21.5 第3课时 反比例函数的应用-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的应用，通过回顾反比例函数的图象与性质巩固旧知，搭建从性质理解到实际应用的学习支架，梳理前后知识脉络。 此资料以数形结合与实际建模为特色，例1通过函数图象比较值的大小培养几何直观（数学眼光），例2药物浓度问题建立分段函数模型体现模型意识（数学语言），随堂训练销售利润问题提升运算与推理能力（数学思维）。助力学生提升应用能力，为教师提供实用教学案例，优化课堂效率。

21.5 反比例函数 第3课时 反比例函数的应用 课题 反比例函数的应用 课型 新授课 教学内容 教材第52-56页的内容 教学目标 1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质. 2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型，解决实际问题. 教学重难点 教学重点：从实际问题中建立函数模型以及反比例函数与一次函数知识的综合. 教学难点：应用反比例函数的性质解决简单的实际应用问题. 教 学 过 程 备 注 1.回顾复习，引入课题 【回顾】说一说反比例函数的图象和性质. 2.例题探究，学习新知 【例1】如图，已知反比例函数 与一次函数y＝x+b的图象在第一象限相交于点A(1，-k+4). (1)试确定这两个函数的表达式； (2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围. 解：(1)把点A坐标代入反比例函数表达式，得-k+4＝k， 解得k＝2，故A（1，2）. 把A(1，2)代入y＝x+b，得b＝1. 所以这两个函数的表达式分别为y＝和y＝x+1. （2）由方程组 解得 所以点B的坐标为(-2，-1). 由图象，得反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是0<x<1或x<-2. 【思考】不等式x+b- <0的解集如何求解？ 【师生活动】教师提出问题，学生小组讨论，根据以上例题可知：将不等式转化为比较一次函数和反比例函数值的大小，借助图象解答较直观，数形结合解题. 3.学以致用，应用新知 【例1】正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都经过点A（m，2）. （1）求k，m的值； （2）在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=kx和反比例函数y=的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 解：（1）将点A的坐标(m，2)代入反比例函数， 得2=. 解方程，得m =3. 将点A的坐标(3,2)代入正比例函数，得2 =3k. 解方程，得k=. (2)如图（图略，详见教材P53图21-22）. 由图象可知，这两个函数的图象有两个交点，交点坐标分别是（3，2）和（-3, -2）. 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为x>3或-3<x<0. 【例2】某药物研究所开发一种新药，经多年动物实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 y μg/mL与服药时间x h之间的函数关系如图所示(当0≤x<4时，y与x成正比例；当4≤x≤10时，y与x成反比例). （1）分别求出血液中药物浓度y与服盗时间x之间的函数关系； (2)血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为多长? 解：①当0≤x<4时,设正比例函数表达式为y=ax. 函数图象经过点(4,8),代入上式,得8=4a. 解方程，得a=2. 故正比例函数表达式为y=2x. ②当4≤x≤10时，设反比例函数表达式为y=. 函数图象经过点(4,8),代入上式,得8=. 解方程，得k=32. 故反比例函数表达式为y=. 综上所述，血液中药物浓度y与服药时间x之间的函数表达式为y= (2)①当0≤x<4时,由y≥4,得2x≥4.解不等式,得x≥2. 所以2≤х<4. ②当4≤x≤10时,由y=4,得4= 解方程，得x=8. 由k>0，知反比例函数图象在第一象限内自左向右下降. 所以当y≥4时,4≤x≤8. 综上所述，当y≥4时，2≤x≤8. 持续时间为8-2 =6(h). 答：血液中药物浓度不低于4 μg/mL的持续时间为6 h. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(-2，-5)，C(5，n)，交y轴于点B，交x轴于点D. (1)求反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的表达式； (2)连接OA，OC，求△AOC的面积. 解：(1)∵反比例函数y＝ 的图象过点A(-2，-5)， ∴m＝(-2) ×(-5)＝10， ∴ 反比例函数的表达式为y＝ . ∵ 点C(5，n)在反比例函数的图象上， ∴ n＝＝2. ∴ C的坐标为(5，2). ∵一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入y＝kx+b， 得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x-3. (2)∵一次函数y＝x-3与y轴交于点B， ∴点B坐标为(0，-3), ∴ OB＝3. ∵点A的横坐标为-2，点C的横坐标为5, ∴ S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝ ＝ （2）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元.为寻求合适的销售价格进行了 4天的试销，试销情况如下表所示： 第１天 第２天 第３天 第４天 销售价格 y/元 150 200 250 300 销售量x/双 40 30 24 20 (1)观察表中数据x，y满足什么函数关系？请求出这个函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？ 解：(1)由表中数据可得，xy＝6 000， ∴y是x的反比例函数，所求函数表达式 y＝. (2)由题意，得(x-120)y＝3 000，将 y＝代入， 得(x-120)＝3 000，解得x＝240. 经检验，x＝240是原方程的解. 答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课你学到了什么？ （2）如何运用反比例函数解决实际问题？ 6.布置作业 教科书P56练习第1,2题，P56习题21.5第1-3题. 回顾反比例函数的图象和性质及相关内容，巩固旧知，也为新知的学习做铺垫. 从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数表达式，通过表达式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想. 看图，根据函数图象求表达式中的未知系数，并根据图象的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，体验由“形”到“数”，进一步领悟数形结合思想，同时提高从函数图象中获取信息的能力. 总结如何应用反比例函数的图象和性质解决问题. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 1.反比例函数的图象与性质. 2.反比例函数的实际应用. 教后反思 鼓励学生从数学知识、数学方法及数学情感等方面交流体会通过完成对比表，进一步对 知识进行梳理积极引导学生从探索过程中提炼出解决问题的思想方法通过强化训练使学生加深对反比例函数的性质的理解与记忆，不断地完善新的认知结构. 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $