1.2.3 直线与平面的夹角课后 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与平面夹角，分层设计基础巩固、情境应用、综合探究三阶练习，通过单一公式到几何体综合问题的递进，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|线面角基本概念与公式|单选直接应用方向向量与法向量求正弦值，如第3题| |中档|几何体中线面角计算|结合正方体、长方体情境，如第4题已知余弦值求高，多选综合几何性质| |提升|综合证明与存在性探究|解答题需论证线面关系并求角，如第15题存在性问题，培养推理与模型观念|

1.2.3 直线与平面的夹角课后同步练习 1．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将用坐标表示，再计算出面的法向量，最后根据平面与直线所成角的正弦值公式计算出结果 【详解】设正方体的边长为2，并以为z轴的正方向，以为x轴的正方向, 以为y轴的正方向，则， 因此，，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，即，设直线与平面所成角为， 则.    2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 3．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 5．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 7．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、、，利用空间向量法求出和的值，然后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等， 不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、， 设点，其中、、，设平面的法向量为， ，，则， 取，可得， 因为点在平面内，且，则， 可得， 设直线与平面所成的角为，则， 且，所以，， 所以， . 故选：B. 8．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【分析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系，然后以空间向量知识结合选项可得答案. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. 9．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）（多选）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算判断线线垂直、计算异面直线所成角、线面角，逐一验证选项即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 10．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，圆为梯形的外接圆，线段为圆的直径，，四边形为矩形，平面平面，且，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定定理判断选项；利用线面垂直的判定定理判断选项； 先找出外接球的球心，求出外接球的半径，即可解决选项；建立空间直角坐标系，求与平面法向量夹角余弦的绝对值即可判断选项. 【详解】连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，选项正确； 因为为圆的直径，则，又平面平面，平面平面， 平面，因为四边形为矩形，则， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，选项正确； 由题可知圆为梯形的外接圆，即点为的外接圆圆心， 过点作的平行线，则外接球球心位于该平行线上， 记球心为点，过作平行线交于点，则四边形为矩形， 设，，又， 所以，解得，所以，即， 所以，选项错误； 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，设为平面的法向量， 又， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 11．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【答案】/ 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 12．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】1 【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角的正弦值，进而反求出. 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 14．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)【证明】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面 ，所以平面, 在中，，可得, 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）解法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 解法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面； 解法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面； （2）由（1）中的坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：，且 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 15．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 直线与平面的夹角课后同步练习 1．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 9．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）（多选）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 10．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，圆为梯形的外接圆，线段为圆的直径，，四边形为矩形，平面平面，且，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 12．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______． 14．（2026·河北秦皇岛·二模）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 15．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $