2026-2027学年高二上学期数学开学考模拟卷03（安徽省适用）

**基本信息** 2026-2027学年高二数学开学练习卷（安徽适用，必修1、2），以文化传承（如勾股定理应用）、实际问题（如信号塔测量）及创新定义（如距实数最近整数函数）为载体，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式、函数奇偶性、统计图表、立体几何|第5题结合《周髀算经》勾股定理背景，考查几何计算| |多选题|3/18|集合运算、正方体动态问题、解三角形应用|第11题通过汽车测信号塔仰角，考查数学建模与数据分析| |填空题|3/15|分段函数、三角形面积、高斯函数零点|第14题引入高斯函数，考查创新思维与函数零点判断| |解答题|5/77|统计概率、函数单调性、立体几何二面角、解三角形、新定义问题|第19题定义“阶稳区间”，综合考查函数性质与逻辑推理，体现探究性

2026-2027学年高二数学上学期开学练习卷（03）答案 一、单选题 1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 2．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先确定的定义域：由且，得或， 对于A选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故A选项错误； 对于B选项，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：， 不满足，故不满足奇函数性质，故B选项错误； 对选项C，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：满足奇函数性质，故C选项正确； 对于D选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故D选项错误； 4．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（   ） A．平均数=中位数 B．平均数<中位数 C．平均数>中位数 D．无法确定 【答案】B 【详解】法一：组距为，先计算累计频率： 频率：， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 频率：，累计， 此中位数在内，计算得：中位数， 根据平均数公式可得： ， ，即平均数中位数， 法二：通过偏态性质判断，该直方图长尾在左侧（左偏/负偏分布）， 左偏分布满足平均数中位数众数，则平均数小于中位数. 5．早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 由题意可知，，，则， ，，所以，. . 6．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 7．已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】线段是球的直径且 ，， 由直径所对圆周角为直角得， ， 三棱锥体积 ，其中为点到平面 的距离， 因此当取得最大值时，三棱锥体积最大， 当平面平面时，达到最大值， 在内，利用等面积法得即，解得 ， 所以, 此时，所以三棱锥的体积最大值为2. 8．设，对于给定的实数，若，则我们就把整数m叫做距实数最近的整数，并把它记为，现有关于函数的四个命题： ①＝－； ②函数的值域是； ③函数是奇函数； ④函数是周期函数，其最小正周期为1. 其中，真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，由函数 的定义可得 故错误； 对于②，令 所以②正确； 对于③， ， ∴点 不是 的图象的对称中心，函数不是奇函数； 故③错； 对于④，所以周期为1，故④正确. 故选：B. 二、多选题 9．已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A,利用交集的定义求解即可；对于B，利用并集的定义求解即可；对于C，求出集合的元素，即可得到的范围；对于D，根据子集的定义，画出数轴，从而得到的范围. 【详解】若，则，A正确； 若，则，B正确； 若集合N仅含有2个整数元素，即，，所以，C错误； 若，结合数轴可知，，D正确． 故选：ABD． 10．在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不包含端点)，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD1平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点P，使得直线垂直于平面 【答案】ACD 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A，当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接，， 过点作，交于， 则，又正方体中，，所以， 则直线与AC所成角为， 又， ， 所以为等边三角形，所以，故A正确； 对于B：当点为的中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B错误； 对于C：三棱锥的体积， 故C正确； 对于D：当点为的中点时，有，又， 所以平面即平面 ， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 11．如图1，为测量某垂直于地面的信号塔的高度，某同学坐在一辆匀速缓慢行驶的汽车内，每5 s测量一次该信号塔的仰角（即图1中的），并将测量结果记录于图2所示的方格表中，其中取第一个记录点为初始时刻．已知汽车行驶于一条水平、笔直的公路上，且速度为，则以下说法正确的有（     ） A．时，汽车与信号塔的距离最近 B．时，汽车与信号塔的距离最远 C．公路与信号塔的距离约为150 m D．信号塔的高度约为250 m 【答案】AD 【分析】根据正切函数的定义，结合题图分析汽车、公路与信号塔的距离及对应时间的值，列方程求解判断即可. 【详解】由题设，其中塔高恒定，为汽车与信号塔的距离， 由图2，时，最大，即最小，故A对，B错， 对于C：汽车速度为，每5秒行驶， 令表示公路与信号塔的距离，结合题设图， 由时汽车距离最近点的行驶距离为， 此时， 而时，则， 联立两式解得，即公路与信号塔的垂直距离约为200m，C错， 对于D：代入，得，D对. 三、填空题 12．已知函数f(x)=若，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由函数， 作出函数的大致图象，如图： 即函数在上单调递减， 由可得， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 13．已知的面积为，，，则__________. 【答案】 【详解】设角所对的边分别为， 因为，所以， , 即，所以，① 又因为的面积为，，所以，得. 再由余弦定理，② 联立①②解得，即． 14．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 【答案】 【详解】由题意，则， 所以， 令，则，所以， 由可得，解得或， 由可得，解得， 所以，或， 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 又因为， 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 四、解答题 15．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 所以分位数位于第组， 设分位数为，则，解得， 所以该校学生周平均课外阅读时间的分位数为； （2）由频率分布直方图可知， 组的频率为，组的频率为， 两组频率之比为， 利用分层抽样的方法从这两组中抽取人， 则从组中抽取人，记为， 从组中抽取人，记为， 从这人中随机选出人，样本空间，共个样本点， 其中人恰好在同一组的为，共个样本点， 所以所求概率为． 16．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，用定义法证明在上单调递减． 【详解】（1）由，得方程的两根分别为、， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）当时，，则， 任取，则 ， 由，有， 得，即，所以在上单调递减． 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且.    (1)求证：平面平面; (2)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)因为平面，平面，故， 又，，，平面， 故平面，又平面， 故平面平面． （2）过点作于，过作于，连接， 由于平面平面，平面平面，平面， 故平面 又平面，故，    又，，，平面， 故平面，所以，为二面角的平面角， 设，，则，， 由， 解得：， 又， 解得：， 故在中，， 设，则， 由于，故，则， 所以，二面角的正切值的取值范围为． 18．在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 【详解】（1） ， 即 又，即得 又或； （2）由题意， 因为， 所以，解得， 又因为， 所以或，因为，， 所以是以为直角的直角三角形； （3）角为钝角，， 由余弦定理得：， 角为钝角，，即， . 19．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【详解】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期开学练习卷（03） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （测试范围：人教A版必修1、必修2.（安徽省适用）） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对100位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，这组数据的平均数和中位数的大小关系为（   ） A.平均数=中位数 B．平均数<中位数 C．平均数>中位数 D．无法确定 5．早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（    ） A． B． C． D． 6．设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值为（    ） A．2 B． C． D． 8．设，对于给定的实数，若，则我们就把整数m叫做距实数最近的整数，并把它记为，现有关于函数的四个命题： ①＝－； ②函数的值域是； ③函数是奇函数； ④函数是周期函数，其最小正周期为1.其中，真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 10．在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不包含端点)，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得直线与AC所成角为 B．不存在点P，使得平面APD1平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点P，使得直线垂直于平面 11．如图1，为测量某垂直于地面的信号塔的高度，某同学坐在一辆匀速缓慢行驶的汽车内，每5 s测量一次该信号塔的仰角（即图1中的），并将测量结果记录于图2所示的方格表中，其中取第一个记录点为初始时刻．已知汽车行驶于一条水平、笔直的公路上，且速度为，则以下说法正确的有（     ） A．时，汽车与信号塔的距离最近 B．时，汽车与信号塔的距离最远 C．公路与信号塔的距离约为150 m D．信号塔的高度约为250 m 三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f(x)=若，则实数a的取值范围是_____． 13．已知的面积为，，，则__________. 14．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 四、解答题。本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图求出的值，并用样本数据估计该校学生周平均课外阅读时间的分位数； (2)用分层抽样的方法从，两组中抽取人，再从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率． 16．（本小题15分）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，用定义法证明在上单调递减． 17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且. (1)求证：平面平面; (2)当时，求二面角的正切值的取值范围． 18．（本小题17分）在中，角A，B，C所对的边分别为，若 (1)若，求角； (2)若，，判断的形状； (3)在（1）条件下，若角为钝角，求面积的取值范围. 19．（本小题17分）对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $