第二章 函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学必修第一册第二章函数单元复习卷，聚焦函数奇偶性、单调性等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配培优冲刺需求，体现数学抽象、逻辑推理与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数奇偶性（1、4题）、单调性（5、7题）|第8题等域函数创新定义，考查数学抽象能力| |填空题|3/15|分段函数比较（12题）、二次函数最值（13题）|14题含参不等式，强化运算能力与推理意识| |解答题|5/77|二次函数综合（18题）、实际应用（17题食堂食材需求）|19题抽象函数证明考查逻辑推理，17题结合勤俭节约体现文化传承与模型观念|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（    ）． A．3 B．5 C．9 D．12 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C．[0,4] D．[0,1] 4．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D．0 5．已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 7．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时， C． D．时，取得最小值 10．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 11．定义在上的函数满足：①，②当时，，则（    ） A．在上单调递增 B．恒成立，则或 C． D．当时，的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，又，试写出的大小关系______. 13．已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 14．已知，函数 ①若，则____________； ②若不等式对任意都成立，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 16．（15分）已知函数． (1)画出的图象； (2)根据图象写出函数的单调区间； (3)求的解集． 17．（15分）勤俭节约是中华民族的传统美德．我校由于发展的需要食堂要进行改扩建，师生的餐食采用中央厨房来送餐，为避免舌尖上的浪费，采取了精准供应的措施．学校食堂经调查分析预测，从九月开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足.为保证全年每一个月该食材都够用（当月若有剩余食材可以储存使用），食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量． (1)如果每月初进货公斤，那么前个月每月该食材是否都够用？ (2)若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值． 18．（17分）已知二次函数的最小值为，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)当时，求的最小值． 19．（17分）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有． (1)求和的值； (2)证明：对于任何实数，都有； (3)若还满足对有，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以，因为是奇函数，，所以，因为函数的图象关于对称，所以，即. 2．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（    ）． A．3 B．5 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由函数的值域为，得方程有两个相等的实根，则，即，由不等式的解集为，得方程的两根为，于是，即，所以. 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C．[0,4] D．[0,1] 【答案】B 【解析】已知函数的定义域为，要使函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为. 4．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】因为是定义在上的偶函数，故对任意，均有，已知，将替换为，可得，因此函数的周期，由偶函数性质得，对2026做带余运算：，因此，因为，代入已知解析式得：，故. 5．已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，在上单调递增，因此，当时， 为对勾函数，在上单调递增，又函数在上单调递增，所以，则，所以实数b的取值范围是. 6．已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【解析】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，则，整理得恒成立，所以，解得. 7．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在区间上不单调，对称轴为，“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件可以是． 8．对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，则，依题意有，从而在上单调递增，于是，则方程，即有两个不等的负实根，因此，又，解得，所以负数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时， C． D．时，取得最小值 【答案】AD 【解析】对于A，函数满足，取，得，A正确；对于B，当或，而当时，，又是上的奇函数，因此，B错误；对于C，由，得，又，所以，所以，，即的周期为12，所以，，C错误；对于D，先作出在的图像，再由是上的奇函数及关于对称作出在的图像，如下图可知一个周期内时，取得最小值，D正确.    10．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 【答案】ABD 【解析】因为为奇函数，所以，令，可得，故A正确；由于为偶函数，，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为为奇函数，所以，则，所以关于对称，因为在上单调递增，所以在上单调递增，又函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，故C错误；由，所以，所以是周期为8的周期函数，故D正确． 11．定义在上的函数满足：①，②当时，，则（    ） A．在上单调递增 B．恒成立，则或 C． D．当时，的解集为 【答案】BCD 【解析】当时，，， 则在上单调递减，故A错误；当时，，，所以，则由恒成立，得，解得或，故B正确；，，当时，，而，则，故C正确；当时，，即，即，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，又，试写出的大小关系______. 【答案】 【解析】由，，当且仅当时，等号成立，又，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，又在单调递减，所以，所以. 13．已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 【答案】/ 【解析】因为两个非负实数、满足，所以，，所以，令，对称轴为，由二次函数单调性可知当时，取得最小值. 14．已知，函数 ①若，则____________； ②若不等式对任意都成立，则的取值范围是____________． 【答案】 或 【解析】①当时，，即求时的值，，，，当时，同①理得，或；②由题意得：为最小值，当时，递减，当时，递增，，.故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 15.解：因为对任意，都有，且在单调， 所以是一个常数，不妨设为， 则，令，得，........7分 解得或（舍）， 所以，．........13分 16．（15分）已知函数． (1)画出的图象； (2)根据图象写出函数的单调区间； (3)求的解集． 16.解：（1）当时，； 当时，； 当时，........5分 故， 故函数图象如图， ........8分 （2）由图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.........10分 （3）由解析式，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则. 综上，不等式的解集为........15分 17．（15分）勤俭节约是中华民族的传统美德．我校由于发展的需要食堂要进行改扩建，师生的餐食采用中央厨房来送餐，为避免舌尖上的浪费，采取了精准供应的措施．学校食堂经调查分析预测，从九月开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足.为保证全年每一个月该食材都够用（当月若有剩余食材可以储存使用），食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量． (1)如果每月初进货公斤，那么前个月每月该食材是否都够用？ (2)若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值． 17.解：（1）根据题意，前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足，..........3分 所以当时，每月需求量公斤，每月进货公斤，到月都够用； 当时，因为，第个月该食材够用． 所以，如果每月初进货公斤，则前个月每月该食材都够用．..........6分 （2）为保证该食材全年每一个月都够用，则不等式对恒成立． 当时，恒成立，可得； 当时，恒成立，..........8分 即恒成立， 又，则， 当且仅当，即时，等号成立，..........12分 所以， 所以的最小值为． 所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．..........15分 18．（17分）已知二次函数的最小值为，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)当时，求的最小值． 18.解：（1）由题意可设，的解集为， 则其两个零点分别为0和2，则对称轴为， 则有，，， 解得，，，；..........5分 （2）在区间上不单调，可得，解得；..........8分 （3）①当时，在上单调递增，则， ..........11分 ②当，即时，， ..........14分 ③当，即时，在上单调递减， 则． ..........16分 综上所述，当时，，当时，，当时，．..........17分 19．（17分）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有． (1)求和的值； (2)证明：对于任何实数，都有； (3)若还满足对有，求的值． 19.解：（1） 取，得到，即； 取得到， 不是常值函数，故；..........5分 (2)， 取得到， 是偶函数，故，即， ...........8分 （3），为偶函数， 取，则，即； 取，则，即； 故，..........12分 ，，， 故， 取得到， 取，得到，..........15分 ，，解得， ，..........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值是（    ）． A．3 B．5 C．9 D．12 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C．[0,4] D．[0,1] 4．已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（    ） A．8 B．2 C．1 D．0 5．已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 7．“函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．对于集合，称定义域与值域均为的函数为集合上的等域函数.若，使为上的等域函数，则负数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时， C． D．时，取得最小值 10．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 11．定义在上的函数满足：①，②当时，，则（    ） A．在上单调递增 B．恒成立，则或 C． D．当时，的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，又，试写出的大小关系______. 13．已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 14．已知，函数 ①若，则____________； ②若不等式对任意都成立，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数在上单调，且，若对任意的，都有，求及． 16．（15分）已知函数． (1)画出的图象； (2)根据图象写出函数的单调区间； (3)求的解集． 17．（15分）勤俭节约是中华民族的传统美德．我校由于发展的需要食堂要进行改扩建，师生的餐食采用中央厨房来送餐，为避免舌尖上的浪费，采取了精准供应的措施．学校食堂经调查分析预测，从九月开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足.为保证全年每一个月该食材都够用（当月若有剩余食材可以储存使用），食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量． (1)如果每月初进货公斤，那么前个月每月该食材是否都够用？ (2)若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值． 18．（17分）已知二次函数的最小值为，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围； (3)当时，求的最小值． 19．（17分）已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有． (1)求和的值； (2)证明：对于任何实数，都有； (3)若还满足对有，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第二章 函数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．/ 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：因为对任意，都有，且在单调， 所以是一个常数，不妨设为， 则，令，得，........7分 解得或（舍）， 所以，．........13分 16.解：（1）当时，； 当时，； 当时，........5分 故， 故函数图象如图， ........8分 （2）由图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.........10分 （3）由解析式，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则. 综上，不等式的解集为........15分 17.解：（1）根据题意，前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似的满足，..........3分 所以当时，每月需求量公斤，每月进货公斤，到月都够用； 当时，因为，第个月该食材够用． 所以，如果每月初进货公斤，则前个月每月该食材都够用．..........6分 （2）为保证该食材全年每一个月都够用，则不等式对恒成立． 当时，恒成立，可得； 当时，恒成立，..........8分 即恒成立， 又，则， 当且仅当，即时，等号成立，..........12分 所以， 所以的最小值为． 所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．..........15分 18.解：（1）由题意可设，的解集为， 则其两个零点分别为0和2，则对称轴为， 则有，，， 解得，，，；..........5分 （2）在区间上不单调，可得，解得；..........8分 （3）①当时，在上单调递增，则， ..........11分 ②当，即时，， ..........14分 ③当，即时，在上单调递减， 则． ..........16分 综上所述，当时，，当时，，当时，．..........17分 19.解：（1） 取，得到，即； 取得到， 不是常值函数，故；..........5分 (2)， 取得到， 是偶函数，故，即， ...........8分 （3），为偶函数， 取，则，即； 取，则，即； 故，..........12分 ，，， 故， 取得到， 取，得到，..........15分 ，，解得， ，..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $