专题03 二次函数综合题角相关（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“定角-算角-列方程”三步通法为核心，系统构建二次函数角相关问题的解题体系，通过六类题型分层突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|定目标角、算已知角正切、设动点列方程（斜率/相似）|从几何直观到代数表达，建立角关系转化模型| |题型归纳|6题型（各含1典例+3变式）|角相等：共顶点/隔空型用斜率；倍数角：构造等腰/翻折；互补互余：斜率关系（反/倒）；角平分线：对称/距离公式；已知度数：正切值计算；和差：拆角用正切公式|从基础角关系到复杂综合，方法与题型精准对应，逐步提升推理能力| |压轴挑战|10道综合题|综合应用通法与题型技巧，结合平移/旋转等动态变换|对接中考压轴命题趋势，强化模型意识与创新思维|

专题03 二次函数综合题角相关 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角相等 题型二、角的倍数关系 题型三、互补和互余 题型四、角平分线相关角度问题 题型五、已知角的度数 题型六、角的和差问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 定目标角：明确题目要求的是哪个角，先在坐标系中描出顶点和两边上的定点。 2. 算已知角：求出题目中固定角的正切值（作为标尺）。 3. 设动点列方程：若动点 P 在抛物线上，设横坐标为 t，代入纵坐标。根据“等角”或“倍数角”关系，选择斜率公式或相似比例列方程，最后解方程并验根（剔除在对称轴上的无效点）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角相等 典例1 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 题型模版 1.特征：1. 共顶点型：两个角有公共顶点，通常以坐标轴或对称轴为角的一边。 2. 隔空相等型：两个角顶点不同，且均不与坐标轴平行。 3. 动点触发型：问抛物线上是否存在点 P，使得目标角等于某定角。 2.方法：角相等时，动点可能在已知直线的上方或下方。解方程得到两个根，需结合图像判断是否都在抛物线上（通常一个舍去，一个保留，或两个都保留）。当题目未明确是锐角时，正切值若为负数，需用 “补角正切互为相反数” 处理。最稳妥的是画草图，判断动点的大致象限，再确定斜率正负。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式1-2．在平面直角坐标系中，抛物线，分别交x轴于，B两点，交y轴于点C，且． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当时，连接并延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E，过点D作轴于点F，连接交y轴于点G，，点N在线段上，连接并延长交抛物线于点M，过点B作于点H，连接，当时，求点M的横坐标． 变式1-3．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二、角的倍数关系 典例1 二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为抛物线上任意一点，过点作轴于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，当点在第二象限时，求面积的最大值； (3)是否存在这样的点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：题干中明确出现角度是某角的2倍或者一半。通常涉及三个点，且其中两条边都是斜线。 2.方法：构造等腰三角形（外角定理法），利用“三角形外角等于不相邻两内角之和”，将二倍角拆成“两个小角”之和。对称翻折法（半角模型）—— 针对“一半角” 将已知大角的某一边翻折过去，构造全等。 变式1-1已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 变式1-2．已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标． 变式1-3．在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． (1)已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由； (2)已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接并延长，交该抛物线于点E．点F 是射线上一点，如果，求点F的坐标． 题型三、互补和互余 典例1 如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：互余（和为90°）：由于两角都是锐角，常出现在直角三角形或铅垂高与水平宽的组合中。互补（和为180°）：几何上常呈现为共线反向或关于竖直轴对称的形态。 2.方法：互补斜率反，互余斜率倒；先用几何定位置，再用代数联立跑。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 变式1-2．如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型四、角平分线相关的角度问题 典例1 如图1，抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)直接写出点、、的坐标：___________； (2)如图2．点是第三象限抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点，连，若为的角平分线，求点的坐标： (3)如图3，原点关于点的对称点为点，过原点的直线交抛物线于、两点（点在轴下方），连交抛物线于另一点，连接，若，求直线的解析式． 题型模版 1.特征：题干出现“AP平分∠BAC”、“P在对称轴上且到两边距离相等”，或涉及三角形内/外角平分线、内心等字眼。图形中往往有一个角，顶点常落在坐标轴或已知定点上。 2.方法：遇平分，找对称；求距离，列绝对；若遇对边用定理，坐标轴前秒反斜率。 变式1-1如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求出抛物线的表达式； (2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标； (3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过两点，且与轴交于另一点A，点为线段上（不含端点）的一个动点，过点作平行于轴的直线交线段于点，交二次函数的图象于点．    (1)当时，求线段的长度； (2)已知点是轴上的点，为的角平分线，且，求点的坐标． 变式1-3．综合与探究 如图，抛物线分别与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求点B的坐标和直线的函数表达式； (2)点P为第二象限抛物线上一点，横坐标为m，过点P作，与x轴交于点E，与y轴交于点F． ①连接，当为直角三角形时，求m的值； ②连接，，当点F在的内角的角平分线上时，请直接写出点E的坐标． 题型五、已知角的度数 典例1 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：给出一个能算正切值的角，直接用斜率。 2.方法：给度数，算正切；套斜率，联立解。特殊角用模型，纯存在找圆切。 变式1-1如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，直接写出点的坐标． 变式1-2．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B． (1)求二次函数的表达式和顶点D的坐标； (2)如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积； (3)如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围； (4)如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，已知抛物线．点在抛物线的对称轴上，是抛物线与轴的交点，为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)直接写出，的值； (2)如图，若点的坐标为，点为轴上一动点，直线与抛物线对称轴垂直，垂足为点．探求的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，连接，，若，求点的坐标． 题型六、角的和差问题 典例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接交于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上对称轴右侧一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 题型模版 1.特征：题干出现求两角之差等于定角。通常已知角是斜线角，所求角是由动点产生的新角。 2.方法：给和差，拆正切；分子加减分母乘。 遇直角看倒数，遇钝角存负号。 旋转45用全等，内角和里藏捷径。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F，连接、．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点、为轴上的动点（点在点的左侧），且，连接、．当的面积取得最大值时，求四边形周长的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得＝，当取最大值时，求的坐标； (3)把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为新抛物线上一动点并在对称轴右侧，过点作交新抛物线于点，（点在直线的上方），连接，，若．求点的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 3．如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作交于点G，作交抛物线于点H．求的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作轴于点E，连接，交于点F，连接，，探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标，点C坐标． (1)求a、c的值； (2)如图1，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，点E为抛物线顶点，轴于点F，过点P作轴于点D，与分别交于点R、H，过点H作于点G，连接，点N在的延长线上，连接分别交、抛物线于点M、Q，若，，求点Q的横坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求a，b的值； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数综合题角相关 目录 解题通法一明晰核心解法，】 助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、角相等 题型二、角的倍数关系 题型三、 互补和互余 题型四、角平分线相关角度问题 题型五、已知角的度数 题型六、角的和差问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 1.定目标角：明确题目要求的是哪个角，先在坐标系中描出顶点和两边上的定点。2.算已知角：求出题 目中固定角的正切值（作为标尺）。3.设动点列方程：若动点P在抛物线上，设横坐标为t,代入纵坐 标。根据“等角”或“倍数角”关系，选择斜率公式或相似比例列方程，最后解方程并验根（剔除在对称 轴上的无效点)。 ◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，寿实解题根基 题型一、角相等 典剑1如图，抛物线”=r+r+6与x箱交于1-1,0)，B3,0 两点，与y轴交于点C, 1/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线及直线BC的解析式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴： (3)若P为抛物线上一点，当∠CAB=∠ACP时，求点P的横坐标 y=-2x2+4x+6 BC =-2x+6 【答案】(1)抛物线的解析式为 ,直线的解析式为 (2)顶点坐标为L,8),对称轴为直线x=1: 76 3)点p的横坐标为35· 【详解】（④解，“抛物线=++6与拍交于 A(-1,0)B(3,0) y=a(x+1)(x-3) 设其解析式为 ~抛物线与y轴交于点C,令x=0得y=-3a, 又此时y=6, .-3a=6」 解得：a=-2, ∴.y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6 C 0,6) 点的坐标为 设直线8C解析式为'=mx+m(m≠0) 2/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把B3,0)、C(0,6),代入，得 [0=3m+n n=6 m=-2 解得，n=6 .直线BC的解析式为y=-2x+6 (2)解： y=-2x2+4x+6=-20x-102+8 ∴抛物线的顶点坐标为，8)，对称轴为直线x=1. (3)解：A(-L,0)、B(3,0)、C(0,6). AB=4,OB=3,OC=6. 在Rt△B0C中，BC=OB+0C2=V32+6=35 延长CP交x轴于点E, E衣 .·∠CAB=∠ACP .AE=CE, 设点E的坐标为(m,O), (m+1)2+02=m2+62 35 解得，m= 2 35 点E的坐标为，0)， 3/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CE的解析式为 =px+q(p≠0) :直线CE过点C(0,6), .9=6 又直线c6过白的0， 5 0=p2 +6 12 解得：p= 35 :直线CE的解析式为少=- x+6 35 :点P在抛物线上， -2x2+4x+6=- 35x+6 解得：x=0(为点C,含去)或=6 35 76 :点P的横坐标为35， 题型模版 1特征：1.共顶点型：两个角有公共顶点，通常以坐标轴或对称轴为角的一边。2.隔空相等型：两个角 顶点不同，且均不与坐标轴平行。3.动点触发型：问抛物线上是否存在点P,使得目标角等于某定角。 2方法：角相等时，动点可能在已知直线的上方或下方。解方程得到两个根，需结合图像判断是否都在抛 物线上（通常一个舍去，一个保留，或两个都保留）。当题目未明确是锐角时，正切值若为负数，需用 “补角正切互为相反数”处理。最稳妥的是画草图，判断动点的大致象限，再确定斜率正负。 y 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =-+r+C与轴分别交于A,B两点，与'轴交于点C. 直线y=-x+3经过B,C两点. 4/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)点P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PMLx轴于点M,交BC于点N,点D,E为'轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=1,连接PD,AE.当PN-MN取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+AE的最小值： B在(2)中PW-W取得受大值的条件下，将抛物线'=-+r+沿射线CB方向平移2 个单位长度 得到抛物线y,点K为抛物线y上的一动点.若满足∠KAB=∠BCP,请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. y=-x2+2x+3 【答案】(1) 2P2,3).s+1 BK1-2）.K(6-7) 【详解】(1)解：对于y=-x+3: 令=0，则=3，则C03刃 A少= B(3,0) 0,则=3，则 B(6.0).C0.3)f代入'=-+r+c中， 把 「-9+3b+c=0 得c=3 5/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [b=2 解得c=3, =-x2+2x+3 所以，该抛物线的函数表达式为 2②解：设P.-+2+301<),则-1+3)，M0, 此时PN=-2+3t,MN=-t+3, ∴.PN-MN=-t2+3t-(-t+3)=-2+41-3 -1<0且0<2<3， 当=2时，PW-N取得最大值，此时P(23) 对于y=-+2x+3,令y=0,则=3，名=-1，则1(-10) 点D,E为y轴上的动点，DE=1, 将1(-1,0叭向上平移1个单位长度得 A(-1,1) ∴(PD+AE)=(PD+AD)m=P=V2+1)2+3-1'=3 :.(PD+DE+AE)=13+1 (3)解： K(1,-2)K2(6,-7) 。过程如下： 广抛物线 =-x2+2x+3 2v2 沿射线C8方向平移 个单位长度得到抛物线， y=-(c-2+2(x-2)+3-2.即y=-+6x-7， :C(0,3)P(2,3) .CP∥x轴， ∠PCB=∠CBO, :∠CB0=45° 6/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PCB=45°. 分两种情况讨论： y=-x-1 ①当kk=-1时， y=-x2+6x-7, ∴.-x-1=-x2+6x-7x2-7x+6=0 ，即 x=132=6 解得： .K(1-2）K2(6-7) y=x+1 ②当kK=1时，y=-x2+6x-7, x+1=-x2+6x-7x2-5x+8=0 ，即 无解。 综上， K(1,-2)K2(6,-7) 变式1-2.在平面直角坐标系中，抛物线y=a+br+3,分别交x轴于A(-l,0),B两点，交y轴于点C, 且OB=OC E B B 州 图1 图2 图3 (1)如图1，求抛物线的解析式： (2如图2，点P在第一象限抛物线上一点，连接BC,PB,PC,设点P的横坐标为t,△PBC的面积为S, 求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在(2)的条件下，点D为第一象限内对称轴左侧抛物线上一点，当S=3(<2)时，连接PD并 7/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长与过点A且垂直x轴的直线交于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,连接FE交y轴于点G,EG=EP, 点N在线段PB上，连接GN并延长交抛物线于点M,过点B作BH⊥GN于点H,连接PH,当 ∠PHN=∠PBH时，求点M的横坐标 y=-x2+2x+3 【答案】(1)抛物线的解析式为 ； 9 2s=-32+0 2 1+V19 3)点M的横坐标为3. 【详解】(1)解：当x=0时，y=3, .C(0,3) .0C=3, ..OB=OC, B3,0), .y=ax2+bx+3 A(-1,0),B3,0) 过点 的 9a+3b+3=0 a=-1 a-b+3=0解得b=2. y=-x2+2x+3 ·抛物线的解析式为 (2)解：设直线BC的解析式为y=c+b, 3k+b=0 把点B(3,0),C(0,3)代入得，b=3 k=-1 解得，b=3, 直线BC的解析式为y=-x+3, 8/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点P作PW⊥x轴于点W,交BC于点L,过点C作CL⊥PW于点L, 设P-f+2+),则k-t+) .PI=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t, S-S.+5.m-3PI-CL+PI-W-PI 1 9 2 2 A B 今 (3)解：当S=3时，2 +21=3,6=1,6=2(舍去)， .PL,4). 过点P作PR⊥AE交AE延长线于点R,交y轴于点Z,延长FD交PR于点T,DT⊥PR,过点G作 G0⊥AE于点O, (m,-m2+2m+3） 设点 :m∠PD-7D-m2m+1:1-m,m∠Pp=级-R TP PR 2' EK=-m,ER=2-2m,AE=2+2m,AF=1+m, 3 、tan∠AEE=AE-2+2m=2 AF 1+m .G0=1 ∴.tan∠EGQ=2. ·.EO=2=PR,EP=EG, ∴Rt△PRE≌Rt△QEG, .ER=QG=1,AE=3,OG=1,∠QEG=∠RPE,∠PEG=90°， 连接PG、BG, :PZ=OG=1,GZ=OB,∠PZG=∠GOB=90°， 9/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△PZG≌△OGB, .'PG=BG 过点G作GJ⊥BP,连接W,过点J作JN⊥HW, ∠HJG=∠BJⅣ，∠HGJ=∠HBJ,GJ=BJ, .△GHW≌△BW. ..HJ=JV, .∠NHJ=∠NHW=45°， 设∠NBH=∠PHN=&,则∠PHW=∠PJH=45°+a, ∴PH=PJ=BJ, 过点P作PU⊥OB于点U, :tan∠BPU=PC=2. BU ∴.∠PBO=∠EFO」 .EF∥PB,∠BPE=90°， 延长BH交PE于点I,∠PIH=∠PHI=90°-a, PP8 m∠Pl分，B=NU+PT=N5,PI=5=PE 点E与点I重合，n∠AEB=号 3, 过点G作GS∥x轴，过点M作MS⊥GS,∠MGS=∠AEB, tan∠MGS=tan∠AEB= 设点M(a,-n+2n+3) :tan∠MGS=MS--m2+2n+2、4 GS n 3 解得n=1+V9 1-√19 3 (舍) 1+V19 点M的横坐标为3 10/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R E 变式13.如图，直线=-+3 y=-x+bx+c x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点B、C,与 x轴另一交点为A A B (1)求抛物线的解析式： (2)若点M是抛物线上的一点，使得S.wc=Sc,请求出点M的坐标； (3)点 D(2,m) 在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足 ∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. y=-x2+2x+3 【答案】1 3+V2i3+V2(3-2i3-V21 (22 2 或2 ’2 3)存在 11/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：当x=0时，y=-x+3=3 当y=0时，0=-x+3,解得x=3, (3,0)(0,3) ∴.点B、C的坐标分别为： 「-9+3b+c=0 由题意得： c=3, b=2 解得：c=3, 则抛物线的表达式为： y=-x2+2x+3 (2)S.MBc=S.o8c, ∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M,则点M为所求点， M A 、m 设直线BC的表达式为y=Pr+9, 3p+q=0 则9=3， p=-1 解得：9=3， 直线BC的表达式为：y=-x+3, 则直线m的表达式为：y=一x, 12/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立上式和抛物线的表达式得： -=-+2x+3则x=3法团 2 3+√213+√21 M M 3-213-21 即点2， 2或“22； 当M在BC上方时， 同理可得直线m的表达式为：y=-x+6, 联立上式和抛物线的表达式得：6-x=-x2+2x+3,此方程无解： M 3+√213+√21 M3-2i3-v2ī 故点2 2咸(21 2 (3)由题意可得，m=-2+4+3=3 点D2,3) 连接CD,过点D作DT⊥CB于点T,交抛物线于点A,交PB于点H, D H B ∠PBC=∠DBC, 则点T是DH的中点， 由(1)知，BC的表达式为：y=-x+3, 设点76-1+3) S.BCD -BCDT-CDx3.C= 13/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “2x3W2D7=×2x3 DT=√2 解得 .t-22+(1+3-32=(2, 解得t=1, 点702) H(0,1) 由中点坐标公式得，点 由点么、月的坐标得，直线时的表达式为：=写+1， 联立上式和抛物线的表达式得：-2+2x+3=- 3x+1,则x=3(舍去)或5， 211 则点P 3’9 题型二、角的倍数关系 典例1二次函数 =ar'+br+4(a≠0) 的图象经过点 (-4,0)，B(,0),与'轴交于点C,点P为抛物线 上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接BC. y B B 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，当点在P第二象限时，求△PAC面积的最大值； 14/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)是否存在这样的点P,使得∠DPB=2∠OCB?如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说 明理由. 【答案】但)少=-x2-3x+4 2当1=-2时. S.APC 有最大值， △PAC 面积的最大值为8 p-47825 6864)成864 【详解】(1)解：“二次函数 y=ax2+bx+4(a≠0) A(-4,0)B(1,0) 的图象经过点 16a-4b+4=0 .a+b+4=0, a=-1 解得：b=-3, 小二次函数的表达式为 =-x2-3x+4 2)解：将x= 代入y=--3x+4 ，4 ∴点C(0,4). 设直线1C所在直线的表达式 y=kx+,则 0=-4×k+b 4=b, [k=1 解得：b=4, ∴直线AC的表达式为y=x+4, 如图，设PD与线段AC交于点N, 15/154 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6,-2-3t+4) 设 :PD⊥x轴交AC于点N, .Nt,t+4) ∴.PN=yp-yw=-2-4t 过点C作CH⊥PD,则CH=-t,AD=t-4, 5.wm+5D+P.CH-PN-(4D+CH( .a=-2<0」 当=-2时， 有最大值，△P1C面积的最大值为8， (3)解：如图，设BP与y轴交于点E,连接CP,AP,BC,当P在x轴上方时， D :PD∥y轴， ∴.∠DPB=LOEB, ∠DPB=2∠BCO, ∴，∠OEB=2∠BCO .∠ECB=∠EBC, .BE=CE 16/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(0,4).B(1,0) 0C=4,0B=1, 设OE=m,则CE=BE=4-m, 在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2, .∴(4-m)2=m2+12 解得：m=5 设BP所在直线表达式为y=ax+n(k≠0)， [k+n=0 15, n= 8 5 k= 8 解得： 15, n= 8 15,15 :直线BP的表达式为y=名+8 令-x2-3x+4= 15.15 8x+ 8 17 解得：x=1,名= 8 当x= 8时，少375 17 64, P 17375 8’64 1725 此时： BD=1+ 88 PD=375 64, 25 :an∠BPD= 88 37515, 64 17/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当P在x轴下方时，如图， y D A B O 设Pk--3x+4),mB0叭， .BD=1-x,DP=x2+3x-4, &tan∠BPD=8-BD-1-x1 15DP2+3x-4=x+4, 解得：x=一 47 8, ..y=- 825 64￥ 17375 P r智 7825 综上： 864 题型模版 1特征：题干中明确出现角度是某角的2倍或者一半。通常涉及三个点，且其中两条边都是斜线。 2方法：构造等腰三角形（外角定理法），利用“三角形外角等于不相邻两内角之和”，将二倍角拆成 “两个小角”之和。对称翻折法（半角模型） 一一 针对“一半角”将已知大角的某一边翻折过去，构造 全等。 变式11已知：如图，抛物线= 2r+br+c经过点40,0，C0,2),与x轴交于另一点B,连接4C, BC. 18/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求出抛物线y=-)x+bx+C的函数表达式： 2 (2)点D为抛物线对称轴上一点，连接AD且∠CAD=45°，求点D的坐标： (3)点P为直线BC上方的抛物线上的一点，过点P作PH⊥BC于点H,连接PC,若Rt△CPH的一个锐角 等于∠ABC的2倍，请直接写出点P的横坐标. 【答案】(1)y=- 12 2*2 35 (2)点D的坐标为 26 29 (3)点P的横坐标为-2或11 【详解】(1)解：“抛物线y=一 F+加+c经过点4机.：C02 [c=2 1 ×1+b+c=0 3 b=- 解得： C=2 故抛物线的表达式为：)=-号+2 (2)解：设AD交y轴于点S,过点S作ST⊥AC于点T, 19/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△4CS中，∠CAD=45°，tan∠0AC=2.AC=1+22=V5 设ST=x=AT,则CT=2x, 则4C=r+2r=5'则r灯 3, 则4=(W2}=10 ,AO=1, 由勾股定理得；05四1，即店0， 由点A、H的坐标得， AS y=kx+b 设直线 的表达式为 把S0,写和AL,0)分别代入y=kx+b (L= 得3 0=k+b 解得，1 k=- 3 11 直线4S的表达式为：y=3x+3, 115 当术= 2时，y=-，x+= 336 35) 即点D的坐标为：2'6： 20/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：依题忘，y=-x23 x+2=-(x+4)(x-) 22 2 B(-4,0) BC y=k2x+b 设直线 的表达式为 把B(40)和C0,2)分别代入y=人x+6 0=-4k2+b2 得2=b [b2=2 1 六BC的表达式为：y=2+2, 作点C关于x轴的对称点D(O,-2),连接BD,过点C作CT⊥BD于点T, 则∠CBD=2∠ABC, 则SwBD-GTD0B。 2 即2+华xCT=4x4,则7=% V20, 16 则sin∠CBD= CT-V20_4 BC20=5 ~RtACPH的一个锐角等于∠ABC的2倍， 21/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即aH-专波 过点P作PNIy轴交BC于点N, 则∠PNH=∠BC0,BC=V4+2=25 sin∠PNH=sin∠BCO=B0-4_2V5 BC 25 5, 则PH=PNsn∠PNH=25PN, 5 设点P(m, 3 m+2), +.m2g--25-2 1 则点（ 25/1 m2-2m sin∠PCH=PH 5（2 (1 32 m+ -1m 5或3 2 2m 5 29 解得：m=-2或11， 29 即点p的横坐标为：-2或11， 变式12，已知抛物线)=-r+r+C与x轴交于点 (-1,0) 和点B,对称轴为直线=1，抛物线与y轴交 于C点 D D: B 甲 22/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作PDLx轴于D,直线BC与PD交于点E,当 △CEP是以PE为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足∠MAB=2∠ACO,求M的坐标. 【答案】)-r+2x+3 204) 9391557 34'16)或416 【详解】(1)解：由题意，得 [0=-1-b+c b 2x(1, b=2 解得：c=3, y=-x2+2x+3 ∴.抛物线的解析式为： 0,3) (2)解：由题意点C坐标为 1+1-（-1)=3 由抛物线的对称性，点B的横坐标为 (3,0) 则B点的坐标为： 设直线BC解析式为： y=kc+b(k≠0) B3.0)C0,3)代入，得 0=3k+b 3=b, 23/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=1 解得：b=3, .直线BC解析式为：y=-x+3 ∴设点P坐标为： (x,-x2+2x+3) 则点E坐标为 化，-x+3) 当△CEP是以PE为底的等腰三角形时， 点C在线段PE垂直平分线上，线段PE中点的纵坐标为3， 3 (-x2+2x+3)+(-x+3) 解得， x1=1,x2=0 (舍去)， .-x2+2x+3=-1+2+3=4, 1,4) 故P点的坐标为 (3)解：取直线x=1与x轴交点 (1,0) ,记为点D, 连CD,在CD上取点F,使得AF=AD,连A,F并延长交抛物线于点M, M F D B 由题意可知，点A,D关于Y轴对称，则有∠DAC=∠CDA,2LACO=∠DCA, AF=AD, ∴.∠AFD=∠CDA, .∠MAB=∠DCA=2∠ACO, 设直线DC解析式为： y=mx+n(m≠0) 24/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把D10.C0,3》代入，得， 0=k+b 3=b, 解得， [k=-3 b=3, ∴直线DC解析式为：y=-3x+3 x,-3x+3) 设点F坐标为 AF2=[x-(-)]+(-3x+3=(x+1'+(-3x+3.AD2=(-1-1=4. .AF AD, :x++(-3x+3y=4 解得，x=5=1(舍去)， 则点F坐标为： 设直线AM的解析式为 =ex+f(e≠0) 36 把点4(-1,0)F55代入，得 [0=-e+f 63 55e+f 。3 e= 4 解得， 3 f= 4 25/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33 AM的解析式为y= 一x+ 44, 33 当4x+-r+2x+3时， 解得七二子，x=1(舍去 939 ∴点M的坐标为4'16， 36 由对称性可知当F坐标为55)时， 直线AF与抛物线的另一个交点也满足题意， 1557 同理可以求出此时M的坐标为416 939 1557 综上，点M的坐标为4'16或4,16 变式1-3.在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y=x'+br+C上存在一点A,使点A关于坐标原点O的 对称点A'也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点. D y=-x2+2x+4 y=-x+2x+4 (1)已知点M在抛物线 上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线 是否为回归 抛物线，并说明理由： 26/154 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x2-2x+c (2)已知点C为回归抛物 的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达 式： (3)在(2)的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D.连接CO并延长，交该抛物线于点E.点 F是射线CD上一点，如果∠CFE=2∠DEC,求点F的坐标. 【答案】(1)是，理由见解析 2)y=-x2-2x+1 F 【详解】(4)点M的横坐标为2，代入》=-+2x+4得，)=-2+2x2+4=4 ∴.点M的纵坐标为4， ∴.M(2,4) ,M(2,4) M(-2,-4) 关于原点O的对称点为 当x=-2时，y=-（-2)°+2×(-2)+4=-4 所以，M'在抛物线上， y=-x2+2x+4 抛物线 是回归抛物线： 2)y=-r-2x+c=-(+1+c+1 ∴抛物线顶点坐标为C(-l,c+1). C(-1,c+1) C1,-c-1) 关于原点O的对称点为 又·点C是这条抛物线的回归点， C(L,-c-1) y=-x2-2x+c 在抛物线 上， -c-1=-12-2×1+c 解得，c=1, 27/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .y=--2x+1 (3)由(2)知抛物线'=-r-2x+ 的对称轴为直线x=1, ,抛物线与x轴的交点为D, -1,0) ∴点D的坐标为 由(2)知，c=1, -1,2) ∴点C的坐标为 设OC所在直线解析式为y=k 将C(12) 入得，-k=2,即k=-2 ∴.OC所在直线解析式为y=-2x, y=-2x 联立方程组得，y=x2-2x+1, x=1 x=1 解得，y=-2或y=2, ∴点E的坐标为山，-2)， 则有D(-1,0),C(-1,2),E1,-2), CD=2 CE=25 在射线CD上取点G,连接EG,使∠CGE=∠CED,如图， 28/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ! G 在△CED和△CGE中，∠ECD=∠GCE,∠CED=∠EGC, CG CE ·CECD ..CE2 CD.CG, :(25=2cG .CG=10, .DG=8 G(-1,-8) ∠CFE=2∠CED ∴.∠CFE=2∠CGE 又LCFE=∠FGE+∠FEG ∴.∠FGE=∠FEG ∴.FG=FE, 设F(-1,),则FG=t+8,FE=V(-1-++2} .FG=FE, .t+8=V-1-1+t+2 29/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14 解得，t= 3 题型三、互补和互余 典例1如图，抛物线y=ax+bx+2与x轴分别交于点A(-l,0),点B(点B在点A的右侧)，与y轴交于 3 点C,对称轴为直线x=2· (1)求抛物线的解析式： (2)点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PM∥x轴交BC与点M,当线段PM的值最大时，在直线 BC上找点V,连接心，使得PN-4的雀宽大防衣霜PN- 的最大值并求出点V的坐标； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点C,在新抛物线上是否存在一点Q,使∠BA0与∠OCA互补，若 存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【容案】=++2 2 (2)PN-Na 的最大值为V2。N(6-) 3存在，点的坐标为(5.2)或3-25，-1-V5) 30/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx+2 与轴分别交于点 A(-1,0) 【详解】(1)解：，抛物线 0,点B(点B在点的右侧)，与” .3 轴交于点C,对称轴为直线x=2: a-b+2=0 .b-3, 2a2 1 a2- 2 解得： 3· b= 2 3 抛物线的解析式为2之+2 3 (2)解：：对称轴为直线x=2,与x轴分别交于点4A(-1,0), B(4,0) + 对于y=2 x+2 当x=0,y=2, C(0,2) 设直线BC:y=+b, 4k+b=0 代入点B,C,则b=2 k=- 解得： b=2 1 直线BC:y= 2t+2 1 3 设Pm,2m+m+2 2 PM∥x轴， 31/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 将y=-m+m+2代入y 2 +2 1 3 则2+2=-2m+)m+2 1 2 解得：x=m2-3m, 1 Mm2-3m, bm2+三m+2, 2 ÷PM=m-m2+3m=-(m-2y+4 :当m=2,PM最大为4，此时 P(2,3) 连接AC并延长至点A,使得AC=AC,连接PA,NA', 1-1,0),B(40),C(0,2） AC2=5,BC2=20,AB2=25 .AC2+BC2=AB2, AC⊥BC, 点A,A关于直线BC对称， .AN =A'N, :PN-M=PN-sPA,当点N N,A,P 三点共线时，取得最大值， 4-1,0),c0,2),且4C=4C, 32/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PN-NA=PA=V2-1}+3-4}=2 同理可求直线PA':y=-x+5, y=-x+5 则 1 =-2+2 解得：x=6, 6-) (3)解：存在，理由如下： 在Rt△COB中，an∠CB0=C0_2-1 B042: x+3x+2=-x-3+25 原抛物线： y=-2 2 2x-2 8, 13, 225 设平移后的解析式为：y=2x-2+2m+ 8*m 225 代入C(0,2)得： 0+2j +m=2 20 + 8 解得：m=2或m=0(舍)， 1.,5241 2+2 ①当Q在x轴上方抛物线上时， :∠BAQ与LOCA互补， 33/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAQ+∠OCA=180° ,∠BAQ+∠1=180°， ∴.21=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠3=90°， .∠0AC=∠ACB=90°， A0∥BC, 设直线0：= 2x+b,代入4-1,0)，则5+b=0, 解得：b=-1 2 11 :直线40：y=-2x-2 11 y=- 2 2 则112_5 y=- 21 2 +2 x=-5「x=1 解得：y=2或y=-1(舍)， .:(5,2) ②当Q在x轴下方抛物线上时， M 91 记r轴上方抛物线的点P为品，下方抛物线的点P为2，作巴关于x轴的对称点O,则∠B10=∠B10 AO 92 则直线 与抛物线交点即为点， 34/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .g-5,2) g(5-2) 同理可求：直线4Q:y=2x+) 2 11 y=2x+2 则与抛物线联立得： 2t+2 x=-3-25 x=-3+2V3 解得： y=-1-V3或y=-1+W5 (舍)， 0(-3-25,-1-5) 综上：点的坐标为(-5,2)或3-25-1-V月) 题型模版 1特征：互余（和为90°）：由于两角都是锐角，常出现在直角三角形或铅垂高与水平宽的组合中。互补 (和为180°)：几何上常呈现为共线反向或关于竖直轴对称的形态。 2方法：互补斜率反，互余斜率倒；先用几何定位置，再用代数联立跑。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =ar+x-300)与‘转交于点(30叭、点80.与 y轴交于点C,连接AC. 35/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： 2)如图1，点P是线段AC下方抛物线上一点，过点P作PMMy轴交线段AC于点M,过点M作MN1y 轴交y轴于点N,求出PM+MN的最大值，及此时P点的坐标： y=ax2+bx-3 (3)如图2，将抛物线 沿射线4C方向平移25个单位长度得到新抛物线'，点K为新揽物线 y上一点，且满足∠ABK+∠BAC=180°，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的 求解过程. 【答案】)少=x2+2x-3 2最大值为4，P点的坐标为2，-) e8-2)或43) 【详解】(1)解：抛物线'=a+b-3a≠0)与*轴交于点4(3,0)、点B(0), [9a-3b-3=0 ∴.a+b-3=0 a=1 解得b=2 36/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六抛物线的表达式为'=r+2x-3 2)解：对于少=+2x-3 0 =-3 ，则 C0,-3) 3,0) 设直线4C:y=c+t, [-3k+t=0 则t=-3 [k=-1 解得t=-3 直线AC:y=-x-3 设Pm,m+2m-3) :PMIy轴， M(m,-m-3) :MNLy轴， :.PM+MN=-m-3-(m2+2m-3)+(←m） 整理得， PM+MN=-m2-4m=-(m+2)}2+4 :-1<0,-3<m<0 ∴.当m=-2时，PM+MN取得最大值为4， 此时点 (-2,-3) 37/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：…1(-30)）C(0,-3) ∴0A=OC=3」 ∵∠AOC=90 ∴.∠0AC=∠0CA=45°」 设点A的对应点为点F,作FT⊥x轴于点T,则△AFT为等腰直角三角形，AT=FT, T 则由题意得5=2V2 AT+FT2=AF2 、Z一—2 .点A向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点F, 而抛物线=r+2x-3=(x+1-4 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到=(+1-2)-4-2。y=2-2x-5 .∠ABK+∠BAC=180° ∠ABK=180°-∠BAC=135°， 过点K作KH⊥x轴于点H .∠KBH=180°-∠ABK=45° .KH=BH 38/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设Kk,k-2k-5）,则k-2k-=k-1 .k2-2k-5=k-1或k2-2k-5=1-k 解K2-2k-5=k-1得，k=4或k=-1(舍去)； 解k2-2k-5=1-k得，k=3或k=-2(舍去) :当k=4时，K4,3),当=3时，K(6-2) 综上：符合条件的点K的坐标为 3,-2)(4,3) 或 y=ax2+bx+ 变式1-2.如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线 与”轴交于点A、B 丙点，与'轴的正半轴交于点C.已知点1(-2,0)，点B60),连接BC ,点 B B 图1 图2 备用图 (1)求拋物线的解析式： (2)如图1，点P为抛物线第一象限内的一点，过点P作PD⊥BC于点D,求V2PD+V2BD的最大值及此 时点P的坐标： 2v2 (B)如图2，点F是线段0C的中点，将抛物线沿若射线CB的方向平移2V2 OC CB 个单位得到新抛物线，点在新 抛物线上，是否存在点Q使∠FB0+∠BC0=90°？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理 由. 39/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y= 2+2r+6 2N2PD+V5BD的最大值为16，此时点P的坐标为 2,8) B0,-2)46) 或 4a-2b+6=0 【详解】(1)解：代入4(-2,0)，B(6,0)得36a+6b+6=0, a=- 解得： b=2 :抛物线的解析式为y=一 2+2x+6. 2 (2)如图，作PG∥y轴交x轴于G,交直线BC于B, G B 令x=0,则y=6,即C0,6)】 B(6,0)C(0,6) ∴.OC=OB, 又∠B0C=90°， ∠08c=∠0cB-=×080-909）-=45. PG∥y轴， ∴.∠DEP=∠OCB=45°，∠PGB=∠COB=90°， ∴.∠GEB=180°-∠PGB-∠GBE=45°， 40/154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠GEB=∠GBE=45°， BG=GE」 ∴.△BEG是等腰直角三角形， .BE=2EG PD⊥BC .∠PDE=90°，∠DEP=45 ∴.∠DPE=180°-∠PDE-∠DEP=45°， ∴.∠DEP=∠DPE, :.DP=DE, ∴.△PDE是等腰直角三角形， ∴PE=√2PD=√2DE .2BD=2(DE+BE)=2DE+2BE PE+2EG .2PD+2BD=PE+PE+2EG=2PG 设P%+2a+6j0<m<6),， 则2G=m42m+6=m-2+8, 当m=2时，PG有最大值8，即PG≤8，此时P(2,8) .V2PD+√2BD=2PG≤2×8 V2PD+V2BD≤16 :V2PD+V2BD的最大值为16，此时点P的坐标为 2,8) ay=r+2x+6=20-2+8,F03) CB 2√2 “抛物线沿着射线的方向平移个单位， ∠CBO=45° 41/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位， 片新聪物线的解折式为：=c-46。 由(2)中的结论得，∠0CB=45°，即∠BC0=45°， '∠FBQ+∠BCO=90° ∴.∠FBQ=90°-∠BC0=45° 如图，以FB为斜边作等腰直角△FMB,设 M(m,n) C 01 F 0 B FM-MB-FB 2 B(6,0)F(0,3) FB2=32+62=45 a-6+㎡-x45 m+a-旷-分x45 9 由(m-6}+n2=m2+(m-3}得，n=2m-2代入方程组 3 m22 9 m= 2 解得： 或 9 n=- n-2 42/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线BM的解析式为y=:+b? 代入860.M[侵-引度3-》 6k+b=0 6k+b=0 了3k+b=-3或19 9 23 k+b= (2 2 1 k= 解得： 3或∫k=-3 b=-21b=18 8直线M的解析式为y三-2或y=-3r+B y=-4+6 [22 x= 3 联立1 解得「x=0或]4（结合函数图象，舍去） y=3-2 ly=-2 y=g 联立 y 26-4+6 y=-3x+18 醒得x=4或x=10(结合函数图象舍去） y=6y=-12 卫的坐标为 -2）或4,6) 变式13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线'-+伽+C与x轴交于 ,B(3,0) 两点，与y轴交于点 C,抛物线的对称轴是直线x=1. B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接BP,CP,点D,E为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下 43/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 J 方，且DE ,连接PD,BE.当△BCP的面积取得最大值时，求点P的坐标及BE+PD的最小值； (3)在(2)中△BCP CB 3√2 的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物 线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上一动点，若∠NAB+∠OCM=90°，请直接写出所有符合 条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. y=-x2+2x+3 【答案】(1) p315 55 2)24: BE+PD的最小值为4 【详解】(1)解：抛物线的对称轴是直线x=1, b =1 2x(-),解得b=2, 把B(6.0)代入y=-+2x+e, 可得0=-32+2×3+C,解得c=3, y=-2+2xr+3 (2)解：令0=-x2+2x+3, =-1,x2=3 解得 .A(-1,0) 令x=0,可得y=3, ∴.C(0,3) 44/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线BC的解析式为y=ac+b, (3,0)C(0,3 把 代入y=+b 0=3k+b 可得3=b, k=-1 解得b=3, 所以直线BC的解析式为y=-x+3, 如图，过点P作PO川y轴，交BC于点Q, S.BCP = e(s。-x_2P0 2 当PO最大时，△BCP的面积取得最大值， 设点P收-+21+)，则0t.-1+3) 0=a9-(4到=r4=f-. 3 当t=2时，ABCP的面积取得最大值， 315 此时P24 5 如图，将DP向下平移2个单位到EH,使点D与点E重合，作H关于对称轴直线x=1的对称点G,连接 EG,GB 45/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .DP+BE=EG+BE≥BG 银既平移可得3引 5V5 4 55 即BE+PD的最小值为4： (3)解：OC=OB=3, .∠CB0=45°， CB 将抛物线沿射线的方向平移 V2 个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3 个单位， --3+2-3r3-+r-15,m-m8 如图，过点M作MW上y轴，交于点J,设AN与y轴交于点O, D B 46/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C0=339 9 MJ= 44’ , 1 ∴.tan∠CMJ= 2 ∠NAB+∠OCM=90°， ∴.∠NAB=∠CMJ. 即tan∠NAB= 2, 0040- 当AN在x轴上方时， 设直线MW y=kx+b 的解析式为 把A(-1,0), 0=-k+b 可得 1 1 k22 解得 1, b2 所以百线的解新式为-宁+号 2 11 列方程2x+2 =-x2+8x-15 整理得-2x2+15x-31=0, △=152-4×(-2)×(-31)=-23<0 无解： 当4N在x轴下方时， o-). 设直线W y=k2x+b2 的解析式为 47/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 同理可得直线4N的解析式为y=- x- 22· 11 列方程2x2 =-x2+8x-15 整理得-2x2+17x-29=0, 17+V57 解得、 5-17-团 4, 4 17+5-57-21N, 17-5757-21 4,8 4 8 ◆◆ 题型四、角平分线相关的角度问题 1 典例1如图1，抛物线y=方+x-6交x轴于AB两点，交y轴于点C: A B衣 0B 图1 图2 图3 (1)直接写出点A、B、C的坐标： (2)如图2.点P是第三象限抛物线上一点，过点P作直线BC的平行线交y轴于点O,连AQ,若QP为 ∠AQC的角平分线，求点P的坐标： (3)如图3，原点O关于点C的对称点为点D,过原点的直线MN交抛物线于M、N两点（点M在x轴下 方)，连DN交抛物线于另一点E,连接ME,若∠EMN=9O°，求直线DM的解析式. 48/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案11(-60).B(6,0)C(0,-6) B)y=(25+x-12 【详解】4解：令x0:则y写+x-6=6,令y=0.则y+x-6=0.解得5=65=3 “抛物线y行+-6交：轴于AB两点，交y轴于点C, :(-6,0).B3,0)c(0,-6) 故答案为： A(-6,0)B(3,0)C(0,-6) (2)解：连接BC,设QP交x轴于点E,过E作EF⊥A0于F, Y B衣 :1(-6,0).B3,0）C0,-6) ∴OA=OC=6,OB=3,设直线BC解析式为y=a-6, 代入8(6,0)得0=3站-6，解得=2。 ∴.直线BC解析式为y=2x-6, ,过点P作直线BC的平行线交y轴于点Q, 、∠BC0=∠EO0,设直线P0解析式为y=2x+t, 49/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠BCo= OB OC ,=tan∠EQo= OE 09 OE OB 3 1 ·000C62, 设OE=x,则O0=2x,AE=OA-0E=6-x, :OP为∠AQC,EF⊥AQ,∠EOQ=90°， ..OE=EF=x, :AF=VAE2-EF3=V6-x-2=V36-12x, tan 2Q40=EF_00 ΓAFOA .tan∠QAO= 2x √36-12x6, 解得9 4习 9 4 起0R入y=20=2(,得 9 9 直线PQ解析式为y=2x+ 2 .9 y=2x+2 联立 1 y=5x2+x-6 ,解得3±35： 3 x= 2 ,点P是第三象限抛物线上一点， 2,此时y=2x+9=2x3-354915-6N5 x=3-35 9 2 2 2 2 5 _C(0,-6) (3)解：原点0关于点C0, 的对称点为点D, 50/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(0,-12) DN y=kx-12 .设直线解析式为 y=kx-12 联立 y=x+x-6整理得 31 2+(3-3k)x+18=0 XNXE=18 设直线W解析式为'=，则M(w,).N(,x) y=k,x 联立 y=+x-6:整理 3 x2+(3-3k2)x-18=01 :w=-18 w-xe=-18 XN 设xw=-xE=m 则m写+-6-- 过M作GH⊥x轴，过N作NH⊥GH于H,过E作EG⊥GH于G,则∠H=∠G=90°， H M G DY C ·∠EMN=90°， .∠NWMH=∠MEG=90°-∠EMG. &tan∠MMH=NH HM =tan∠MEG=M EG· 51/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2+m-6 ..XM-XN m2-m-6 k2xN-k2xM m-（-m) 整理得，=1， ∴直线MN解析式为y=-x, y=-x 联立 y=x+x-6整理得 ,解得 3 2+6x-18=0 x=-3±3V3 点M在x轴下方， :w=-3+35.w=-w-3-3W5 :M(3+35,3-35) D(0,-12) &设直线DM解析式为=r-2 把M(3+35,3-35)代入得3-35=(3+35)k-12,解得=25+1 直线DM解析式为'=(25+小x-12 题型模版 1.特征：题干出现“AP平分∠BAC”、“P在对称轴上且到两边距离相等”，或涉及三角形内/外角平分线、 内心等字眼。图形中往往有一个角，顶点常落在坐标轴或已知定点上。 2方法：遇平分，找对称；求距离，列绝对；若遇对边用定理，坐标轴前秒反斜率。 度过式11如图，已知抛物线”r-2r+c与产销交于点4,80)(4在°的左)，与轴交于点 C(0,3) 顶点为D 52/154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 \D ! (1)求出抛物线的表达式： (2)若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P,求点P的横坐标： (3)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M.使得以点A,C，M为顶点的三角形是以AC为腰 的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. =-x2-2x+3 【答案】(1)抛物线的表达式为 2-v2 (2)点的横坐标为 3)点M坐标为(4)或L-网)或（1,3+可)威(1,3-可) 【详解】(1)解：将 BL,0),C(0,3)代入抛物线'=-2x+c可得： a-2+c=0 0-0+c=3, a=-1 解得：lc=3, y=-x2-2x+3 抛物线的表达式 2)如图。作∠C8的角平分找交'箱下点，交锁物线 =-x2-2x+3 于点P,过点E作F11C 点 F, 53/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P E iO B .EF=OE 令y=0,则-x2-2x+3=0, 解得： x1=-3x2=1 A(-3,0) C(0,3) 0A=0C=3, ∠0CA=45°， 又：EF⊥AC, .CF=EF, 设E(0, ,则OE=EF=CF=n, .CE=VCF2+EF2=√2n 又CE=OC-OE=3-n, .3-n=V2n 解得：n=32- E(0,3V2-3 设直线4P的解折式为y=在+b,将4(-3,0），E(0,3V5-3列代入可得： 54/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-3k+b=0 0+b=3V2-3, [k=2-1 解得： b=3(2- 直线4P的解析式为-(5-小+3（巨-） [y=(2-x+3(N2-1 联立： y=-x2-2x+3 解得：x=5-1±27-10反5-1±5-2-1±5-) 2 2 ~点P在第一象限， X= -5-1+5--2-5, 2 -√2 即点的横坐标为 ； (3)解：“抛物线的表达式为 =-x2-2x+3 -2 =-1 ∴抛物线的对称轴为直线 2x(-1), M(-1,m) 设 .4C2=32+32=18.AM2=(-1+3+(m-0=m2+4CM2=(-1-0+(m-3}=m2-6m+10 如图， 55/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AY B\x M 当AC=AM时， ∴.m2+4=18 解得：m=±V14, :.Mh,4)或M(h,-4) 当AC=CM'时， .m2-6m+10=18即m2-6m-8=0, m=3±V7 解得： :M(l3+可)成Mr(-l3-可) 综上：点M坐标为L4)或-4)或L,3+可)成(-，3-可) 变式1-2.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C, 二次函数'=-r+br+ 的图象过B、C两点，且与'轴交于另一点4，点M为线段OB上（不含端点）的 一个动点，过点M作平行于》轴的直线'交线段BC于点厂，交二次函数”=-r+r+ C的图象于点E. 56/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当∠ACB=∠ECB时，求线段EF的长度； (2已知点N是'轴上的点，NF为∠EFC的角平分线，且CN=2EF,求点N的坐标. 3296 【答案】()EF的长度为9或25 2点N的坐标为0,5+42)或03+4) 【详解】(1)解：~直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C, 另=0，则y=4,即C0,4), 另少=0 B(4,0) ,则x=4,即 B(4,0)C(0,4) 将 )和 代入二次函数y=-x+bx+c 0=-42+4b+c [b=3 得4=c ,解得：c=4, “二次函数解析式为： y=-x2+3x+4 =0,则5=-1,5=4，即4(10) 另少= 设E(m,-m2+3m+4),F(m,-m+4),则EF=Vm-4m°，BC=N伞+4=4N2, cE=Vm2+(m2-3m,AC=P+4=7, MEIy轴， 57/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFM=∠OCF, .B(4,0）C(0,4 和 ,即0B=4,0C=4 ∴.OB=OC,即∠OCF=∠OBC, .∠MFB=LOBC, .∠MFB=∠CFE, .ZOBC=ZCFE, :∠ACB=∠ECB, .△ACBACEF, EF CE .BC AC, V(m2-4m 3 Vm2+(m2-3m 4v2 V17 整理得：15m2-56m+48=0, 4 12 解得：m=3或m= 5, 72 当m=4时，EF=m2-4m 32 9, 3 2 当m号时， 5 3296 EF的长度为9或25： (2)解：如图， N 为 的角平分线， M B NF ∠EFC 58/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠NFC=∠NFE, MElly轴， ∴.∠CNF=∠NFE, ∴.∠NFC=∠CNF,即CN=CF, 由a)知C0,4),设Em-+3m+4),F(m,-n+4). :CF=Vn2+n2=√2n ∴.CN=2n 点N是y轴上， N(0,4+2n） CN=2EF, .2m=2-4n, 整理得：2n2-16n+31=0 解得：n=4+2 或n=4② 2 当n=4+ 2时，即点N的坐标为(0,5+42)。 当n=4- 2时，即点v的坐标为(0,3+42)， ∴点N的坐标为0,5+4W2)度03+42 变式1-3.综合与探究 女图。能物线y+子-3分别与转交于A,巴两点（点4点巴的左侧），与维交于点C.造接 3 59/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B AC (1)求点B的坐标和直线AC的函数表达式： (2)点P为第二象限抛物线上一点，横坐标为，过点P作PF∥AC,与x轴交于点E,与y轴交于点F. ①连接BF,当△BEF为直角三角形时，求m的值； ②连接BC,EC,当点F在△BEC的内角的角平分线上时，请直接写出点E的坐标. 3 【答案】四B(2,0),y=-x-3 2)m=-6-2 3 【详解】(1)解：当y=0时，8+-3=0， 4 解方程得5=45=2 :1(-40)B(2,0) :当x=0时，y=-3, C(0,-3) 设直线AC的函数表达式为：y=ax+b, [0=-4k+b 则(-3=b 60/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=- 解方程得 4 b=-3 3 直线4C的函数表达式为：y=4X-3: (2)解：如下图所示，过点P作PH⊥x轴，垂足为H, E HA :直线4C的函数表达式为：y= x-3,PF∥AC, 41 3 :直线PF的函数表达式为：y= -x+n 30 .E 4 ，F(0,n): ①点P在第二象限， .n>-3, ,△BEF为直角三角形， 当∠BFE=90°时， :∠BFE=∠EFO+∠OFB=90°，∠EFO+∠OEF=90°，∠OFB+∠OBF=90°， ∴.∠OFB=∠OEF,∠EFO=∠OBF, ∴.△EFO∽△FBO. OF OE OB OF' ∴OF2=OB0E, 61/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (=2含 8 II=- 3 直线p的柔发表达式为：=子 ,点P在抛物线上， 383 3 4m- =三m2+二m-3 38 4 解方程得m=6+2v 3 >0舍去，m=-6-2匝 3 m=-6-2 3； ,当△BEF为直角三角形，∠BFE≠90°的情况不存在， m=-6-2i 3 ②当CF是∠ECB的角平分线时，如下图所示， E B 得∠ECF=∠FCB】 OF⊥EB, ..OE =OB=2, .E(-2,0) 当EF是∠BEC的角平分线时，如下图所示， 62/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A :∠OEF=∠FEC,∠OEF=∠OAC,∠FEC=∠ECA, ∴.LEAC=∠ECA, .AE=EC, ,设OE=a, 则AE=4-a,EC=a+9 4-a=a2+9 7 .a=8, 当BF是∠EBC的角平分线时，如下图所示，过点F作FM⊥BC,垂足为M, E B OF=FM BM=0B-2 BC-4-3 63/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设OF=a, 得FC=3-a,CM=B-2 .FC2=FM2+CM2, 3-a=a2+(i-2. 解方程得a 213-4 3 ..EF Il AC OE_OF ..OA OC' OE=OF-0A_83-16 OC 9 0 9 点(20度6s0 ◆ ◆◆ 题型五、已知角的度数 典剑1如图，已知顶点为C0-3》的抛物线"=a+6如≠0)与产轴交于4,8两点，直线'=+m过顶点 C和点B. 64/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的值： 2求函数少=ar2+ba≠0 的解析式； (3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)m=-3 ay-3 3)存在，M的坐标 为65.60或5-2) (0,-3) 【详解】(1)解：：点 在直线=x+m上， .-3=0+m, 解得：m=-3】 (2)解：由(1)可知，m=-3, ∴直线AB的解析式为y=x-3, ∴.当y=0时，x-3=0 解得：x=3, .B(3,0), 9a+b=0 将(0，-3)、3,0)代入y=ar2+b中得，b=-3 1 a=3 解得：b=-3 65/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ÷二次函数的解析式为：y=3-3。 (3)解：存在，M的坐标为 3V3,6)(3,-2) 或 ①当点M在直线AB上方时，设MC交x轴于点D, D M C .C(0,-3)B3,0 ∴.0B=OC=3. .∠0CB=∠OBC=45°， :∠MCB=15°， .∠ODC=∠OBC+∠MCB=45°+15°=60°， ·→>==③ tan603 DV3,0) CD y=kx+b 设直线解析式为 [3k+b=0 .b=-3, ∫k=3 解得：=-3， ·直线CD解析式为y=V5r-3 66/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=3x-3 联立直线CD与抛物线解析式得： -3 x=3V5x2=0 解得：y=6,2=-3(与点C重合，舍去)， M,(3V3,6) ②如图，当点M在直线AB下方时，设MC交x轴于点E, :.∠OEC=∠OBC-∠MCB=45°-15°=30°， OE=OC 3 =3√5 tan30°√5 3 :E35,0 CE y=k2x+b2 设直线的解析式为 35k2+b2=0 ∴b2=-3 3 解得： b,=-3, 直线CE的解析式为上』 3t3 5 y= x-3 3 联立直线 与抛物线解析式得： CE y3r-3 x=3 x3=0 解得：y=-2,2=-3(与点C重合，舍去)， 67/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4，V5,-2) 综上所述：存在点M,使得∠MCB=15°，M的坐标为 35,6)(5,-2) 或 题型模版 1特征：给出一个能算正切值的角，直接用斜率。 2方法：给度数，算正切；套斜率，联立解。特殊角用模型，纯存在找圆切。 变式1-1如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 =ax2+bx+c(a≠0) c(3,6) 的顶点坐标为 并与'轴交 B(0,3) 于点 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP=2,求△ABP的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D,直接写出D点的坐标 【答案】(1)y=- +2x+3 81 2)8 aD3+35,-3) 【详解】(1)解：：抛物线顶点坐标为 (3,6) 68/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·设抛物线解析式为'=a(x-3)+6 :抛物线与》轴交于点 (0,3) :3=a×(0-3}+6 解得：as-1 39 ∴抛物线的解析式为y=一 x2+2x+3 2四解：连接P0,设P写n+2n+3 1 B :B(0,3) 顶点C36) .OB=3,OA=3,AC=6, ,点P位于第一象限， 1 3 .S△Bpo=×3xn=3n 2 2 1.。1 9 S.APO= 3x/ n2+2n+3=- （3 2 S.ABO 2x3x3=9 1 S.4BP=S.BOP+S.4OP-S.4B0 69/154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 1 =2”+ n2+3n+ 99 2厂2 1 9 1 92,81 =2-2+8, 9 81 当” 2时，S,ap的最大值为8： (3)解：存在， 设+21+3>3)， 过D作对称轴的垂线，垂足为G, B A G D ∠DGC=90° C(3,6) ,顶点 .DG=t-3, c=6-(+2+3--2+ ,在RtACGD中，∠DGC=90°，∠ACD=30°， ..CD=2DG, :CG=VCD-DG2 =(2DG)-DG2 =3DG :-2+3=5-3), 4-3+355=3 (舍去)， 70/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当1=3+35时，3+21+3=-3+33+23+3)+3=3 点D的坐标为 3+35,-3) 变式1-2.如图1，二次函数y=ar+br+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C(0, -3),直线1经过点B. 图1 图2 图3 图4 (1)求二次函数的表达式和顶点D的坐标： (2)如图2，当直线1过点D时，求△BCD的面积； (3)如图3，直线1与抛物线有另一个交点E,且点E使得∠BAC-∠CBE>45°，求点E的横坐标m的取值 范围： (4)如图4，动点F在直线I上，作∠CFG=45°，FG与线段AB交于点G,连接CG,当△ABC与△CFG相 似，且SCG最小时，在直线I上是否存在一点H,使得∠PHG=45°存在，请求出点H的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】(1)二次函数的表达式为y=x2-2x-3,顶点D的坐标为(1，-4) (2)2 2 3)-3<m<2 618918 4存在，点H的坐标为：(5,5)或(5,5) 【详解】(1)解：看，，二次函数y=ar+br+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(3,0), ∴.设y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入， 得：-3=a(0+1)(0-3), 解得：a=1, 71/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x-3,顶点D的坐标为(1，-4)： (2)解：设直线I交y轴于点M,如图2， 设直线I的解析式为y=+d,把B(3,0),D(1,-4)代入， [3k+d=0 得：k+d=-4, 「k=2 解得：d=-6, B 图2 ∴.直线1的解析式为y=2x-6, 令x=0,得y=-6, ∴.M(0,-6), ..CM=3,OM=6,OC=3,OB=3, 1 ..SABCD=S4OBM-S4OBC-S4CDM=2x3x6-2 x3x3-2 x3x1=2: (3)解：B(3,0),C(0,-3),∠BOC=90°， ..OB=OC=3, ∴.∠OBC=∠BCO=45°， 如图3，连接AC,在y轴上取点N(O,-9),连接BN交抛物线于点E',过点C作CLx轴交BN于点 L, 在线段OC上截取CK=CL,连接BK交抛物线于点B, 0A 1 OB 3 1 0C30N93 72/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA OB OC ON ∵∠AOC=∠BON=90°， 图3 ∴.△AOC-△BON, ∴.∠OAC=∠OBN,即∠BAC=∠OBN, ∴.∠BAC-∠CBN=∠OBC=45°， 设直线BN的解析式为y=x+,把B(3,O),N(0,-9)代入，得： 3e+f=0 1f=-9, e=3 解得： f=-9, ∴直线BN的解析式为y=3x-9, y=3x-9 联立方程组，得：y=x2-2x-3, x=2 x=3 解得：y=-3或y=0 ∴.E(2,-3)； CLx轴， ∴点L的纵坐标为-3， .3x-9=-3, 解得：x=2, 73/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .L(2,-3), .CL=2, ∴.CK=2 .K(0,-1), 设直线BK的解析式为y=x+n,把B(3,O),K(O,-1)代入，得： 3m+n=0 n=-1, 1m= 解得： 3 n=-1 .直线BK的解析式为y=3x-1, 1 联立方程组，得： y=3- y=x2-2x-3 x=- 2 3 解得： 「x=3或 11, y=0 y=1 9 2 11 E”(3,9) CLx轴， ∴.∠BCL=∠OBC=45°=∠BCK, 在△BCL和△BCK中， CL=CK ∠BCL=∠BCE BC=BC ∴.△BCL≌△BCK(SAS), ∴.∠CBK=∠CBE,即∠CBK=∠CBN, '∠BAC-∠CBN=∠OBC=45°， .∠BAC-∠CBK=45°， 74/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠BAC-∠CBE>45°， 2 ·点B的横坐标m的取值范围为3<M<2; (4)解：过G作GR⊥直线1于R,过H作HT⊥x轴于T,过F作FW⊥x轴于W,如图4， A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), ..AC=v 10,AB=4,BC=3 2,∠ABC=45°， ∠CFG=45°，△ABC与△CFG相似， ∴.∠ABC=∠CFG,点F对应点B,边AC对应边CG, :SCFG最小，且△CFG与△ABC相似，形状不变， 边CG最小，即CG⊥x轴，G与O重合，CG=CO=3, 分两种情况： ACABBC ①当△ABC-AGFC时，CGFG CF 10.4_32 ∴.3FGCF, 6V10 95 .FG=5,CF=5, 设F(m,)，而G(0,0),C(0,-3), m+-; m2+(n+3)2=( 18 m= 5 解得： 6 5 e 6 18 (5,-5),Om=5,w=5 3 :.BW=OW-OB= 75/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 RABm中，tan 2B=FW=号2 BW 5 Rt△GRB中，tan∠GBR=tan∠FBW=2,即GR=2BR, 5 2W5 ∴.cos∠GBR=5,sin∠GBR=5, 又BG=3, 3W5 6W5 ∴.BR=5,GR=5, ∠FHG=45°，GR⊥直线1于R, 6√5 ∴.HR=GR=5, 9W5 ∴.BH=HR+BR=5, 5 25 Rt△BHT中，tan∠GBR=2,cos∠GBR=5,sin∠GBR=5, 59 2518 ..BT=BH.5 =5,HT=BH.5 =5, 6 ∴.GT=GB-BT=5, 618 H(5,5), CF FG CG ②当△ABC-△CFG时，AB=BC=AC CF FG 3 .43210 76/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6W5 95 ∴.CF=5,FG=5, 189 设F(5,),方法同①可得F(5,-5), 3 9 BW=5,FW=5, ,∴.tan∠FBW=3, 918 同①方法可得H(5,5), 618918 综上所述，点H的坐标为：（5,5)或(5,5)，· A 图4 变式1-3.如图，已知抛物线 我=++. 点A(1,2)在抛物线的对称轴上， B05 4 是抛物线与Y轴 的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C. D B C (1)直接写出h,k的值； (2如图，若点D的坐标为 ,m）,点为'轴上一动点，直线水与抛物线对称轴垂直，垂足为点K.探 77/154 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求D水+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点O的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图，连接AD,AC,若LDAC=60°，求点D的坐标. 【答案】(1)h=1,k=1 a作在，最小值为7+1.0》 aD25-14) 【详解】1)解：“点 A(-1,2) 在抛物线的对称轴上， 抛物线的对称轴为直线=-1， ∴h=l. 1 y=4(x++k, 5 :B04)是抛物线与y轴的交点， 5 +k= 4 4 .k=1: (2)解：存在最小值，理由如下： 由4)可知，y=x++1, “点D是抛物线上一点，坐标为 3,m) m=4×(3+1y+1=5, D(3,5) 1 作C点关于直线x=一2的对称点C',连接CD交抛物线对称轴于点K,连接CQ, 78/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由对称性可知，CK=CQ .DK+K0+0C=DK+K0+CKCD+K0 当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即DK+KO+C的值最小， ~抛物线的对称轴为直线x=-1,QK与抛物线对称轴垂直， K0=1, :D(3,5)CD1x轴， .C(3,0) ∴.C(-4,0) ∴.C'D=V3+4)}+(5-0)2=√74 ∴.DK+KQ+QC √74+1 的最小值为 设直线CD的解析式为y=a+b, -4k+b=0 3k+b=5, 解得： 20· b= 7 520 :.直线CD的解析式为y= + 7 ,2015 令x=-1,则y=-+ 777, 79/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ) da). ,5】 5)2 BE :∠DAC=60°， DE-(4D.sim60 CE-(4C-ADcos60)-C 4 DE2+CE2=AD2+AC2-AC.AD -4-后o+子jw-a*-+旷 而CD=DE2+CE2, m=±2√5-1 解得： D在第一象限，则m>0, :m=23-1 D25-14) 80/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆◆ 题型六、角的和差问题 典例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 、y=m2+bx-4(a≠0)与'轴负半轴交于 A-2,0),与轴正半 轴交于点B,与y轴交于点C,且OB=2OC,连接BC 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段BC下方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点D,点M,N为抛物线对称轴上的动点 PD （点N在点M的下方)，且MN=2,连接BM,PN:当OD取得最大值时，求点P的坐标及 BM+NP-MN的最小值； PD (3)在(2)中OD取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线CB方向平移2W5个单位长度 得到抛物线y,点Q为点P的对应点，点N为抛物线y'上对称轴右侧一动点.若∠CBQ=∠BCN+45°， 请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 12_3、 【答案】)y=4-2-4: 2P(4-6):BM+NP-N的最小值为：2-2： 51+√249V249-145 )点N的坐标为9+V33,5+33)或7 49 81/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0B=8,OC=4,∠x0y=90°， 根据勾股定理， BC=OB2+0C2=45 sin∠OcB=OB2W5 BC ，cos∠0cB=0C=V5 BC 5 4 又将艳物线=-40射线C8方向平移25个单位长度得到聪物线y ·向右平移25×25 4个单位长度，向上平移25x5 2个单位长度， 2新的抛物线y:少=x-7乃- 4 :点为点P的对应点，由2)得P(4,-6), :(8-4) :B80).C0,-4) .B0y轴，CQ‖x轴，B0=4,C9=8, .∠BQC=90°， 阔，百质少-女子时-矿号5出点0经银00，有吸c0上我-肉 使得QH=BQ, H(4-4) VA :QH=B0,∠BQC=90° 82/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△BQH为等腰直角三角形， ∴.∠HB0=∠BHQ=45o :∠CBQ=∠BCN+45°=∠CBH+45° ∴.∠BCN=∠CBH, 若N在射线CB的上方， ∠BCN=∠CBH, .CN∥BH, 如图，过点C作CN防交--子于点N VA 设直线BHy=x+6(k≠0) k2=1 将H(4,4),B(8,0)代入y=kx+b,解得：1b=-8, ∴直线BH:y=x-8, CN∥BH, .设直线CN:y=x+b, 将C0-4 代入’=x+6,解得4=4， ∴直线CW:y=x-4, 将直线CN:y=-4y少=-7-联立 则：-4=x-7- 4,整理得：x2-18x+48=0 解得：=9+3.飞=9-V5丽 (舍) 83/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :y=9+3-4=5+53 :N9+v33,5+V53 【详解】(1)少=r+bx-4 当x=0时，x=4,即C(0,-4) .0C=4, .OB=20C, ÷OB=8,即B80) :抛物线y=ax+bx-4与x轴交于4(-2,0)、B(8,0)两点， 将4(-2,0).B(8,0)代入y=ar2+b-4中， 1 a=- 4 4a-2b-4=0,解得： 3 b=- 64a+8b-4=0 能物线的表达式为：y=-x-4 (2)如图，过点P作PF⊥x轴交x轴于点F,与BC交于点E, “设直线BC:y=x+b(化≠0) 将c0,-4)°B80)代入y=k+b解得： 2 b=-4 84/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·直线BC:y 24 ,点P是线段BC下方抛物线上的一动点， 2p-40<p<8) 时p- ,PF⊥x轴，OC⊥x轴， PF∥OC, ∴.△PED∽△OCD, ·PD PE YE-ye224、1 1 OD OC y. +4p2.-+ 4 16 16 1 :16 <0 PD ∴当p=4时，OD有最大值， P4-6) y=x-3 4 -44x-3-2 ∴.对称轴直线x=3, 如图，作点P(46)关于直线x=3的对称点点P(2,-6),将点B(8,0)向下平移2个单位长度得点B'(8-2) 连接BP与对称轴直线x=3交于点N',点N'向上平移2个单位长度得M',连接NP、B'N、P'N, B B ,P关于直线x=3的对称点P', 85/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .N'P'=N'P, :点B80 向下平移2个单位长度得点B'(8,-2),点N向上平移2个单位长度得M, .BB'llMN',BB'=MN', 四边形BB'NM'为平行四边形， .BM'=B'N', .B'P'=B'N'+N'P'=BM'+N'P, NB'+NP≥B'P', :当P、N、B三点共线时，NB+NP有最小值，最小值为B'P',且N、M与N、M'重合， :.B'P'=BM'+NP=V8-2}'+(-2+6}=213 .BM+NP-MN 213-2 的最小值为： (3)若N在射线CB的上方略： 若N在射线CB的下方， 如图：作∠B0=2C:与-7-4于点，GN与M交于点T:过r作7G⊥c0文C0 点G, .B(8,0).H44) 、.BH=V8-4)}2+(0+4}=42 ,TG⊥C0,∠BH0=45°， :△TGH为等腰直角三角形， ∴.TG=HG 设TG=HG=m, 86/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 TH=V2m :H(4-4) ∴CH=4, .CG=4+m, ,∠BCN=∠CBH, ,CT=TB=BH-TB=4V2-√2m=√2(4-m） 在RaC7G中，TG=m,CT=2(4-m）,CG=4+m ∴根据勾股定理，CT2=7G+CG,则2(4-m订=m2+(m+4, 2 解得：m= 3 14 =x6=4+m= 3, 由(3)①得直线BH:y=x-8, 714_10 3,即(33， :设直线TC:y=kr+b(亿≠0) 1 将ca)传代入， ，解得： y=kax+b b4=-4 1 直线TC:y=7x-4, 将直线70：y4与少--号联立， 则方-4-7-子.整得：7-102x+36-0 87/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得： 古 51+V249 51-V249 7 7 (舍)， 2-4=V249-145 7 49, ·/51+N249√249-145 7 49J 51+√249√249-145 综上，点N的坐标为9+V33,5+V33)或7 49 题型模版 1特征：题干出现求两角之差等于定角。通常已知角是斜线角，所求角是由动点产生的新角。 2方法：给和差，拆正切；分子加减分母乘。遇直角看倒数，遇钝角存负号。旋转45用全等，内角和里 藏捷径。 变式11如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+r+3与x轴交于 -6,0).BL,0)两点，与y轴交 于点C D B (1)求抛物线的解析式； (2)连接BC,点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D,点E是抛物线对称 轴上一动点，EFLy轴，垂足为点F,连接DF、PE.当PD取得最大值时，求点P的坐标及 DF-EF+PE的最小值； 88/154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在(2)中PD取得最大值的条件下，将抛物线 y=ax2+bx+ 沿射线4C方向平移得到新抛物线’，平 移后点P恰好落在y轴上，点是新抛物线y上一动点，点H'是原抛物线顶点H的对应点，连接HH', 将线段HH′绕着点H'逆时针旋转90°得到线段HH”,若∠HH"K=∠CAB+∠OCB,请直接写出所有符合 条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程， 【答案)少三-号x2-3x+3 2 √38775 2)P(-3,6), 142 尚 √3129-231 5)249 2 8 将能的线=-+3引 2t 2 +8沿射线AC方向平移得到新抛物线 广，平移后吉P怡好落在y轴上，且A-6,0,C0,3)P-3,)28 3 ∴.平移方式为将抛物线y=ax2+bx+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到新抛物线 y, --3++号 2+ 2 图.过友比作G锦，G10于友G,1G于L连桃H.取M2温 连接CM,过 点M作MN⊥BC于点N, 89/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H(K D MO B ∴.∠HEH'=∠HFH"=90°， 由旋转性质得∠HHH”=90°，H'=HH”, .∠EHH'=∠FHH"=90°-∠EHH,∠HH"H'=45°， △HEH'≌△H'FH"(AAS) 3 :.FH'-EH=7.FH"-EH'=3. r28 37 3 OA2,an∠Mco=OM_2_1 tan∠CAB=OC=1 0C=3=2 .∠CAB=∠MCO. sSa-CoBM=8chw。 在Rt△BC0中，BC=VCO+B0=i而 ..MN-3V10 在R△MNB中，BN=VBM2-MN= 4 .CN-BC-BN-VIO-1030-MN 44 90/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.aCMN是等腰直角三角形，即∠MCN=45°， ∠HH"K=∠CAB+∠OCB. ∴.LCAB+∠OCB=∠MCO+∠OCB=∠MCN=45°， :.∠HH"K=∠CAB+∠OCB=45°， K161 情况1：当点在直线m”上方时，K与H重合，则(28 情况2：当点K在直线HH”下方时，∠HHK=∠HH'+∠HK=90°=∠HHH”,则HK∥HH∥AC, 371 设直线K的西数解析式为y=2+,则82×2+9，解得：9= 29 8 129 ·直线HK的函数解析式为y=2x+ 8 .1,29 y= 2*+ 8 联立方程组，得 y'=- 2 2 x=-V3l 2 解得： 29-231 (另一组解不符合题意，舍去)， y= 8 3129-2√31 2 8 签上所达，满足条作的K的型标为()）。太（宜9 V329-231 8 【详解】(1)解：“抛物线’=+r+3与x轴交于 (-6,0).B,0)丙点， 将1(-60)B10 代入抛物线， 36a-6b+3=0 得：a+b+3=0, 91/154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a= 2 解得： 5 b 之整物线解析式为=了-昌+3 (2)解：如图，过点P作PF⊥x轴交AC于点F,过点D作DG⊥PF于点G, VA D ∴.DG∥AB,PF∥OC,∠PGD=∠COB=LCOA=LDGF=90°， :PD∥BC, ∴.∠DPG=∠BCO,∠GDF=∠CAO, △PGD∽aCOB,△DGF∽△AOC, DG OB 1 GF OC 1 ·PGOC3,DGOA2' 设GF=a,则DG=2a,PG=6a,PF=PG+GF=7a, PD=PG+DG=(6aY+(2a)-20a-20pF 7 当PF最大时，PD最大， C(0,3) 令=0，y=3,则 设直线AC的解析式为y=c+t, 1 6k+1=0,解得 k三 2, t=3 t=3 ·直线4C的解析式为y=2x+3, 92/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P-m+3水6<m<0).则F+ 1 ·2<0, 当m=3时p取大做北时m-0+(3-(3到3=6 P(-3,6) 5 由抛物线解析式可知，抛物线对称轴为x=一2 ~点E是抛物线对称轴上一动点，EF⊥y轴，垂足为点E, .EF= 2 设直线BC的解析式为y=cx+d, 3=d c=-3 0=c+d,解得d=3, .直线BC的解析式为y=-3x+3, ,PD∥BC, ∴.kac=kpp=-3 设直线PD的解析式为y=-3x+b, 6=-3×(-3)+b 将点P代入得： 解得：b=-3, 直线PD的解析式为y=-3x-3, 联立直线4C的解析式，得：3x-3 2x+3, 12 15 解得：x=一气，则y= 7 号》 93/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S 如图，将DF沿x轴方向向左平移2个单位得DE·过点P作关于x=一2的对称点p,连接DP,DP与 2交点E,作EF'⊥y轴，垂足为点F, D D E B 5915 ·DF=DE' 即点D 、14’7 :.DF-EF+PE-DF+PE-5-DE+PE-5 当点P',E,D'三点共线时，D'E+PE有最小值， 5 :点P与点p关于x=2的对称， :P(-26) PD'= -2+ 59) 15)2 14 +6 √3877 14, EF和EF'均为定值， .E'F'=EF=5 2 六DF-EF+PE的最小值为PD-EF'=387_5 142 (3)略 变式12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+br+2与'轴交于 A(-6,0),B两点，与'轴交于 94/154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C,且经过点 -2,4) V B (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP,点D、E为x轴上的动点（点E在点D的左 侧)，且DE=2,连接PE、CD.当△APC的面积取得最大值时，求四边形PCDE周长的最小值； 3)在(2)中△4P 的简积取得最大伯的条什下，将物线”=+c+2沿别线4C方向平移而 ”个单位 长度得到抛物线y,点K为抛物线y上的一动点.若∠ACO=∠KPB+45°，请直接写出所有符合条件的点 K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程. 125 【答案】y=-3-+2: 2+2+v37 B5+5或5-551+71-万 或 或 或 ;过程见解析 【详解】(1)解：~抛物线经过(6,0)与（-2,4)， 1 a=- 3 [0=36a-6b+2,解得 5 .4=4a-2b+2 b=- 3 1 抛物线表达式为：y= 3 3式+2 (2)解：如图，过P作PH∥y轴交AC于H, 95/154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O B 令x=0,则y=- x+2=2 3 3 .C(0,2) SMANC SMP SACH=PH-04=3PH ∴PH 越大， SAPc越大， 设直线4C的解析式 y=c+b(k≠0) 1 k= 2=b ,解得 3 ∴.0=-6k+b b=2 直线4C的解析式为y=3x+2, 设P写2-n+2.则m+26<m<0, p=-w-（-+2小传+-2m 30,开口朝下， :当ms、b 2a =-3时取最大值，此时P(-3,4) 将CD0DE方向平移2个单位至CE,此时C(-22）,作C(-22)关于的对称点C(-2-2,连接PC ∴CD=CE=EC, .PE+CD=PE+EC"z PC", 96/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.C四边形PEDC=PC+ED+PE+CD≥PC+ED+PC” 当且仅当P、E、C”三点共线时取得最小值， :PC"=(-3)-(-2)]+[4-(-2]=37,PC=V3-0+(4-2=13, 四边形PCDE 周长的最小值为 13+2+√37 (3)解：y 3+2 .5)249 3x 1 +2+12. 将能物能++2消射线C方向平卷而 AC 个单位长度得到抛物线， “抛物线'=ar+hr+2 y 右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到抛物线， 令y=0,则y=-x5 x+2=0 33 x1=-6x2=1 解得： .B(1,0) ①当PK与x轴的交点在负半轴时，设交点为M,此时∠BPM=∠KPB,过点P作PO⊥x轴于点O, P(-3,4) 由(2)可知， ..PO=BO=4 ∴∠BPQ=∠PBA=45° 97/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PMQ=∠BPM+45°， :∠AC0=∠KPB+45°， .∠PMQ=∠ACO 又：∠PQM=∠AOC=90°， ∴.△P2M∽aAOC, M№-P2 ”BCOA· ,M№=4 小.26 六0 0 设直线PM的解析式为 =cx+d(c≠0) -3c+d=4 c+d=0,解得： 5 c=-3 3 d=-5 PM y=-3x-5 直线 的解析式为 联立 y=-3x-5 x=5+55x=5-V55 解得： 或 ②当PK与x轴的交点在正半轴时，设交点为N,此时∠BPN=∠KPB,过点P作PO⊥x轴于点Q, 同理可证，△WPQ∽aAC0 98/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NO PO OAOC· №-4 62: ∴Ng=12, .N(9,0) :直线PN的解析式为y= 3+3. 联立 V=- x+3 3 解得： x=1+7x=1-万 或 综上所述，点K的横坐标为 +V55.5-V551+V71-V7 或 或 或 变式13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=4+r+c与x轴交于A(8,0)、B(-2,0)两点，与y轴 交于点C,连接BC,AC. A 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2物图，直线CD交'销于点D20),点P为线段4C下方獭物线上的一点，过点P作PH'轴交直线 D干点H,在直线CD上取点Q,连接Pg,使得H0=Po2PO-V5 PH 4取最大值时，求P的坐标； 99/154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3把原抛物线y=4?+r+c沿射线BC方向平移2N5个单位长度，点F为新抛物线上一动点并在对称轴 4 右侧，过点F作EFIIBC交新抛物线于点E,(点A在直线EF的上方)，连接AF,AE,若 ∠AEF+∠FAE=90°+∠OCA.求点F的坐标. 123 【答案】y=4-2-4 a"(-3) √209+727-3√209 3)点F的坐标为(8，-8)或 2 8 【详解】(1)解：：抛物线与x轴交于48,0)、8(-2,0)两点，口- 4 8能物线解折式为--42小--号4 (2)解：由(1)知，y=424 令x=0,则y=-4, c0- ,即0C=4 D(2,0) .OD=2, 如图，过点O作QE1PH交PH于点E, .OC∥PH, .∠OCD=∠QHP 100/154