1.1.4 两条直线的平行与垂直(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的平行与垂直”核心知识点，从飞机拉烟情境引入，通过问题链探究倾斜角关系，系统梳理斜率存在与不存在时的平行垂直条件，结合斜截式、一般式及法向量应用，构建完整知识支架。 资料以情境驱动培养数学眼光，通过问题探究发展数学思维，题型涵盖判定、求方程及综合应用，通性通法总结提升数学语言表达。课中助教师引导学生深度探究，课后练习与变式训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.4　两条直线的平行与垂直 课标 要求 能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算）. 如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？ 【问题】　（1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？ （2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两条直线平行与垂直 1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2（其中b1≠b2）. （1）l1∥l2⇔　k1＝k2　； （2）l1⊥l2⇔　k1k2＝－1　. 2.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为　　的直线，从而它们互相　平行或重合　. 3.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则　l1⊥l2　. 【想一想】 1.两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？ 提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在. 2.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 提示：l1∥l2时，＝且≠，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；l1⊥l2时，（－）（－）＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. 3.对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝（A1，B1），n2＝（A2，B2），能利用它的法向量判断l1和l2平行或垂直吗？ 提示：能.当n1∥n2时，l1∥l2；当n1⊥n2（n1·n2＝0）时，l1⊥l2. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.（　×　） （2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（　×　） （3）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.（　√　） 2.（2026·东营月考）两条直线x＋2y＋m＝0和2x－y＋n＝0的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.不平行也不垂直 D.与m，n的取值有关 解析：B　因为A1A2＋B1B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直. 3.与直线x－2y－1＝0平行，且经过点（2，－3）的直线的方程为（　　） A.x－2y＋1＝0 B.x＋y＋5＝0 C.x＋y－5＝0 D.x－2y－8＝0 解析：D　与直线x－2y－1＝0平行，且经过点（2，－3）的直线的方程为y＋3＝（x－2），整理得x－2y－8＝0.故选D. 4.过点P（1，－1）且垂直于l：x－2y＋1＝0的直线方程为（　　） A.x＋2y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x－2y－3＝0 D.2x－y＋3＝0 解析：B　直线l：x－2y＋1＝0的斜率为k＝，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为－2，于是有y＋1＝－2（x－1），即2x＋y－1＝0，所以所求直线方程为2x＋y－1＝0.故选B. 题型一　两条直线平行、垂直的判定 判断下列各组直线平行还是垂直： （1）l1：y＋2＝3（x－1），l2：y＝3x＋2； （2）l1：y＝－5x＋2，l2：y＝x－1. 解：（1）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 在y轴上的截距分别为b1，b2， 直线l1的方程可化为y＝3x－5， 所以k1＝k2＝3，b1≠b2，故l1∥l2. （2）设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则由l1，l2的方程可知k1＝－5，k2＝， 因为k1k2＝（－5）×＝－1，所以l1⊥l2. 通性通法 1.判断两条不重合直线是否平行的方法 在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在：若存在且相等，则两直线平行；若斜率都不存在，则两直线平行. 2.判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，看它们的斜率之积是否等于－1，但应注意当有一条直线与x轴垂直（斜率不存在），另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”）. （1）l1：y＝－2x＋1与l2：x＋2y－1＝0； （2）l1：y＝x＋3与l2：x－y－4＝0； （3）l1：＋＝1与l2：2x－3y＋1＝0； （4）l1：2x－5＝0与l2：3y－1＝0. 解：（1）设l1与l2的斜率分别为k1与k2， 则k1＝－2，k2＝－，故k1≠k2且k1k2≠－1， 所以l1与l2既不垂直也不平行. （2）设l1与l2的斜率分别为k1与k2，在y轴上的截距分别为b1，b2， 由题意知k1＝1，k2＝1，故k1＝k2， 又因为b1≠b2，故l1∥l2. （3）设l1与l2的斜率分别为k1与k2， l1与l2的方程可化为l1：y＝－x＋3，l2：y＝x＋. 所以k1·k2＝×＝－1，故l1⊥l2. （4）l1与l2的方程可化为l1：x＝，l2：y＝. 因为l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故l1⊥l2. 题型二　利用两条直线平行、垂直的条件求直线方程 〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方程是　x－2y＋2＝0　；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是　2x＋y－1＝0　. 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为，所以平行于直线l的直线的斜率等于，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝－1，所求直线方程为2x＋y－1＝0. 通性通法 　　过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程； （2）可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由直线所经过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所经过的点确定C2. 1.〔一题多解〕已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l'的方程： （1）经过点（－1，3），且与l平行； （2）经过点（－1，3），且与l垂直. 解：法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. （1）∵l'与l平行，∴l'的斜率为－. 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为y－3＝－（x＋1）， 即3x＋4y－9＝0. （2）∵l'与l垂直，∴l'的斜率为， 又∵l'经过点（－1，3）， ∴所求方程为y－3＝（x＋1）， 即4x－3y＋13＝0. 法二　（1）由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠－12）. 将点（－1，3）代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. （2）由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0. 将（－1，3）代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 2.〔一题多解〕已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的a的值. （1）l1∥l2； （2）l1⊥l2. 解：法一　由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a. （1）当l1∥l2时， 解得a＝2. （2）当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0， 即3a＋2（a＋1）＝0，解得a＝－. 法二　直线l1可化为y＝－x＋. （1）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行； 当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋， ∵l1∥l2，∴－＝－且≠， 解得a＝2. （2）当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直； 当a≠－1时，l2：y＝－x＋， ∵l1⊥l2，∴－·＝－1， 解得a＝－. 题型三　直线平行与垂直的综合应用 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），R（－2t，2），其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状. 解：由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形. 【母题探究】 1.（变条件）将本例改为已知“A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0），顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.” 解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1， 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形. 2.（变设问）将本例改为“已知矩形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），试求顶点R的坐标.” 解：因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R（x，y）， 则由中点坐标公式知 解得所以R点的坐标是（－2t，2）. 通性通法 1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 2.判定几何图形形状的注意点 （1）在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标； （2）证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况； （3）判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况. 1.以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜截式方程为（　　） A.y＝－3x－4 B.y＝3x－4 C.y＝3x＋4 D.y＝－3x＋4 解析：A　因为直线AB的斜率kAB＝＝，则垂直平分线的斜率k＝－3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A. 2.已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝　－　，b＝　2　. 解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），得解得 1.直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（　　） A.1 B.－2 C.1或－2 D.－1或2 解析：B　由已知，得a（a＋1）－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 2.下列条件中，使得l1⊥l2的是（　　） ①l1的斜率为－，l2经过点A（1，1），B； ②l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，－5）； ③l1经过点M（1，0），N（4，－5），l2经过点R（－6，0），S（－1，3）. A.①②　　　B.①③ C.②③　　　D.①②③ 解析：B　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，易得①③正确，故选B. 3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0（m∈R）的两个根，则l1与l2的位置关系是（　　） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 解析：B　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×（－3）＝m2＋36＞0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B. 4.（2026·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝　0　；当l1∥l2时，m＝　1　. 解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，且（－1－m）×1－m（－2m－2）≠0，解得m＝1. 1.过点A（2，－3）和点B（－5，－3）的直线与直线y＝3的位置关系是（　　） A.垂直 B.平行 C.重合 D.以上都不对 解析：B　易知两条直线的斜率都为0且不重合，所以平行. 2.已知直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，直线 l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（　　） A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 解析：A　直线l1经过A（－3，4），B（－8，－1）两点，则直线l1的斜率k1＝＝1.直线l2的倾斜角为135°，则直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，所以k1·k2＝－1，故l1与l2垂直. 3.经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　） A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0 解析：A　经过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y－3＝（x－2），化简可得x－2y＋4＝0，故选A. 4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），且直线l与l1平行，则实数a的值为（　　） A.0 B.1 C.6 D.0或6 解析：C　因为直线l的倾斜角为，所以l的斜率为tan ＝－1.因为直线l1经过点A（3，2）和B（a，－1），所以直线l1的斜率为.因为直线l与l1平行，所以＝－1，解得a＝6. 5.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为（　　） A.－1或2　B.0或2 C.2　D.－1 解析：D　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若l1∥l2，则k1＝k2 B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C.直线l1∥l2的充要条件是倾斜角α1＝α2 D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：CD　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误.对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误.对于C，由直线的倾斜角α1＝α2得到两直线平行，即l1∥l2；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，显然正确，所以C正确.对于D，若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行，所以D正确. 7.〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（　　） A.直线恒过一定点 B.直线可以平行于x轴 C.直线可以垂直于x轴 D.若直线不过第四象限，则k＞0 解析：AB　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），A正确；当k＝0时，直线平行于x轴，B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，D错误.故选A、B. 8.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝　－2　；若l1∥l2，则m＝　2　. 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2. 9.已知集合A＝{（x，y）｜x＋ay－a＝0，x，y∈R}，B＝{（x，y）｜ax＋（2a＋3）y－1＝0，x，y∈R}.若A∩B＝∅，则实数a＝　3　. 解析：因为A∩B＝∅，所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋（2a＋3）y－1＝0没有交点，所以直线x＋ay－a＝0与直线ax＋（2a＋3）y－1＝0平行，所以1×（2a＋3）－a×a＝0，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，两直线方程分别为x－y＋1＝0，－x＋y－1＝0，此时两直线重合，舍去；当a＝3时，两直线方程分别为x＋3y－3＝0，3x＋9y－1＝0，此时两直线平行，所以a的值为3. 10.已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±. 由≠，得m≠且m≠， 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·（－）＝－1无解. 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. 11.已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝（　　） A.10 B.13 C.16 D.20 解析：B　直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0），直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m（x－1）＋y＋3＝0过定点B（1，－3）.因为1×m＋（－m）×1＝0，所以l1⊥l2且垂足为点P，连接AB，则在Rt△APB中，｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝[1－（－1）]2＋（－3－0）2＝13. 12.〔多选〕以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形中，下列结论正确的有（　　） A.kAB＝－ B.kBC＝－ C.以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 解析：AC　kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误. 13.（2026·盐城月考）已知直线l1∥l2，其方程分别为l1：x＋2y＋2＝0，l2：mx＋（1－n）y＋1＝0，其中m＞0，n＞0，则＋的最小值为　8　. 解析：因为直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：mx＋（1－n）y＋1＝0（m＞0，n＞0）平行，所以n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以＝－，且≠－1，所以2m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以＋＝（2m＋n）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. 14.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，求△ABC的面积的最小值. 解：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B（a，－2），C（b，3）. ∵AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，∴·＝－1， 即ab－6＝0，ab＝6，b＝. ∴Rt△ABC的面积S＝AB·AC＝·＝·＝≥＝6（当且仅当a2＝4时取等号）. ∴△ABC的面积的最小值为6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $