1.2 空间向量基本定理(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，通过类比平面向量基本定理引入，系统梳理基底、单位正交基底、正交分解等概念，延伸至用基底表示空间向量及在立体几何中证明位置关系、求角和距离的应用，构建完整知识支架。 该资料以类比迁移构建知识联系，通过判断正误、例题变式等设计培养数学抽象和逻辑推理能力，结合数量积运算提升数学运算素养。课中助力教师系统教学，课后练习题与规律方法帮助学生巩固应用，查漏补缺。

1.2　空间向量基本定理 课标要求 情境导入 1.掌握（课标变化：理解→掌握）空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用基底表示空间向量（数学抽象）. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）. 　　回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？ 知识点一　空间向量基本定理 问题　类比平面向量基本定理，p是空间任意一个向量，对于空间三个向量a，b，c，向量p能否用向量a，b，c来表示？ 提示：不一定，当向量a，b，c不共面时可以. 1.空间向量基本定理 条件 三个　不共面　的向量a，b，c和　任意一个　空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　xa＋yb＋zc 2.基底：如果三个向量a，b，c　不共面　，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做　基向量　. 3.单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两　垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.正交分解 把一个空间向量分解为三个两两　垂直　的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（　×　） （2）若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.（　√　） （3）已知向量，，不能构成空间中的一个基底，则O，A，B，C四点共面.（　√　） 2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是（　　） A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c 解析：D　能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q，∴A、B、C都不符合题意.∵{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底. 3.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z＝　4　. 解析：p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又p＝a－2b＋3c，所以故x＋y＋z＝1＋3＝4. 规律方法 判断基底的基本思路 　　判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底. 知识点二　用基底表示空间向量 （链接教材P12例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋＋＝（a＋b＋c）. 连接A'N（图略），所以＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c. 变式　若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以＝（＋）＝a＋b. 连接AB'（图略），所以＝（＋）＝（＋＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋－＝a＋b－c. 规律方法 用基底表示向量的步骤 训练1　（1）（2026·浙江温州高二质检）如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（　B　） A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 解析：＝－＝（＋）－（＋）＝－－＋＝－a－b＋c.故选B. （2）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　. 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为BE＝BB1，DF＝DD1，所以＝＋＋＋＝－－＋＋＝－－＋＋＝－＋＋.因为＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝. 提能点　空间向量基本定理的应用 角度1　证明空间位置关系 （链接教材P13例2、例3（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； 证明：连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则＝－＝（＋）－＝＋（－）＝＋＝＋，所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. （2）EF⊥平面PCD. 证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA. 因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD， 所以·＝（＋）·＝·＝0， ·＝（＋）·＝·＝0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD， 又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD. 规律方法 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0. 角度2　求空间角 （链接教材P13例3（2））如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为　　　　. 【破题思维】 题目信息 信息转化 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5 ①∠ACB＝90°，AC，CB，CC1两两垂直； ②{，，}可构成空间的一个正交基底 求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值 用，，分别表示，，借助向量数量积运算求出所成角的余弦值 答案： 解析：在△ABC中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，故∠ACB＝90°，即AC⊥BC.设＝3a，＝4b，＝4c，向量，，不共面且两两垂直，则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底.因为＝－＝4c－3a，＝＋＝4c＋4b，所以·＝（4c－3a）·（4c＋4b）＝16c2＝16，又｜｜＝＝5，｜｜＝＝4，所以cos＜，＞＝＝＝，故异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为. 规律方法 基向量法求空间角的基本思路 　　将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角），再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角. 角度3　求距离（长度） 在正四面体PABC中，AB＝2，且E，F分别为AC，PB的中点，则EF的长为　　. 解析：连接AF（图略），在正四面体PABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·c＝a·b＝b·c＝2×2×cos 60°＝2，则＝＋＝－＋（＋）＝（a－b＋c），｜｜＝＝ ＝×＝. 规律方法 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. 训练2　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. （1）证明：EF⊥B1C； 解：证明：设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底. 所以＝＋＝－k＋（＋）＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， 所以·＝（ i＋j－k）·（－i－k）＝－｜i｜2＋｜k｜2＝0， 所以EF⊥B1C. （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 解：因为＝i＋j－k，＝＋＝－k－j， ｜｜2＝（ i＋j－k）2＝｜i｜2＋｜j｜2＋｜k｜2＝3，｜｜＝， ｜｜2＝（ －k－j）2＝｜k｜2＋｜j｜2＝4＋＝，｜｜＝， 所以cos＜，＞＝＝＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 解析：C　由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底. 2.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD（　　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 解析：C　因为＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，故⊥，即AB与CD垂直. 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为＝　a－b＋c　. 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝a－b＋c. 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为　7　. 解析：∵＝＋＋，∴｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2｜｜｜｜cos 120°＝61－12＝49，∴｜｜＝7，即PC＝7. （时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A.a，b共线 B.a，b同向 C.a，b反向 D.a，b共面 解析：A　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基向量，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错. 2.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 解析：C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A.重合　　　B.垂直 C.平行　　　D.异面 解析：B　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝a＋b＋c，＝＋＝c－a－b，设正方体的棱长为1，则·＝（a＋b＋c）·（c－a－b）＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直. 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝（　　） A.　　 　B. C.　 　　D. 解析：C　如图所示，＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，故｜｜2＝（ ＋＋）2＝，则AM＝. 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　） A.0 B. C. D. 解析：A　根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 6.〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 解析：AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面，所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 7.〔多选〕（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 解析：ACD　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　x＝y＝z＝0　. 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 9.（2026·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝　－2　. 解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 10.（13分）如图，三棱锥P-ABC中，M，N分别是BC，PA上的点，且＝，＝2，设＝a，＝b，＝c. （1）试用a，b，c表示向量； （2）已知∠BAC＝，∠PAB＝∠PAC＝，且PA＝AB＝AC＝2，若（a＋λc）⊥，求λ的值. 解：（1）＝＋＋ ＝＋＋ ＝（－）－＋ ＝－－＋＝－a－b＋c. （2）由（a＋λc）⊥可得（a＋λc）·＝0， 即（a＋λc）·（－a－b＋c）＝－a2－a·b＋a·c－a·c－b·c＋c2＝0， 即－＋－－＋＝0， 解得λ＝2. 11.已知体积为9π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形.若空间中一点N满足＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则｜｜的最小值为（　　） A.3　　 　B.2 C.3　　 　D.6 解析：A　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以｜｜的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高.设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为r，则圆锥MO的体积为πr2×r＝9π，解得r＝3.所以｜｜的最小值为3.故选A. 12.（2026·淮安月考）如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为（　　） A.90° B.60° C.45° D.30° 解析：B　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2.因此·＝｜｜·｜｜cos 45°＝2×2×＝4，所以·＝·－·＝4，又SA＝2，所以SC＝＝4，因此cos＜，＞＝＝＝，所以SC与AB所成角的大小为60°. 13.在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝　－1　. 解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1. 14.（15分）如图，已知在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a·b＝b·c＝c·a＝0. 所以＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A'D. （2）因为｜｜＝｜a｜，｜｜＝｜a｜， 又＝－a＋c， ·＝（－a＋c）·（ b＋c）＝c2＝｜a｜2， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 15.（15分）如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，则＋＋是否为定值？请说明理由. 解：为定值.理由如下： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）. 由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝（＋）＝＋×＝＋×＝＋（－）＋（－）＝＋＋. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ（－）＋μ（－）， ∴＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）·m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt， ∴＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $