1.1.2 空间向量基本定理课后同步练习--2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册暑假预习

**基本信息** 本同步练习通过基础概念辨析、中档综合应用、提升几何实践三层设计，构建从单一定理到空间几何体综合运算的知识巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基底概念、共线共面定理|单选考查基底判断，夯实空间向量基本定理理解| |中档|向量表示、参数计算|多选结合四点共面参数分析，提升推理意识| |提升|几何体运算与证明|解答题综合平行六面体棱长计算，深化空间观念与运算能力|

1.1.2 空间向量基本定理课后同步练习 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 5．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 6．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AD项，假设共面，由空间向量基本定理建立方程组，由方程组无解推出矛盾则可得不共面结论；BC项，写出其中一个向量用另外两个向量表达的关系式，由平面向量基本定理可得共面结论. 【详解】A项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故A正确； B项，由可知，共面，故B错误； C项，由可知，共面，故C错误； D项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故D正确； 故选：AD. 9．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 10．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 11．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 12．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 13．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 15．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量基本定理课后同步练习 1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）（多选）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 12．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    13．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 14．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 15．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $