什么关系？如果倾斜角相同，两条直线有什么关系？ 提示：两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，故倾斜角相等，反之也成立. （2）由正切函数的单调性，我们知道当k1＝k2时有α1＝α2，那么是否意味着k1＝k2时，一定有l1∥l2？反过来呢？ 提示：当k1＝k2时，倾斜角α1＝α2，两直线平行；而当两直线平行时，不一定有k1＝k2，因为α1＝α2＝90°时，斜率不存在. 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔　k1＝k2　. 提醒：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；（3）l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. （链接教材P56例2）判断下列直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q（0，5）； 解：由题意知，l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. （2）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）； 解：由题意知，k1＝1，k2＝＝1，因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合. （3）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（－1，3），N（2，0）； 解：由题意知，k1＝＝－1，k2＝＝－1， 所以k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M，N四点不共线，故l1∥l2. （4）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H（2，3）. 解：由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以k1＝k2，又kEG＝＝1，所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合. 规律方法 判断两条不重合的直线是否平行的方法 提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行. 训练1　（1）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝　－2　； 解析：由题易知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2. （2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形. 证明：由已知可得，直线AB的斜率kAB＝＝， 直线PQ的斜率kPQ＝＝， 直线AQ的斜率kAQ＝＝， 直线BP的斜率kBP＝＝1， 因为kAB＝kPQ，且kAB≠kAQ，所以直线AB，PQ不重合，所以直线AB∥PQ. 因为kAQ≠kBP，所以AQ，BP不平行，所以四边形ABPQ为梯形. 知识点二　两条直线垂直的判定 问题　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，其斜率有什么关系？ 提示：由l1⊥l2⇔ a⊥b⇔ a·b＝0⇔ 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　－1　；反之，如果两条直线的斜率之积等于　－1　，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔　k1k2＝－1　. 【微思考】 “两条直线l1，l2的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条件吗？ 提示：不是.当其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴时，直线l1⊥l2⇒/ k1·k2＝－1；而k1·k2＝－1⇒l1⊥l2.故“两条直线l1，l2的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件. （链接教材P57例4）根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直： （1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D（4，0）； 解：由题意知，k1＝＝2， k2＝＝－，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直. （2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H（－1，4）； 解：由题意知，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故两条直线互相垂直. （3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1，），N（2，0）； 解：由题意知，k1＝，k2＝＝－，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直. （4）l1经过点P（2，－1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，1）. 解：由题意知，k1＝＝5，k2＝＝，由于k1k2≠－1，故两条直线不垂直. 规律方法 判断两直线是否垂直的策略 　　在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 训练2　（1）（2026·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　D　） A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D. （2）直线l1过点A（4，a），B（a－1，3）两点，直线l2过点C（2，3），D（－1，a－2）两点，若l1⊥l2，则a＝　0或5　. 解析：当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2，此时解得a＝5；当直线l1的斜率存在时，a≠5，由l1⊥l2得×＝－1，解得a＝0.综上，a＝0或a＝5. 提能点　两条直线平行与垂直的综合应用 （链接教材P56例3）已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（5，－1），B（1，1），C（2，3），D（4，2）.试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 解：由已知可判断四边形ABCD是直角梯形. 证明如下：由题意得kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3，所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC与AD不平行， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为kBC·kCD＝kBC·kAB＝－1，所以BC⊥CD，BC⊥AB， 综上，四边形ABCD是直角梯形. 规律方法 利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤 训练3　（2026·福州月考）已知▱ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）. （1）求点D的坐标； 解：设点D的坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得所以D（－1，6）. （2）试判断▱ABCD是否为菱形？ 解：因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（　×　） （2）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（　×　） （3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（　√　） 2.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（　　） A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 解析：B　易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行. 3.已知三角形的三个顶点分别为A（4，2），B（1，－2），C（－2，4），则BC边上的高的斜率为（　　） A.2　　　　 B.－2 C.　　　 　D.－ 解析：C　∵B（1，－2），C（－2，4），∴kBC＝＝－2，设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，∴k＝. 4.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直： （1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）； （2）l1的倾斜角为150°，l2经过点M（3，2），N（－2，－3）. 解：（1）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. 由题意知k1＝＝－，k2＝＝－， 则k1＝k2，又因为kAC＝＝－4，所以k1≠kAC， 所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. （2）设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＝tan 150°＝－tan 30°＝－， k2＝＝，所以k1k2＝－1，所以l1⊥l2. （时间：60分钟　满分：104分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列说法正确的是（　　） A.若l1∥l2，则k1＝k2 B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.只有斜率相等的两条直线才平行 解析：C　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜率不存在的两直线也平行，所以D错误. 2.在△ABC中，A（0，3），B（2，－1），E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为（　　） A.2 B.1 C.－2 D.－1 解析：C　因为E，F分别为边AC，BC的中点，所以由三角形中位线可得EF∥AB，所以kEF＝kAB＝＝－2. 3.已知直线l1经过A（2，7），B（3，8）两点，且直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（　　） A.30°　　 　B.45° C.135°　　 　D.150° 解析：C　设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率k1＝＝1，由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，所以k2＝－1，即tan α＝－1，又因为0°≤α＜180°，所以α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°. 4.（2026·厦门月考）已知直线l1过点A（1，2），其方向向量为a1＝（k，2），直线l2过点B（2，1），其方向向量为a2＝（ 1－，k），若l1∥l2，则k＝（　　） A.－2 B.1 C.－2或1 D.0或2 解析：B　因为l1∥l2，所以a1∥a2，所以k2－2（ 1－）＝0，解得k＝1或k＝－2.当k＝1时，两直线的斜率均为2，此时kAB＝－1，满足题意；当k＝－2时，两直线的斜率均为－1，此时kAB＝－1，即两直线重合，故舍去.故选B. 5.已知两点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为（　　） A.（1，0） B.（6，0） C.（1，0）或（6，0） D.不存在 解析：C　设P点坐标为（x0，0），易知x0≠2且x0≠5，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即·＝－1，解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为（1，0）或（6，0）. 6.〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S（2，12），下面四个结论正确的是（　　） A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 解析：ABD　由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确. 7.〔多选〕已知点A（0，2），B（－1，0），下列结论正确的是（　　） A.若直线l的方向向量为（1，1），则l∥AB B.若直线l的斜率为－，则l⊥AB C.若C（1，－1），则△ABC为直角三角形 D.若C（1，－1），D（3，3），则四边形ABCD是平行四边形 解析：BC　对于A，直线l的斜率k＝1，又kAB＝＝2，故直线l与直线AB不平行，A错误；对于B，因为－kAB＝－1，所以l⊥AB，B正确；对于C，因为kBC＝＝－，kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，C正确；对于D，因为kCD＝＝2＝kAB，kAD＝＝，kBC＝－，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，D错误.故选B、C. 8.若点A（－1，2），B（3，－4）关于直线l对称，则直线l的斜率为　　. 解析：由点A（－1，2），B（3，－4），可得kAB＝＝－，设直线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝. 9.（2026·许昌月考）已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两实数根，若l1∥l2，则m＝　2　；若l1⊥l2，则m＝　－2　. 解析：若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2. 10.（13分）当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直； （3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行. 解：（1）由kAB＝＝tan 135°＝－1， 得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或m＝1. （2）由＝3及垂直关系，得＝－， 解得m＝或m＝－3. （3）由＝＝－2，解得m＝或m＝－1. 11.已知两点A（2，0），B（3，4），直线l过点B，交y轴于点C（0，y），O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y＝（　　） A. B. C. D.10 解析：B　由题意知OC⊥OA，即AC为圆的直径，∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得y＝. 12.〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是（　　） A.（－3，1） B.（4，1） C.（－2，1） D.（2，－1） 解析：BCD　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标. 13.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长｜AD｜＝5 m，宽｜AB｜＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为　　　m. 解析：以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，3），D（5，3），C（5，0），设M（x，0），0＜x＜5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝，所以BM的长为 m. 14.（13分）已知点A，B，C，D依次按逆时针方向排列，A（0，3），B（－1，0），C（3，0），求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形. 解：设所求点D的坐标为（x，y），如图. 由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边， 则BC⊥CD，AD⊥CD. ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3， 又kAD＝0，∴＝0，即y＝3， 此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为（3，3）. ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝，又由于AD⊥AB， ∴×3＝－1，又AB∥CD，∴＝3， 解上述两式可得 此时AD与BC不平行，所求点D的坐标为（，）. 综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为（3，3）或（，）. 15.（15分）已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）. （1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； （2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 解：（1）设Q（x，y），由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.　① 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.　② 联立①②解得即Q（0，1）. （2）设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，即x＝1， ∴Q（1，0）.又∵M（1，－1），∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $