专题03 数与运算的再认识（解决问题专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

该小学数学讲义围绕“数与运算的再认识”构建专项复习体系，将计数单位运用、小数分数性质等五大题型按“基础逻辑-进阶技巧”分层梳理，通过清晰的解题框架呈现知识内在联系，突出数感与抽象能力的培养。 讲义特色在于问题情境生活化，如“手机号码组成”“急救火警电话号码组数”等典例，结合统一计数单位速算、逆向推导等方法，培养运算能力与推理意识。专项训练分层设计，基础题巩固方法，拓展题提升思维，支持学生自主复习，也为教师精准教学提供依据。

专题03 数与运算的再认识（解决问题专项讲义） 题型01 运用整数、小数、分数的计数单位解决问题 题型02 运用小数和分数的性质解决问题 题型03 比较数的大小解决实际问题 题型04 运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题 题型05 运用数的一致性解决实际问题 题型01 运用整数、小数、分数的计数单位解决问题 一、运用整数、小数、分数的计数单位解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决计数相关实际问题时，先明确目标数对应的核心计数单位，先算出该计数单位对应的累加总量，再结合剩余零散的计数单位数量做合并运算，最终得到完整的数值结果。比如计算“3个十加上5个0.1的总和”，先算出3个十对应的30，再加上5个0.1对应的0.5，就能得出最终的总数值30.5。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中各部分的计数单位符合十进制或分数单位的累加规则时，可直接依托计数单位的进率口算结果，无需逐位笔算。 3、‌结果预判规律‌ 同计数单位的累加运算，最终结果的计数单位不会发生本质变化；跨计数单位换算时，结果的量级必然符合对应进率的倍数关系，解题前先预判结果的计数单位范围，避免出现单位进率混淆、不同计数单位直接错位加减的低级错误。 二、运用整数、小数、分数的计数单位解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个某计数单位的总和”的场景，直接用“计数单位数值 × 计数单位的个数”列式计算；遇到“把一个数拆成若干个指定计数单位的组合”的场景，先锁定核心的计数单位乘法模块，再匹配剩余零散计数单位的加减条件，无需反复调整拆分结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到数的组成类的复杂问题，比如计算“由4个百、6个0.01和3个组成的数的总和”，可先把所有部分统一转化为最小的计数单位做累加，再反向换算回常规数值，比逐类分步通分换算的效率更高。比如先统一到计数单位0.01，算出4个百对应40000个0.01、6个0.01对应6个0.01、3个对应37.5个0.01，累加后得到40043.5个0.01，最终换算为400.435。 3、‌场景适配技巧‌ 遇到计数单位的大小比较类题目时，无需算出完整数值，直接对比计数单位的量级即可快速判断结果。 【典例1】王老师的手机号码是一个十一位数，最高位上的数是最小的一位数，亿级里的三位数从前往后看后面一个数正好是它前面一个数的3倍，十亿位上的数比千万位上的数少2，亿位上的数比百万位上的数多1，后面的数是000979。王老师的手机号码是多少？ 【专项训练1】一个八位数其中一级上的数字正好由急救中心电话号码和0组成，另一级上的数字正好由火警电话号码和0组成。这个数可能是多少？（0不能加在电话号码的数字之间） 【专项训练2】一个百宝箱，主人忘记了密码至今尚未打开。不过主人知道这个密码是一个九位数。并且这个数的最高位和百万位上都是1，千万位和万位上都是6，亿位数字比百位数字小3，千位和十位上的数字比最大的一位数小4，其余数位上的数字是8。你能帮这位主人写出百宝箱的密码吗？ 【专项训练3】一个最高位是百位的两位小数，百位上的数是最大的一位数，且是最低位上数的3倍。已知这个小数任意相邻的三个数位上的数之和都是16，那么这个小数是多少？ 【专项训练4】由1，4，2和小数点一共可以组成多少个不同的小数？分别写出来。（数字全用上，且每个数字只能用一次） 【专项训练5】古埃及人用分子是1、分母是自然数（0和1除外）的分数作为分数单位，并用它们表示其他分数，还要求分母互不相同。例如，他们想表示，不用“”而是用“”表示，按照古埃及人的表示方法，分数可以怎么表示？你有几种表示方案？ 【专项训练6】明明打算5天完成180道口算题，每天做的题数一样，已经做了3天，做了这些口算题的几分之几？还剩几分之几没做？ 题型02 运用小数和分数的性质解决问题 一、运用小数和分数的性质解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托小数的基本性质、分数的基本性质，先锁定核心的等值变形规则，先完成数的等值转化，再代入后续运算，最终得到符合要求的结果。比如计算小数与分数的混合运算时，先根据性质把小数改写为等值分数，或把分数改写为等值小数，再统一形式完成运算。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中的小数、分数符合性质的变形规则时，可直接口算完成等值转换，无需复杂通分或笔算。 3、‌结果预判规律‌ 依托小数、分数的性质做等值变形时，数的实际大小完全保持不变，仅改变数的书写形式，解题前先预判变形前后数值相等，避免出现变形后数值大小改变的低级错误。 二、运用小数和分数的性质解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“小数末尾补0/去0”的场景直接用小数的基本性质完成等值改写，遇到“分数约分、通分”的场景直接用分数的基本性质调整分子分母，先锁定核心的性质变形模块，再匹配后续运算要求，不用反复调整数的形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到小数、分数比大小的复杂问题，可先依托性质把不同形式的数统一为同分母分数，或统一为相同计数单位的小数，再直接对比分子或数位数值，比逐个计算数值的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知变形后的等值数，可反向依托小数、分数的性质反推原数的取值范围，适配各类缺条件的填空题型。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到单位换算类的小数、分数改写题时，可直接依托性质调整数的计数单位，无需改变数的实际大小。 【典例2】一个分数，分子与分母的和是72，如果分子增加5，分母减少5，那么所得的新分数约分后是，原来这个分数是多少？ 【专项训练1】五（1）班组织“预防溺水，珍爱生命”主题班会。这节主题班会40分钟，其中看防溺水警示片用了小时，讲解防溺水知识用了小时，剩下的时间畅谈感受，畅谈感受用了多长时间？ 【专项训练2】在进行分数，的比较大小时。小方说：因为，所以和分数单位也一样。你同意他的说法吗？请说明理由。 【专项训练3】实验小学3月份开展“书香校园——阅读名著”活动，调查结果显示五（2）班中喜欢看《水浒传》的有28人，其余的32人喜欢看《西游记》，这个班喜欢看《西游记》的人数是全班人数的几分之几？ 【专项训练4】淘气去书城买书，看到下面两本书价格分别是15.08元和15.80元。淘气说：这两本书单价中的“0”去掉后，大小都不变。你认为他的想法对吗？请说明你的理由。 【专项训练5】用两个6，三个0和小数点写出符合要求的小数。（每个数字都要用上，且只能用一次，每小题写出两个答案即可。） （1）可以去掉两个“0”而大小不变的小数。 （2）一个“0”都不能去掉的小数。 【专项训练6】一个四位小数，十分位上的数是4，百分位上的数与十分位上的数的和是9，千分位上的数比百分位上的数小3，其余数位都是0。 （1）写出这个数并读一读。 （2）将这个数化简并读一读。 题型03 比较数的大小解决实际问题 一、运用比较数的大小解决实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意提取所有待比较的数，先统一数的表现形式，再按照对应规则对比出数的大小顺序，最终匹配问题要求的排序、择优类结论。比如购物场景中先提取3款商品的单价，统一为小数形式后对比大小，就能直接选出价格最低的商品。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待比较的数是同分母分数、同整数位小数时，可直接口算对比核心数位的数值，无需完整通分或换算。 3、‌结果预判规律‌ 统一形式后的数，大小对比结果必然和实际数量的多少完全对应，解题前先预判排序结果的量级范围，避免出现数位对齐错误、不同类型数直接错位对比的低级错误。 二、运用比较数的大小解决实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“选最大/最小量”的场景直接按规则对比所有候选数锁定极值，遇到“按数量多少排序”的场景先统一形式再按要求排列顺序，先锁定核心的数的对比模块，再匹配问题的实际需求，不用反复调整数的转换形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多组不同类型数的批量对比问题，比如对比3名选手的得分（含整数、小数、分数），可先把所有数统一转化为同数位的小数，再直接按数位从高到低对比排序，比逐个通分换算的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知数的大小排序结果，可反向反推空缺数位的取值范围，适配各类缺条件的填空题型。比如已知3.□6>3.573.□6>3.57，可直接根据小数大小对比规则，快速推出方框里最小能填6，无需逐个试数。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际场景的“达标筛选”类题目时，无需完整排序，直接用目标阈值和所有数做单次对比，就能快速筛选出符合要求的对象。 【典例3】一个八位数，最高位是5，最低位是7，万位是3，千位是9，其余为0；另一个数由5个千万、3个万、9个千、7个一组成。比较两个数的大小。 【专项训练1】一个数有三个数级，其中一级上的数是4500，一级上的数是7000，还有一级上的数是3670。这个数最大是多少？最小是多少？ 【专项训练2】下面是河北省4个市2023年常住人口数。 市 常住人口数/人 常住人口数/万人 石家庄市 11223500 唐山市 7706000 邯郸市 9281000 保定市 9144000 （1）将各市常住人口数省略“万”位后面的尾数，并填在表中。 （2）将各市人口按从多到少的顺序排列。 【专项训练3】100米短跑比赛，四名选手的成绩如下表。第一名比第二名快了多少秒？ 姓名 李军 张亮 王阳 李林 成绩/秒 16.86 15.57 16.05 16.00 【专项训练4】在2024年巴黎奥运会上，全红婵在女子跳水10米跳台决赛中成功蝉联金牌。下面是她在决赛中5轮的跳水成绩： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 90.00分 84.80分 76.80分 92.40分 81.60分 （1）在这五轮跳水成绩中，第几轮的成绩最好？最好的成绩比最差的成绩高多少分？ （2）这五轮的总成绩是多少？ 【专项训练5】2025年西湖龙井春茶全面启动。茶农们正在采茶，王阿姨5天采茶3千克，刘阿姨7天采茶5千克。王阿姨和刘阿姨平均每天采茶多少千克？谁采茶的速度快些？ 【专项训练6】周六，小区水果店销售了一批水果，下面是三种水果的销售情况。如果你是进货员，准备多进哪种水果？写出你的理由。 种类 菠萝 桃子 葡萄 销售质量占销售总质量的几分之几 题型04 运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题 一、运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配四则运算的核心意义，先依托运算各部分的固定关系锁定已知量和未知量的对应位置，再代入对应关系式完成推导，最终算出目标未知量。比如已知两个数的和与其中一个加数，直接用“和 - 已知加数”就能快速求出另一个加数。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中各部分的数值符合四则运算的互逆规则时，可直接依托各部分关系口算结果，无需列复杂竖式运算。比如已知乘法算式中积是48、一个乘数是6，直接用“积÷乘数”的关系口算得出另一个乘数是8，不用反向试算。 3、‌结果预判规律‌ 依托四则运算各部分关系推导时，结果必然满足原式的运算逻辑，解题前先预判未知量的大致范围，避免出现“用和加加数求未知加数”这类违背运算关系的低级错误。 二、运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求部分量”的场景直接用加减法的互逆关系列式，遇到“求未知乘数/除数”的场景直接用乘除法的互逆关系推导，先锁定核心的运算意义匹配模块，再代入对应关系式，不用反复调整解题思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“错中求解”类的复杂问题，比如已知某道题看错了运算数字后得到错误结果，可先依托运算各部分的不变量反推原式中的未知量，再代入正确算式算出结果。比如小明做乘法题时把乘数3错看成8，得到错误积72，可先通过“72÷8”反推出正确的另一个乘数是9，再算出正确积27，比反向试数效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知四则混合运算的最终结果，可反向从结果倒推每一步的未知量，适配各类缺条件的还原题型。比如已知“一个数加5再乘3得到24”，可直接反向用“24÷3 -5”快速算出原数是3，无需列方程试算。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际分配类的题目时，无需复杂列式，直接依托除法的意义和“被除数=商×除数+余数”的关系，就能快速确定分配方案的边界条件。比如把40个苹果分给每盘装6个的盘子，直接用40÷6得到商6余4，就能快速确定需要7个盘子，不用逐个累加验证。 【典例4】先画树状算图，再用逆推方法算。 小胖一家去饭店给奶奶祝80大寿，有客人问小胖：“你多大啦？” 小胖出了这样一道题让客人猜：“我的年龄乘6，再加上8，就是我奶奶的岁数，猜猜，我今年几岁？” 算图：算式： 【专项训练1】大明做题时，把减数个位上的8错写成了3，把减数十位上的6错写成了0，这样算得的差是200，正确的差是多少？ 【专项训练2】在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的5倍。 （1）被减数是多少？ （2）差是多少？（画线段图解决问题） 【专项训练3】在一个减法算式中，被减数、减数、差三者相加的和是330，其中减数是70，被减数和差各是多少？ 【专项训练4】小恒在做口算时，把一个数除以6看成了乘6，结果他算出的答案是。正确的答案应该是多少？ 【专项训练5】在一个除法算式里，被除数，除数，商的和是71，已知商是7且没有余数。被除数和除数各是多少？ 【专项训练6】△、□、〇、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？ 题型05 运用数的一致性解决实际问题 一、运用数的一致性解决实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先锚定数的核心等价属性，依托整数、小数、分数在计数本质上的统一关联，先完成不同形式数的等值转换，再代入运算得到和原始场景完全匹配的结果。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待处理的数符合等值转换规则时，可直接依托数的一致性口算完成形式切换，无需复杂通分或换算。 3、‌结果预判规律‌ 依托数的一致性做转换和运算时，数的实际总量始终保持不变，仅改变书写形式，解题前先预判结果的实际数值和原始场景的总量完全匹配，避免出现转换后数值大小偏离实际总量的低级错误。 二、运用数的一致性解决实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到不同类型数的混合运算场景，直接依托数的一致性统一数的表现形式，先锁定核心的等值转换模块，再匹配后续运算要求，不用反复调整数的表达形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多单位、多形式的复杂总量计算问题，比如统计不同单位的物品总数量，可先把所有数值统一到同一个基础计数单位下完成累加，再反向转换回目标单位，比分步换算的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知转换后的数的形式，可反向依托数的一致性反推原始场景的未知总量，适配各类缺条件的实际问题。 【典例5】一片林地共80公顷，其中的种松树，种杉树。种松树和杉树一共用了多少公顷？ 【专项训练1】下温小学有男教师36人，女教师是男教师的，下温小学共有教师多少人？ 【专项训练2】小马虎将一个数除以4看成了乘4，计算后的结果是，正确的结果应该是多少？ 【专项训练3】实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【专项训练4】国庆节期间，某商场开展促销活动。一台空调的原价为2800元，商家先将价格提高，再降低进行销售。这台空调的现价是多少元？实际优惠了多少元？ 【专项训练5】学校去年的水费比前年增加了，今年开展了节约用水活动，预计水费比去年减少。已知前年的水费是1200元。乐乐说：“今年的水费预计和前年一样多，都是1200元。”乐乐说得对吗？请说明理由。 【专项训练6】小陈、小李两名工人给马路一边的绿化带做修葺工作。他们从路的两端同时相向开工，小陈每小时可以完成340米，小李每小时可以完成380米。经过1.5小时，两人刚好同时完成任务。这条绿化带一共长多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数与运算的再认识（解决问题专项讲义） 题型01 运用整数、小数、分数的计数单位解决问题 题型02 运用小数和分数的性质解决问题 题型03 比较数的大小解决实际问题 题型04 运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题 题型05 运用数的一致性解决实际问题 题型01 运用整数、小数、分数的计数单位解决问题 一、运用整数、小数、分数的计数单位解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决计数相关实际问题时，先明确目标数对应的核心计数单位，先算出该计数单位对应的累加总量，再结合剩余零散的计数单位数量做合并运算，最终得到完整的数值结果。比如计算“3个十加上5个0.1的总和”，先算出3个十对应的30，再加上5个0.1对应的0.5，就能得出最终的总数值30.5。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中各部分的计数单位符合十进制或分数单位的累加规则时，可直接依托计数单位的进率口算结果，无需逐位笔算。 3、‌结果预判规律‌ 同计数单位的累加运算，最终结果的计数单位不会发生本质变化；跨计数单位换算时，结果的量级必然符合对应进率的倍数关系，解题前先预判结果的计数单位范围，避免出现单位进率混淆、不同计数单位直接错位加减的低级错误。 二、运用整数、小数、分数的计数单位解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求几个某计数单位的总和”的场景，直接用“计数单位数值 × 计数单位的个数”列式计算；遇到“把一个数拆成若干个指定计数单位的组合”的场景，先锁定核心的计数单位乘法模块，再匹配剩余零散计数单位的加减条件，无需反复调整拆分结构。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到数的组成类的复杂问题，比如计算“由4个百、6个0.01和3个组成的数的总和”，可先把所有部分统一转化为最小的计数单位做累加，再反向换算回常规数值，比逐类分步通分换算的效率更高。比如先统一到计数单位0.01，算出4个百对应40000个0.01、6个0.01对应6个0.01、3个对应37.5个0.01，累加后得到40043.5个0.01，最终换算为400.435。 3、‌场景适配技巧‌ 遇到计数单位的大小比较类题目时，无需算出完整数值，直接对比计数单位的量级即可快速判断结果。 【典例1】王老师的手机号码是一个十一位数，最高位上的数是最小的一位数，亿级里的三位数从前往后看后面一个数正好是它前面一个数的3倍，十亿位上的数比千万位上的数少2，亿位上的数比百万位上的数多1，后面的数是000979。王老师的手机号码是多少？ 【答案】13958000979 【分析】先根据最高位是最小的一位数确定百亿位数字，再结合亿级数位的倍数关系推出亿级三个数位的数字；接着根据十亿位与千万位、亿位与百万位的数量关系，分别求出千万位和百万位的数字；最后拼接已知的后六位数字，得到完整的手机号码。 【解答】十一位数的最高位是百亿位，最小的一位数是1，因此百亿位上的数是1。 亿级的三位数从前往后依次是百亿位、十亿位、亿位，后一个数是前一个数的3倍： 十亿位上的数： 亿位上的数： 十亿位上的数比千万位上的数少2，因此千万位上的数： 亿位上的数比百万位上的数多1，因此百万位上的数： 已知后面的数是000979，将各数位数字组合。 答：王老师的手机号码是13958000979。 【专项训练1】一个八位数其中一级上的数字正好由急救中心电话号码和0组成，另一级上的数字正好由火警电话号码和0组成。这个数可能是多少？（0不能加在电话号码的数字之间） 【答案】12001190、12000119、11901200或11900120。 【分析】根据常识，急救中心电话号码是120，火警电话号码是119，均为3位数。这个数为八位数，八位数分为两级，分别是万级和个级，每级有4个数位。每一级由电话号码（3个数字）和1个0组成，共4个数字，正好填满一级。要求0不能加在电话号码数字之间，因此0只能放在电话号码的前面或后面。八位数的最高位（千万位）不能是0，即万级的第一位数字不能为0。分别考虑万级是急救号码组合还是火警号码组合的情况，列举所有可能的数。 【解答】情况一：万级由急救电话号码和0组成 万级只能是1200，个级由火警电话号码和0组成，可以是1190或0119。 组成的数为：12001190、12000119。 情况二：万级由火警电话号码和0组成 万级只能是1190，个级由急救电话号码和0组成，可以是1200或0120。 组成的数为：11901200、11900120。 答：这个数可能是12001190、12000119、11901200或11900120。 【专项训练2】一个百宝箱，主人忘记了密码至今尚未打开。不过主人知道这个密码是一个九位数。并且这个数的最高位和百万位上都是1，千万位和万位上都是6，亿位数字比百位数字小3，千位和十位上的数字比最大的一位数小4，其余数位上的数字是8。你能帮这位主人写出百宝箱的密码吗？ 【答案】161865458 【分析】根据题意，根据数位顺序表，九位数从高位到低位依次为亿位、千万位、百万位、十万位、万位、千位、百位、十位、个位。题目中已知最高位（亿位）和百万位均为1，千万位和万位均为6。亿位数字比百位数字小3，因此百位数字为1＋3＝4。千位和十位上的数字比最大的一位数（9）小4，即9－4＝5。其余数位（十万位和个位）为8。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 1＋3＝4 9－4＝5 最高位（亿位）：1 千万位：6 百万位：1 十万位：8 万位：6 千位：5 百位：4 十位：5 个位：8 答：能帮这位主人写出百宝箱的密码是161865458。 【专项训练3】一个最高位是百位的两位小数，百位上的数是最大的一位数，且是最低位上数的3倍。已知这个小数任意相邻的三个数位上的数之和都是16，那么这个小数是多少？ 【答案】934.93 【分析】首先根据“最高位是百位的两位小数”确定该数包含的数位；其次根据“最大的一位数”确定百位数字，再利用倍数关系求出最低位（百分位）数字；最后利用“任意相邻的三个数位上的数之和都是16”这一规律，通过对比相邻数位组的和，推导出十位、个位和十分位上的数字，从而组成这个小数。 【解答】确定数位顺序：因为这个数最高位是百位，且是两位小数，所以数位从高到低依次是：百位、十位、个位、十分位、百分位。其中最低位是百分位。 最大的一位数是，所以百位上的数是。已知百位上的数是最低位上数的倍，即百位上的数是百分位上数的倍。百分位上的数：； 根据“任意相邻的三个数位上的数之和都是16”可知：百位上的数＋十位上的数＋个位上的数＝；十位上的数＋个位上的数＋十分位上的数＝。对比以上两个关系式，十位和个位是公共部分，所以百位上的数等于十分位上的数。所以十分位上的数：； 同理可知：十位上的数＋个位上的数＋十分位上的数＝，个位上的数＋十分位上的数＋百分位上的数＝，对比可知，十位上的数等于百分位上的数。十位上的数：； 个位上的数：； 组成小数：百位是，十位是，个位是，十分位是，百分位是。这个小数是。 【专项训练4】由1，4，2和小数点一共可以组成多少个不同的小数？分别写出来。（数字全用上，且每个数字只能用一次） 【答案】一共可以组成12个不同的小数。分别是14.2，1.42，12.4，1.24，41.2，4.12，42.1，4.21，21.4，2.14，24.1，2.41。 【分析】先有序写出由1、4、2可以组成的所有三位数，然后在这些三位数的十位数字的右下角点上小数点，得到能组成的所有一位小数；最后在这些三位数的百位数字的右下角点上小数点，得到能组成的所有两位小数。 【解答】如图：   整数   142    124    214     241    412    421 一位小数   14.2    12.4     21.4     24.1    41.2    42.1 两位小数   1.42    1.24    2.14     2.41    4.12    4.21 答：一共可以组成12个不同的小数。分别是14.2，1.42，12.4，1.24，41.2，4.12，42.1，4.21，21.4，2.14，24.1，2.41。 【专项训练5】古埃及人用分子是1、分母是自然数（0和1除外）的分数作为分数单位，并用它们表示其他分数，还要求分母互不相同。例如，他们想表示，不用“”而是用“”表示，按照古埃及人的表示方法，分数可以怎么表示？你有几种表示方案？ 【答案】方案一： 方案二： 方案三： 种 【分析】需要根据题中古埃及分数要求，把拆成若干个分子为、分母互不相同且不为、的自然数的分数之和。解题关键在于保持分母不变，将分子拆分成若干个互不相同的数，且这些数必须是的因数，以便约分后分子变为，的因数有、、、、、，从中选取和为的组合即可得到不同的表示方案 【解答】方案一：将拆分为与的和，和均为的因数 ，所以，分母和互不相同，符合要求。 方案二：将拆分为与的和，和均为的因数。 ，所以，分母和互不相同，符合要求。 方案三：将拆分为、与的和，、、均为的因数。 ，所以，分母、和互不相同，符合要求。 答：分数可以表示为或或（答案不唯一） 【专项训练6】明明打算5天完成180道口算题，每天做的题数一样，已经做了3天，做了这些口算题的几分之几？还剩几分之几没做？ 【答案】做了；还剩没做 【分析】已知明明打算5天完成180道口算题，且每天做的题数一样，把这些口算题的总数看作单位“1”，可得每天做的题数占总题数的1÷5＝；那么3天做的题数为3个，即；单位“1”表示5个，那么还剩下5－3＝2个，即。 【解答】1÷5＝ 做了3天，即3个，也就是做了 5－3＝2（个） 还剩2个，即没做。 答：做了这些口算题的，还剩没做。 题型02 运用小数和分数的性质解决问题 一、运用小数和分数的性质解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先依托小数的基本性质、分数的基本性质，先锁定核心的等值变形规则，先完成数的等值转化，再代入后续运算，最终得到符合要求的结果。比如计算小数与分数的混合运算时，先根据性质把小数改写为等值分数，或把分数改写为等值小数，再统一形式完成运算。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中的小数、分数符合性质的变形规则时，可直接口算完成等值转换，无需复杂通分或笔算。 3、‌结果预判规律‌ 依托小数、分数的性质做等值变形时，数的实际大小完全保持不变，仅改变数的书写形式，解题前先预判变形前后数值相等，避免出现变形后数值大小改变的低级错误。 二、运用小数和分数的性质解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“小数末尾补0/去0”的场景直接用小数的基本性质完成等值改写，遇到“分数约分、通分”的场景直接用分数的基本性质调整分子分母，先锁定核心的性质变形模块，再匹配后续运算要求，不用反复调整数的形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到小数、分数比大小的复杂问题，可先依托性质把不同形式的数统一为同分母分数，或统一为相同计数单位的小数，再直接对比分子或数位数值，比逐个计算数值的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知变形后的等值数，可反向依托小数、分数的性质反推原数的取值范围，适配各类缺条件的填空题型。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到单位换算类的小数、分数改写题时，可直接依托性质调整数的计数单位，无需改变数的实际大小。 【典例2】一个分数，分子与分母的和是72，如果分子增加5，分母减少5，那么所得的新分数约分后是，原来这个分数是多少？ 【答案】 【分析】分子增加5、分母减少5时，分子与分母的和不变，先根据新分数的分子分母的比，用按比分配的方法求出新的分子和分母，再倒推得到原来的分数。 【解答】分子增加5，分母减少5，分子与分母的和仍为72。 1＋5＝6 新分子：72×＝12 新分母：72×＝60 原分子：12－5＝7 原分母：60＋5＝65 答：原来的分数是。 【专项训练1】五（1）班组织“预防溺水，珍爱生命”主题班会。这节主题班会40分钟，其中看防溺水警示片用了小时，讲解防溺水知识用了小时，剩下的时间畅谈感受，畅谈感受用了多长时间？ 【答案】小时 【分析】解题时先统一时间单位，将总时长40分钟换算为以小时为单位的分数，再用总时间依次减去两项活动的用时，即可得到畅谈感受的时间。 【解答】（小时） （小时） 答：畅谈感受用了小时。 【专项训练2】在进行分数，的比较大小时。小方说：因为，所以和分数单位也一样。你同意他的说法吗？请说明理由。 【答案】不同意；理由见详解 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。分数单位是由分母决定的，与分数的大小无关。虽然根据分数的基本性质，和的大小相等，但两者的分母不同。的分母是3，的分母是6，分母不同则分数单位不同。据此判断小方的说法是否正确。 【解答】不同意。 理由如下： 的分母是3，所以它的分数单位是；的分母是6，所以它的分数单位是。 因为，所以和的分数单位不一样。 虽然，但它们的分数单位不同，小方的说法是错误的。 【专项训练3】实验小学3月份开展“书香校园——阅读名著”活动，调查结果显示五（2）班中喜欢看《水浒传》的有28人，其余的32人喜欢看《西游记》，这个班喜欢看《西游记》的人数是全班人数的几分之几？ 【答案】 【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。所以，用喜欢看《西游记》的人数除以全班总人数，求出占全班人数的几分之几，最后将结果约分为最简分数。 【解答】28＋32＝60（人） 32÷60＝＝ 答：这个班喜欢看《西游记》的人数是全班人数的。 【专项训练4】淘气去书城买书，看到下面两本书价格分别是15.08元和15.80元。淘气说：这两本书单价中的“0”去掉后，大小都不变。你认为他的想法对吗？请说明你的理由。 【答案】淘气的想法不对。理由：只有小数末尾的“0”去掉后，小数的大小才不变。15.08中的“0”不在小数末尾，去掉后数的大小会改变；15.80中的“0”在小数末尾，去掉后数的大小不变，因此不是两本书的单价去掉“0”后大小都不变。 【分析】依据小数的性质，小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。分别判断两个价格中的“0”是否在小数末尾，进而判断去掉“0”后大小是否改变，验证淘气的说法。 【解答】略 【专项训练5】用两个6，三个0和小数点写出符合要求的小数。（每个数字都要用上，且只能用一次，每小题写出两个答案即可。） （1）可以去掉两个“0”而大小不变的小数。 （2）一个“0”都不能去掉的小数。 【答案】（1）60.600、6.0600 （2）60.006、6.0006 【分析】小数的性质，在小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变；根据这一性质，只有小数末尾的一个0或连续的几个0可以去掉，其他数位上的0不能去掉；小数的性质不适用于整数，因此，整数各数位上的0都不能去掉。 【解答】（1）可以去掉两个“0”而大小不变的小数。 60.600、6.0600（答案不唯一） （2）一个“0”都不能去掉的小数。 60.006、6.0006（答案不唯一） 【点睛】熟悉小数的性质是解答此题的关键。 【专项训练6】一个四位小数，十分位上的数是4，百分位上的数与十分位上的数的和是9，千分位上的数比百分位上的数小3，其余数位都是0。 （1）写出这个数并读一读。 （2）将这个数化简并读一读。 【答案】（1）0.4520；零点四五二零；（2）0.452；零点四五二 【分析】（1）根据题意可知，百分位上的数为：9－4＝5，则千分位上的数为：5－3＝2，依此根据对小数的数位的认识写出这个小数即可。 小数的读法是小数的整数部分按照整数的读法读整数部分，整数尾部的零不读。小数点读作点，小数部分从左到右读数字，中间的零也要读，末尾的零也要读，依此读出这个小数。 （2）根据小数的性质可知，去掉小数末尾的“0”，小数的大小不变，依此化简并根据小数的读法读出这个小数。 【解答】（1）根据分析可知，这个小数是：0.4520。 0.4520读作：零点四五二零。 （2）0.4520＝0.452； 0.452读作：零点四五二。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握对小数的数位的认识，以及应掌握小数的读法和小数的性质。 题型03 比较数的大小解决实际问题 一、运用比较数的大小解决实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意提取所有待比较的数，先统一数的表现形式，再按照对应规则对比出数的大小顺序，最终匹配问题要求的排序、择优类结论。比如购物场景中先提取3款商品的单价，统一为小数形式后对比大小，就能直接选出价格最低的商品。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待比较的数是同分母分数、同整数位小数时，可直接口算对比核心数位的数值，无需完整通分或换算。 3、‌结果预判规律‌ 统一形式后的数，大小对比结果必然和实际数量的多少完全对应，解题前先预判排序结果的量级范围，避免出现数位对齐错误、不同类型数直接错位对比的低级错误。 二、运用比较数的大小解决实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“选最大/最小量”的场景直接按规则对比所有候选数锁定极值，遇到“按数量多少排序”的场景先统一形式再按要求排列顺序，先锁定核心的数的对比模块，再匹配问题的实际需求，不用反复调整数的转换形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多组不同类型数的批量对比问题，比如对比3名选手的得分（含整数、小数、分数），可先把所有数统一转化为同数位的小数，再直接按数位从高到低对比排序，比逐个通分换算的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知数的大小排序结果，可反向反推空缺数位的取值范围，适配各类缺条件的填空题型。比如已知3.□6>3.573.□6>3.57，可直接根据小数大小对比规则，快速推出方框里最小能填6，无需逐个试数。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际场景的“达标筛选”类题目时，无需完整排序，直接用目标阈值和所有数做单次对比，就能快速筛选出符合要求的对象。 【典例3】一个八位数，最高位是5，最低位是7，万位是3，千位是9，其余为0；另一个数由5个千万、3个万、9个千、7个一组成。比较两个数的大小。 【答案】两数相等 【分析】整数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。八位数最高位是千万位，最低位是个位；5个千万就是千万位上是5，3个万就是万位上是3，9个千就是千位上是9，7个一就是个位上是7，其余数位上都写0。依次写出两个数，然后比较大小。 【解答】第一个数：50039007 第二个数：50039007 50039007＝50039007 【专项训练1】一个数有三个数级，其中一级上的数是4500，一级上的数是7000，还有一级上的数是3670。这个数最大是多少？最小是多少？ 【答案】700045003670；367045007000 【分析】一个数含有三个数级，说明该数包含亿级、万级和个级，每一级上的数均为四位数。要使组成的数最大，需将最大的数放在最高级（亿级），次大的数放在中间级（万级），最小的数放在最低级（个级）； 要使组成的数最小，需将最小的数放在最高级（亿级），次小的数放在中间级（万级），最大的数放在最低级（个级）。 先比较 4500，7000 和 3670 的大小，再根据上述原则进行排列。 【解答】比较三个数的大小：7000＞4500＞3670 最大的数：将最大的数 7000 放在亿级，4500 放在万级，3670 放在个级。 组成的数为700045003670。 最小的数：将最小的数 3670 放在亿级，4500 放在万级，7000 放在个级。 组成的数为367045007000。 答：这个数最大是 700045003670，最小是 367045007000。 【专项训练2】下面是河北省4个市2023年常住人口数。 市 常住人口数/人 常住人口数/万人 石家庄市 11223500 唐山市 7706000 邯郸市 9281000 保定市 9144000 （1）将各市常住人口数省略“万”位后面的尾数，并填在表中。 （2）将各市人口按从多到少的顺序排列。 【答案】（1）填表见详解 （2）11223500＞9281000＞9144000＞7706000 【分析】（1）省略“万”位后面的尾数，即根据千位上的数字四舍五入，如果千位上的数字大于或等于5，则向万位进1，再去掉万位后面的数字，如果千位上的数字小于5，则直接去掉万位后面的数字，再在后面添上“万”字。 （2）根据大数的比较方法，先比较位数，位数多的数就大；位数相同，再比较最高位，最高位上的数字大，这个数就大，最高位上的数字相同，再比较下一位，直到比较出大小为止。据此解答。 【解答】（1）11223500≈1122万 7706000≈771万 9281000≈928万 9144000≈914万 填表如下： 市 常住人口数/人 常住人口数/万人 石家庄市 11223500 1122 唐山市 7706000 771 邯郸市 9281000 928 保定市 9144000 914 （2）4个数中，11223500是八位数，其余3个数是七位数，则11223500最大；9281000和9144000的最高位是9，7706000的最高位是7，9＞7，则7706000最小；9281000和9144000中最高位百万位上的数字相同都是9，十万位2＞1，则9281000＞9144000； 所以，将各市人口按从多到少的顺序排列如下： 11223500＞9281000＞9144000＞7706000 【专项训练3】100米短跑比赛，四名选手的成绩如下表。第一名比第二名快了多少秒？ 姓名 李军 张亮 王阳 李林 成绩/秒 16.86 15.57 16.05 16.00 【答案】0.43秒 【分析】短跑比赛中选手用时越短跑得越快，先比较四名选手的成绩大小，确定第一名和第二名的成绩，再用第二名的成绩减去第一名的成绩，即可求出快的时间。 【解答】 （秒） 答：第一名比第二名快了0.43秒。 【专项训练4】在2024年巴黎奥运会上，全红婵在女子跳水10米跳台决赛中成功蝉联金牌。下面是她在决赛中5轮的跳水成绩： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 90.00分 84.80分 76.80分 92.40分 81.60分 （1）在这五轮跳水成绩中，第几轮的成绩最好？最好的成绩比最差的成绩高多少分？ （2）这五轮的总成绩是多少？ 【答案】（1）第四轮成绩最高；15.6分 （2）425.6分 【分析】（1）将五轮成绩进行比较，从中选择成绩最好的和最差的分别是多少，然后再求差即可。 （2）将五轮成绩加一起即可解题。 【解答】（1）92.40＞90.00＞84.80＞81.60＞76.80 92.40－76.80＝15.6（分） 答：第四轮的成绩最好，最好的成绩比最差的成绩高15.6分。 （2）90.00＋84.80＋76.80＋92.40＋81.60＝425.6（分） 答：这五轮的总成绩是425.6分。 【专项训练5】2025年西湖龙井春茶全面启动。茶农们正在采茶，王阿姨5天采茶3千克，刘阿姨7天采茶5千克。王阿姨和刘阿姨平均每天采茶多少千克？谁采茶的速度快些？ 【答案】王阿姨平均每天采茶千克，刘阿姨平均每天采茶千克；刘阿姨采茶的速度快些。 【分析】求平均每天采茶量，用采茶总质量除以采茶天数，分别求出两人的日采茶量后，通过通分比较分数大小，即可判断谁的采茶速度更快。 【解答】王阿姨平均每天采茶量：3÷5＝（千克） 刘阿姨平均每天采茶量：5÷7＝（千克） 因为，所以 答：王阿姨平均每天采茶千克，刘阿姨平均每天采茶千克；刘阿姨采茶的速度快些。 【专项训练6】周六，小区水果店销售了一批水果，下面是三种水果的销售情况。如果你是进货员，准备多进哪种水果？写出你的理由。 种类 菠萝 桃子 葡萄 销售质量占销售总质量的几分之几 【答案】准备多进葡萄。理由：因为葡萄的销售质量占销售总质量的分率最高，说明卖得最多，所以应多进葡萄。 【分析】要确定多进哪种水果，需比较三种水果的销量，销量越高的就多进。 比较、、的大小，根据分数的基本性质将它们的分母化成30而大小不变的分数，再根据“分母相同时，分子越大，分数值就越大”比较大小即可。 【解答】＝＝ ＝＝ ＞＞ ＞＞ 答：准备多进葡萄。理由略 题型04 运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题 一、运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先根据题意匹配四则运算的核心意义，先依托运算各部分的固定关系锁定已知量和未知量的对应位置，再代入对应关系式完成推导，最终算出目标未知量。比如已知两个数的和与其中一个加数，直接用“和 - 已知加数”就能快速求出另一个加数。 2、‌特殊速算技巧‌ 当算式中各部分的数值符合四则运算的互逆规则时，可直接依托各部分关系口算结果，无需列复杂竖式运算。比如已知乘法算式中积是48、一个乘数是6，直接用“积÷乘数”的关系口算得出另一个乘数是8，不用反向试算。 3、‌结果预判规律‌ 依托四则运算各部分关系推导时，结果必然满足原式的运算逻辑，解题前先预判未知量的大致范围，避免出现“用和加加数求未知加数”这类违背运算关系的低级错误。 二、运用加减法、乘除法的意义及各部分间的关系解决问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到“求部分量”的场景直接用加减法的互逆关系列式，遇到“求未知乘数/除数”的场景直接用乘除法的互逆关系推导，先锁定核心的运算意义匹配模块，再代入对应关系式，不用反复调整解题思路。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到“错中求解”类的复杂问题，比如已知某道题看错了运算数字后得到错误结果，可先依托运算各部分的不变量反推原式中的未知量，再代入正确算式算出结果。比如小明做乘法题时把乘数3错看成8，得到错误积72，可先通过“72÷8”反推出正确的另一个乘数是9，再算出正确积27，比反向试数效率高很多。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知四则混合运算的最终结果，可反向从结果倒推每一步的未知量，适配各类缺条件的还原题型。比如已知“一个数加5再乘3得到24”，可直接反向用“24÷3 -5”快速算出原数是3，无需列方程试算。 4、‌场景适配技巧‌ 遇到实际分配类的题目时，无需复杂列式，直接依托除法的意义和“被除数=商×除数+余数”的关系，就能快速确定分配方案的边界条件。比如把40个苹果分给每盘装6个的盘子，直接用40÷6得到商6余4，就能快速确定需要7个盘子，不用逐个累加验证。 【典例4】先画树状算图，再用逆推方法算。 小胖一家去饭店给奶奶祝80大寿，有客人问小胖：“你多大啦？” 小胖出了这样一道题让客人猜：“我的年龄乘6，再加上8，就是我奶奶的岁数，猜猜，我今年几岁？” 算图：算式： 【答案】见详解 【分析】先根据小胖的语言画出树状算图，再利用加、减、乘、除法各部分间的关系进行逆推计算即可。 【解答】 （80－8）÷6 ＝72÷6 ＝12（岁） 答：小胖今年12岁。 【点睛】本题考查加减乘除法各部分间的关系，解答本题的关键是掌握加减乘除法各部分间的关系。 【专项训练1】大明做题时，把减数个位上的8错写成了3，把减数十位上的6错写成了0，这样算得的差是200，正确的差是多少？ 【答案】135 【分析】把减数个位上的8错写成了3，把减数十位上的6错写成了0，说明把原本的减数68写成了3，这两个数之间的差就是少减的部分，用200减去少减的部分，得出正确的差；据此解答。 【解答】200－（68－3） ＝200－65 ＝135 答：正确的差是135。 【点睛】掌握被减数、减数与差的关系是解答本题的关键。 【专项训练2】在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的5倍。 （1）被减数是多少？ （2）差是多少？（画线段图解决问题） 【答案】（1）60； （2）10 【分析】根据题意，被减数＝减数＋差，所以被减数＋减数＋差＝被减数＋被减数 ＝120，所以被减数＝120÷2＝60；减数是差的5倍， 所以差＝60÷（5＋1）＝10。 【解答】 （1）120÷2＝60 答：被减数是60。 （2）线段图略； 60÷（5＋1） ＝60÷6 ＝10 答：差是10。 【专项训练3】在一个减法算式中，被减数、减数、差三者相加的和是330，其中减数是70，被减数和差各是多少？ 【答案】165；95 【分析】已知在一个减法算式中，被减数、减数、差三者相加的和是330，根据被减数＝减数＋差，可知被减数等于330除以2；减数已知是70，再根据差＝被减数－减数，代入数据即可解答。 【解答】由分析可知： 330÷2＝165        165－70＝95 答：被减数是165，差是95。 【专项训练4】小恒在做口算时，把一个数除以6看成了乘6，结果他算出的答案是。正确的答案应该是多少？ 【答案】 【分析】根据乘法与除法之间的关系可得，被除数为，接下来再用被除数除以除数，计算即可。 【解答】 答：正确的答案应该是。 【专项训练5】在一个除法算式里，被除数，除数，商的和是71，已知商是7且没有余数。被除数和除数各是多少？ 【答案】被除数是56；除数是8 【分析】被除数＝商×除数，被除数＋除数＋商＝71，则除数×7＋除数＋7＝71，除数＝（71－7）÷（7＋1），再用商乘除数，求出被除数即可。 【解答】据分析可知： （71－7）÷（7＋1） ＝64÷8 ＝8 7×8＝56 答：被除数是56；除数是8。 【专项训练6】△、□、〇、☆、◎各代表一个数。 （1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。求△和□的值。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160。〇是否等于◎？ 【答案】（1）△是18；□是6 （2）等于 【分析】（1）根据△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可知□＋□＋□＋□＝24，即□×4＝24，根据“因数＝积÷另一个因数”据此求出□表示的数，再把□表示的数代入△＝□＋□＋□中，求出△表示的数。 （2）已知〇＋☆＝160，◎＋☆＝160，根据“加数＝和－另一个加数”得出〇＝160－☆，◎＝160－☆，据此得出〇是否等于◎。 【解答】（1）由△＋□＝24，△＝□＋□＋□，可得：□＋□＋□＋□＝24； □＝24÷4＝6 △＝6＋6＋6＝18 答：△的值是18，□的值是6。 （2）由〇＋☆＝160可得：〇＝160－☆； 由◎＋☆＝160可得：◎＝160－☆； 所以〇＝◎。 答：〇等于◎。 题型05 运用数的一致性解决实际问题 一、运用数的一致性解决实际问题基础解题逻辑 1、‌基础计算逻辑‌ 解决实际问题时先锚定数的核心等价属性，依托整数、小数、分数在计数本质上的统一关联，先完成不同形式数的等值转换，再代入运算得到和原始场景完全匹配的结果。 2、‌特殊速算技巧‌ 当待处理的数符合等值转换规则时，可直接依托数的一致性口算完成形式切换，无需复杂通分或换算。 3、‌结果预判规律‌ 依托数的一致性做转换和运算时，数的实际总量始终保持不变，仅改变书写形式，解题前先预判结果的实际数值和原始场景的总量完全匹配，避免出现转换后数值大小偏离实际总量的低级错误。 二、运用数的一致性解决实际问题进阶解题技巧 1、‌基础应用逻辑‌ 遇到不同类型数的混合运算场景，直接依托数的一致性统一数的表现形式，先锁定核心的等值转换模块，再匹配后续运算要求，不用反复调整数的表达形式。 2、‌特殊场景速算技巧‌ 遇到多单位、多形式的复杂总量计算问题，比如统计不同单位的物品总数量，可先把所有数值统一到同一个基础计数单位下完成累加，再反向转换回目标单位，比分步换算的效率更高。 3、‌逆向推导技巧‌ 已知转换后的数的形式，可反向依托数的一致性反推原始场景的未知总量，适配各类缺条件的实际问题。 【典例5】一片林地共80公顷，其中的种松树，种杉树。种松树和杉树一共用了多少公顷？ 【答案】42公顷 【分析】这道题依据“求一个数的几分之几是多少用乘法”的分数乘法意义解题：把总面积看作单位“1”，先分别用林地总面积80公顷乘松树占比、杉树占比，算出松树和杉树各自的种植面积，再将两个面积相加，即可得到种松树和杉树的总面积。 【详解】 （公顷） 答：种松树和杉树一共用了42公顷。 【专项训练1】下温小学有男教师36人，女教师是男教师的，下温小学共有教师多少人？ 【答案】60人 【分析】已知女教师是男教师的，男教师有36人，把男教师人数看作单位“1”，那么女教师人数为男教师人数乘。即：36×＝24（人）。将男教师人数和女教师人数相加，即可得到学校教师的总人数。 【详解】36×＋36 ＝24＋36 ＝60（人） 答：下温小学共有教师60人。 【专项训练2】小马虎将一个数除以4看成了乘4，计算后的结果是，正确的结果应该是多少？ 【答案】 【分析】先根据按照乘法计算出来的结果计算，得出原来的被除数是； 再用被除数除以4计算出正确结果即可解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 答：正确的结果应该是。 【点睛】本题考查分数除法，解答本题的关键是根据错误的计算结果求出正确的被除数。 【专项训练3】实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【答案】70幅 【分析】根据题意可知，表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数占全部获奖的（－），根据分数乘法的意义，用120×（－）即可求出表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数。 【详解】120×（－） ＝120×－120× ＝90－20 ＝70（幅） 答：表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多70幅。 【专项训练4】国庆节期间，某商场开展促销活动。一台空调的原价为2800元，商家先将价格提高，再降低进行销售。这台空调的现价是多少元？实际优惠了多少元？ 【答案】2772元；28元 【分析】价格先提高，是以原价2800元为单位“1”，再降低，是以提价后的新价格为单位“1”，两次变化的单位“1”不同，不能直接抵消。需分步计算：先求提价后的价格，再在此基础上降价求现价，最后用原价减现价得实际优惠金额。 【详解】提价后的价格：2800×（1＋） ＝2800×（＋） ＝2800× ＝3080（元） 再降价后的现价：3080×（1－） ＝3080×（－） ＝3080× ＝2772（元） 实际优惠：2800－2772＝28（元） 答：这台空调的现价是2772元，实际优惠了28元。 【专项训练5】学校去年的水费比前年增加了，今年开展了节约用水活动，预计水费比去年减少。已知前年的水费是1200元。乐乐说：“今年的水费预计和前年一样多，都是1200元。”乐乐说得对吗？请说明理由。 【答案】乐乐说得不对。理由：两个的单位“1”不同，增加是相对于前年的水费，减少是相对于去年的水费，计算得今年预计水费为1188元，小于前年的1200元。 【分析】先明确两个分率的单位“1”，第一个的单位“1”是前年水费，第二个的单位“1”是去年水费，依次计算去年水费和今年预计水费，再与前年水费比较，判断说法是否正确。 【详解】去年水费： （元） 今年水费： （元） ，因此乐乐说得不对。 答：乐乐说得不对。理由：两个的单位“1”不同，增加是相对于前年的水费，减少是相对于去年的水费，计算得今年预计水费为1188元，小于前年的1200元。 【专项训练6】小陈、小李两名工人给马路一边的绿化带做修葺工作。他们从路的两端同时相向开工，小陈每小时可以完成340米，小李每小时可以完成380米。经过1.5小时，两人刚好同时完成任务。这条绿化带一共长多少米？ 【答案】1080米 【分析】根据“工作效率×工作时间＝工作总量”，先用每人每小时完成的米数乘1.5，求出两人1.5小时各自完成的米数，再相加，即是这条绿化带的全长。计算时可以根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】340×1.5＋380×1.5 ＝（340＋380）×1.5 ＝720×1.5 ＝1080（米） 答：这条绿化带一共长1080米。 学科网（北京）股份有限公司 $