1.3 空间向量及其运算的坐标表示(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，系统梳理点的坐标表示、向量坐标运算、平行垂直条件及夹角距离公式，构建从基础到应用的学习支架。 资料以飞机航线定位情境导入激发兴趣，通过问题链引导思考，结合正四棱锥顶点坐标计算等实例，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养。课中助力教师引导学生逐步深入，课后通过规律方法总结和训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 课标要求 情境导入 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置（数学抽象、直观想象）. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象、数学运算）. 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题（逻辑推理、数学运算）. 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度.只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 问题　在平面中，我们可选定一点O和一个单位正交基底{i，j}来建立平面直角坐标系，类似地，你认为应如何建立空间直角坐标系？ 提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系. 1.空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：　x轴、y轴、z轴　，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个　空间直角坐标系Oxyz　； （2）相关概念：　O　叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过　每两条坐标轴　的平面叫做坐标平面，分别称为　Oxy　平面，　Oyz　平面，　Ozx　平面，它们把空间分成八个部分. 2.右手直角坐标系 如图，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　x轴　的正方向，食指指向　y轴　的正方向，如果中指指向　z轴　的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 在单位正交基底{i，j，k}下，＝xi＋yj＋zk，其对应的有序实数组　（x，y，z）　，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中　x　叫做点A的横坐标，　y　叫做点A的纵坐标，z叫做点A的　竖　坐标. 【微思考】 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z） 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z） 角度1　点的坐标表示 （链接教材P18例1（1））已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4，正四棱锥的高为2. 所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）. 规律方法 求空间一点P的坐标的两种方法 （1）利用点在坐标轴上的投影求解； （2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标. 角度2　求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）. （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； 解：由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）. （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 解：设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6， y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12， 所以P3的坐标为（6，－3，－12）. 规律方法 　　空间点的对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 训练1　（1）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　（2，－3，1）　； 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. （2）如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. ①以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； ②以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 解：①在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3. ∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）. ②同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 问题　（1）在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，借助几何直观如何确定它们的坐标（x，y，z）？ 提示：如图，过点A分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，依次交x轴，y轴，z轴于点B，C，D.可以证明在x轴，y轴，z轴上的投影向量分别为，，，且＝＋＋.设点B，C，D在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，那么点A（向量）的坐标为（x，y，z）. （2）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表示吗？ 提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3），λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 1.空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组　（x，y，z）　叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝　（x，y，z）　. 2.空间向量运算的坐标表示 （1）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝　（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 减法 a－b＝　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 数乘 λa＝　（λa1，λa2，λa3）　（λ∈R） 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 （2）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝　（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标　减去　起点坐标. （链接教材P18例1）在△ABC中，A（2，－5，3），＝（4，1，2），＝（3，－2，5）. （1）求顶点B，C的坐标； 解：设B（x，y，z），C（x1，y1，z1）， 所以＝（x－2，y＋5，z－3）， ＝（x1－x，y1－y，z1－z）， 因为＝（4，1，2）， 所以解得 所以点B的坐标为（6，－4，5）. 因为＝（3，－2，5）， 所以解得 所以点C的坐标为（9，－6，10）. （2）求·； 解：因为＝（－7，1，－7）. 所以·＝－21－2－35＝－58. （3）若点P在AC上，且＝，求点P的坐标. 解：设P（x2，y2，z2），则＝（x2－2，y2＋5，z2－3）， ＝（9－x2，－6－y2，10－z2）， 于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）＝（9－x2，－6－y2，10－z2）， 所以解得 故点P的坐标为（，－，）. 规律方法 空间向量坐标运算的规律 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定（终点坐标减去起点坐标）； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标. 训练2　（1）（2026·江门高二调研）若a＝（－1，2，－1），b＝（1，3，－2），则（a＋b）·（a－b）＝（　　） A.－8 B.－10 C.8 D.10 解析：A　由题知a＋b＝（－1＋1，2＋3，－1－2）＝（0，5，－3），a－b＝（－1－1，2－3，－1＋2）＝（－2，－1，1），则（a＋b）·（a－b）＝0×（－2）＋5×（－1）＋（－3）×1＝0－5－3＝－8.故选A. （2）如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求出向量，，的坐标. 解：因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示. 所以＝＝0i＋1j＋0k＝（0，1，0），＝－＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0），＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋（＋）＝－＋＋（＋＋）＝＋＝0i＋j＋k＝（0，，）. 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 问题　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b的坐标表示吗？ 提示：a∥b⇒（a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R）⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；a⊥b⇒a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔　a1＝λb1　，　a2＝λb2　，　a3＝λb3　（λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　. 【微思考】 若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a∥b，则一定有＝＝成立吗？ 提示：不一定，当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a∥b⇔＝＝. （链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； 证明：如图，以A为坐标原点，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）.由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）. （1）＝（1，0，1），＝（，0，），＝（－，－，）. 因为＝2，·＝1×（－）＋1×＝0， 所以∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH. （2）A1G⊥平面EFD. 证明：＝（，1，－1），＝（1，－，0），＝（1，0，）. 因为·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 因为DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD. 规律方法 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 训练3　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A.1　　 　B. C.　 　D. 解析：D　ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝. （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE. 证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（，，0），（0，0，1）. ∴＝（－，－，1）. 又点A，M的坐标分别是（，，0），（，，1）， ∴＝（－，－，1）. ∴＝.又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 知识点四　空间夹角、距离的计算 问题　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推导出空间两点的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1）， 于是｜｜＝＝ ， 所以P1P2＝｜｜＝ ， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB＝｜｜＝ . 1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝　　. 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜｜＝　　. 提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜；（2）求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式. （链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，AA'＝2，点N是A'A的中点. （1）求｜｜； 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则＝（1，－1，1）， ｜｜＝＝. （2）求cos＜，＞的值. 解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'（0，1，2）. 因为＝（1，－1，2），＝（0，1，2）， 所以｜｜＝＝， ｜｜＝＝， ·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos＜，＞＝＝＝. 规律方法 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 训练4　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. （1）求BP的长； 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0）， B（2，4，0）. 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2. ∴P（0，0，2）. ∴BP＝＝4. （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：由（1）得，＝（2，0，－2）， ＝（－2，－3，0）， ∴cos＜，＞＝ ＝＝－， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为. 1.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 解析：D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为＝－，所以D正确，故选D. 2.〔多选〕（2026·山东潍坊高二期末）已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A.a＋b＝（7，－5，0） B.a－b＝（5，－1，4） C.a·b＝8 D.｜a｜＝ 解析：AC　因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝＝3，故D不正确.故选A、C. 3.（2026·湖南怀化高二质检）已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为　　. 解析：∵＝（0，3，3），＝（－1，1，0），∴｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴cos＜，＞＝＝，又∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝. 4.如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. （1）写出点E，F的坐标； （2）求证：A1F⊥C1E. 解：（1）E（a，x，0），F（a－x，a，0）. （2）证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴＝（－x，a，－a），＝（a，x－a，－a）， ∴·＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0， ∴⊥，∴A1F⊥C1E. 教材挖掘　向量概念的推广 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维向量空间，a＝（a1，a2，…，an）. 对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）； λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R； a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn； ｜a｜＝. n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的“距离”｜AB｜＝. 【迁移应用】 某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩. 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即 ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）， 其中aij为第j门课程的平均成绩. （时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　） A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10） C.（－2，11，10） D.（2，11，－10） 解析：A　a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 2.（2026·孝感高二期中）已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B. 3.设点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，则｜｜＝（　　） A.10 B. C.38 D. 解析：A　因为点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，所以B（2，3，－5），所以｜｜＝＝10. 4.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　） A. B. C.1 D. 解析：D　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，∴即解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝. 5.在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A.（－1，－1，3） B.（3，0，1） C.（1，1，2） D.（1，－1，2） 解析：B　由＝（1，2，1），＝（1，－1，0），显然，不共线，根据平面向量基本定理可得＝λ＋μ＝（λ＋μ，2λ－μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符合条件，此时λ＝1，μ＝2.故选B. 6.〔多选〕如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC的边长为2，三棱柱的高为1，BC，B1C1的中点分别为D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则（　　） A.A1（0，，1） B.C1（1，0，1） C.＝（0，－，1） D.＝（，，－1） 解析：ABC　在等边三角形ABC中，AB＝2，BD＝1，所以AD＝，则A（0，，0），A1（0，，1），C1（1，0，1），D1（0，0，1），B1（－1，0，1），则＝（0，－，1），＝（1，，－1）.故选A、B、C. 7.〔多选〕（2026·湖北部分名校联考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，3，－5），B（－2，1，1），则下列结论正确的有（　　） A.｜｜＝7 B.·＝4 C.若n＝（4，2，t）且n⊥，则t＝ D.若m＝（1，1，k）且m∥，则k＝－3 解析：AC　由A（1，3，－5），B（－2，1，1），得＝（－3，－2，6），对于A，｜｜＝＝7，A正确；对于B，·＝1×（－2）＋3×1＋（－5）×1＝－4，B错误；对于C，由n＝（4，2，t），n⊥，得n·＝－12－4＋6t＝0，解得t＝，C正确；对于D，由m＝（1，1，k）且m∥，得＝＝，无解，D错误. 8.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为　120°　. 解析：a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 9.在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为　（3，0，1）　. 解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三点共线，则∥，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所以＝（a－1，2，b＋3），＝（1，1，2），则＝＝，解得则P（3，0，1）. 10.（13分）（2026·阳泉检测）已知四边形ABCD是平行四边形，且A（1，－，3），B（0，，5），C（1，，4）. （1）若m∥，且｜m｜＝，求m的坐标； （2）求点D的坐标. 解：（1）因为A（1，－，3），B（0，，5），所以＝（－1，2，2）， 由m∥，可设m＝λ，λ∈R，所以m＝（－λ，2λ，2λ）， 因为｜m｜＝，所以＝， 解得λ＝±1， 所以m的坐标为（－1，2，2）或（1，－2，－2）. （2）设点D（x，y，z），则＝（1－x，－y，4－z）. 由（1）知＝（－1，2，2）， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝， 即解得 即点D的坐标为（2，－，2）. 11.已知a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　） A.（0，＋∞） B.（0，3） C.（3，＋∞） D.（0，3）∪（3，＋∞） 解析：D　因为a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不反向共线，因为a·b＜0，则－1×1－2（x－1）－1×1＜0，解得x＞0，若a与b反向共线，设b＝ta（t＜0），则解得综上可得x的取值范围是（0，3）∪（3，＋∞）. 12.〔一题多解〕（2026·顺义一中期中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是正方形ABCD的中心，则·的值为（　　） A.1 B. C.2 D.不确定 解析：A　法一　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，，0），设P（0，1，z），则＝（－1，1，z），＝（－，，0），所以·＝－1×（－）＋1×＋z×0＝1. 法二　延长AO至点C，由题可知，AO＝AC＝，在上的投影向量为，所以·＝｜｜｜｜＝1. 13.已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为　28　. 解析：由已知得＝（2，－6，4），＝（－4，－2，6），所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝2，所以cos＜，＞＝＝＝，又＜，＞∈[0，π]，则sin＜，＞＝＝，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝×2×2××2＝28. 14.（15分）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：CF⊥平面DEF； （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），C（0，1，0），F（，，0）， G（1，1，）. 所以＝（1，1，0），＝（，，－），＝（，－，0），＝（1，0，），＝（0，－1，）. （1）证明：因为·＝×1－×1＝0，·＝×－×＝0， 所以⊥，⊥，即CF⊥DB，CF⊥EF， 又DB，EF⊂平面DEF，DB∩EF＝F， 故CF⊥平面DEF. （2）因为·＝×1＋×0＋（－）×＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝， 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. 15.（15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，M，N，E分别为棱AA1，BB1，CC1，B1C1的中点. （1）证明：DE∥平面AMN； （2）若AB＝AC，且＝λ，则当λ为何值时，有BN⊥AB1？ 解：（1）证明：取MN的中点为F，连接EF，AF，因为D，E，F分别为AA1，B1C1，MN的中点，结合题意得AD∥EF，且AD＝EF，故四边形ADEF为平行四边形， 所以DE∥AF， 又DE⊄平面AMN，AF⊂平面AMN， 所以DE∥平面AMN. （2）因为AB＝AC，取BC的中点G，连接AG，则有AG⊥BC，连接EG，由题意得EG⊥底面ABC， 如图，以G为原点，GC，GA，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝AC＝1，BC＝2x（x＞0），AA1＝2λx， 则A（0，，0）， B（－x，0，0），N（x，0，λx）， B1（－x，0，2λx），＝（2x，0，λx），＝（－x，－，2λx）， 则·＝－2x2＋2λ2x2＝－2x2（1－λ2）＝0， 得λ2＝1，λ＝±1， 由题意得λ＝1， 即当λ＝1时有BN⊥AB1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $