第一、二章 阶段性检测 2026-2027学年北师版八年级数学上册

**基本信息** 北师版八年级数学上册第一、二章阶段性检测，以勾股定理实际应用（如梯子下滑、蚂蚁爬行）和数学文化（秦九韶公式）为载体，考查实数概念与几何直观，体现抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|无理数判断、立方根性质|第7题数值转换器考查运算能力| |填空|6/18|勾股定理应用、秦九韶公式|第12题走捷径问题培养应用意识| |解答|8/72|方程求解、折叠问题、公式化简|第24题阅读理解式化简提升推理能力|

第一、二章阶段性检测2026-2027学年北师版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中， 属于无理数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， 那么这棵树折断之前的高度是（   ）    A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 3．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 4．在中，，，，则正方形的面积为（   ） A．81 B．144 C．225 D．169 5．若实数、、满足，则的算术平方根是（   ） A ． 36 B ． C ． 6 D ． 6. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m， 这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（   ） A．5m B．6m C．3m D．7m 7．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 8.如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径， 一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 9. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时 （即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直， 则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 10． 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．请用“，，”符号比较大小： ． 12. 如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，仅仅少走了 米． 13．计算： ． 14． 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A， 则点A表示的数是____________．    15． 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠， 使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 16． 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式， 也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c， 则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，， 则△ABC的面积为 ．    三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解下列方程： (1) (2) 18．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米． 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米， 顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 19．计算： (1)； (2)． 20. 如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角） 按此方式继续画下去：根据图中所标数据． (1) 填空：＝______，＝______； (2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所， 某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度， 他们进行了如下操作： ① 测得水平距离的长为米； ② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③ 牵线放风筝的小明的身高为米． (1) 求风筝的垂直高度； (2) 如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 22. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ∵， (1) 请你帮助小明接着完成这道题； (2) 请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ______； ② 计算： 23. 如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F， 若AB＝4，BC＝8． （1）求DF的长； （2）求△DBF和△DEF的面积； （3）求△DBF中F点到BD边上的距离． 24．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，， 这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，， 即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1） ； （2） ． 模型应用： （3） 在中，，，，那么边的长为多少？ （直接写出结果，结果化成最简） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一、二章阶段性检测2026-2027学年北师版八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中， 属于无理数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可． 【详解】在实数，，0.3，，，，0.3737737773…(每相邻两个3之间依次多一个7)中，属于无理数的有，，0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）共3个. 故选C. 2. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， 那么这棵树折断之前的高度是（   ）    A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】D 【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．在中，，，，则正方形的面积为（   ） A．81 B．144 C．225 D．169 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 5．若实数、、满足，则的算术平方根是（   ） A ． 36 B ． C ． 6 D ． 【答案】． 【解析】 由题意得，，，， 解得，，， 所以，， 所以，的算术平方根是 6 ． 故选． 6. 如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m， 这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（   ） A．5m B．6m C．3m D．7m 【答案】A 【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度． 【详解】解：设BO＝xm， 由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2， ∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2， 解得：x＝3， ， 即梯子AB的长为5m， 故选：A． 7．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 8.如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径， 一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接， ，，    ∴， 故选：C． 9. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时 （即水平距离，），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直， 则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，设，求出的长度，根据勾股定理列出方程是解决本题的关键． 【详解】设，则， 又∵， ∴ 在中，， 得： 解得： 故选B． 10． 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．请用“，，”符号比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】求出，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵18＞12， ∴， 故答案为：＞． 12. 如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，仅仅少走了 米． 【答案】4 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴仅仅少走了4米， 故答案为：4． 13．计算： ． 【答案】2 【分析】先化简，在合并同类二次根式，最后约分化简即可 【详解】； 故答案为：2 14． 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A， 则点A表示的数是____________．    【答案】 【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标． 【详解】解：长方形对角线的长：=， ∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为． 15． 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠， 使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 16． 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式， 也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c， 则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，， 则△ABC的面积为 ．    【答案】1 【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解. 【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，， 则△ABC的面积为：S==1， 故答案为1． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根． （1）直接根据平方根的定义即可得出结论； （2）先移项，再由立方根的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：， 开方得或， 解得或； （2）解：， 整理得， 开方得， 解得． 18．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米． 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米， 顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20. 如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角） 按此方式继续画下去：根据图中所标数据． (1) 填空：＝______，＝______； (2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由勾股定理求出，，，得出规律，即可得出，； （2）由三角形面积公式求出，，得出规律即可． 【详解】（1）由勾股定理的：， ， ， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）根据题意可得：， ， ， ∴． 21. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所， 某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度， 他们进行了如下操作： ① 测得水平距离的长为米； ② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③ 牵线放风筝的小明的身高为米． (1) 求风筝的垂直高度； (2) 如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 22. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ∵， (1) 请你帮助小明接着完成这道题； (2) 请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ______； ② 计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：①； ② ． 23. 如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F， 若AB＝4，BC＝8． （1）求DF的长； （2）求△DBF和△DEF的面积； （3）求△DBF中F点到BD边上的距离． 【答案】（1）5；（2）S△DBF =10，S△DEF=6；（3）F到BD边上的距离为． 【分析】（1）易证BF=FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长； （2）由折叠的性质得BE=BC=8，DE=CD=4，∠E=90°，EF=BE﹣BF=3，由S△DEFEF•DE，S△DBF=S△BDE﹣S△DEF即可得出结果； （3）由勾股定理得出BD的长，设F到BD边上的距离为h，则S△DBFBD•h，即可得出结果． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠A=90°，AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，由折叠性质得：∠DBC=∠DBE，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=FD，设AF=x，则BF=DF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2，即：42+x2=（8﹣x）2，解得：x=3，∴DF=8﹣3=5； （2）由折叠的性质得：BE=BC=8，DE=CD=4，∠E=90°，EF=BE﹣BF=8﹣5=3，∴S△DEFEF•DE3×4=6，S△DBF=S△BDE﹣S△DEFBE•DE﹣68×4﹣6=10； （3）BD4，设F到BD边上的距离为h，则S△DBFBD•h，即：104h，解得：h，∴F到BD边上的距离为． 24．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，， 这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，， 即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1） ； （2） ． 模型应用： （3） 在中，，，，那么边的长为多少？ （直接写出结果，结果化成最简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案； （2）根据完全平方公式变形即可得到答案； （3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案； 【详解】（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $