第二单元 圆-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+14个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共68题】-2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图构建“圆”单元知识体系，以知识梳理模块系统呈现圆的认识、周长、面积及扇形等核心知识点，用图文结合方式梳理半径与直径关系、周长公式推导等重难点，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层设计的练习体系，14个高频考点讲练覆盖画圆、圆环面积等基础题型，10个奥数拓展题如“方中圆面积关系”培养几何直观与创新意识，真题集训分基础通关和能力提升，助力学生分层突破，教师可据此实施精准复习教学。

2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共68题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 5 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 6 高频考点四 圆的周长 错误！未定义书签。 高频考点五 半圆的周长 7 高频考点六 圆的周长的应用 8 高频考点七 含圆的组合图形的周长 8 高频考点八 圆的面积 9 高频考点九 圆的面积的应用 9 高频考点十 圆环的面积 10 高频考点十一 求最大面积 10 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 11 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 12 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 12 难点突破 奥数拓展 13 奥数拓展一 圆的周长 13 奥数拓展二 半圆的周长 13 奥数拓展三 圆的周长的应用 14 奥数拓展四 含圆的组合图形的周长 14 奥数拓展五 圆的面积 15 奥数拓展六 圆的面积的应用 16 奥数拓展七 圆环的面积 16 奥数拓展八 含圆的组合图形的面积 17 奥数拓展九 方中圆和圆中方的面积问题 17 奥数拓展十 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 18 优选真题 实战演练 19 【基础通关】 19 【能力提升】 21 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）如图中1个方格的边长是1km，点O表示“可颂蛋糕”的位置，蛋糕店周边3km的范围内可以享受免费送货上门的服务。 (1)蛋糕店的位置用数对表示为( )。 (2)请在图中表示出蛋糕店免费送货上门的范围。 (3)小丽家的位置在图中用数对表示是（8，2），她家( )享受蛋糕店免费送货的服务。（填“能”或“不能”） 【变式训练】（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南湘西·期末）十八洞景区计划建造一个智能花园，请你根据以下要求完成规划设计图。 （1）以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 （2）以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 （3）计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请说明理由。 【变式训练】（25-26六年级下·广东惠州·期末）下图是根据小可家和周围建筑物之间的位置关系画出的“雷达图”。点O表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m，由内向外，每个圆的半径依次增加200m。 （1）学校在小可家西偏（      ）（    ）°的方向上。 （2）图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，请你画出图书馆的位置，并标注名称。 （3）学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400m，请在图中画出音乐所覆盖的圆形区域。（用圆规） 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南怀化·期末）下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26六年级下·湖北随州·期末）剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）灰太狼和红太狼制定了一个捕羊新计划，它们以羊村为中心画了一个圆，他和红太郎分别从这个圆直径两端的C和D处同时出发，绕圆周相向而行，进行搜捕，他们第一次在离C点80米处的A点相遇，相遇后继续前进，第二次在离D点60米的B点相遇。那么这个圆的周长是______米。 【变式训练】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）图中线段AG表示一个圆的周长。将这条线段六等分，则与圆的直径最接近的是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 高频考点五 半圆的周长 29．（24-25六年级下·河北邢台·期末）在一个长16分米、宽8分米的长方形内，画一个最大的半圆，半圆的周长是（    ）分米。 A．50.24 B．41.12 C．25.12 【变式训练】（25-26六年级下·广东佛山·期末）篮球场的三分线由两部分组成（如下图），一部分是半径为6.75m的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长（    ）米。 A．3.14×6.75＋1.575×2 B．3.14×6.75×2＋1.575 C．3.14×（6.75＋1.575） D．3.14×6.75＋1.575 高频考点六 圆的周长的应用 【典例精讲】．（25-26六年级下·广东肇庆·期末）社区提倡“自行车＋公交”的绿色出行方式。元宝对此进行了研究。 (1)自行车前进的距离与车轮直径有关。如果车轮直径是0.6米，那么蹬一圈，自行车大约前进多少米？（得数保留整数） (2)元宝从家去学校，全程的骑自行车，剩下的路程坐公交车，结果坐公交车的路程比骑自行车的路程多2千米。元宝从家去学校有多少千米？ 【变式训练】（25-26六年级下·河北张家口·期末）数学也是可以表达“爱”的，临近毕业，小丽想用圆规为数学张老师画一幅心形祝福卡，下图是她画的设计图。如果她想在“心形”的边线处贴上一圈金丝线，需要金丝线( )厘米。（不计损耗） 高频考点七 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·河北唐山·期末）同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·辽宁大连·期中）下面面积最大的圆是（    ）。 A．半径是5厘米的圆。 B．周长是18.84厘米的圆。 C．直径是8厘米的圆。 D．在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）如图，长方形的长是15厘米，小明在这个长方形中恰好画了两个圆和一个半圆。这个长方形的周长是__________厘米，①号圆的面积是__________平方厘米。 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）某钟表的时针长6厘米，从上午7时走到晚上7时，时针针尖走过了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·山西吕梁·期末）山西的云冈石窟是中国石窟艺术的瑰宝之一，其中有一个圆形的佛龛，直径为2米，如果要在这个佛龛的底面铺上一层大理石，那么需要的大理石面积最少是( )平方米。 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河北保定·期末）求阴影部分的面积。 【变式训练】（25-26六年级下·河北邯郸·期末）计算阴影部分的面积。（单位：分米）          高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） （1）在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 【变式训练】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邢台·期末）求下图中阴影部分的面积和周长。（图中4个圆的半径均为3cm） 【变式训练】（2025·新疆喀什·小升初模拟）计算如图图形中阴影部分的面积。 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级下·福建泉州·期末）在边长4cm的正方形中画一个最大的圆（体现作图痕迹），并计算出正方形与圆之间的面积。 【变式训练】（2026·天津南开·小升初模拟）在一个圆内做一个最大的正方形，圆面积与正方形的面积比是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南信阳·期末）下面选项中，同时满足以下两个条件的图形是（    ）。 条件①：空白部分与阴影部分面积相等 条件②：空白部分与阴影部分周长不相等 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26六年级上·山东青岛·期末）画一画，填一填。 (1)请用圆规在方格图中画出与左侧完全一样的图形（阴影部分用斜线表示）。 (2)已知每个小方格的边长表示1厘米，则阴影部分的周长与圆周长的比是( )，阴影部分的面积与圆面积的比是( )。 奥数拓展一 圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 【变式训练】（25-26六年级上·浙江台州·期末）如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置大概在（    ）之间。 A．4～5 B．6～7 C．7～8 D．8～9 奥数拓展二 半圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 奥数拓展三 圆的周长的应用 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 【变式训练】（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 奥数拓展四 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】．（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【变式训练】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 奥数拓展五 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（    ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式训练】（2025·浙江温州·小升初模拟）如图，在长方形中，长是24厘米，大圆面积是（    ）cm2。 A． B． C． D． 奥数拓展六 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江台州·期末）扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为的圆盘。那么，机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（    ）。 A．0 B．172 C．344 D．688 【变式训练】（25-26六年级上·山东德州·期末）按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 （1）画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的。 （2）在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 （3）请将剩余部分涂上阴影，它的面积是（    ）平方厘米 奥数拓展七 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆·期末）如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm，面积是( )。 奥数拓展八 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 奥数拓展九 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 奥数拓展十 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 【变式训练】（24-25六年级上·天津南开·期末）下面图形中圆的周长是24cm，圆的面积等于长方形面积，阴影部分的周长是( )cm。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·陕西宝鸡·期末）如图，圆从A点开始，沿着直尺向右滚动一周到达A'点，则A'点在（    ）。 A．5和6之间 B．12和13之间 C．19之后 D．15和16之间 2．（2025·江西吉安·小升初模拟）在一张长20cm，宽8cm的长方形纸上，最多能剪（    ）个半径2厘米的圆。 A．7 B．10 C．14 D．40 3．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 4．（25-26六年级上·湖南常德·阶段检测）一个圆的直径是8厘米，它的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 5．（25-26六年级上·福建南平·期中）雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。雨滴落入一个边长是8m的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是( )m，面积是( )m2。 6．（25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测）圆的直径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·江西南昌·期末）计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 8．（25-26六年级上·广东湛江·期中）湛江三帆标志即雕塑《风正帆悬》，位于人民大道与乐山路的交叉环岛路口，建于1990年，其主体由三面高度错落（最高达30米）的弧形帆体构成，形似迎风张开的船帆，象征湛江作为滨海城市的航海文化。“三帆”雕塑底部花坛呈圆形，这个花坛的周长是251.2米，“三帆”雕塑的占地面积是多少平方米？ 9．（2025·四川德阳·小升初模拟）有一栋底面呈长方形的建筑物，长12米，宽8米，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长6米，这条狗活动区域的面积有多大？ 10．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）小亮骑行一辆车轮直径是0.6米的自行车，车轮平均每分钟转动100圈。照这样的速度，小亮骑行这辆自行车5分钟，能通过一座长1000米的桥吗？ 【能力提升】 1．（24-25六年级下·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．100名同学在操场上手拉手围成一个圆形，这个圆形的面积大于1公顷。 B．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是π:1。 C．甲在乙的南偏西50°方向100m处，则乙在甲的西偏南50°方向100m处。 D．A、B、C为三个非零数，若，则C最小。 2．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·福建三明·期末）如图，长方形的面积和圆的面积相等，长方形的周长（    ）圆的周长。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 4．（2026·西藏拉萨·小升初真题）如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm，图中所画黄金螺旋线的长度是______cm。 5．（2025·四川成都·小升初真题）圆上有一个八边形，任意两点连成线段，求从中任取两条线段，没有交点的选取方式为______种。 6．（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 7．（25-26六年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如下图，这个图形的中间是一个正方形，四周是4个圆心角为90°的扇形。数学兴趣小组发现这个图形的周长与中间正方形的边长有关。小组同学用举例子的方法进行研究，如下表： 中间正方形的边长（单位：厘米） 1 2 3 … 图形的周长（单位：厘米） 2π＋4 … (1)请将表格补全。 (2)当中间正方形的边长是n厘米时，这个图形的周长是( )厘米。 (3)小东受到启发，提出了新的猜想：“当中间正方形的边长变化时，这个图形的面积与中间正方形面积的比值不变”。你同意他的猜想吗？请说明理由。 8．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）东东订餐一个12寸的披萨（1寸长约3厘米），价格100元。付钱后，店家说：“12寸的没货了，给你换成两个6寸的吧。”东东想了想后，说：“12寸换成两个6寸的披萨，你应该要找回我50元。”你能判断出谁对吗？用你喜欢的方法解释说明。 9．（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 10．（24-25六年级下·浙江台州·期末）画一画，写一写。（每个小方格的面积表示1平方厘米） (1)画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后的图形。用数对表示旋转后C点的位置是（    ）。 (2)假设方格纸中存在一点，a为自然数，依次连接P、B、C三点，得到一个新的三角形PBC。小明认真分析后说：“三角形PBC与三角形ABC的面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ __________________________________________。 (3)按的比画出圆O缩小后的图形，使得缩小后的图形与原来的圆组成一个有无数条对称轴的图形。 (4)我国古代数学名著《九章算术》中的方田章，记载着这样一种求圆面积的方法，周径相乘，四而一。意思是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积，即。你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？ ____________________________________________。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练 共68题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 7 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 10 高频考点四 圆的周长 11 高频考点五 半圆的周长 12 高频考点六 圆的周长的应用 13 高频考点七 含圆的组合图形的周长 14 高频考点八 圆的面积 15 高频考点九 圆的面积的应用 16 高频考点十 圆环的面积 17 高频考点十一 求最大面积 18 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 20 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 21 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 23 难点突破 奥数拓展 25 奥数拓展一 圆的周长 25 奥数拓展二 半圆的周长 26 奥数拓展三 圆的周长的应用 27 奥数拓展四 含圆的组合图形的周长 29 奥数拓展五 圆的面积 31 奥数拓展六 圆的面积的应用 32 奥数拓展七 圆环的面积 35 奥数拓展八 含圆的组合图形的面积 37 奥数拓展九 方中圆和圆中方的面积问题 39 奥数拓展十 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 42 优选真题 实战演练 44 【基础通关】 44 【能力提升】 48 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）如图中1个方格的边长是1km，点O表示“可颂蛋糕”的位置，蛋糕店周边3km的范围内可以享受免费送货上门的服务。 (1)蛋糕店的位置用数对表示为( )。 (2)请在图中表示出蛋糕店免费送货上门的范围。 (3)小丽家的位置在图中用数对表示是（8，2），她家( )享受蛋糕店免费送货的服务。（填“能”或“不能”） 【答案】(1)（5，5） (2) (3)不能 【思路引导】（1）根据数对的第一个数字表示所在列，第二个数字表示所在行，用数对表示出蛋糕店的位置； （2）一个方格的边长表示1km，则3个方格的边长表示3km，据此以点O为圆心，3km为半径画一个圆，圆内即为蛋糕店免费送货上门的范围； （3）数对（8，2）表示小丽家的位置在第8列第2行，据此描出这个点，然后看它是否在所画的圆内，如果在，即可享受蛋糕店免费送货上门的服务，如果不在，则不能享受蛋糕店免费送货上门的服务，据此解答。 【规范解答】（1）蛋糕店的位置用数对表示为（5，5）。 （2）圆内面积即为蛋糕店免费送货上门的范围，画图略。 （3）小丽家的位置如上图中点B的位置，她家的位置在圆的外面，所以不能享受蛋糕店免费送货上门的服务。 【变式训练】（25-26六年级下·山西吕梁·期末）在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是( )厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 【答案】 14 7 2 【思路引导】在长方形中剪下一个最大的正方形，最大正方形的边长等于长方形的宽； 在长方形中剪下一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，再除以2即为最大圆的半径； 分别用长方形纸的长和宽除以直径求出长方向和宽方向可以剪下的圆的个数，将整数结果相乘即可得到最多剪下的圆的个数。 【规范解答】长方形纸宽14厘米，所以剪下的最大正方形边长是14厘米； 14÷2＝7（厘米），最大圆的半径是7厘米； 30÷14＝2（个）……2（厘米） 14÷14＝1（个） 2×1＝2（个），最多可以剪下2个这样的圆。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南湘西·期末）十八洞景区计划建造一个智能花园，请你根据以下要求完成规划设计图。 （1）以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 （2）以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 （3）计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请说明理由。 【答案】（1） （2） （3） （4）可以。因为自动旋转喷灌装置的射程是12米，相当于圆的半径为12米，大于花坛的半径10米。 【思路引导】由图可知，上北下南，左西右东。比例尺为1∶1000。 （1）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出入口和旗杆的图上距离，以旗杆为观测点，东偏北30°方向就是以正东方向为起始边，向正北方向偏转30°画射线，在这条射线上以旗杆为端点，截取长为4厘米的线段，并标出入口。 （2）根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出花坛的圆心与旗杆的图上距离以及直径的图上距离，再以旗杆左边6厘米处为圆心，2厘米为直径画圆。 （3）要画一个正方形，与圆形花坛形成外方内圆，正方形的边长等于圆的直径，圆的直径是2厘米。只要过圆心画水平、竖直两条直径，过两条直径的四个端点分别作所在直径的垂线，四条垂线围成的正方形就是要画的正方形。 （4）自动旋转喷灌装置的射程是12米，如果射程比花坛的半径大，就能完全覆盖；如果射程比花坛的半径小，就不能完全覆盖。根据“半径＝直径÷2”求出花坛的实际半径，再与12米比大小。 【规范解答】（1）40米＝4000厘米 4000×＝4厘米 图略 （2）60米＝6000厘米，20米＝2000厘米 6000×＝6厘米，2000×＝2厘米 图略 （3）图略 （4）20÷2＝10（米） 12＞10，能完全覆盖。 【变式训练】（25-26六年级下·广东惠州·期末）下图是根据小可家和周围建筑物之间的位置关系画出的“雷达图”。点O表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m，由内向外，每个圆的半径依次增加200m。 （1）学校在小可家西偏（      ）（    ）°的方向上。 （2）图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，请你画出图书馆的位置，并标注名称。 （3）学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400m，请在图中画出音乐所覆盖的圆形区域。（用圆规） 【答案】（1）北；60 （2） （3） 【思路引导】（1）地图上按上北下南左西右东确定方向，结合角度确定准确方向即可； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求确定相应的长度。 （3）用最远距离÷最小的圆半径，确定图上半径，画圆即可。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（1）从图上看学校在小可家左偏上60°方向，因此学校在小可家西偏北60°的方向上。 （2）600÷200＝3，图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m，即右偏下60°，从内到外第3个同心圆处。 作图略 （3）400÷200＝2 画出以图上学校位置为圆心，半径为400÷200＝2（单位）的圆即可。 作图略 高频考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南怀化·期末）下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此解答。 【规范解答】 A．如图：，每条高所在的直线都是它的对称轴，等边三角形有3条对称轴。 B．如图：，有3条对称轴。 C．如图：，有4条对称轴。 D．圆有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。 所以对称轴最多的是D选项。 【变式训练】（25-26六年级下·湖北随州·期末）剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 【答案】D 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两边能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。分别找出等腰直角三角形、半圆、长方形和正六边形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案。 【规范解答】A．等腰直角三角形是轴对称图形，只有1条对称轴； B．半圆是轴对称图形，只有1条对称轴； C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴； D．正六边形是轴对称图形，有6条对称轴。 6＞2＞1，所以对称轴数量最多的是正六边形。 高频考点四 圆的周长 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）灰太狼和红太狼制定了一个捕羊新计划，它们以羊村为中心画了一个圆，他和红太郎分别从这个圆直径两端的C和D处同时出发，绕圆周相向而行，进行搜捕，他们第一次在离C点80米处的A点相遇，相遇后继续前进，第二次在离D点60米的B点相遇。那么这个圆的周长是______米。 【答案】360 【思路引导】灰太狼和红太郎从圆直径的两端C、D同时出发，沿圆周相向行走，第一次相遇时，两人合起来一共走了半个圆的周长，此时灰太狼走了80米。到第二次相遇时，两人合走的总路程是1.5个圆的周长，合走的路程是第一次相遇时的3倍。因为两只狼的速度保持不变，所以灰太狼走的总路程就是第一次的3倍，即80×3＝240米。结合图形可以知道，灰太狼走的240米相当于半个圆周长再多60米，因此半个圆周长为240－60＝180米，圆的周长就是180×2＝360米。 【规范解答】80×3＝240（米） 240－60＝180（米） 180×2＝360（米） 【变式训练】（25-26六年级上·广东深圳·阶段检测）图中线段AG表示一个圆的周长。将这条线段六等分，则与圆的直径最接近的是（    ）。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 【答案】B 【思路引导】根据圆的周长C＝πd，直径为d，那么周长除以直径得到π。因为π的近似值是3.14，所以图中线段AG代表一个圆的周长的话，那么这个圆的直径大约是周长的三分之一，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，π大约等于3.14，周长大约是直径的三倍，（段），2段的长度和直径最接近，所以线段AC与直径最接近。 高频考点五 半圆的周长 29．（24-25六年级下·河北邢台·期末）在一个长16分米、宽8分米的长方形内，画一个最大的半圆，半圆的周长是（    ）分米。 A．50.24 B．41.12 C．25.12 【答案】B 【思路引导】计算长方形长的一半为（分米），与宽相等，因此最大半圆的直径等于长方形的长，半圆的周长为圆周长的一半加直径，代入数据计算即可。 【规范解答】 ＝25.12＋16 （分米） 半圆的周长是41.12分米。 【变式训练】（25-26六年级下·广东佛山·期末）篮球场的三分线由两部分组成（如下图），一部分是半径为6.75m的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长（    ）米。 A．3.14×6.75＋1.575×2 B．3.14×6.75×2＋1.575 C．3.14×（6.75＋1.575） D．3.14×6.75＋1.575 【答案】A 【思路引导】根据求出圆的周长，再除以2即可求出圆周长的一半，即半圆弧线长度，再加上两条线段的长度即可。 【规范解答】半圆的长为：2×3.14×6.75÷2，整理可得3.14×6.75 两条线段长为：1.575×2 三分线长为：3.14×6.75＋1.575×2 高频考点六 圆的周长的应用 【典例精讲】．（25-26六年级下·广东肇庆·期末）社区提倡“自行车＋公交”的绿色出行方式。元宝对此进行了研究。 (1)自行车前进的距离与车轮直径有关。如果车轮直径是0.6米，那么蹬一圈，自行车大约前进多少米？（得数保留整数） (2)元宝从家去学校，全程的骑自行车，剩下的路程坐公交车，结果坐公交车的路程比骑自行车的路程多2千米。元宝从家去学校有多少千米？ 【答案】(1)2米 (2)6千米 【思路引导】（1）蹬一圈自行车前进的距离等于车轮的周长，根据圆周长＝求解。 （2）骑自行车的路程占全程的，坐公交车的路程占比为（1－），两个数相减为坐公交车比骑自行车多的路程的占比，用2千米除以这个差值即为元宝从家去学校的距离。 【规范解答】（1）3.14×0.6＝1.884≈2（米） 答：蹬一圈，自行车大约前进2米。 （2） ＝ ＝ ＝6（千米） 答：元宝从家去学校有6千米。 【变式训练】（25-26六年级下·河北张家口·期末）数学也是可以表达“爱”的，临近毕业，小丽想用圆规为数学张老师画一幅心形祝福卡，下图是她画的设计图。如果她想在“心形”的边线处贴上一圈金丝线，需要金丝线( )厘米。（不计损耗） 【答案】25.12 【思路引导】观察图形可知，每个小正方形的边长为2厘米，心形的全部边线都是圆弧，这些圆弧一共是8段半径为2厘米的四分之一圆弧，拼接后刚好相当于2个完整的半径为2厘米的圆。圆的周长C＝2πr，算出1个圆的周长，再乘2即可求出金丝线的长度。 【规范解答】2×3.14×2×2 ＝6.28×2×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 高频考点七 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·陕西咸阳·期末）计算阴影部分的周长。 （单位：厘米） 【答案】71.4厘米 【思路引导】阴影部分的周长由长方形两条长和一个完整圆的周长组合而成，长方形宽10厘米就是圆的直径，根据圆的周长公式C＝πd，π取3.14，分别求出线段总长与圆周长后相加即可求出阴影周长。 【规范解答】两条长的长度：20×2＝40（厘米） 圆的周长（直径10）：3.14×10＝31.4（厘米） 总周长：40＋31.4＝71.4（厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·河北唐山·期末）同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该往前移多少米？ 【答案】9.42米 【思路引导】观察图片可知：跑道左右两边的半圆合起来是一个整圆，第一跑道的长度包括半径为36.3米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，第二跑道的长度包括半径为（36.3＋1.5）米的圆的周长和2条长度为85.96米的直跑道，那么第2道同学和第1道的同学跑的路程之差就是两个圆的周长之差，根据圆的周长＝2πr，分别代入数据求出两个圆的周长，再把它们相减，即可求出第2道同学的起跑线应该往前移多少米。 【规范解答】2×3.14×（36.3＋1.5）－2×3.14×36.3 ＝2×3.14×（36.3＋1.5－36.3） ＝2×3.14×1.5 ＝9.42（米） 答：第2道同学的起跑线应该往前移9.42米。 高频考点八 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·辽宁大连·期中）下面面积最大的圆是（    ）。 A．半径是5厘米的圆。 B．周长是18.84厘米的圆。 C．直径是8厘米的圆。 D．在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 【答案】D 【思路引导】根据圆的面积公式πr2可知：圆的半径越大，面积就越大，先求出每个选项中圆的半径，再比较大小即可；正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。圆的周长公式C＝2πr，半径＝直径÷2。 【规范解答】A．圆的半径为5厘米； B．18.84÷（2×3.14）＝18.84÷6.28＝3（厘米），圆的半径为3厘米； C．8÷2＝4（厘米），圆的半径为4厘米； D．12÷2＝6（厘米），圆的半径为6厘米。 6＞5＞4＞3 所以面积最大的圆是在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）如图，长方形的长是15厘米，小明在这个长方形中恰好画了两个圆和一个半圆。这个长方形的周长是__________厘米，①号圆的面积是__________平方厘米。 【答案】 42 28.26 【思路引导】观察图形可知，图中两个圆和一个半圆的半径相等，这个长方形的长＝圆的半径×5，宽等于圆的直径。已知长方形的长是15厘米，用15除以5即可求出圆的半径。用半径乘2求出圆的直径，即长方形的宽。长方形的周长＝（长＋宽）×2，圆的面积＝，据此代入数据计算。 【规范解答】15÷5＝3（厘米） 3×2＝6（厘米） （15＋6）×2 ＝21×2 ＝42（厘米） 3.14×＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 高频考点九 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）某钟表的时针长6厘米，从上午7时走到晚上7时，时针针尖走过了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】钟表指针的长度相当于圆的半径，从上午7时走到晚上7时，时针转了1圈，根据圆的周长＝，计算出时针转1圈针尖走的距离；根据圆的面积＝，计算出时针扫过的面积。 【规范解答】 ＝37.68（厘米） ＝113.04（平方厘米） 所以时针针尖走过了37.68厘米，时针扫过的面积是113.04平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·山西吕梁·期末）山西的云冈石窟是中国石窟艺术的瑰宝之一，其中有一个圆形的佛龛，直径为2米，如果要在这个佛龛的底面铺上一层大理石，那么需要的大理石面积最少是( )平方米。 【答案】3.14 【思路引导】圆的面积：S＝πr2，佛龛的直径为2米，半径为2÷2＝1（米），把数据代入公式即求出需要大理石的面积。 【规范解答】2÷2＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 高频考点十 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河北保定·期末）求阴影部分的面积。 【答案】75.36cm2；2平方厘米 【思路引导】第一个半圆环阴影：因为已知外半圆直径16厘米、内半圆直径8厘米，所以先分别计算外、内半圆的半径，再用半圆环面积公式计算面积。 第二个图形阴影：因为阴影可通过割补转化，所以可以用等积变换思想，将左侧阴影平移至右侧空白处（如图），三角形的面积＝底×高÷2。 【规范解答】 （厘米） （平方厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·河北邯郸·期末）计算阴影部分的面积。（单位：分米）          【答案】75.36平方分米 【思路引导】求阴影部分的面积，也就是求圆环的面积，外圆的直径是14分米，半径是14÷2＝7（分米），内圆的半径是5分米，圆环的面积：S＝3.14×（R2－r2）。 【规范解答】14÷2＝7（分米） 3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方分米） 高频考点十一 求最大面积 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） （1）在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 【答案】（1） （2）12.56平方厘米； 【思路引导】（1）长方形的周长C＝2（a＋b），20÷2＝10（厘米），长、宽之和是10厘米，用10厘米除以（3＋2）份，求出1份是多少厘米。再用乘法分别求出3份（长方形长）、2份（长方形宽）各是多少厘米，然后即可画出此长方形。 （2）在长方形内画的最大圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积S＝πr2，代入求出圆的面积。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米） 10÷（3＋2） ＝10÷5 ＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 画图略。 （2）4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：这个圆的面积是12.56平方厘米。 画图略。 【变式训练】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【答案】不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式： 3.14×（2÷2）2＝3.14（m2） 【思路引导】在长方形里切割一个最大的圆，应以短边为直径，用直径除以2求出半径，再代入圆的面积公式去计算。据此解答。 【规范解答】 （m2） 答：不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式：3.14×（2÷2）2＝3.14（m2）。 高频考点十二 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邢台·期末）求下图中阴影部分的面积和周长。（图中4个圆的半径均为3cm） 【答案】 面积：；周长： 【思路引导】阴影部分的面积：观察图里的正方形：它的边长刚好是2个圆的半径，根据正方形面积＝边长×边长求出正方形的面积，正方形内部的4块空白部分，每一块都是四分之一圆，4个四分之一圆拼起来刚好是1个完整的圆，这个圆的半径是3cm，根据圆的面积公式求出圆的面积。最后根据阴影面积＝正方形面积－拼成的整圆面积，求出阴影部分的面积即可。 求阴影部分的周长：阴影的边就是刚才那4段四分之一圆的弧长，4段四分之一圆弧加起来刚好是1个完整圆的周长。（π取3.14） 【规范解答】面积： 周长： 【变式训练】（2025·新疆喀什·小升初模拟）计算如图图形中阴影部分的面积。 【答案】24 【思路引导】用割补法，把右侧阴影移到左边空白半圆处，阴影转化为梯形，梯形的上底：8－4，下底：8，高：4，利用面积公式：计算。 【规范解答】8－4＝4 （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24 高频考点十三 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级下·福建泉州·期末）在边长4cm的正方形中画一个最大的圆（体现作图痕迹），并计算出正方形与圆之间的面积。 【答案】；3.44平方厘米 【思路引导】连接正方形对角线，对角线的交点是圆的圆心；圆的半径是正方形边长的一半，即2cm。画圆时，圆规两脚间的距离是2cm，有针尖的一端固定在圆心，有笔芯的一端绕点O旋转一周即可画出圆。根据正方形的面积＝边长×边长，算出正方形的面积；根据圆的面积＝πr2，算出圆的面积，用正方形的面积减去圆的面积即可算出正方形与圆之间的面积。 【规范解答】半径：4÷2＝2（cm） 画圆时，圆规两脚间的距离是2cm，有针尖的一端固定在圆心，有笔芯的一端绕点O旋转一周即可画出圆。图略。 4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 【变式训练】（2026·天津南开·小升初模拟）在一个圆内做一个最大的正方形，圆面积与正方形的面积比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】如图所示，在圆里面画一个最大的正方形，设圆的半径是R，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，正方形面积可以拆分成两个三角形的面积，根据三角形面积公式S＝ab÷2，再乘2求出正方形的面积，再写成比并化简即可。 【规范解答】圆的面积＝πR2 正方形的面积＝2R×R÷2×2＝2R2 面积比πR2∶2R2 ＝（πR2÷R2）∶（2R2÷R2） ＝π∶2 高频考点十四 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南信阳·期末）下面选项中，同时满足以下两个条件的图形是（    ）。 条件①：空白部分与阴影部分面积相等 条件②：空白部分与阴影部分周长不相等 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】首先计算空白部分与阴影部分的面积，再计算空白部分与阴影部分的周长，判断二者是否相等，筛选出同时满足条件①和条件②的选项即可。 【规范解答】A．假设正方形的边长为a。 阴影部分的面积： 空白部分的面积： ，不满足条件①直接排除。 B．根据三角形的面积公式，两个三角形底边相等、高相等，面积就相等，因此空白部分与阴影部分面积相等。从图上看两个三角形的底边和一条公共边相等，另一条不相等，空白部分与阴影部分的周长不相等，能同时满足条件①和条件②，B选项是正确。 C．假设正方形的边长为a。 空白部分的面积：4个圆面积的合起来是一个圆的面积。 阴影部分的面积： ，不满足条件①直接排除。 D．空白部分与阴影部分面积都是圆面积的一半，空白部分与阴影部分周长都是圆周长的一半加公共部分的长度，不能同时满足条件①和条件②排除。 【变式训练】（25-26六年级上·山东青岛·期末）画一画，填一填。 (1)请用圆规在方格图中画出与左侧完全一样的图形（阴影部分用斜线表示）。 (2)已知每个小方格的边长表示1厘米，则阴影部分的周长与圆周长的比是( )，阴影部分的面积与圆面积的比是( )。 【答案】(1) (2) 1∶1 1∶2 【思路引导】（1）图形由一个半径为2个大格的大圆和两个半径为1格的小半圆组成。先在方格纸中右侧任意位置画出半径为2个方格长度的大圆，画出水平方向大圆的直径，然后以直径左边的两个方格中心位置为圆心，1个方格长度作为小圆半径画出上半圆；以大圆直径右边两个方格中心位置为圆心，选取1个方格长度作为小圆半径画出下半圆；最后画上斜线即可。 （2）阴影部分的周长为大半圆的周长加上一个小圆的周长；将上半部分的小半圆移补到大半圆中空白部分组成一个大半圆。所以，阴影部分的面积就是大半圆的面积。然后再求周长比和面积比，利用比的基本性质化简比即可。 【规范解答】（1）画图略。 （2）2×3.14×2÷2＋2×1×3.14 ＝6.28＋6.28 ＝12.56（厘米） 阴影部分周长是12.56厘米。 大圆的周长：2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56∶12.56 ＝（12.56÷12.56）∶（12.56÷12.56） ＝1∶1 阴影部分的周长与圆周长的比是1∶1。 阴影部分的面积：3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 大圆的面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 6.28∶12.56 ＝（6.28÷6.28）∶（12.56÷6.28） ＝1∶2 阴影部分的面积与圆面积的比是1∶2。 奥数拓展一 圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 【答案】245.6米 【思路引导】如下图，跑道两头的两个半圆可拼成一个整圆，根据圆的周长公式：C＝2πr，计算出整圆的周长，再加上两条直道长度的和，就是操场跑道一圈的周长，代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×20×2＋60×2 ＝62.8×2＋120 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 答：操场跑道一圈的周长是245.6米。 【变式训练】（25-26六年级上·浙江台州·期末）如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置大概在（    ）之间。 A．4～5 B．6～7 C．7～8 D．8～9 【答案】C 【思路引导】根据图示，圆的直径是2，根据圆的周长C＝πd，算出圆的周长，再加上1即可知道M的大概位置。 【规范解答】3.14×2＋1 ＝6.28＋1 ＝7.28（cm） M的位置大概在7～8之间。 奥数拓展二 半圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【答案】C 【思路引导】在400米环形跑道上进行200米的比赛，只需要跑一个弯道，所以相邻两跑道之差等于跑道的宽×圆周率，据此解答即可。 【规范解答】1.22×π＝1.22π（米） 所以第一和第二道起跑线相差1.22π米。 故答案为：C 【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【答案】51.4米 【思路引导】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【规范解答】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【考点剖析】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 奥数拓展三 圆的周长的应用 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 【答案】600秒 【思路引导】路程特征分析：两个小圆的直径和等于大圆直径，因此乙沿“”字形跑一圈的总路程，和甲沿大圆跑一圈的路程相等，都是米。相遇逻辑判断：两人同时同地同向出发，乙速度更快，每一次相遇，乙都会比甲正好多跑1整圈的长度。对应关系推导：第三次相遇时，乙累计比甲多跑的总路程就是圈的长度，即（米）。时间计算：用总路程差除以两人的速度差，就能得到从出发到第三次相遇的总时间。 【规范解答】设大圆的直径为， 根据圆的周长公式， 大圆的周长为（米）， 从图中“8”字形的结构可以看出，两个小圆的直径分别为和， 满足， 乙跑完整一圈“8”字形的总路程，是两个小圆的周长之和：， 因此乙跑一圈的总路程和甲跑大圆一圈的路程完全相等，都是400米， 两人同时从A点出发，乙速度比甲快，每次相遇时，乙都会比甲多跑整整1圈（400米）， 第三次相遇时，乙一共比甲多跑了：（米）， 两人的速度差是：（米/秒）， 追及所需的总时间：（秒）。 答：两人第三次相遇的时间是出发后600秒。 【变式训练】（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 【答案】17.14 【思路引导】如图，把游戏币从A点滚动到现在位置圆心走过的路径分为3段：沿AB滚动时，圆心走过的路径长度等于AB的长度；在B点直角转弯，圆心走过的路径长度相当于圆的周长； 沿BC向下滚动，圆心走过的路径长度等于BC的长度减去游戏币的半径长度；最后将3段路径长度相加即可。 【规范解答】3.14×4÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（厘米） 8－4÷2 ＝8－2 ＝6（厘米） 8＋3.14＋6 ＝11.14＋6 ＝17.14（厘米） 奥数拓展四 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】．（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【答案】35.12厘米 【思路引导】由题图可知阴影部分的周长为大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆的直径－小圆的半径＋小圆的半径，根据圆的周长公式分别求出大圆、小圆的周长的一半，代入计算即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×3÷2＋5×2－3＋3 ＝15.7＋9.42＋10 ＝35.12（厘米） 阴影部分的周长是35.12厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【答案】（1）6.28米 （2）57692.16元 【思路引导】（1）先求出笑笑和淘气两个人所在跑道的周长，分别是两个半圆的周长合一起即一个圆的周长（圆的周长公式：C＝2πr），圆的半径分别是32米和33米，再加上中间的两个100米，据此求出两个跑道的周长再求出差值，从而得到笑笑和淘气的起跑线应相差多少米。 （2）先求出空白部分面积，即两个半圆的面积合起来是一个圆的面积（圆的面积公式：S＝πr2），再加上中间长方形的面积。再根据每平方米造价6元，从而求得一共需要多少元。 【规范解答】（1）由图可知，跑道的左右两个半圆可以合成一个圆。所以解答如下： 笑笑：2×3.14×32 ＝6.28×32 ＝200.96（米） 淘气：32＋1＝33（米） 2×3.14×33 ＝6.28×33 ＝207.24（米） 207.24－200.96＝6.28（米） 答：笑笑和淘气的起跑线应相差6.28米。 （2）3.14×322 ＝3.14×1024 ＝3215.36（平方米） 32×2×100 ＝64×100 ＝6400（平方米） 3215.36＋6400＝9615.36（平方米） 9615.36×6＝57692.16（元） 答：一共需要57692.16元。 【考点剖析】（1）熟练掌握圆的周长的计算方法； （2）熟练掌握圆的面积的计算方法。 奥数拓展五 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·福建龙岩·期末）用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（    ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【思路引导】 根据题意可知，阴影部分是相邻圆的重叠区域拼接而成，图4如图：； 基于图可知：图1：三个阴影是三个半径相同的扇形面积，三角形的内角和是180°，所以阴影部分合在一起是半个圆的面积； 图2：阴影部分是四个半径相同的扇形面积，四边形的内角和是360°，所以阴影部分合起来是1个圆的面积； 图3：阴影部分是由4个半径相同的扇形面积加上1个半圆面积，4个扇形内角和是360°，所以阴影部分是由1个圆的面积再加上一个半圆的面积，所以合起来是1.5个圆的面积； 图4：阴影部分4个半径相同扇形面积与2个半圆的面积；4个扇形内角和是360°，所以阴影部分合起来是2个圆的面积，据此解答。 【规范解答】 如图：图4阴影部分：。 根据分析可知，图4面积是2个圆的面积。 故答案为：C 【考点剖析】解答此题的关键是要清楚，半径相同的扇形，可以拼在一起，当内角和是360°的时候，可以围成一个圆。 【变式训练】（2025·浙江温州·小升初模拟）如图，在长方形中，长是24厘米，大圆面积是（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】观察图片可知，3个小圆的直径等于1个大圆的直径，AB长度是4个小圆的直径，用AB的长度除以4再乘3，即可得到大圆的直径，根据圆的半径是直径的一半，用大圆的直径除以2，即可得到大圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr²，将大圆的半径代入公式计算，即可得出大圆的面积。 【规范解答】大圆的直径：24÷4×3 ＝6×3 ＝18（厘米） 大圆半径：18÷2＝9（厘米） 大圆的面积：S＝π×9² ＝81π（平方厘米） 大圆的面积是81π平方厘米 故答案为：C 【考点剖析】本题考查圆的面积公式计算以及图形中圆与长方形边长的数量关系分析。 奥数拓展六 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江台州·期末）扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为的圆盘。那么，机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为（    ）。 A．0 B．172 C．344 D．688 【答案】C 【思路引导】机器人扫地时底面覆盖不到的地方是长方形场地的4个角的部分。根据正方形的面积＝边长×边长，算出边长20cm的正方形面积。根据圆的面积S＝πr2，算出圆盘的面积。用正方形的面积减去圆盘面积的，算出机器人在扫地时底面覆盖不到的一个角落面积，再乘4即可。 【规范解答】40÷2＝20（cm） 20×20＝400（） 3.14×202× ＝3.14×400× ＝1256× ＝314（） （400－314）×4 ＝86×4 ＝344（） 机器人在扫地时底面覆盖不到的面积为344。 【变式训练】（25-26六年级上·山东德州·期末）按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 （1）画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的。 （2）在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 （3）请将剩余部分涂上阴影，它的面积是（    ）平方厘米 【答案】（1） （2） （3）；12.87 【思路引导】（1）把长方形的长看作“1”，宽是长的，根据，则长＋宽的和是长的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，算出长方形的长，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出宽，再进行画图； （2）最大的半圆半径长等于长方形的宽，即r＝3厘米。画图方法：在长方形的长上确定一点作为半圆的圆心，再以长方形的宽为半径作半圆； （3）用长方形面积减去半圆面积即可。 【规范解答】（1） 所以长方形的长为9厘米，宽为3厘米。 图略。 （2）圆心为O点，半径为r。图略。 （3） 所以它的面积是12.87平方厘米。 图略。 【考点剖析】本题主要考查求单位“1”的分数应用题、长方形周长及面积、画半圆以及半圆面积的计算。 奥数拓展七 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【答案】15.7 【思路引导】阴影部分的面积是两个正方形面积之差，如图也就是大圆半径²－小圆半径²＝5cm²。 圆面积＝πr²。 圆环面积＝大圆面积－小圆面积 ＝π大圆半径²－π小圆半径² 根据乘法分配律可将算式变成π×（大圆半径²－小圆半径²），代入大圆半径²－小圆半径²之差即可算出圆环面积。 【规范解答】大圆半径²－小圆半径²＝5cm² 圆环面积＝π大圆半径²－π小圆半径² ＝π×（大圆半径²－小圆半径²） ＝π×5 ＝3.14×5 ＝15.7（cm²） 所以圆环的面积是15.7 cm²。 【考点剖析】本题考查了圆环面积以及正方形面积的灵活运用，不直接计算出大圆和小圆的半径，而是通过把阴影部分的面积看成两个半径的平方差，从而算出圆环面积。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆·期末）如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】将圆剪拼成一个近似的梯形，梯形的上底和下底的和是圆周长的一半，两条腰等于4条圆的半径，由此求出圆的半径，圆周长＝2πr，求出圆的周长，根据圆的面积＝πr2，求出面积。 【规范解答】解：设圆的半径为r 2×3.14r÷2＋4r＝42.84 3.14r＋4r＝42.84 7.14r＝42.84 7.14r÷7.14＝42.84÷7.14 r＝6 3.14×6×2＝37.68（cm） 3.14×62 ＝3.14×6×6 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 圆的周长是37.68cm，圆的面积是113.04cm2。 【考点剖析】根据梯形的周长是圆周长的一半加上4条半径的和，求出圆的半径是解题关键。 奥数拓展八 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆云阳·期末）下面各图中，阴影部分面积相等的是（    ）。 A．只有①和②阴影部分面积相等 B．只有②和③阴影部分面积相等 C．①、②和③阴影部分面积都相等 D．都不相等 【答案】C 【思路引导】①正方形内部有一个与正方形四边相切的完整圆，圆的直径等于正方形的边长，阴影部分是正方形减去这个圆的区域。 ②正方形内部有两个以正方形左右边为直径的半圆，两个半圆在正方形中间形成重叠的弧形区域，两个半圆可以割补拼接成一个完整的圆（直径等于正方形边长），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 ③正方形内部有四个以正方形顶点为圆心、以正方形边长的一半为半径的扇形，四个扇形在正方形中心形成交叉的弧形区域，四个扇形的圆心角均为90°，合起来是360°，可以割补拼接成一个完整的圆（半径为r），因此阴影面积是正方形面积减去这个拼接后的圆的面积。 【规范解答】设正方形边长为2r。 ①正方形面积：（2r）2＝4r2 圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ②正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 ③正方形面积：（2r）2＝4r2 拼接后圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2 所以三个图形的阴影面积都相等。 故答案为：C 【考点剖析】本题的关键在于：三个图形的阴影面积均可通过割补法转化为“正方形面积减去一个与正方形边长等直径的圆的面积”，因此面积相等。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】17.875 【思路引导】阴影部分面积可通过“整体减部分”的思路计算阴影面积：将阴影所在的大三角形ABC视为“整体”，减去大三角形内的两个空白部分（小直角三角形、扇形），即可得到阴影面积。大三角形ABC是正方形的一半，小直角三角形的直角边等于半圆半径（正方形边长的一半），扇形是圆的（因圆心角为90°），通过圆面积公式计算。 【规范解答】计算三角形ABC的面积： （平方厘米） 计算小三角形面积： （厘米） （平方厘米） 计算扇形的面积： （平方厘米） 计算阴影部分面积： （平方厘米） 阴影部分的面积是17.875平方厘米。 【考点剖析】计算阴影面积常用“整体减空白”：先确定阴影所在的“整体区域”，再求出区域内空白部分的面积，相减即可快速得结果。 奥数拓展九 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 【答案】(1) (2) (3) (4)8平方厘米 【思路引导】（1）根据按比分配，用周长除以2，求出长与宽的和，再除以长和宽占的份数和，求出一份长，然后分别乘长与宽占的份数，求出长与宽，再画图即可； （2）在长方形内画一个面积最大的圆，以长方形的宽为圆的直径，即是最大的圆，再画圆即可； （3）可过圆心画一条水平的直径和一条竖直的直径，即为两条互相垂直的直径，依次连接4个端点，形成正方形； （4）正方形可以看作4个底和高都是2厘米的直角三角形，求出一个直角三角形的面积，再乘4即可求出正方形的面积。 【规范解答】（1）18÷2＝9（厘米） 9÷（5＋4） ＝9÷9 ＝1（厘米） 长：5×1＝5（厘米） 宽：4×1＝4（厘米） 画图略。 （2）根据分析可知，圆的半径为：4÷2＝2（厘米），以长方形中心为圆心，半径2厘米画圆。画图略。 （3）画图略。 （4）直角边等于圆的半径，即2厘米， 2×2÷2×4 ＝4÷2×4 ＝2×4 ＝8（平方厘米） 答：正方形的面积是8平方厘米。 【考点剖析】此题考查画圆形、正方形及其面积的计算。 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 （1）当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ （2）正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 【答案】（1）21.5平方厘米 （2）5秒 【思路引导】（1）重叠时，圆在正方形内，相当于正方形内画一个最大的圆，求没有重合部分的面积，就是用正方形面积－圆的面积；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 （2）把正方形机器人的速度看作单位“1”，圆形机器人的速度是正方形机器人速度的（1＋40%），用正方形机器人的速度×（1＋40%），求出圆形机器人的速度。求经过多少秒后恰好完全分开，先求出正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和，正方形机器人与圆形机器人相距的距离＋正方形机器人的边长的长度＋圆形机器人的直径的长度，就是两个机器人完全分开后的路程，再根据时间＝路程÷速度，用正方形机器人走过的路程与圆形机器人走过的路程和÷正方形机器人的速度与圆形机器人的速度和，即可解答。 【规范解答】（1）10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：没有重合部分的面积是21.5平方厘米。 （2）4×（1＋40%） ＝4×140% ＝5.6（厘米） （28＋10＋10）÷（4＋5.6） ＝（38＋10）÷9.6 ＝48÷9.6 ＝5（秒） 答：经过5秒后恰好完全分开。 【考点剖析】解答本题的关键是求出正方形机器人与圆形机器人走过的路程。 奥数拓展十 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 （1）在如图的正方形中画一个周长是的圆。 （2）如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 【答案】（1）见详解； （2）3.44cm2 【思路引导】（1）由圆的周长公式可知，半径＝圆的周长÷圆周率÷2，求出所画圆的半径，在正方形内确定圆心，根据半径画圆，最后标出圆心和半径； （2）这个圆不能接触到的面积刚好是正方形4个角的面积，如图所示阴影部分的面积＝小正方形的面积－圆的面积；据此解答。 【规范解答】（1）半径： ＝ ＝2（cm） （2） （2×2）2－3.14×22 ＝16－3.14×22 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 答：这个圆不能接触到的面积有3.44cm2。 【考点剖析】掌握圆的画法并把所求部分的面积转化为小正方形和圆的面积之差是解答题目的关键。 【变式训练】（24-25六年级上·天津南开·期末）下面图形中圆的周长是24cm，圆的面积等于长方形面积，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】30 【思路引导】由图可知，阴影部分的周长等于长方形的两个长边加上弧长。 因为圆的面积＝长方形的面积，长方形的宽又是圆的半径，根据“长方形面积＝长×宽”及圆的面积公式表示出长方形的长为πr2÷r＝πr，即圆周长的一半，24÷2＝12cm； 弧长为圆周长的，用圆的周长除以4即可。据此解答。 【规范解答】24÷2＝12（cm） 24÷4＝6（cm） 12＋12＋6 ＝24＋6 ＝30（cm） 所以阴影部分的周长是30cm。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·陕西宝鸡·期末）如图，圆从A点开始，沿着直尺向右滚动一周到达A'点，则A'点在（    ）。 A．5和6之间 B．12和13之间 C．19之后 D．15和16之间 【答案】B 【思路引导】由图可知，点A的位置是6，圆O的直径是7－5＝2（cm）。先用圆的直径乘圆周率求出圆的周长，再加上6，就是点A'的位置。 【规范解答】7－5＝2（厘米） 3.14×2＝6.28（厘米） 6＋6.28＝12.28（厘米） 12.28厘米在12厘米和13厘米之间，选B。 2．（2025·江西吉安·小升初模拟）在一张长20cm，宽8cm的长方形纸上，最多能剪（    ）个半径2厘米的圆。 A．7 B．10 C．14 D．40 【答案】B 【思路引导】剪圆时边角料无法拼接使用，要先算出圆的直径，再分别求长方形的长、宽最多能容纳几个直径，二者相乘就是最多能剪的圆的总个数。 【规范解答】圆的直径：（厘米） 长方向可剪数量：（个） 宽方向可剪数量：（个） 总数量：（个） 最多能剪10个半径2厘米的圆。 3．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 【答案】C 【思路引导】圆的面积＝，圆的面积÷，计算出圆的半径。如果要从纸片里剪出一个圆形纸片，则纸片的短边不小于圆的直径，据此分析。 【规范解答】50.24÷3.14＝16，4×4＝16 所以面积是50.24平方厘米的圆形纸片，它的半径是4厘米，直径是8厘米。 A．6＜8，长是8厘米，宽是6厘米的长方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； B．4＜8，边长是4厘米的正方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； C．8＝8，长是9厘米，宽是8厘米的长方形，可以剪出一个直径8厘米的圆形； D．28÷4＝7，周长是28厘米的正方形，它的边长是7厘米，7＜8，无法剪出一个直径8厘米的圆形。 4．（25-26六年级上·湖南常德·阶段检测）一个圆的直径是8厘米，它的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 4 25.12 50.24 【思路引导】半径＝直径÷2，圆的周长C＝πd，圆的面积S＝πr2，据此代入数据计算即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×8＝25.12（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 5．（25-26六年级上·福建南平·期中）雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。雨滴落入一个边长是8m的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是( )m，面积是( )m2。 【答案】 25.12 50.24 【思路引导】若要形成最大的整圆，雨滴要落到正方形的正中央，此时正方形的边长就是圆的直径。 【规范解答】周长：3.14×8＝25.12（m） 面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（m2） 6．（25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测）圆的直径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在同一个圆内，直径，圆的直径扩大到原来的2倍，半径也扩大到原来的2倍；根据圆的周长，圆的面积，再推出周长和面积的变化。 【规范解答】直径扩大到原来2倍，新直径，新半径， 新周长： ，即周长是原来周长的2倍，周长扩大到原来的2倍； 新面积： ，即面积是原来面积的4倍，面积扩大到原来的4倍； 原题说法错误。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·江西南昌·期末）计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 【答案】 32.5平方厘米 【思路引导】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为5厘米，所以梯形的高为5厘米，梯形的上底5厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【规范解答】（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝32.5（平方厘米） 8．（25-26六年级上·广东湛江·期中）湛江三帆标志即雕塑《风正帆悬》，位于人民大道与乐山路的交叉环岛路口，建于1990年，其主体由三面高度错落（最高达30米）的弧形帆体构成，形似迎风张开的船帆，象征湛江作为滨海城市的航海文化。“三帆”雕塑底部花坛呈圆形，这个花坛的周长是251.2米，“三帆”雕塑的占地面积是多少平方米？ 【答案】 5024平方米 【思路引导】要求雕塑的占地面积即求圆形花坛的面积，需先根据圆的周长求出半径，再代入圆的面积公式计算。 【规范解答】 （米） （平方米） 答：“三帆”雕塑的占地面积是5024平方米。 9．（2025·四川德阳·小升初模拟）有一栋底面呈长方形的建筑物，长12米，宽8米，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长6米，这条狗活动区域的面积有多大？ 【答案】 84.78平方米 【思路引导】木桩在建筑物的外墙角，狗不能进入建筑物内部，建筑物占去了90°的活动范围。由于绳长6米比长方形的长12米、宽8米都短，狗无法绕到相邻墙面的另一侧，因此活动区域是半径为6米的圆面积的，结合圆的面积公式计算即可。 【规范解答】 （平方米） 答：这条狗活动区域的面积有84.78平方米。 10．（25-26六年级上·福建福州·阶段检测）小亮骑行一辆车轮直径是0.6米的自行车，车轮平均每分钟转动100圈。照这样的速度，小亮骑行这辆自行车5分钟，能通过一座长1000米的桥吗？ 【答案】不能 【思路引导】圆的周长：C＝πd，车轮的直径是0.6米，根据圆的周长公式求出车轮的周长，再乘每分钟转动的圈数求出每分钟行驶的路程，再乘行驶的时间，求出5分钟行驶的路程，然后与桥长进行比较即可解答。 【规范解答】3.14×0.6×100×5 ＝1.884×100×5 ＝188.4×5 ＝942（米） 942＜1000 答：不能通过一座长1000米的桥。 【能力提升】 1．（24-25六年级下·湖南湘潭·期末）下列说法中正确的是（    ）。 A．100名同学在操场上手拉手围成一个圆形，这个圆形的面积大于1公顷。 B．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是π:1。 C．甲在乙的南偏西50°方向100m处，则乙在甲的西偏南50°方向100m处。 D．A、B、C为三个非零数，若，则C最小。 【答案】D 【思路引导】A．根据生活经验，假设每名同学伸开双臂的长度约为1.5米，先计算这个圆形的周长，再求出它的半径，从而可以得到圆的面积，然后和1公顷进行比较。 B．一个圆柱的侧面展开图是正方形，可以得到圆柱的底面周长等于高，进而求出底面半径与高的比。 C．根据位置的相对性可知它们的方向相反，南北反向，东西反向，南偏西对应北偏东；它们的角度相等，距离不变。 D．将转化为，根据“积一定时，一个因数越大，另一个因数越小。”进行比较。 【规范解答】A．圆形的周长：100×1.5＝150（米） 半径：150÷（2×3.14） ＝150÷6.28 ≈23.89（米） 面积：3.14×23.892 ＝3.14×570.7321 ≈1792.10（平方米） 1公顷＝10000平方米，1792.10＜10000，选项A错误。 B．设圆柱的底面半径为r，高为h。 2πr＝h r：h＝1：2π 选项B错误。 C．甲在乙的南偏西50°方向100m处，根据位置的相对性，乙应该在甲的北偏东50°方向100m处，选项C错误。 D．转化后得，其中，，。 ，即，根据“积一定时，一个因数越大，另一个因数越小。”可得C＜A＜B，所以C最小，选项D正确。 2．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积是甲、乙两圆的公共部分，所以可以先通过它求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【规范解答】设阴影部分的面积为S。 因为，所以 又因为，所以 ∶＝∶＝16∶9 因为， 所以，周长比为4∶3 【考点剖析】关键是先利用公共部分求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 3．（25-26六年级上·福建三明·期末）如图，长方形的面积和圆的面积相等，长方形的周长（    ）圆的周长。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法比较 【答案】A 【思路引导】由图可知圆的半径等于长方形的宽，根据圆的面积等于长方形的面积。圆的面积＝，长方形的面积＝长×宽，即可列方程求出半径的长度；再根据圆的周长＝和长方形的周长＝（长＋宽）×2即可计算并比较。 【规范解答】解：设圆的半径和长方形的宽为r厘米。 3.14r＝3.14×r2 r＝1 3.14×1×2＝6.28（厘米） （3.14＋1）×2 ＝4.14×2 ＝8.28（厘米） 8.28厘米＞6.28厘米 即长方形的周长大于圆的周长。 4．（2026·西藏拉萨·小升初真题）如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm，图中所画黄金螺旋线的长度是______cm。 【答案】18.84 【思路引导】该黄金螺旋线由5段圆弧组成，每段圆弧长＝所在圆的周长×。从内到外，圆弧的半径依次是由小正方形边长推导而来，根据图形中正方形的关系，半径分别为1cm、1cm、2cm、3cm、5cm（因为最小正方形边长为1cm，后续正方形边长规律增长，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5） ，圆的周长公式为，那么圆弧的长度为，分别计算各段四圆弧长度再相加即可。 【规范解答】第一段圆弧半径为：1cm， 第二段圆弧半径为：1cm， 第三段圆弧半径为：， 第四段圆弧半径为：， 第一段圆弧半径为：， 5．（2025·四川成都·小升初真题）圆上有一个八边形，任意两点连成线段，求从中任取两条线段，没有交点的选取方式为______种。 【答案】140 【思路引导】观察发现，要选出两条完全没有交点、连端点也不能碰到的线段，就需要用到4个不同的圆上点。任意4个点可以搭配出3组两条线段，其中1组是交叉的，剩下2组是符合条件不相交的。先算出从8个点里选出4个点一共有（8×7×6×5）÷（4×3×2×1）＝70组，每组4个点对应2种合格选法，再用70×2＝140，就得到总共有140种选取方式。 【规范解答】4个点可以配出2对互不相交、端点也不重合的线段。 8个点选4个点：（8×7×6×5）÷（4×3×2×1） ＝1680÷24 ＝70（组） 总选取方式：70×2＝140（种） 6．（2025·四川绵阳·小升初真题）求阴影部分的面积是多少平方分米？ 【答案】25.12平方分米 【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积可用四分之一圆与空白的半圆的面积差来求。正方形的边长是8分米，则四分之一圆的半径为8分米，空白的半圆的直径为8分米，半径为（8÷2）分米；再根据圆的面积S＝πr2，分别计算四分之一圆的面积和空白的半圆的面积，最后相减得到阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝50.24（平方分米） 3.14×（8÷2）2× ＝3.14×42× ＝3.14×16× ＝50.24× ＝25.12（平方分米） 50.24－25.12＝25.12（平方分米） 所以，阴影部分的面积是25.12平方分米。 【考点剖析】通过将不规则的阴影部分转化为熟悉的规则图形的面积差是解答本题的关键。 7．（25-26六年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如下图，这个图形的中间是一个正方形，四周是4个圆心角为90°的扇形。数学兴趣小组发现这个图形的周长与中间正方形的边长有关。小组同学用举例子的方法进行研究，如下表： 中间正方形的边长（单位：厘米） 1 2 3 … 图形的周长（单位：厘米） 2π＋4 … (1)请将表格补全。 (2)当中间正方形的边长是n厘米时，这个图形的周长是( )厘米。 (3)小东受到启发，提出了新的猜想：“当中间正方形的边长变化时，这个图形的面积与中间正方形面积的比值不变”。你同意他的猜想吗？请说明理由。 【答案】(1) 中间正方形的边长（单位：厘米） 1 2 3 … 图形的周长（单位：厘米） 2π＋4 4π＋8 6π＋12 … (2) (3) 同意该猜想。理由：图形面积是半径等于正方形边长的圆的面积与正方形面积之和，二者的比值为，是固定值，和正方形边长无关。 【思路引导】 4个圆心角为90°的扇形可以拼成一个完整的圆，圆的半径等于中间正方形的边长。 图形的周长等于圆的周长加上正方形的4条边长之和，图形的面积等于圆的面积加上正方形的面积，据此计算各问。 【规范解答】（1）边长为2cm时： 厘米 边长为3cm时： 厘米 （2）厘米 当中间正方形的边长是n厘米时，这个图形的周长是（2πn＋4n）厘米。 （3）设正方形边长为厘米， 图形总面积：（平方厘米） 正方形面积：（平方厘米） 面积比值： 比值为固定值，与正方形边长无关，因此同意猜想。 8．（24-25六年级上·湖北黄石·期末）东东订餐一个12寸的披萨（1寸长约3厘米），价格100元。付钱后，店家说：“12寸的没货了，给你换成两个6寸的吧。”东东想了想后，说：“12寸换成两个6寸的披萨，你应该要找回我50元。”你能判断出谁对吗？用你喜欢的方法解释说明。 【答案】 东东对，店家应找回50元。 【思路引导】我们可以用圆的面积公式来计算寸披萨和两个寸披萨的大小，判断谁对。 【规范解答】12寸披萨的直径为12寸，半径为（寸），面积为（平方寸） 6寸披萨的直径为6寸，半径为（寸），面积为（平方寸） 两个6寸披萨的总面积为（平方寸） 即两个6寸披萨的总面积是12寸披萨面积的一半。 价格按面积比例计算，12寸披萨价格为100元，则两个6寸披萨价值为（元）。东东付100元，得到价值50元的披萨，因此店家应找回（元）。故东东的说法正确。 答：东东的说法正确。因为两个6寸披萨的总面积是12寸披萨面积的一半，因此店家应找回元。 9．（25-26六年级上·河北邢台·期末）为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是( )；B点在( )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 【答案】(1)1∶1000 (2) 15 北 东 (3)4；（画法不唯一）；193.5平方米 (4)（画法不唯一） 【思路引导】（1）先测量出这幅图的图上距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺，注意单位统一。 （2）连接OA，可知，OA等于圆的半径，据此求出OA的长度；连接OB；再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以O为观测点，确定出B的位置。 （3）根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断出有几条对称轴，画出一条对称轴； 根据图可知，绿植区域的面积＝正方形面积－圆的面积；根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出绿植区域的面积。 （4）由于绿植的面积＝正方形面积－圆的面积，所以在正方形内画一个直径等于正方形边长的圆即可（画法不唯一）。 【规范解答】（1）测量图上距离是3厘米。 30米＝3000厘米 3∶3000 ＝（3÷3）∶（3000÷3） ＝1∶1000 这幅图的比例尺是1∶1000。 （2）30÷2＝15（米） 如图： 以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是15米；B点在北偏东45°的方向上。 （3）绿植区域的图形共有4条对称轴。 图略。 30×30－3.14×（30÷2）2 ＝30×30－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方米） 答：绿植区域的实际面积是193.5平方米。 （4）略 【考点剖析】本题主要考查根据方向、距离确定物体的位置，同时考查阴影部分的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。 10．（24-25六年级下·浙江台州·期末）画一画，写一写。（每个小方格的面积表示1平方厘米） (1)画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后的图形。用数对表示旋转后C点的位置是（    ）。 (2)假设方格纸中存在一点，a为自然数，依次连接P、B、C三点，得到一个新的三角形PBC。小明认真分析后说：“三角形PBC与三角形ABC的面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ __________________________________________。 (3)按的比画出圆O缩小后的图形，使得缩小后的图形与原来的圆组成一个有无数条对称轴的图形。 (4)我国古代数学名著《九章算术》中的方田章，记载着这样一种求圆面积的方法，周径相乘，四而一。意思是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积，即。你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？ ____________________________________________。 【答案】(1)（3,1） (2)同意，因为两个三角形等底等高，所以面积相等。 (3) (4)圆的面积：；，；圆的周长：；则 【思路引导】（1）三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后，B点位置不变，三角形的每条边都顺时针旋转90°，C点旋转到第3列第1行的位置，用数对表示为（3，1）； （2）已知点，a为自然数，则点P在第6行，图中点A用数对表示为（4,6），点P与点A在同一行，这两个点到BC边的距离相等，三角形PBC与三角形ABC是等底等高的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2可得两个三角形面积相等。 （3）已知每个小方格的面积为1平方厘米，则每个小方格的边长为1厘米，如图所示，圆的半径为2厘米，把圆按1∶2缩小后，缩小的圆的半径为1厘米，如果缩小后的图形与原来的圆组成一个有无数条对称轴的图形，根据圆和圆环的对称轴有无数条，可知缩小后的圆和原来的圆组成的是同心圆的圆环； （4）根据圆的面积公式：，圆的直径d＝2r，可得圆的面积S＝，再根据圆的周长公式：C＝πd，代入到圆的面积公式中，即可验证是否成立。 【规范解答】（1）旋转后C点位置：（3，1） 图略 （2）同意，因为两个三角形等底等高，所以面积相等。 （3）缩小后的圆和原来的圆组成图形为同心圆的圆环时有无数条对称轴。 图略 （4）圆的面积：；，；圆的周长：；则 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第二单元圆『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+14个考点讲练+10个奥数拓展+真题难度分层演练共68题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络...· 3 知识梳理温故知新。 3 知识点一圆的认识.... 知识点二圆的周长… 知识点三圆的面积… 知识点四扇形. ………5 考点讲练真题汇总………… 5 高频考点一圆的概念及特点… ..5 高频考点二画圆…… .5 高频考点三与圆相关的轴对称图形…6 第1页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点四圆的周长 错误！未定义书签。 高频考点五半圆的周长..… .7 高频考点六圆的周长的应用。 …8 高频考点七含圆的组合图形的周长.· 8 高频考点八圆的面积. 9 高频考点九圆的面积的应用.9 高频考点十圆环的面积. 10 高频考点十一求最大面积... 10 高频考点十二含圆的组合图形的面积.·. 高频考点十三方中圆和圆中方的面积问题.… 12 高频考点十四用转化法求圆的组合图形的周长与面积.. 12 难点突破奥数拓展……………………… 13 奥数拓展一圆的周长 13 奥数拓展二半圆的周长... 13 奥数拓展三圆的周长的应用. .14 奥数拓展四含圆的组合图形的周长.· 14 奥数拓展五圆的面积..· 15 奥数拓展六圆的面积的应用.. 16 奥数拓展七圆环的面积…… 16 奥数拓展八含圆的组合图形的面积.··. 17 奥数拓展九方中圆和圆中方的面积问题..·.·· 17 奥数拓展十用转化法求圆的组合图形的周长与面积. 18 优选真题实战演练. 19 【基础通关】 19 【能力提升】 21 第2页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引 梳理脉络 ■1==1===■ 北师大版·六年级数学上册·第二单元 定义：在同 2.圆的要素与关系 要素：圈心O、半径r、直径d ·定点0：圆心 。定长r:半径 关系：d=2rr=d+2 ·所有点到圆心的距离都等于半径 特征：圆是轴对称图形，无数条对称轴 轴对称图形：围是轴对称图形 无数条对称轴。 3.圆的周长 圆 对称轴：过圆心的任意一条直线都是的对称轴 围的周长与直径的比值是一个国定的数 我们它叫作周率，用字母π表示 单元复习 5.圆与平面图形的联系与区别 C=πd或C=2πr π≈3.14 联系 区别 生活中的应用：童车轮，管口、罐口等的周长 /围是由边围移，不能直接 √国也可以转化为学过的图形。 用直尺测量周长，通过操 通过等分近似看成平行四边 4.圆的面积 学习方法提示 作活动，发现的周长与 形，从而推导面积公式。 圆的面积公式：S=π2 ★观察 一发现图形特征 直径的关系。 √圆与长方形、正方形等图形 一近似平行四边形 ★推导 理解公式来测 的性质不同。 推导方法：把周看作由许多等分的扇形 ★应用—解决实际问题 拼或的近似平行国边形，转化得到。 ★交流—提高思维能力 生活中的应用：圆形花坛。圈来而等的面积计算 底=r 日拓展思考 ★长方形和正方形是不是圆心相同的国形？ 6,应用与实践 (长方形：16cm×16cm正方形：16cm×16cm 1填一填 2羊能吃到的草地面积有多大？玉要为一个本红微一个盖子，4，移我树木时，树千爱城烧草绳。 5右图是一个一面墙、另一面 个盖子的面积是 是多少平方米 直径为6m, -16cm 0.51 1570.785 ★正方彩纸片边长4cm,在它的正方形内画一个 5 314 783 绳长6m 面积装大的圈。的面积是多少？ 7 439615 长12.56m的苹绳 正好树干10， cm 知识梳理温故知新 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 第3页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，几一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式 C=πd或C=2r 圆周长=n×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R-r2 或S=π(R-r)。(其中R=r+环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 第4页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 考点讲练真题汇总 高频考点一圆的概念及特点 【典例精讲】(24-25六年级下·安徽准北·期末)如图中1个方格的边长是1km,点0表示“可颂蛋糕” 的位置，蛋糕店周边3km的范围内可以享受免费送货上门的服务。 9 8 7 6 5 3 2 3456789 (1)蛋糕店的位置用数对表示为( )。 (2)请在图中表示出蛋糕店免费送货上门的范围。 (3)小丽家的位置在图中用数对表示是(8,2)，她家( )享受蛋糕店免费送货的服务。（填“能”或 “不能”) 【变式训练】(25-26六年级下·山西吕梁·期末)在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下 一个最大的正方形，则这个正方形边长是( )厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是() 厘米，最多可以剪下( )个这样的圆。 高频考点二画圆 【典例精讲】(25-26六年级下·湖南湘西·期末)十八洞景区计划建造一个智能花园，请你根据以下要 求完成规划设计图。 第5页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 旗杆 比例尺1：1000 (1)以旗杆为观测点，入口在旗杆东偏北30°方向，距离40米处。请在图上标出花园入口的位置。 (2)以旗杆正西方向60米处为圆心，建一个圆形花坛，直径为20米。请在图上画出这个圆。 (3)计划在圆形花坛外围修建一个正方形的观景平台，与花坛恰好形成“外方内圆”。请在图上画出这个 正方形。 (4)自动旋转喷灌装置的射程是12米。若将灌溉器安装在花坛圆心处，灌溉区域能否完全覆盖花坛？请 说明理由。 【变式训练】(25-26六年级下·广东惠州·期末)下图是根据小可家和周围建筑物之间的位置关系画出 的“雷达图”。点0表示小可家，四个圆是圆心相同的“同心圆”，最小的圆半径200m,由内向外，每个 圆的半径依次增加200m。 东 学校 体育场 200m (1)学校在小可家西偏( )( )。的方向上。 (2)图书馆在小可家东偏南60°方向，距离600m,请你画出图书馆的位置，并标注名称。 (3)学校在上午会进行课间操活动，能听到课间操音乐的最远距离是400m,请在图中画出音乐所覆盖的圆 形区域。（用圆规） 高频考点三与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(25-26六年级下·湖南怀化·期末)下列图形中，对称轴最多的是( 第6页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·湖北随州·期末)剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪 出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种 剪纸图案中，对称轴数量最多的是( )。 A.等腰直角三角形 B.半圆 C.长方形D.正六边形 【典例精讲】(2025·四川成都·小升初真题)灰太狼和红太狼制定了一个捕羊新计划，它们以羊村为中 心画了一个圆，他和红太郎分别从这个圆直径两端的C和D处同时出发，绕圆周相向而行，进行搜捕，他 们第一次在离C点80米处的A点相遇，相遇后继续前进，第二次在离D点60米的B点相遇。那么这个圆 的周长是 米。 第一次相遇 80m羊村 灰太狼C D红太狼 60 B第二次相遇 【变式训练】(25-26六年级上·广东深圳·阶段检测)图中线段AG表示一个圆的周长。将这条线段六等 分，则与圆的直径最接近的是( A B C D E F G A.线段AB B.线段AC C.线段AD D.线段AE 高频考点五半圆的周长 29.(24-25六年级下·河北邢台·期末)在一个长16分米、宽8分米的长方形内，画一个最大的半圆， 半圆的周长是( )分米。 A.50.24 B.41.12 C.25.12 【变式训川练】(25-26六年级下·广东佛山·期末)篮球场的三分线由两部分组成（如下图），一部分是 半径为6.75的半圆弧线，另一部分是与端线垂直的两条线段，每段长1.575m。三分线大约长( 米。 三分线 6.75m 1.575m1 11.575m 端线 A.3.14×6.75+1.575×2 B.3.14×6.75×2+1.575 C.3.14×(6.75+1.575) D.3.14×6.75+1.575 第7页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点六圆的周长的应用 【典例精讲】.(25-26六年级下·广东肇庆·期末)社区提倡“自行车十公交”的绿色出行方式。元宝 对此进行了研究。 (1)自行车前进的距离与车轮直径有关。如果车轮直径是0.6米，那么蹬一圈，自行车大约前进多少米？（得 数保留整数) (2)元宝从家去学校，全程的骑自行车，剩下的路程坐公交车，结果坐公交车的路程比骑自行车的路程多2 千米。元宝从家去学校有多少千米？ 【变式训练】(25-26六年级下·河北张家口·期末)数学也是可以表达“爱”的，临近毕业，小丽想用 圆规为数学张老师画一幅心形祝福卡，下图是她画的设计图。如果她想在“心形”的边线处贴上一圈金丝 线，需要金丝线( )厘米。（不计损耗） 2cm 2cm 高频考点七含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(25-26六年级下·陕西咸阳·期末)计算阴影部分的周长。（单位：厘米） 20 第8页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·河北唐山·期末)同学们和体育老师筹备运动会。下图是一圈400米的 标准跑道，数据如图所示，为保证第2道同学和第1道的同学跑的路程同样长，第2道同学的起跑线应该 往前移多少米？ 跑道宽1.5回 36.3m 85.96m 高频考点八圆的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·辽宁大连·期中)下面面积最大的圆是( A.半径是5厘米的圆。 B.周长是18.84厘米的圆。 C.直径是8厘米的圆。 D.在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 【变式训练】(24-25六年级下·河北邢台·期末)如图，长方形的长是15厘米，小明在这个长方形中恰 好画了两个圆和一个半圆。这个长方形的周长是 厘米，①号圆的面积是 平方厘米。 高频考点九圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·福建福州·阶段检测)某钟表的时针长6厘米，从上午7时走到晚上7 时，时针针尖走过了( )厘米，时针扫过的面积是( )平方厘米。 【变式训练】(24-25六年级下·山西吕梁·期末)山西的云冈石窟是中国石窟艺术的瑰宝之一，其中有 一个圆形的佛龛，直径为2米，如果要在这个佛龛的底面铺上一层大理石，那么需要的大理石面积最少是 )平方米。 第9页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·河北保定·期末)求阴影部分的面积。 -16cm -8cm 4厘米 【变式训练】(25-26六年级下·河北邯郸·期末)计算阴影部分的面积。（单位：分米） - 高频考点十一求最大面积 【典例精讲】(25-26六年级上·湖北黄冈·期末)按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） (1)在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3：2的长方形。 (2)在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 第10页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(23-24六年级上·辽宁·课后作业)乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做 得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4血、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×(4÷2)? =3.14×2 =12.56(m2) 答：这个圆的面积是12.56平方米。 高频考点十二含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(24-25六年级下·河北邢台·期末)求下图中阴影部分的面积和周长。（图中4个圆的半 径均为3cm) 0 0 【变式训练】(2025·新疆喀什·小升初模拟)计算如图图形中阴影部分的面积。 第11页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点十三方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(25-26六年级下·福建泉州·期末)在边长4cm的正方形中画一个最大的圆（体现作图痕 迹)，并计算出正方形与圆之间的面积。 【变式训练】(2026·天津南开·小升初模拟)在一个圆内做一个最大的正方形，圆面积与正方形的面积 比是( )。 A.T:2 B.T:4 C.2:T D.4:L 高频考点十四用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(25-26六年级下河南信阳·期末)下面选项中，同时满足以下两个条件的图形是( )。 条件①：空白部分与阴影部分面积相等 条件②：空白部分与阴影部分周长不相等 B c. D. 【变式训练】(25-26六年级上·山东青岛·期末)画一画，填一填。 (1)请用圆规在方格图中画出与左侧完全一样的图形（阴影部分用斜线表示）。 (2)已知每个小方格的边长表示1厘米，则阴影部分的周长与圆周长的比是( ),阴影部分的面积与 圆面积的比是( )。 第12页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一圆的周长 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆 的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 【变式训练】(25-26六年级上·浙江台州·期末)如图点M是圆上的一个点，当圆滚动一周后，M的位置 大概在( )之间。 可中平p可同 0cm12345678910 A.4-5 B.6~7 C.7-8 D.89 奥数拓展二半圆的周长 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)杭州奥体中心体育场一一“大莲花”的内部配有标准 的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果 在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差( )米。 A.4.88元 B.2.44π C.1.22π D.3.66π 【变式训练】(25-26六年级上·安徽阜阳·期末)在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽 15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。 如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 15米 20米 第13页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展三圆的周长的应用 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两 个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1一2一3一4一1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发， 且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 3 B 【变式训练】(2026·四川成都·小升初真题)如图，AB=BC=8厘米，∠ABC=∠BCD=90°，一枚直径 为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程 中圆心走过的路径长 厘米。 B 现在位置 D 奥数拓展四含圆的组合图形的周长 【典例精讲】.(2025六年级上·全国·专题练习)求图中阴影部分的周长。（单位：厘米） o 3 5 第14页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年 全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图）， 两端是半圆形，中间是长方形。 k-100m 32m 1m A 终点线B (1)笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都 到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ (2)现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 奥数拓展五圆的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·福建龙岩·期末)用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4 的阴影部分在哪？面积是( )个圆的面积。 朵封A888 图1 图2 图3 图4 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【变式训练】(2025·浙江温州·小升初模拟)如图，在长方形中，AB长是24厘米，大圆面积是( cm。 A.36元 B.64π C.81π D.144π 第15页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展六圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江台州·期末)扫地机器人可以在一块长方形场地内任意行走，碰到 障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为40cm的圆盘。那么，机器人在扫地时底面 覆盖不到的面积为( ）cm2。 A.0 B.172 C.344 D.688 【变式训练】(25-26六年级上·山东德州·期末)按要求画图（图中每个小格的边长代表1厘米）。 (1)画一个周长为24厘米的长方形，宽是长的。 (2)在长方形中画一个最大的半圆，标注圆心、半径。 (3)请将剩余部分涂上阴影，它的面积是( )平方厘米 奥数拓展七圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·天津南开·期末)下图中阴影部分的面积是5cm2,圆环的面积是 )cm2。 【变式训练】(24-25六年级上·重庆·期末)如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长 大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm,面积是( ）cm2。 第16页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展八含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(24-25六年级上·重庆云阳·期末)下面各图中，阴影部分面积相等的是( )。 ① ② ③ A.只有①和②阴影部分面积相等 B.只有②和③阴影部分面积相等 C.①、②和③阴影部分面积都相等 D.都不相等 【变式训练】(2025·湖南长沙·小升初真题)如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径， 则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14) D 10厘米 A B 奥数拓展九方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(25-26六年级上·山东青岛·期末)按要求完成下列各题。 1cm (图中1小格的边长代表1厘米) (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5：4。 第17页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出(3)中所画正方形的面积。 【变式训练】(24-25六年级上·广西南宁·期末)在学校的科技小制作活动中，有两个机器人在进行移 动操作。一个机器人的形状是直径为10厘米的圆形，另一个是边长为10厘米的正方形。它们在一条长轨 道上，初始时两者相距28厘米。正方形机器人每秒移动4厘米，圆形机器人比正方形机器人快40%。 28cm (1)当圆形机器人和正方形机器人刚好完全接触（重叠面积最大时），没有重合部分的面积是多少？ (2)正方形和圆形同时开始运动，经过多少秒后恰好完全分开？ 奥数拓展十用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】按要求完成。 (1)在如图的正方形中画一个周长是4rcm的圆。 (2)如果所画的圆可以在正方形内任意移动，那么这个圆不能接触到的面积有多大？ 6cm 6cm 第18页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级上·天津南开·期末)下面图形中圆的周长是24cm,圆的面积等于长方形面 积，阴影部分的周长是( )cm。 B 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(24-25六年级下·陕西宝鸡·期末)如图，圆从A点开始，沿着直尺向右滚动一周到达A'点，则A' 点在( 0 7 45 678 9101112131415 cm A.5和6之间 B.12和13之间 C.19之后 D.15和16之间 2.(2025·江西吉安·小升初模拟)在一张长20cm,宽8cm的长方形纸上，最多能剪( )个半径 2厘米的圆。 A.7 B.10 C.14 D.40 3.(25-26六年级上·福建福州·阶段检测)小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面 的纸片最合适的是( )。 A.长是8厘米，宽是6厘米的长方形B.边长是4厘米的正方形 C.长是9厘米，宽是8厘米的长方形D.周长是28厘米的正方形 4.(25-26六年级上湖南常德阶段检测)一个圆的直径是8厘米，它的半径是( )厘米，周长是() 厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 5.(25-26六年级上·福建南平·期中)雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。 雨滴落入一个边长是8的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是( )m,面积是( )m。 6.(25-26六年级上·河北邯郸·阶段检测)圆的直径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2 倍。（)（判断对错） 第19页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(24-25六年级下·江西南昌·期末)计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 8 8.(25-26六年级上·广东湛江·期中)湛江三帆标志即雕塑《风正帆悬》，位于人民大道与乐山路的交 叉环岛路口，建于1990年，其主体由三面高度错落（最高达30米)的弧形帆体构成，形似迎风张开的船 帆，象征湛江作为滨海城市的航海文化。“三帆”雕塑底部花坛呈圆形，这个花坛的周长是251.2米，“三 帆”雕塑的占地面积是多少平方米？ 9.(2025·四川德阳·小升初模拟)有一栋底面呈长方形的建筑物，长12米，宽8米，墙角有一根木桩， 木桩上拴着一条狗。拴狗的绳子长6米，这条狗活动区域的面积有多大？ 10.(25-26六年级上·福建福州·阶段检测)小亮骑行一辆车轮直径是0.6米的自行车，车轮平均每分钟 转动100圈。照这样的速度，小亮骑行这辆自行车5分钟，能通过一座长1000米的桥吗？ 第20页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 1.(24-25六年级下·湖南湘潭·期末)下列说法中正确的是( )。 A.100名同学在操场上手拉手围成一个圆形，这个圆形的面积大于1公顷。 B.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是π：1。 C.甲在乙的南偏西50°方向100m处，则乙在甲的西偏南50°方向100m处。 D.A、B、C为三个非零数，若A×=B÷号=Cx学则C最小。 2.(2425六年级下·福建厦门·期中)如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的相当于乙圆面积的号， 那么甲乙两个圆的周长比是( )。 甲 A.16:9 B.9:16 C.4:3 D.3:4 3.(25-26六年级上·福建三明·期末)如图，长方形的面积和圆的面积相等，长方形的周长( 圆的周长。 -3.14cm A.大于 B.等于 C.小于 D.无法比较 4.(2026·西藏拉萨·小升初真题)如图中的曲线被称为黄金螺旋线。如果中间最小正方形的边长为1cm, 图中所画黄金螺旋线的长度是cm。 第21页共24页 2026-2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 5.(2025·四川成都·小升初真题)圆上有一个八边形，任意两点连成线段，求从中任取两条线段，没有 交点的选取方式为 种。 6.(2025·四川绵阳·小升初真题)求阴影部分的面积是多少平方分米？ 8分米 7.(25-26六年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)如下图，这个图形的中间是一个正方形，四周是4个圆心 角为90°的扇形。数学兴趣小组发现这个图形的周长与中间正方形的边长有关。小组同学用举例子的方法 进行研究，如下表： 中间正方形的边长（单位：厘米） 1 2 3 图形的周长（单位：厘米） 2T+4 (1)请将表格补全。 (2)当中间正方形的边长是n厘米时，这个图形的周长是()厘米。 (3)小东受到启发，提出了新的猜想：“当中间正方形的边长变化时，这个图形的面积与中间正方形面积的 比值不变”。你同意他的猜想吗？请说明理由。 第22页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 8.(24-25六年级上·湖北黄石·期末)东东订餐一个12寸的披萨(1寸长约3厘米)，价格100元。付 钱后，店家说：“12寸的没货了，给你换成两个6寸的吧。”东东想了想后，说：“12寸换成两个6寸的 披萨，你应该要找回我50元。”你能判断出谁对吗？用你喜欢的方法解释说明。 9.(25-26六年级上·河北邢台·期末)为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下 图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 北 A B 个 30m (1)这幅图的比例尺是( ）。 (2)以正方形中心0点为观测点，A点在正北方向上，与0点相距的实际距离是( );B点在 )偏( )45°的方向上。 (3)绿植区域的图形共有( )条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方 米？ (4)在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用 圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 第23页共24页 2026一2027学年北师大版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 10. (24-25六年级下·浙江台州·期末)画一画，写一写。（每个小方格的面积表示1平方厘米） 8 7 6 5 4 C 3 2 1 012345678910111213141516 (1)画出三角形ABC绕B点顺时针旋转90°后的图形。用数对表示旋转后C点的位置是( )。 (2)假设方格纸中存在一点P(a,6),a为自然数，依次连接P、B、C三点，得到一个新的三角形PBC。小明 认真分析后说：“三角形PBC与三角形ABC的面积一定相等。”你同意他的说法吗？为什么？ (3)按1：2的比画出圆0缩小后的图形，使得缩小后的图形与原来的圆组成一个有无数条对称轴的图形。 (4)我国古代数学名著《九章算术》中的方田章，记载着这样一种求圆面积的方法，周径相乘，四而一。意 思是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积，即S-Cd。你能用所学的数学知识解 释其中的道理吗？ 第24页共24页