第一章 预备知识（单元分层自测·培优冲刺卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦必修第一册第一章预备知识，通过分层题型全面覆盖集合、不等式等核心知识，适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算（第2题）、充分必要条件（第5题）|基础巩固，突出概念辨析| |多选|3/18|封闭集定义（第9题）、不等式解集（第10题）|能力提升，考查逻辑推理| |填空|3/15|基本不等式求最值（第12题）、含参不等式（第13题）|简洁应用，强化运算能力| |解答|5/77|不等式解法（第15题）、实际建模（第16题公园设计）、新定义差集（第18题）|综合创新，体现数学语言与建模应用|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设a是实数，则成立的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 8．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为或 11．下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的最大值是__________. 13．已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 14．若，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 16．（15分）某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）．要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？    17．（15分）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 18．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 19．（15分）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 集合与逻辑·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A B B A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．3 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1），不等式的解集为；.......4分 （2）不等式，等价于，等价于， 所以，可得，不等式的解集为；.......8分 （3）由， 当时，解不等式得；.......10分 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为........13分 16.解：设休闲区的长米，则宽为米， 则长方形公园ABCD的面积 ，........7分 当且仅当，即时取等号， 所以要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应设计为和.........15分 17.解：（1）由 都是正实数，且，.......3分 即........6分 （2）充分性：如果， 所以，.......9分 必要性：如果， 那么 由于，则.......13分 所以，即 综上知，的充要条件是........15分 18.解：（1），， 根据差集概念，........3分 （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：   .......6分 （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足........8分 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即........12分 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是或或........17分 19.解：（1），，故，， 假设，，则，且，........4分 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，；........7分 （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有；........9分 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”；........12分 （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；........14分 ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ．........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设a是实数，则成立的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，反之不一定成立，所以是成立的一个必要条件；同理是成立的一个充分条件；由是成立的一个充分条件；由是成立的一个充分条件 2．设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，,故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为. 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 【答案】A 【解析】当且仅当，，即时等号成立； 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合，所以,则实数的取值范围是 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，即，解得.因为真包含于，小范围推出大范围，所以，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件. 6．已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】，，， ，当且仅当，且，即时等号成立，的最小值为. 7．设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【解析】由得，所以，因为，所以，或，或，当时，即，，此时，成立，即；当时，即，，此时，成立，即；当时，则或-3，当时，即，，此时，成立，即；当时，即，，此时，成立，即；综上，共有4对. 8．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即，所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当即，综上所述，的最小值为；因为不等式恒成立，所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【解析】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；对于C，设都是整数， 则，故，同理， ,故集合为封闭集，C正确；对于D，若S为封闭集，且，则,则，依此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，D正确 10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】ABD 【解析】因为不等式的解集为或，所以，且关于的方程的实数根为或，所以，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；不等式，即，即，解得或，即不等式的解集为或，故D正确 11．下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号，所以时，，故当时，为真命题，即A正确；对于B，显然时，有，故B错误；对于C，易知，当且仅当时取得等号，所以当时，，命题时，为真命题，故C正确；对于D，易知，当且仅当时取得等号，所以当时，，命题时，为真命题，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的最大值是__________. 【答案】3 【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值是3. 13．已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为关于的不等式：的解集为，所以关于的不等式：恒成立， 当时，不等式为恒成立，符合题意；当时，必须且只需，解得； 综上，. 14．若，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】因为所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最大值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 15.解：（1），不等式的解集为；.......4分 （2）不等式，等价于，等价于， 所以，可得，不等式的解集为；.......8分 （3）由， 当时，解不等式得；.......10分 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为........13分 16．（15分）某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）．要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？    16.解：设休闲区的长米，则宽为米， 则长方形公园ABCD的面积 ，........7分 当且仅当，即时取等号， 所以要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应设计为和.........15分 17．（15分）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 17.解：（1）由 都是正实数，且，.......3分 即........6分 （2）充分性：如果， 所以，.......9分 必要性：如果， 那么 由于，则.......13分 所以，即 综上知，的充要条件是........15分 18．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 18.解：（1），， 根据差集概念，........3分 （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：   .......6分 （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足........8分 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即........12分 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是或或........17分 19．（15分）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 19.解：（1），，故，， 假设，，则，且，........4分 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，；........7分 （2）证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有；........9分 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”；........12分 （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；........14分 ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为， ．........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设a是实数，则成立的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．16 4．已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 8．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（    ） A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集 C．集合为封闭集 D．若S为封闭集，且，则S一定为无限集 10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为或 11．下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，则的最大值是__________. 13．已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 14．若，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 16．（15分）某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）．要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？    17．（15分）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 18．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 19．（15分）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $