1.2.4 二面角 同步练--2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕二面角主题，分层设计基础巩固、中档综合、拔高应用三级梯度，通过不同几何体情境实现从单一计算到综合推理的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方体、正四棱锥等单一几何体二面角计算|单选形式，直接应用定义与公式，培养运算能力| |中档|结合线面垂直、动点的二面角问题及概念辨析|多选、填空，融合空间关系推理，发展空间观念| |拔高|复杂几何体中二面角与体积等综合应用|解答题，需论证与计算结合，提升逻辑推理与模型观念|

1.2.4 二面角课后同步练习 1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 5．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 9．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．平面 10．（25-26高一下·江苏南京·期末）（多选）已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．若平面与平面的交线为，则与所成的角为 C．棱与平面所成角的正切值为 D．若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为 11．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 13．（2026·广东深圳·一模）如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    14．（2026·全国·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，P为侧棱上的动点． (1)求证：； (2)当二面角的大小为时，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4 二面角课后同步练习 1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、，则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 故平面与平面的夹角余弦值是. 2．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，根据面面角向量求得二面角夹角余弦值，再根据同角三角函数基本关系计算即可求解. 【详解】由题意可知等腰直角三角形是圆锥的轴截面， 所以平面，是底面圆的直径，， 因为点在底面圆上，所以， 因为，所以， 以点为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角为，由图可知， 则， 所以，. 4．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 5．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 平面的法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 可得，所以. 故选：C． 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A. 7．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 8．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 【答案】BCD 【分析】取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解. 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面，因为平面，所以， 因为底面为菱形，，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，    则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， ， 则，，，则有， 即点为AD中点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为， 所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确. 9．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．平面 【答案】BC 【分析】取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解. 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则，因为平面平面， 平面平面，平面，平面，则平面， 因为底面为菱形，，所以， 因为平面，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， 则，，，则有， 即点为原点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为，故与平面不垂直，故D错误. 10．（25-26高一下·江苏南京·期末）（多选）已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．若平面与平面的交线为，则与所成的角为 C．棱与平面所成角的正切值为 D．若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用向量点积为0可证得垂直；对于B：结合图形可得交线为，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过，，的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形 . 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则、、、， 、、、、、， 选项A：，， 点积为，故，A正确； 选项B：结合图形可知 为平面与平面的交点，则交线即为直线. ，则. 可得，与所成角为，B正确； 选项C：设平面 的一个法向量，则有， 令 ，则 ，即 . ，则，从而， 可知棱 与平面所成角的正切值为， C不正确； 选项D：如图，取棱 的中点，连接. ∵ 分别为的中点，则 且 . 又∵ 且，则且， ∴ 为平行四边形，则. ∵ 分别为的中点，则且 ， ∴ 为平行四边形，则. ∴ . 同理可证. ∴ 经过的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形. ∴，则其周长为，D正确. 11．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 【答案】/ 【分析】先确定二面角的平面角，建立向量关系，通过向量数量积计算异面直线所成的角. 【详解】如图，取的中点，连接，. 因为，所以，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又， 所以， 则，所以为等边三角形，所以. 因为， 所以， 所以， ， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 13．（2026·广东深圳·一模）如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________．    【答案】 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，    设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 14．（2026·全国·模拟预测）在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 15．（2026高三·全国·专题练习）如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，P为侧棱上的动点． (1)求证：； (2)当二面角的大小为时，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 在直四棱柱中，连结交于点O， 由底面是菱形，得，由底面， 平面，得，而平面， 因此平面，又平面，所以． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解法一（几何法）连结、， ，，同理， 是二面角的平面角， ． 设， ，，则， ，． 在中，． 在中，由余弦定理得，即． 整理得，解得或（舍）． ． 解法二（向量法）： 设上、下底面菱形对角线交点分别为、O，则，平面． 如图，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ，，，， ，，就是二面角的平面角， ．解得或（舍），． （3），， ． 平面， ． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $