第2章 一元二次方程 单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+12典例精讲）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学单元复习讲义以“核心知识+易错辨析+典例精讲”为主线构建一元二次方程知识体系，通过表格对比四种解法的适用形式与步骤，梳理根的判别式、韦达定理等核心工具，结合思维导图呈现概念、解法、应用的内在逻辑，突出降次转化思想与实际问题建模等重难点。 讲义亮点在于12类典例题型设计，涵盖增长率、面积问题、销售利润等实际场景，如通过“矩形地块修筑道路”题培养模型意识，结合7个易错点辨析强化运算能力。分层练习满足不同学生需求，教师可依托知识框架与题型示例实施精准复习，助力学生系统掌握知识并提升数学思维。

第2章 一元二次方程 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+12典例精讲） 【知识点01】一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式： 各项定义： ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项。 核心注意：识别各项、系数必须先将方程整理为一般形式，是一元二次方程的必备条件。 3. 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的解。 【知识点02】一元二次方程的四种解法 核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。解法优先级：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法（万能解法） 解法 适用形式 核心步骤与要点 直接开平方法 两边开平方得；若，方程无实数根 配方法 任意一元二次方程 1. 二次项系数化为1；2. 移常数项至等式右侧；3. 两边加一次项系数一半的平方；4. 化为完全平方形式，开方求解 公式法 任意一元二次方程 求根公式：，先整理一般式，确定，计算判别式后代入公式 因式分解法 方程右侧为0，左侧可因式分解 移项使右边为0，左侧分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0，解一元一次方程 【知识点03】根的判别式 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 核心用途：不解方程判断根的情况；根据根的情况求参数取值范围。 【知识点04】根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程有两根（），则： ， 常用变形公式： 1. 2. 【知识点05】一元二次方程实际应用 解题六步法：审、设、列、解、验、答 双重检验：①检验数值是否为方程的根；②检验结果是否符合实际意义，舍去不合理的解。 常见应用题模型： 1. 增长率/下降率问题：（为初始量，为变化后量，为变化率）； 2. 传播、分裂问题； 3. 几何面积问题（道路、花圃、矩形裁剪等）； 4. 销售利润问题：总利润=单件利润×销售量。 易错1：忽略二次项系数 错例：判定为一元二次方程时，仅令，解得。 正解：需同时满足次数为2、二次项系数不为0，即，最终。 总结：只要是一元二次方程，默认隐含。 易错2：判别式、韦达定理使用条件遗漏 1. 判别式仅适用于一元二次方程，需保证； 2. 韦达定理必须在（方程有实数根）的前提下使用，不可直接套用公式。 易错3：配方法运算规则出错 错例：，两边直接加。 正解：配方需加一次项系数一半的平方，即，得。 总结：二次项系数不为1时，必须先化为1，再配方。 易错4：直接开平方法漏根、无视负数不能开方 1. 漏负根：解，仅得，遗漏； 2. 无实根误解：，等式左侧非负、右侧为负，方程无实数根。 易错5：韦达定理符号混淆 核心口诀：两根之和等于负a分之b，负号不可丢。 例：，，易错误写为。 易错6：公式法看错符号 必须先整理为标准一般式，所有系数带符号。例：化为，其中，而非。 易错7：应用题不检验实际意义 边长、人数、价格、增长率等物理量不能为负数；几何问题需满足图形性质（如三角形三边关系），必须舍去不符合现实的解。 【题型一】一元二次方程定义与一般形式 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B. 是一元二次方程，故符合题意；     C. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 【答案】3 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程即可； 【详解】解：A． 未说明，故A错误； B． 有两个未知数， ∴不是一元二次方程，故B错误； C． ，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，故C正确； D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误； 故选∶C． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 5．已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 【答案】方程有两个不相等的实数根，根为和． 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及求解，解题的关键是先根据条件求出的值，再分析根的情况并解方程． 先根据“一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍”列方程求出的值，再代入方程确定其形式，通过根的判别式判断根的情况，最后解方程． 【详解】解：方程的各项系数： 二次项系数：（由一元二次方程定义，，即）， 一次项系数：， 常数项：， 根据题意可得：， 解得：， 将代入原方程，得： ， 整理得：， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ， 综上，方程有两个不相等的实数根，根为． 【题型二】一元二次方程的解（根） 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 7．若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 8．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的解和定义求出m的值．根据一元二次方程（有一根为0得到，结合一元二次方程的定义，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵一元二次方程有一根为0， ∴， 解得，， 故选：A． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为0且判别式大于0，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是且， 故选：C． 10．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于的方程有一个根为1，则的值为_____． 【答案】7 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查方程的根的定义，核心思路是将根代入方程，转化为关于参数的一元一次方程求解，这是求方程中未知参数的常用方法． 将代入方程，可得，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，即 ，整理得， 解得． 故答案为：． 【题型三】一元二次方程的4种基础解法 11．（24-25九年级上·江苏·阶段检测） 解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：，     直接开方得：，     解得：，； （2）解：， 移项得：， 因式分解：， ，     或， 解得：，． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）解方程∶ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，则利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以变形为，则利用直接开平方法解方程即可得； （3）方程的左边可以因式分解为，则利用因式分解法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （3）解：， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ∴ ∴或， 解得： （4）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)，； (4)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）用直接开平方法，即可求解； （2）可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （3）将方程右边的项移到左边进行因式分解，即可求解； （4）整理后，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：， 开方得， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，； （3）解：， 整理得，即， 因式分解得，即， 或， ，； （4）解：， 整理得，即， 配方得，即， 开方得， ，． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【题型四】根的判别式应用 16．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 把代入得： (2)，方程的另一个根为 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，证明其大于0即可； （2）把代入求出k，再解一元二次方程即可得到另一根． 【详解】（1）略． （2）， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴方程的另一个根为． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）当⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当⇔方有两个相等的实数根；（3）当⇔方程没有实数根，理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键． 17．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 18．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根； (2)求原方程的两个根（用含m的式子表示）； (3)若原方程的两个实数根均大于3，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根； (2)， (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用因式分解计算即可； （3）根据两根都大于3，列出不等式解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∴； （3）解：由（2）可知方程的两根为， ∵原方程的两个实数根均大于3， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 【题型五】根与系数关系（韦达定理） 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根，满足，求实数的值． 【答案】(1)； (2)实数的值为． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）根据题意得，然后求出的取值范围即可； （）根据题意得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴实数的值为． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 24．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【答案】(1)7 (2)①A；② 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【题型六】增长率（下降率）模型 25．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为，然后根据题意列方程即可． 【详解】解：由题意知，第一次降价后成本为，第二次降价后成本为， 依题意得，， 故选：A． 26．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，从第一周到第三周经过两周增长，利用增长公式列出方程即可． 【详解】解：设周平均增长率为，则第二周人数为，第三周人数为， 根据题意，第三周接待游客8470人， 故列方程为， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某药品原价是元，经过连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是，则可列方程为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率是，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率是， 根据题意得，， 故答案为：． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）南京有着“天下文枢”、“江南第一州”等美誉．美丽环境来之不易，为了美化环境，我市加大了对绿化的投资，年用于绿化投资万元，截止到年，这三年的绿化总投资为万元，求我市、这两年绿化投资的年平均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据三年的绿化总投资钱数列方程求解即可． 【详解】解：设我市、这两年绿化投资的年平均增长率为，则年用于绿化投资万元，年用于绿化投资万元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：我市、这两年绿化投资的年平均增长率为． 【题型七】面积问题（矩形、边框、道路、靠墙篱笆） 29．如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移，四块草坪可以拼成一个矩形，设道路的宽为，则拼成矩形的长和宽分别为，，根据草坪的面积是列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽为． 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 【答案】的长为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 【详解】解：设的长为， 根据题意，得， 解方程，得或， ， ， ， 所以的长为． 31．某农场计划修建一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 ) ，另外三面用栅栏围成(如图) ．已知栅栏的修建费是每米60元，若计划修建费为3000元并全部用于修建栅栏，则该农场能否修建成 的矩形养殖场？ 若能，请算出这个矩形养殖场的边长； 若不能，请说明理由． 【答案】这个矩形养殖场的边长分别为、． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求得栅栏长，设垂直于墙的边长为，则平行于墙面的边长为，依题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：栅栏长为 设垂直于墙的边长为，则平行于墙面的边长为，依题意， ， 解得：或， 当时，，舍去， 当时，， ∴这个矩形养殖场的边长分别为、． 32．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 【题型八】销售利润问题（中考高频） 33．在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． (1)若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； (2)若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 【答案】(1)24 (2)9元或11元 【知识点】有理数四则混合运算、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； （2）解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． (1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； (2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 【答案】(1) (2)每份种快餐利润应降5元或7元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键． （1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份可列代数式； （2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份， ∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖份，B种快餐可少卖份； 故答案为：，； （2）解：据题意知：， 整理得：； 解得：． 答：则每份种快餐利润应降5元或7元． 35．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了元． (1)完成下表（用含的整式填空） 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 总利润/元 降价前 20 40 800 降价后 1250 (2)求衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1) 解：完成表格如下： 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 总利润/元 降价前 20 40 800 降价后 1250 (2)15元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意完成表格，即可求解； （2）根据“降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元”列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：， 即， 解得：， 答：衬衫的单价降了15元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 【答案】(1)1200 (2)78元 (3)每天能获得1250元的利润，定价为85元 【知识点】有理数乘法的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键， （1）根据题意求出每天能多卖20件，从而计算可以得解； （2）设每件恤衫降价元，根据“每天获得的利润达到1152元”列出一元二次方程求解即可解答； （3）当降价元时，由题意可得，解得，再根据保证每件恤衫的利润率不低于列不等式求得的取值范围，再判断即可解答． 【详解】（1）解：降价10元， 每天多卖20件， 每天的销售量为40件， 每天销售恤衫的利润为（元）， 故答案为：1200； （2）解：设每件恤衫降价元， 由题意可得：， 或， 又尽可能让利于顾客，优惠最大， ， 每件恤衫的销售价应该定为：元（元）， 每件恤衫的销售价应该定为78元； （3）解：根据题意得，当降价元时，每天利润为， 由题意可得：， 化简得 ， 每件恤衫的利润率不低于， ， ， ，符合题意， 每件恤衫应降价15元，则定价为（元）， 答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元． 【题型九】传播、握手、球赛问题 37．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 38．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据题意，设参加会议有x人，则每人会与人握手，列出方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，则每人会与人握手， ， 解得：，（舍）， ∴参加会议的人数为12人， 故选：D． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为． 39．参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛56场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设参加比赛的球队有x支，根据“每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛56场”即可列出方程． 【详解】设参加比赛的球队有x支，由题意得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能够准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 40．梵净山足球联赛火爆出圈，吸引了许多球迷亲临现场观赛．足球爱好者小明深入了解后得知：联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了78场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键．单循环赛制中，每支球队与其他所有球队各赛一场，总比赛场数为球队数目的组合，但需避免重复计算，因此使用公式表示总场数，设其等于78即可列方程． 【详解】解：设参加联赛的球队共有支， 每支球队需与其他支球队各赛一场， 总比赛场数为， 又常规赛共进行了78场对决， ，即， 故选：B． 41．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 42．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2) 解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； 【题型十】一元二次方程与几何动点综合 43．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 44．如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 45．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据路程速度时间得： ，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的 ∴面积等于面积的 ∴ 即 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 46．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：    问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动． (1)几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由； (2)几秒钟后为直角？请说明理由； (3)当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______． 【答案】(1)2秒或秒后，点P、Q的距离为，理由如下： 设运动时间为秒， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 整理得： 解得：或， 2秒或秒后，点P、Q的距离为； (2)秒或6秒后，为直角，理由如下： 设运动时间为秒， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 在中，， 在中，， 在中，， 为直角， 由勾股定理得：， ， 整理得：，即 解得：或， 秒或6秒后，为直角； (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）设运动时间为秒，则，，，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案； （2）设运动时间为秒，则，，，，利用勾股定理分别表示出、、，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案； （3）设运动时间为秒，根据题意求出，进而得到，取的中点N，连接、，先证明直角三角形，进而得到，再利用勾股定理，求得，最后根据两点间线段最短，得到的最小值，即可求出线段的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设运动时间为秒，则，， ， ， 解得：， ， 如图，取的中点N，连接、，   ， ， ， ， ， 点N是的中点， ， 在中，， ，即、、三点共线，有最小值，最小值为的长， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解一元二次方程，最短线段问题等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键，属于中考常考题型． 47．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若点P沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线BC方向从B点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积为8cm2？ 【答案】(1)或2 (2) 线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由： 设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC的面积， ， ， ， ∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； (3)2秒，4秒，()秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）在Rt△PBQ中，勾股定理列式即可解得． （2）根据面积相等列式，一元二次方程判别式判断方程无根． （3）分两种情况，①点P在线段AB上，点Q在射线CB上，②点P在射线AB上，点Q在射线CB上，分别列方程求解． 【详解】（1）当时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴， ， ， ， ∴当，时，PQ的长度等． （2）略 （3）设经过m秒后，△PBQ的面积为8cm2，依题意有∶ ①点P在线段AB上，点Q在射线CB上（）， ， ， 解得， 经检验，均符合题意 ∴ ②点P在射线AB上，点Q在射线CB上， ， ， 解得，， 经检验，m＝符合题意． 综上所述，经过2秒，4秒，()秒后，的面积为． 【点睛】此题考查了勾股定理，一元二次方程的根，解题的关键是根据条件列出找出等量关系式列出方程求解． 【题型十一】含参综合（判别式+韦达定理综合） 48．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若为正整数，同时方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 证明：关于的方程， ∴ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，结合题意判定即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或， 解得，或． 49．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 50．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值及方程的两根． 【答案】(1) (2)， 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）由题意易得，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 51．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 52．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， (1)求的取值范围： (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． 【详解】（1）解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； （2）∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：①． ∵②， 联立①②解得： ∴， 解得：． 【题型十二】新定义题型（信息迁移） 53．（23-24九年级上·江苏南京）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是_______； ①    ②    ③ (2)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)③ (2) 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查解一元二次方程，“三倍根方程”，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）解一元二次方程然后根据“三倍根方程”的定义进行判定即可； （2）设方程两个根为，，利用根与系数关系得：，，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：对于①，解得，，不是“三倍根方程”； 对于②，解得，，不是“三倍根方程”； 对于③，解得，，是“三倍根方程”； 故答案为③ （2）解：设方程两个根为，， 利用根与系数关系得：，， 所以． 54．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 55．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 56．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 1. 核心思想：本章核心是降次转化，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，是初中方程体系的重要延伸。 2. 四大解法：因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法。其中配方法是推导求根公式的基础，公式法是通用万能解法，解题优先选择简便方法。 3. 两大核心工具： 根的判别式：判断方程实数根的个数，用于求参数范围； 韦达定理：不解方程求解两根代数式的值，使用必须满足且。 4. 应用核心：实际问题遵循“审设列解验答”六步法，实际意义检验是必得分步骤，不可省略。 5. 高频避坑要点：时刻牢记二次项系数不为0、公式符号准确、不遗漏根、舍去无效解，规避基础失分。 本章重难点：配方法运算、含参数判别式问题、韦达定理综合应用、实际问题建模求解。 一、单选题 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意． 故选：C． 2．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 3．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 4．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程为的两个根为， ， ∴ ， ∵代数式的值为3， ∴代数式的值为， 故选：B． 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 6．已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴， 解不等式组，得， 故选：C． 7．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】A 【知识点】无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案 【详解】∵ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴（舍去） ∴的解为： 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次根式有意义的条件；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解． 8．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 9．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 二、填空题 10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：2． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 12．若为方程的解，则的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念和代数式求值．将代入原方程，得到，再对所求代数式进行变形，整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 13．设、是一元二次方程的两个根，且，则m的值为_______ ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用根与系数的关系构建方程求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ， 整理得， 或， 解得，， 当时，方程为， ，方程无解， 故舍去． 当时，方程为，方程有解，则符合． 所以． 故答案为：． 14．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 三、解答题 15．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2）， ， 或， ∴． 16．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解； （3）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ， 或， ，； （3）， ，，， ， ， ，． 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为，请求出的值和方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为，此方程的另一根为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程等知识点，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）根据判别式求出，即可得出答案； （2）把代入方程，求出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）把代入方程得：， 解得， 把代入方程得：， 解得，， 的值为，此方程的另一根为． 18．已知：关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根为，，且满足，求m的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ， ∴方程总有两个实数根； (2)． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）根据方程两根为，，，则变形，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 解得：． 经检验，是分式方程的根，且符合题意． 19．2025赛季苏超第12轮展开角逐，徐州队坐镇主场迎战苏州队，吸引了大量观众前往徐州奥体中心现场观看比赛． (1)【苏超效应】比赛期间许多外地游客来徐州游玩，经估算，第一天徐州累计接待外地游客约5万人次， 第三天接待外地游客约7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】徐州文庙近年实施保护性开发，复建棂星门等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)日平均增长率为； (2)售价应降低2元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为x， 由题意得： ， 解得 ，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去）， 答：售价应降低2元． 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由． (3)若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)不存在， 是方程的两个实数根， 解得 ∵方程有实数根时k的取值为 ∴不存在k值使得 (3) 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键能够正确运用判别式的表达式以及根与系数的关系式． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． （3）联立可解得方程的一个根，再将这个根代入原方程即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：即k的取值范围为 （2）略 （3）解：由得 代入中得， 解得：， 把代入原方程得，， 解得：． 22．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)4 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键． （1）仿照例题写出三种不同形式的配方； （2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答； （3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由得： ，， ①根据完全平方公式可得； ②； （3）解：， 可得， 解得， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+12典例精讲） 【知识点01】一元二次方程的概念 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式： 各项定义： ：二次项，为二次项系数； ：一次项，为一次项系数； ：常数项。 核心注意：识别各项、系数必须先将方程整理为一般形式，是一元二次方程的必备条件。 3. 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的解。 【知识点02】一元二次方程的四种解法 核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。解法优先级：因式分解法＞直接开平方法＞配方法＞公式法（万能解法） 解法 适用形式 核心步骤与要点 直接开平方法 两边开平方得；若，方程无实数根 配方法 任意一元二次方程 1. 二次项系数化为1；2. 移常数项至等式右侧；3. 两边加一次项系数一半的平方；4. 化为完全平方形式，开方求解 公式法 任意一元二次方程 求根公式：，先整理一般式，确定，计算判别式后代入公式 因式分解法 方程右侧为0，左侧可因式分解 移项使右边为0，左侧分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0，解一元一次方程 【知识点03】根的判别式 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程无实数根。 核心用途：不解方程判断根的情况；根据根的情况求参数取值范围。 【知识点04】根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程有两根（），则： ， 常用变形公式： 1. 2. 【知识点05】一元二次方程实际应用 解题六步法：审、设、列、解、验、答 双重检验：①检验数值是否为方程的根；②检验结果是否符合实际意义，舍去不合理的解。 常见应用题模型： 1. 增长率/下降率问题：（为初始量，为变化后量，为变化率）； 2. 传播、分裂问题； 3. 几何面积问题（道路、花圃、矩形裁剪等）； 4. 销售利润问题：总利润=单件利润×销售量。 易错1：忽略二次项系数 错例：判定为一元二次方程时，仅令，解得。 正解：需同时满足次数为2、二次项系数不为0，即，最终。 总结：只要是一元二次方程，默认隐含。 易错2：判别式、韦达定理使用条件遗漏 1. 判别式仅适用于一元二次方程，需保证； 2. 韦达定理必须在（方程有实数根）的前提下使用，不可直接套用公式。 易错3：配方法运算规则出错 错例：，两边直接加。 正解：配方需加一次项系数一半的平方，即，得。 总结：二次项系数不为1时，必须先化为1，再配方。 易错4：直接开平方法漏根、无视负数不能开方 1. 漏负根：解，仅得，遗漏； 2. 无实根误解：，等式左侧非负、右侧为负，方程无实数根。 易错5：韦达定理符号混淆 核心口诀：两根之和等于负a分之b，负号不可丢。 例：，，易错误写为。 易错6：公式法看错符号 必须先整理为标准一般式，所有系数带符号。例：化为，其中，而非。 易错7：应用题不检验实际意义 边长、人数、价格、增长率等物理量不能为负数；几何问题需满足图形性质（如三角形三边关系），必须舍去不符合现实的解。 【题型一】一元二次方程定义与一般形式 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______． 5．已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 【题型二】一元二次方程的解（根） 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 7．若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 8．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）若关于的方程有一个根为1，则的值为_____． 【题型三】一元二次方程的4种基础解法 11．（24-25九年级上·江苏·阶段检测） 解下列方程： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）解方程∶ (1) (2) (3) 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】根的判别式应用 16．已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求它的另一个根和的值． 17．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 18．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根； (2)求原方程的两个根（用含m的式子表示）； (3)若原方程的两个实数根均大于3，求m的取值范围． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【题型五】根与系数关系（韦达定理） 21．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 22．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根，满足，求实数的值． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 24．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【题型六】增长率（下降率）模型 25．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）一种微波炉每台成本价原来是元，经过两次技术改进后，成本降为元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 27．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某药品原价是元，经过连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是相同的，设每次降价的百分率是，则可列方程为______． 28．（2024·江苏南京·模拟预测）南京有着“天下文枢”、“江南第一州”等美誉．美丽环境来之不易，为了美化环境，我市加大了对绿化的投资，年用于绿化投资万元，截止到年，这三年的绿化总投资为万元，求我市、这两年绿化投资的年平均增长率． 【题型七】面积问题（矩形、边框、道路、靠墙篱笆） 29．如图，在长40m、宽22m的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 30．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用）现在已备足可以砌的墙的材料，使矩形花园的面积为，试求的长． 31．某农场计划修建一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 ) ，另外三面用栅栏围成(如图) ．已知栅栏的修建费是每米60元，若计划修建费为3000元并全部用于修建栅栏，则该农场能否修建成 的矩形养殖场？ 若能，请算出这个矩形养殖场的边长； 若不能，请说明理由． 32．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【题型八】销售利润问题（中考高频） 33．在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． (1)若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； (2)若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 34．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． (1)设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； (2)若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 35．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了元． (1)完成下表（用含的整式填空） 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 总利润/元 降价前 20 40 800 降价后 1250 (2)求衬衫的单价降了多少元？ 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元； (2)小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由（利润率）． 【题型九】传播、握手、球赛问题 37．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 38．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 39．参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛56场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 40．梵净山足球联赛火爆出圈，吸引了许多球迷亲临现场观赛．足球爱好者小明深入了解后得知：联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了78场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程（   ） A． B． C． D． 41．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 42．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【题型十】一元二次方程与几何动点综合 43．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 44．如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 45．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 46．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你和他一起解决以下几个问题：    问题6如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动． (1)几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由； (2)几秒钟后为直角？请说明理由； (3)当时，内有一个动点M，连接、．若，线段的最小值为______． 47．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若点P沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线BC方向从B点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积为8cm2？ 【题型十一】含参综合（判别式+韦达定理综合） 48．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若为正整数，同时方程的两个根均为整数，求的值． 49．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 50．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值及方程的两根． 51．已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 52．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， (1)求的取值范围： (2)若，试求的值． 【题型十二】新定义题型（信息迁移） 53．（23-24九年级上·江苏南京）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是_______； ①    ②    ③ (2)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 54．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 55．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 56．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 1. 核心思想：本章核心是降次转化，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，是初中方程体系的重要延伸。 2. 四大解法：因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法。其中配方法是推导求根公式的基础，公式法是通用万能解法，解题优先选择简便方法。 3. 两大核心工具： 根的判别式：判断方程实数根的个数，用于求参数范围； 韦达定理：不解方程求解两根代数式的值，使用必须满足且。 4. 应用核心：实际问题遵循“审设列解验答”六步法，实际意义检验是必得分步骤，不可省略。 5. 高频避坑要点：时刻牢记二次项系数不为0、公式符号准确、不遗漏根、舍去无效解，规避基础失分。 本章重难点：配方法运算、含参数判别式问题、韦达定理综合应用、实际问题建模求解。 一、单选题 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或1 8．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 9．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围______． 12．若为方程的解，则的值为______． 13．设、是一元二次方程的两个根，且，则m的值为_______ ． 14．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______． 三、解答题 15．解下列方程： (1) (2) 16．解方程： (1) (2) (3) 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为，请求出的值和方程的另一个根． 18．已知：关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根为，，且满足，求m的值． 19．2025赛季苏超第12轮展开角逐，徐州队坐镇主场迎战苏州队，吸引了大量观众前往徐州奥体中心现场观看比赛． (1)【苏超效应】比赛期间许多外地游客来徐州游玩，经估算，第一天徐州累计接待外地游客约5万人次， 第三天接待外地游客约7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】徐州文庙近年实施保护性开发，复建棂星门等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 20．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的两个实根，是否存在值使，若存在，求出值，若不存在，请说明理由． (3)若方程两实数根为，且满足，求实数的值． 22．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）． 诸根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）； (2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值； ①．     ②； (3)已知，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $