2.1.1 倾斜角与斜率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“倾斜角与斜率”核心知识点，从确定直线位置的几何要素（两点或一点一方向）切入，通过斜拉桥斜索陡缓情境引入倾斜角定义及范围，再类比坡度引入斜率，推导过两点的斜率公式，结合方向向量深化理解，构建从几何直观到代数刻画的学习支架。 该资料以情境问题驱动，如斜拉桥陡缓分析培养数学眼光，通过坡度类比、方向向量推导斜率公式发展数学思维，三点共线等应用训练用数学语言表达。课中助力教师引导学生探究概念形成，课后练习题覆盖基础与提升，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.1.1　倾斜角与斜率 课标要求 情境导入 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素（直观想象）. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象、数学运算）. 　　如图，斜拉桥的桥梁一般跨度较大，有利于跨越很宽的障碍物，这些大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？ 知识点一　直线的倾斜角 问题　（1）在平面中，确定一条直线的几何要素是什么？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. （2）在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴　正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 2.范围：当直线l与x轴　平行　或　重合　时，规定直线的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 提醒：在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角. （1）〔多选〕下列命题中正确的是（　AD　） A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴 D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线 解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；当倾斜角为0°时，直线可能与x轴重合，故C错误；D显然正确.故选A、D. （2）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　D　） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. 规律方法 直线倾斜角的求法及注意点 （1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论； （2）注意倾斜角的范围. 训练1　（1）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　D　） A.30°　　　 B.60° C.120°　　 　D.150° 解析：画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°. （2）〔多选〕设直线l过坐标原点，倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　AB　） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 解析：根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知：当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 知识点二　直线的斜率 问题　（1）日常生活中，常用坡度（ 坡度＝）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.可以利用倾斜角的正切值，即k＝tan α（ α≠）来刻画直线的倾斜程度. （2）结合上面的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切值： ①直线过O（0，0），P（，1）； ②直线过P1（－1，1），P2（，0）； ③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2. 提示：对于①，向量＝（，1），由正切函数的定义，tan α1＝＝. 对于②，向量＝（＋1，－1），可平移使'＝＝（＋1，－1），于是tan α2＝＝1－. 对于③，类比②可知tan α＝. 1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的　正切　值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写的字母k表示，即k＝　tan α　（α≠90°）. 2.斜率公式：如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么斜率公式k＝　　.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率. 3.直线的方向向量与斜率的关系 （1）直线P1P2的方向向量＝（x2－x1，y2－y1），当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝（1，k），其中k为直线P1P2的斜率； （2）当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为（0，1）. 【微辨析】 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线都有倾斜角和斜率.（　　） （2）若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等.（　　） （3）斜率公式中k的值与直线上两点的位置无关.（　　） （4）若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α.（　　） （5）若直线的倾斜角为α，则其方向向量为（1，tan α）.（　　） 提示：任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为90°的直线没有斜率，故（1）错误；若倾斜角为90°，斜率不存在，（2）错误；易知（3）正确；若α＝－30°，则tan（－30°）＝－，此直线的倾斜角为150°，故（4）错误；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其一个方向向量为（0，1），故（5）错误. （链接教材P54例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出直线的斜率及一个方向向量，并确定其倾斜角α. （1）A（2，3），B（4，5）； 解：存在，直线AB的斜率kAB＝＝1，方向向量为（1，1）（答案不唯一，与（1，1）平行的非零向量即可），tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. （2）C（－2，3），D（2，3）； 解：存在，直线CD的斜率kCD＝＝0，方向向量为（1，0）（答案不唯一，与（1，0）平行的非零向量即可），tan α＝0，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝0°. （3）P（3，2），Q（3，6）. 解：斜率不存在，方向向量为（0，1）（答案不唯一，与（0，1）平行的非零向量即可），倾斜角α＝90°. 规律方法 求直线斜率的3种方法 （1）已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α； （2）已知直线上两点坐标，则k＝（x1≠x2）； （3）已知直线的一个方向向量为（x，y），则k＝（x≠0）. 训练2　（1）已知经过点A（2，3），B（a，－3）的直线的倾斜角为，则实数a＝　8　； 解析：由tan＝－1，则＝－1，解得a＝8. （2）已知直线l的一个方向向量为v＝（－1，），试求直线l的倾斜角与斜率. 解：因为直线l的一个方向向量为v＝（－1，），令＝v＝（－1，），则直线l的斜率为－，直线l的倾斜角α满足tan α＝－，且α∈[0，π），所以α＝. 提能点　直线斜率与倾斜角的应用 角度1　斜率（倾斜角）的范围问题 问题　设直线的倾斜角为α，斜率为k，当直线的倾斜角α由0逐渐增大时，其斜率k如何变化？ 提示：如图，由正切函数的图象可知，倾斜角α与斜率k有如下关系：α：0→，k：0→＋∞；α：→π，k：－∞→0. 直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的范围为　（－∞，－]∪[1，＋∞）　，倾斜角的范围为　［，］　. 解析：如图所示.因为kAP＝＝1，kBP＝＝－.所以k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）.所以≤α≤. 变式　若点P（x，y）在以A（2，1），B（0，）为端点的线段上，试求的最大值与最小值. 解：如图，设C（3，－1），易知的几何意义是直线PC的斜率，且kAC＝＝－2，kBC＝，所以的最大值为，最小值为－2. 规律方法 1.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 2.代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率. 角度2　三点共线问题 （1）〔多选〕下列选项中所给的三点共线的是（　AC　） A.A（1，2），B（2，3），C（3，4） B.E（－1，2），F（2，－3），G（－3，4） C.M（－1，2），N（2，－4），P（－3，6） D.X（－3，2），Y（－2，3），Z（3，6） 解析：计算斜率，得kAB＝＝1，kAC＝＝1，因为kAB＝kAC，所以A，B，C三点共线，选项A正确；kEF＝＝－，kEG＝＝－1，因为kEF≠kEG，所以E，F，G三点不共线，选项B错误；同理，kMN＝kMP＝－2，所以M，N，P三点共线，选项C正确；kXY≠kYZ，所以X，Y，Z三点不共线，选项D错误.故选A、C. （2）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数m＝　3　. 解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且kAB＝，kAC＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝kAC，即＝－1，解得m＝3. 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 训练3　（1）已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A.（－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2] 解析：D　如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时（含边界），满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D. （2）已知a，b，c是两两不等的实数，判断A（a，c＋a），B（b，b＋c），C（c，2c）三点是否共线？若三点共线，给出证明；若三点不共线，请说明理由. 解：A，B，C三点共线， 证明如下：因为a，b，c是两两不等的实数， 且kAB＝＝1，kAC＝＝1， 所以kAB＝kAC， 所以A，B，C三点共线. 1.已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论中正确的是（　　） A.0°≤α＜180° B.15°＜α＜180° C.15°≤α＜180° D.15°≤α＜195° 解析：D　直线l的倾斜角α－15°的取值范围为0°≤α－15°＜180°，解得15°≤α＜195°. 2.〔多选〕下列选项中，两点确定的直线存在斜率的是（　　） A.（4，2）与（－4，1） B.（0，3）与（3，0） C.（3，－1）与（2，－1） D.（5，3）与（5，6） 解析：ABC　当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在，如选项D.否则，直线的斜率存在，故选A、B、C. 3.已知点P（2，3），Q（5，t）在直线l上，且直线l的一个方向向量是v＝（1，2），则t＝　9　. 解析：由直线l的一个方向向量是v＝（1，2），可知直线的斜率为k＝2，所以＝2，解得t＝9. 4.已知A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，则x＝　3　，直线AB的倾斜角为　　. 解析：因为A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1且θ∈[0，π），得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 解析：A　结合直线l的倾斜角的定义可知A正确. 2.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（　　） A.30°　　　　B.150° C.60°　　　　D.120° 解析：B　由题意知k＝＝－，∴直线的倾斜角为150°. 3.（2026·佛山月考）已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是（　　） A.0 B. C. D.－ 解析：C　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为. 4.若A（－2，3），B（3，－2），C（ ，m）三点共线，则实数m的值为（　　） A. B.－ C.－2 D.2 解析：A　由题意得kAB＝kAC，即＝，解得m＝. 5.若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　） A.［0，） B.［，π） C.（，π） D.[0，π） 解析：C　直线的倾斜角的取值范围是0≤α＜π，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是＜α＜π. 6.〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为（　　） A.（0，－4） B.（4，0） C.（2，0） D.（0，－8） 解析：CD　设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）. 7.〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k2＜k1 C.α1＜α3＜α2 D.α3＜α2＜α1 解析：AD　由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D. 8.（2026·福州质检）如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　30°　. 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°. 9.〔一题多解〕过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝　－1　. 解析：法一　由直线的方向向量为n＝（－1，－1），得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1. 法二　由题意得＝（－2，－3－y）.又直线AB的一个方向向量为n＝（－1，－1），所以n∥，所以（－2）×（－1）－（－3－y）×（－1）＝0，解得y＝－1. 10.（13分）已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值时： （1）直线l与x轴平行； （2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）； （3）直线的倾斜角为45°. 解：（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. （2）直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝，即＝，解得m＝. （3）由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1，解得m＝0. 11.过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（，），则实数m的取值范围是（　　） A.（0，2] B.（0，4） C.[2，4） D.（0，2）∪（2，4） 解析：B　由直线的倾斜角α的取值范围是（，），得直线的斜率存在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝＝，∴＜－1或＞1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综上，实数m的取值范围是（0，4）. 12.〔多选〕（2026·南阳期中）已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，倾斜角分别是α，β，γ，且α＜β＜γ，则下列关系可能正确的是（　　） A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k2＜k3＜k1 解析：ABD　当α，β，γ都为锐角或都是钝角时，k1＜k2＜k3；当α，β为锐角，γ是钝角时，k3＜k1＜k2；当α为锐角，β，γ是钝角时，k2＜k3＜k1.故选A、B、D. 13.（2026·枣庄期中）已知直线l上的两点A（－2，3），B（3，－2），若C（a，b），a＞0，b＞0在直线l上，则ab的最大值为　　. 解析：由直线的斜率公式得kAB＝＝－1.∵C在直线l上，∴kBC＝＝kAB＝－1，∴a＋b＝1.当a＞0，b＞0时，≤＝，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故ab的最大值为. 14.（15分）已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 解：（1）由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 又倾斜角的取值范围为[0°，180°）， ∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°. （2）如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为. 15.（15分）（1）已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围； （2）设0＜a＜b＜c，试利用斜率的几何意义，比较，，的大小. 解：（1）的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率. 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A（1，），B（3，）， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是（－∞，－］∪［，＋∞）. （2）令y＝2x，而，，可理解为k＝时，x＝a，x＝b，x＝c的值， 即k＝表示函数y＝2x上的点（x，2x）与点（0，1）连线的斜率， 结合图象与条件0＜a＜b＜c，则构造的斜率都是正数，所以直线的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大， 可得＜＜. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $