第44讲 带电粒子在立体空间的运动（复习讲义）（广东专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在立体空间的运动核心考点，涵盖匀速直线、圆周、曲线及螺旋线运动，按“命题趋势研判-知识框架构建-考点拆解突破-真题溯源感知”逻辑架构，通过思维建模梳理运动类型、考向破译归纳解题策略、真题训练强化应用，帮助学生建立空间运动分析框架。 讲义创新采用三维运动分解教学法，如将螺旋线运动拆解为平行磁场匀速与垂直平面圆周运动，培养科学思维与模型建构能力。设置基础例析、变式训练（变载体/考法）、综合应用分层练习，结合前沿科技情境题，助力学生高效提升空间想象与运动分析能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第44讲 带电粒子在立体空间的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子在立体空间的运动 考向1 带电粒子在立体空间的匀速直线运动 考向2 带电粒子在立体空间的圆周运动 考向3 带电粒子在立体空间的曲线运动 考向4 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 带电粒子在立体空间运动 考情分析 题型与考向：带电粒子在匀强磁场中的运动问题，是每年高考考查的重点和热点，在近几年的高考命题中，又出现了一些带电粒子在立体空间中运动的问题，这样既能考查学生相关的物理知识，又能考查学生的空间想象能力，是近几年来命题的趋势。 情境与立意： 与前沿科技相结合，考查带电粒子在立体空间的运动。 复习目标 1、熟练掌握带电粒子在组合场、叠加场的运动问题。 2、掌握受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想等方法解决问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子在立体空间的运动 知●识●解●构 一、空间运动 1、原因 匀强磁场在空间中的分布是三维的，因此带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。 2、螺旋线运动 空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。 方法：这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 3、带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。 一、粒子在立体空间常见运动及解题策略 1、运动类型 ①在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型。 ②一维加一面，如旋进运动。 ③运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 2、解题策略 ①将粒子的运动分解为三个方向的运动。 ②旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动。 ③把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动。 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。 考●向●破●译 考向1 电粒子在立体空间的匀速直线运动 例1（2023·河北沧州·模拟预测）如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球在重力和电场力的作用下，从位置做初速度为零的匀加速直线运动，恰好过原点，则 ， 得 ， 到达O点的水平速度与竖直速度均为 由图乙、丙可知，在内，小球竖直方向有 可得 方向向上；小球竖直方向以g做匀减速直线运动，在时，竖直速度为 在内，小球在竖直方向以g做初速度为0的匀加速直线运动，时，速度又为，所以竖直方向以为一个周期，速度循环变化，则有，速度又为，则时，小球的y轴坐标为 得 小球在平面以做匀速圆周运动。在内，小球运动周期为 在内，小球运动周期为 所以在平面内做周期运动，则在时刻，小球恰好又回到和。 综上在时刻，小球的位置坐标为。 故选D。 【变式训练1·变载体】（2008·北京·高考真题）在如图所示的空间中，存在场强为E的匀强电场，同时存在沿x轴负方向，磁感应强度为B的匀强磁场．一质子(电荷量为e)在该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动．据此可以判断出 A．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小，沿着z轴方向电势升高 B．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能增大，沿着z轴方向电势降低 C．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势升高 D．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势降低 【答案】C 【详解】由左手定则可知，质子所受的洛伦兹力方向沿z轴正向，由于质子做匀速运动，则所受电场力方向为z轴负向，大小等于洛伦兹力，即有 电场的方向沿z轴负向，故运动中电场力不做功，电势能不变；沿z轴正方向电势升高；ABD错误，C正确。 故选C。 ▶新情境◀【变式训练2·变考法】（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，在空间建立三维坐标系，在平面右侧存在沿z轴负方向的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，平面左侧存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，两部分匀强电场的场强大小及匀强磁场的磁感应强度大小均相同。一电子从平面内的M点沿着与x轴负方向成角以初速度射出，电子的运动轨迹的最下端恰好与x轴相切，之后电子沿着与y轴负方向夹角通过平面。已知电子质量为m、电荷量为，匀强磁场的磁感应强度，匀强电场的电场强度，不计电子重力。 (1)求电子在平面右侧运动过程中的最大速率； (2)求M点x坐标的可能值； (3)若从电子通过平面开始计时，求时电子的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）运用配速法处理电子在平面右侧的运动，有 解得 由左手定则可知该速度方向沿x轴负向电子做匀速圆周运动的速度为其初速度与的矢量和，大小为，方向与x轴正方向的夹角为 电子在平面右侧运动过程中的最大速度为匀速直线运动与圆周运动速度方向相同时，最大速度为 （2）电子运动的周期 一个周期沿x轴负向运动的位移 电子与y轴负方向夹角通过平面，则其圆周运动的速度沿y轴负向，运动的时间 M点的x坐标可能值为 洛伦兹力提供向心力有 解得 则M点的x坐标的可能值为 （3）电子在平面左侧以的速度沿x轴负向匀加速直线运动的同时，在垂直x轴方向以做匀速圆周运动，有 电子在右侧运动时轨迹可与x轴相切，则电子经过y轴时的坐标 则时，有，， 其中 解得，故时，电子的位置坐标为。 考向2 电粒子在立体空间的圆周运动 例2（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一水平方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，经过磁场的一个周期，粒子回到原位置，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 【变式训练1·变考法】（2026·四川泸州·二模）如图所示，在xOy-z坐标系中，范围内有沿y轴正方向的匀强磁场，的范围内有沿y轴负方向的匀强磁场和匀强电场，两磁场磁感应强度大小均为，电场强度。一比荷的带正电粒子以速度从坐标原点沿x轴正方向射入匀强磁场中。忽略粒子重力，取，，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】带电粒子在平面内做匀速圆周运动，轨迹如下图所示 圆周运动半径，由几何关系有 解得，在区域内运动时圆心的坐标为 由几何关系，则 粒子第一次打在xOy平面时的坐标 范围内，在磁场中运动时有，由上述分析可知运动时间 范围内沿轴做匀加速直线运动有， 联立解得坐标，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为。故选D。 【变式训练2·变载体】（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，在空间中建立空间直角坐标系O-xyz，以原点O为顶点作一边长为L的立方体区域，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为。现从O点沿xOy平面以大小不变的初速度v向立方体区域内发射带电量为、质量为m的带电粒子。粒子重力不计。 (1)若在空间中加一匀强磁场，使沿OC方向入射的粒子能做圆周运动经过A点，求所加磁场的磁感应强度的大小和方向。 (2)若在空间中加一沿y轴正方向的匀强磁场，调整粒子的入射方向（仍在xOy平面内）使粒子能经过A点，且粒子到A点前并没有出立方体区域，求所加磁场磁感应强度的大小。 (3)若在（2）问的基础上，再加上沿z轴负方向的匀强电场。粒子初速度仍沿（2）问中的方向，粒子运动过程中所能到达的最高点恰好在所在平面。求所加电场的电场强度E的大小。 【答案】(1)，与y轴正方向和x轴负方向夹角为 (2) (3) 【详解】1（1）设粒子做圆周运动的半径为r，则粒子能做圆周运动经过A点，由几何关系有 可得 由 解得，方向垂直于OC，与y轴正方向和x轴负方向夹角为。 （2）将初速度分解为和，在xOz平面，粒子做圆周运动，满足 其中 历经时间为 且有 y方向满足 由 联立可得 （3）【法一：配速】粒子将做沿x方向的匀速直线运动和xOz平面内的匀速圆周运动，最高点，故 圆周运动的分速度满足 得 剩余沿x方向的速度用于平衡电场力，则有 而 联立可得 【法二：动量能量】对x方向列动量定理满足 累加可得 另外可知不变，则由动能定理有，联立可得。 考向三 带电粒子在立体空间的曲线运动 例3（24-25高三上·广东广州·阶段检测）（多选）电场和磁场均可改变带电粒子在磁场中的运动方向。某次科学探究时，将质子以一定初速度从点沿方向进入立方体区域，如图所示。现设定粒子由点飞出，则该立方体区域可能仅存在（　　） A．沿方向的匀强电场 B．沿方向的匀强电场 C．沿方向的匀强磁场 D．沿方向的匀强磁场 【答案】BD 【详解】AB．质子以一定初速度从点沿方向进入立方体区域，由点飞出，则质子在面内运动，质子在电场中做类平抛运动，在方向做匀速直线运动，在方向做初速度为零的匀加速直线运动，质子所受电场力方向竖直向上，则立方体内可能存在沿方向的匀强电场，故B正确，A错误。 C．该立方体区域可能仅存在沿方向的匀强磁场，质子在平面内做匀速圆周运动，不可能由点飞出，故C错误。 D．该立方体区域可能仅存在沿方向的匀强磁场，质子在平面内做匀速圆周运动，是有可能由点飞出的，故D正确。 故选。 【变式训练1·变载体】（24-25高三下·河北邯郸·阶段检测）（多选）半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作，其中一种是通过离子注入的方式优化半导体。某半导体掺杂机的简化模型如图所示，在棱长为L的正方体区域中存在着互相垂直的匀强电场（垂直面向外）和匀强磁场（垂直面向下），一质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子（重力不计）从面中央处以速度垂直该平面射入正方体后，恰好不改变运动方向。若粒子入射时只有磁场存在，则粒子从bc边中点N离开正方体区域。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．该匀强电场的电场强度大小为 D．若粒子只在电场中运动，则其加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．粒子只在磁场中运动时，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．设粒子做圆周运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有 根据几何关系有 解得， 故B正确； CD．粒子垂直射入正方体后，恰好不改变运动方向，粒子做匀速直线运动，则有 可得电场强度的大小 粒子只在电场中运动时，粒子做类平抛运动，加速度大小 故C错误，D正确。故选BD。 【变式训练2·变载体】（25-26高三下·河北衡水·期中）如图1所示，立方体，棱的长度为，棱、均足够长，棱上的O点距的距离为，以O点为坐标原点，建立图示的空间坐标系，y、z两坐标轴分别与和平行。现在平面的左侧区域加上沿y轴负向的匀强电场E（图中未画出），一不计重力、比荷为k的带正电粒子，在平面内从点沿与夹角的方向，以大小为的速度射入电场，粒子经过y轴时，速度恰沿x轴正方向，取，，求： (1)匀强电场的电场强度E的大小。 (2)若在粒子经过y轴时，立即在平面的右侧区域加上沿y轴负向的另一匀强电场和与y轴平行的磁场，电场场强大小，磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示（图中，取y轴正向为磁场正方向），粒子最后恰从点射出立方体区域，求的长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，方向有 方向有 牛顿第二定律可知 联立解得 （2）带电粒子在平面左侧电场中运动，方向位移，即粒子进入右侧区域的初始位置为； 带电粒子在平面右侧电场中运动，方向有， 代入数据解得在平面右侧运动时间 带电粒子在平面右侧磁场中运动周期 由题中所给交变磁场可知，带电粒子经历半个周期旋转（俯视图中，前顺时针旋转，后逆时针旋转），故的长度为旋转直径； 根据带电粒子在磁场中运动可知， 解得，则的长度为。 考向四 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 例4（25-26高二上·浙江·期中）在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 【答案】D 【详解】AB．由于垂直于轴线的平面内，粒子做匀速圆周运动，粒子在两段之间来回运动，因此沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，因为从左端到右端的运动过程中，粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力对粒子不做功，故其动能不变，则合速度大小不变，故垂直于轴线的速度分量先变小后变大，故半径先变大后变小，故AB错误； C．粒子做圆周运动的周期为 其中 可得 由于从左端到右端的运动过程中，磁感应强度先减小后增大，所以粒子的运动周期先增大后减小。根据题意可知，粒子运动轨迹的螺距为 由于粒子沿磁瓶轴线方向的速度分量先变大后变小，所以运动轨迹的螺距先变大后变小，故C错误； D．从最右端返回时，在垂直于磁瓶轴线平面内，粒子的速度与轴线垂直，故沿磁瓶轴线方向的速度分量为零，又粒子的速度大小不变，故此时垂直磁瓶轴线方向的速度分量最大，故D正确。故选D。 【变式训练1·解决实际问题】（2026·广东汕头·一模）如图所示，在空间直角坐标系中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场沿x轴正方向。原点O处有一粒子源，在平面内发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，速度大小为，方向与x轴正方向成，且。不计粒子重力，该粒子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】粒子的速度与磁场夹角为，其运动轨迹为螺旋线，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子运动的周期为 圆周运动的角速度为 解得， A．在yOz平面内，有， 联立解得 可见轨迹的投影是圆，其圆心坐标为（0，-r），若，则半径为L，圆心坐标为（0，-L），故A正确； BD．在xOy平面内，根据运动的分解可知， 联立解得 则图像为正弦曲线，振幅为，若振幅为L时，对应x轴无投影，故BD错误； C．综上分析可知，在xOz平面内，函数关系式满足 图像为余弦函数，故C错误；故选A。 【变式训练2·日常生活结合】（2026·山东济南·三模）科学家设计了一种长时间存储粒子的装置，其基本原理如图甲所示，在空间直角坐标系中，存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为；存在的电场（图中未画出）电势满足，，为装置内某点到z轴的距离。某次实验时装置内储存一带正电粒子，粒子质量为、电荷量为，忽略粒子的重力，不考虑粒子的相对论效应和场的电磁辐射。 (1)若装置内只存在磁场，某时刻粒子从点发射，速度大小为、方向在平面的第一象限内且与轴正向夹角为，求粒子再次经过轴时所需时间及轴坐标； (2)若装置内只存在电场，某时刻粒子从点发射，速度大小为、方向在平面的第一象限内且与轴正向夹角为，粒子再次回到平面时与轴的距离为，求粒子再次回到平面时速度的大小和所经历的时间； (3)若装置内同时存在电场和磁场，粒子储存于该装置中时，xOy平面内的运动如图乙所示，该运动可视为两个匀速圆周运动的合运动：一个是绕轴的低速漂移运动，角速度为，漂移半径为，一个是绕漂移轨道上某点的高速回旋运动，角速度为，漂移半径为，已知，回旋速率远大于漂移速率，求粒子稳定运行时的大小。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）粒子在平行平面的平面内做匀速圆周运动，则， 粒子转动一周又回到z轴，则 联立解得 粒子在z轴方向上做匀速直线运动，则 （2）粒子再次回到平面时，所处位置的电势为 由能量守恒得 解得 沿轴方向，，以O点为平衡位置，在轴方向所受的电场力符合简谐运动规律，即 由简谐运动周期公式 粒子再次回到平面时所经历的时间 （3）由牛顿第二定律得 解得 低速漂移取小值。高速回旋的半径远小于漂移半径，可认为回旋处的电场是恒定，由于回旋速率远大于漂移速率，洛伦兹力远大于电场力，电场力对高速回旋运动的影响可忽略，则有 则。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律 解得氙离子在放电室内运动的加速度大小 （2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径向磁场给的洛伦兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛伦兹力提供向心力，即 ， 解得径向磁场的磁感应强度大小为 （3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单位时间内进入放电室的电子数为，则未进入的电子数为，设单位时间内被电离的氙离子数为,则有 已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有 联立可得单位时间内被电离的氙离子数为 氙离子经电场加速，有 时间内氙离子所受到的作用力为，由动量定理有 解得 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小 则 2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得 在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知 可得 且 由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有 联立得 当时，B有最小值，可得 （2）将电子的速度分解，如图所示 有 当有最大值时，最大，R最大，此时，又 ， 联立可得 ， （3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有 由牛顿第二定律知 又 联立得 3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。 （1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度； （3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。 【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4） 【详解】（1）如图所示 将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有 联立解得 （2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得 ， 可得 为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足 ， 联立可得 要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为； （3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为 离子在磁场II中的轨迹半径为 离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示 离子第四次穿过平面的坐标为 离子第四次穿过平面的坐标为 故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。 （4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得 可得 离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为 ， 离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为 ， 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示 从点进入磁场到第一个交点的过程，有 可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为。 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44讲 带电粒子在立体空间的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子在立体空间的运动 考向1 带电粒子在立体空间的匀速直线运动 考向2 带电粒子在立体空间的圆周运动 考向3 带电粒子在立体空间的曲线运动 考向4 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 带电粒子在立体空间运动 考情分析 题型与考向：带电粒子在匀强磁场中的运动问题，是每年高考考查的重点和热点，在近几年的高考命题中，又出现了一些带电粒子在立体空间中运动的问题，这样既能考查学生相关的物理知识，又能考查学生的空间想象能力，是近几年来命题的趋势。 情境与立意： 与前沿科技相结合，考查带电粒子在立体空间的运动。 复习目标 1、熟练掌握带电粒子在组合场、叠加场的运动问题。 2、掌握受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想等方法解决问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在立体空间的运动 知识点1 带电粒子在立体空间的运动 知●识●解●构 一、空间运动 1、原因 匀强磁场在空间中的分布是三维的，因此带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。 2、螺旋线运动 空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。 方法：这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 3、带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。 一、粒子在立体空间常见运动及解题策略 1、运动类型 ①在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型。 ②一维加一面，如旋进运动。 ③运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 2、解题策略 ①将粒子的运动分解为三个方向的运动。 ②旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动。 ③把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动。 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。 考●向●破●译 考向1 电粒子在立体空间的匀速直线运动 例1（2023·河北沧州·模拟预测）如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】（2008·北京·高考真题）在如图所示的空间中，存在场强为E的匀强电场，同时存在沿x轴负方向，磁感应强度为B的匀强磁场．一质子(电荷量为e)在该空间恰沿y轴正方向以速度v匀速运动．据此可以判断出 A．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能减小，沿着z轴方向电势升高 B．质子所受电场力大小等于eE，运动中电势能增大，沿着z轴方向电势降低 C．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势升高 D．质子所受电场力大小等于evB，运动中电势能不变，沿着z轴方向电势降低 ▶新情境◀【变式训练2·变考法】（2026·辽宁·模拟预测）如图所示，在空间建立三维坐标系，在平面右侧存在沿z轴负方向的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，平面左侧存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，两部分匀强电场的场强大小及匀强磁场的磁感应强度大小均相同。一电子从平面内的M点沿着与x轴负方向成角以初速度射出，电子的运动轨迹的最下端恰好与x轴相切，之后电子沿着与y轴负方向夹角通过平面。已知电子质量为m、电荷量为，匀强磁场的磁感应强度，匀强电场的电场强度，不计电子重力。 (1)求电子在平面右侧运动过程中的最大速率； (2)求M点x坐标的可能值； (3)若从电子通过平面开始计时，求时电子的位置坐标。 考向2 电粒子在立体空间的圆周运动 例2（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式训练1·变考法】（2026·四川泸州·二模）如图所示，在xOy-z坐标系中，范围内有沿y轴正方向的匀强磁场，的范围内有沿y轴负方向的匀强磁场和匀强电场，两磁场磁感应强度大小均为，电场强度。一比荷的带正电粒子以速度从坐标原点沿x轴正方向射入匀强磁场中。忽略粒子重力，取，，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变载体】（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，在空间中建立空间直角坐标系O-xyz，以原点O为顶点作一边长为L的立方体区域，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为。现从O点沿xOy平面以大小不变的初速度v向立方体区域内发射带电量为、质量为m的带电粒子。粒子重力不计。 (1)若在空间中加一匀强磁场，使沿OC方向入射的粒子能做圆周运动经过A点，求所加磁场的磁感应强度的大小和方向。 (2)若在空间中加一沿y轴正方向的匀强磁场，调整粒子的入射方向（仍在xOy平面内）使粒子能经过A点，且粒子到A点前并没有出立方体区域，求所加磁场磁感应强度的大小。 (3)若在（2）问的基础上，再加上沿z轴负方向的匀强电场。粒子初速度仍沿（2）问中的方向，粒子运动过程中所能到达的最高点恰好在所在平面。求所加电场的电场强度E的大小。 考向三 带电粒子在立体空间的曲线运动 例3（24-25高三上·广东广州·阶段检测）（多选）电场和磁场均可改变带电粒子在磁场中的运动方向。某次科学探究时，将质子以一定初速度从点沿方向进入立方体区域，如图所示。现设定粒子由点飞出，则该立方体区域可能仅存在（　　） A．沿方向的匀强电场 B．沿方向的匀强电场 C．沿方向的匀强磁场 D．沿方向的匀强磁场 【变式训练1·变载体】（24-25高三下·河北邯郸·阶段检测）（多选）半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作，其中一种是通过离子注入的方式优化半导体。某半导体掺杂机的简化模型如图所示，在棱长为L的正方体区域中存在着互相垂直的匀强电场（垂直面向外）和匀强磁场（垂直面向下），一质量为m、电荷量绝对值为q的带电粒子（重力不计）从面中央处以速度垂直该平面射入正方体后，恰好不改变运动方向。若粒子入射时只有磁场存在，则粒子从bc边中点N离开正方体区域。下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．该匀强电场的电场强度大小为 D．若粒子只在电场中运动，则其加速度大小为 【变式训练2·变载体】（25-26高三下·河北衡水·期中）如图1所示，立方体，棱的长度为，棱、均足够长，棱上的O点距的距离为，以O点为坐标原点，建立图示的空间坐标系，y、z两坐标轴分别与和平行。现在平面的左侧区域加上沿y轴负向的匀强电场E（图中未画出），一不计重力、比荷为k的带正电粒子，在平面内从点沿与夹角的方向，以大小为的速度射入电场，粒子经过y轴时，速度恰沿x轴正方向，取，，求： (1)匀强电场的电场强度E的大小。 (2)若在粒子经过y轴时，立即在平面的右侧区域加上沿y轴负向的另一匀强电场和与y轴平行的磁场，电场场强大小，磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示（图中，取y轴正向为磁场正方向），粒子最后恰从点射出立方体区域，求的长度。 考向四 带电粒子的螺旋线运动和旋进运动 例4（25-26高二上·浙江·期中）在现代研究受控热核反应的实验中，需要把高温等离子体限制在一定空间区域内，磁约束就成了必不可少的技术。如图所示，科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，该磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。假定一带正电的粒子（不计重力）从左端附近以斜向纸内的速度进入该磁场，其运动轨迹为图示的螺旋线（未全部画出）。此后，该粒子将被约束在左右两端之间来回运动。根据上述信息并结合所学知识，下列说法正确的是（　　） A．从最左端到最右端的过程中，螺旋线的半径逐渐增大 B．从最左端到最右端的过程中，粒子的动能先增大后减小 C．从最左端到最右端的过程中，粒子运动轨迹的螺距先变小后变大 D．从最右端返回时，粒子在垂直磁瓶轴线的速度分量最大 【变式训练1·解决实际问题】（2026·广东汕头·一模）如图所示，在空间直角坐标系中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场沿x轴正方向。原点O处有一粒子源，在平面内发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，速度大小为，方向与x轴正方向成，且。不计粒子重力，该粒子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式训练2·日常生活结合】（2026·山东济南·三模）科学家设计了一种长时间存储粒子的装置，其基本原理如图甲所示，在空间直角坐标系中，存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为；存在的电场（图中未画出）电势满足，，为装置内某点到z轴的距离。某次实验时装置内储存一带正电粒子，粒子质量为、电荷量为，忽略粒子的重力，不考虑粒子的相对论效应和场的电磁辐射。 (1)若装置内只存在磁场，某时刻粒子从点发射，速度大小为、方向在平面的第一象限内且与轴正向夹角为，求粒子再次经过轴时所需时间及轴坐标； (2)若装置内只存在电场，某时刻粒子从点发射，速度大小为、方向在平面的第一象限内且与轴正向夹角为，粒子再次回到平面时与轴的距离为，求粒子再次回到平面时速度的大小和所经历的时间； (3)若装置内同时存在电场和磁场，粒子储存于该装置中时，xOy平面内的运动如图乙所示，该运动可视为两个匀速圆周运动的合运动：一个是绕轴的低速漂移运动，角速度为，漂移半径为，一个是绕漂移轨道上某点的高速回旋运动，角速度为，漂移半径为，已知，回旋速率远大于漂移速率，求粒子稳定运行时的大小。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。 （1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值； （2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值； （3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。 3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。 （1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小； （2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度； （3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）； （4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $