26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习一次函数与一元一次方程的联系搭建学习支架，引导学生迁移探究二次函数图象与x轴交点的横坐标和对应方程根的关系。 其亮点在于以“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程培养几何直观和推理意识，结合小球飞行高度实例建立模型，用表格清晰呈现判别式与交点个数的关系，帮助学生发展数学思维，教师使用可有效落实数形结合思想，提升教学效率。

第二十六章 二次函数 2026人教版·九年级上册 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时 学习目标 1.理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数. 2.经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力. 3.感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯. 课堂导入 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 复习 一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． x=2 1 3 O x y 2 y=kx+b 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 新知探究 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点， 它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 新知探究 新知探究 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0  有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. 新知探究 y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 新知小结 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根. (2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 有两个交点 新知小结 例题分析 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 即时即练 关于例1，回答下列问题： （选自教材P48 练习） (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 15 1 3 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 即时即练 （选自教材P48 练习） (2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 20.5 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？ 即时即练 （选自教材P48 练习） (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0). 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 新知小结 即时即练 1. 二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点有 ( )　 B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 2. 若关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标 是（－1，0）和（3，0），则关于x的一元二次方程 －x2＋mx＋n＝0的解为( ) D A. x1＝x2＝0 B. x1＝1，x2＝－3 C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝－1，x2＝3 3. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ⁠. x1＝－1，x2＝3　 即时即练 课堂小结 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 与x轴有两个公共点 与x轴有一个公共点 与x轴无公共点 课堂练习 1. 求抛物线y＝x2－3x－4与x轴、y轴的交点坐标. 解：当x＝0时，y＝－4； 当y＝0时，x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(4，0)和(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，－4). 课堂练习 2. (1)抛物线y＝2x2－x－1与x轴的交点坐标为______________； (2)二次函数y＝－2x2＋5与y轴的交点坐标为________. (0，5) (1，0)和 3. 已知抛物线y＝－2x2＋4x－1，下列结论错误的是 ( ) A. 与x轴有2个交点 B. 与y轴有1个交点 C. 开口向下 D. 对称轴为y轴 D 课堂练习 4. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0), (2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________. x1＝－1，x2＝2 5. 已知抛物线y＝ x2＋x＋c与x轴没有交点. (1)求c的取值范围； 解得c＞ . 解：(1)依题意，得12－4× c＜0， (2)试确定直线y＝cx＋1经过的象限，并说明理由. 解：(2) 直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限.理由如下： ∴直线y＝cx＋1经过第一、三象限. ∵b＝1， ∴直线y＝cx＋1与y轴正半轴相交. ∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限. 课堂练习 5. 已知抛物线y＝ x2＋x＋c与x轴没有交点. ∵c＞ ＞0， $