26.3 二次函数与一元二次方程2 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的近似根及综合应用，通过“温故知新”表格梳理判别式与抛物线和x轴交点的关系，衔接旧知为新知学习搭建支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点是以数形结合为核心，例题分析详细（如例1用取平均数法缩小范围估计近似根，例3结合图象解不等式），分层练习梯度分明。通过几何直观和推理意识，培养学生数学眼光与思维，学生能强化数形结合能力，教师可借助系统例题和练习提升教学效率。

第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 第2课时 近似根与综合应用 学习目标： 1.会利用二次函数图象，估计一元二次方程的近似实数根。 2.能结合函数图象，解简单一元二次不等式。 3.综合运用函数、方程知识解决简单综合题型，强化数形结合。 教学重点：利用函数图象求一元二次方程近似根 教学难点：读懂图象，根据函数值正负判断自变量取值范围 感悟新知 b2－4ac的取值 b2－4ac=0 b2－4ac<0 b2－4ac＞0 二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象 a>0 a<0 温故知新 二次函数 y=ax2＋bx＋c ，当y=0时，得 一元二次方程 ax2+bx+c=0， （1）当Δ>0时，这个方程有两个不相等的实数根x1，x2，抛物线与x轴的有两个交点（x1，0 ），（x2，0）。 (2)当Δ=0时，这个方程有两个相等的实数根x1=x2= -抛物线与x轴只有一个交点（-,0 ）,这个交点刚好就是抛物线的顶点。 （3）当Δ＜0时，这个方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。当a＞0时，抛物线都在x轴上方；当a＜0时，抛物线都在x轴下方。 温故知新 例1.利用二次函数的图象求一元二次方程 －x2+2x－3=－8 的近似解(结果保留小数点后一位) . 例题分析 解：整理方程，得 －x2+2x+5=0.画函数 y=－x2+2x+5的图象，如图 26.3-1 所示 .由 图 知，抛 物 线 与 x 轴 公 共 点 的 横 坐 标 分 别 在 －2和 －1，3 和 4 之间，即方程 －x2+2x－3=－8 的两个 实数解分别在 －2 和 －1，3 和 4 之间， 用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解 . 由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y<0. 取 3 和 4 的平均数 3.5，当 x=3.5 时， y=－0.25，与 x=3 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3 和 3.5 之间 . 取 3 和 3.5 的 平 均 数 3.25，当 x=3.25 时， y=0.937 5，与x=3.5 时 的 函 数 值 异 号，所 以 方 程 的 这 个 解 在 3.25 和 3.5 之间 . 取 3.25 和 3.5 的平均数 3.375，当 x=3.375 时， y=0.359 375，与 x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.375和 3.5之间 . 由此方法可得到原方程的一个近似解为 3.4. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为 － 1.4. 所以方程 －x2+2x－3=－8的解为 x 1 ≈ －1.4， x 2 ≈ 3.4. 例题分析 例2.已知二次函数y=x2－2mx+m2+3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 例题分析 证 明： ∵ 方 程 x2 － 2mx+m2+3=0 的 根 的 判 别 式 Δ=(－2m) 2－4× 1×(m 2+3) =4m 2－4m 2－12=－12<0， ∴ 方程 x2 － 2mx+m2+3=0 没有实数根，即不论 m 为何值，二次函数 y=x2 － 2mx+m2+3的图象与x轴都没有公共点 . 解： y=x2－2mx+m2+3 =(x －m) 2+3. 把 函 数 y =(x －m) 2+3的 图 象 沿 y 轴 向 下 平 移 3 个 单 位 长度后，得到函数 y=(x －m) 2的图象，它的顶点坐标是(m， 0)，此时这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点 . ∴ 把 函 数 y=x2 － 2mx+m2+3的 图 象 沿 y轴向下 平 移3 个单位长度后， 得到的函数的图象与x轴只有一个公共点 . (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 例题分析 方法二： 设抛物线沿y轴向下平移a(a>0)个单位长度后，得到的函数的图象 与x轴只有一个公共点，此时二次函数的解析式为 y=x2－2mx+m2+3－a， ∴方程x2－2mx+m2+3－a=0的根的判别式 Δ=(－2m)2－4×1×(m2+3 －a)=4m2－4m2－12+4a=－12+4a=0， 解得a=3. ∴把函数y=x2－2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 例题分析 例3.已知二次函数y=x2 － 4x+3.(1)当x取什么值时， y=0 ？ (2)当x取什么值时， y>0 ？ (3) 当x取什么值时， y<0 ？ 例题分析 解：如图 26.3-2，画出二次函数 y=x2 －4x+3的图象 . 根据图象可知： (1)当 x=1 或 x=3 时，y=0； (2)当 x<1 或 x>3 时， y>0； (3)当 1<x<3 时， y<0． 例4.已 知 二 次 函 数y=ax2－2ax+3(a 为常数， a ≠ 0) (1)若 a<0，求证：该函数的图象与 x轴有两个公共点； (2)若 a=－1，求 证：当 －1<x<0 时，y>0； (3)若该函数的图象与 x 轴有两个公共点(x1， 0)，(x2， 0)，且 －1<x1<x2<4，则a 的取值范围是_________ . 例题分析 （1）证明：Δ=(－2a)2－4×a×3=4a2－12a， ∵ a<0，4a 2－12a=4a(a－3) >0，∴ 该函数的图象与x轴有两个公共点. a>3 或 a<－1 证明： 将 a=－1 代入函数解析式， 得y=－x 2+2x+3=－(x－1) 2+4， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，开口向下 . ∴ 当－1<x<0时， y随x的增大而增大. 又∵ 当 x=－1 时， y=0， ∴ 当 －1<x<0时， y>0. (2)若 a=－1，求 证：当 －1<x<0 时，y>0； 例题分析 b2－4ac 的取值 b2－4ac >0 b2－4ac =0 b2－4ac <0 a>0 抛 物 线 y= ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 不等式ax2＋bx＋c >0 的解集 x<x1或x>x2 x≠ x0 全体实数 不等式ax2＋bx＋c <0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 二次函数y=ax2＋bx＋c 与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0 及 ax2＋bx＋c <0 之间的关系： 二次函数y=ax2＋bx＋c 与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0 及 ax2＋bx＋c <0 之间的关系：感悟新知 b2－4ac 的取值 b2－4ac >0 b2－4ac =0 b2－4ac <0 a<0 抛 物 线 y=ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 不等式ax2＋bx＋c >0 的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2＋bx＋c <0 的解集 x<x1或x>x2 x≠ x0 全体实数 知3－讲 二 次 函 数y= ax2＋bx＋c 的 图 象 在x轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c >0 的解集；在x轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c <0的解集． 特别解读 1.如图，以(2，5) 为顶点的二次函数y=ax2+ bx+c 的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程ax2+bx+c=0 的正数解x 的范围是( ) A.2<x<3 B.1<x<2 C.4<x<5 D.5<x<6 D 分层练习 2.若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c 的取值范围是___________ 3.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/ 天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系. 在低光照强度范围(200 ≤ x ≤ 1 000)内，y 与x 近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x ≥ 1 000)内，y 与x 近似成二次函数关系，其部分图象如图所示. 根据图象，下列结论正确的是( ) A. 当x ≥ 1 000 时，y 随x 的增大而减小 B. 当x=2 000 时，y 有最大值 C. 当y ≥ 0.6 时，x ≥ 1 000 D. 当y=0.4 时，x=600 B 分层练习 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的对称轴为直线x=1， 与x轴的 一个交点坐标为(-1，0)，下列结论： ①4ac<b2；② 方程ax2+bx+c=0 的两个根 是x1=-1， x2=3； ③ 3a+c>0； ④当y>0 时，x 的取值范围是-1 ≤x<3； ⑤当x1< x2<0 时，y1<y2． 其中结论正确的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 分层练习 5.已知抛物线y=x2+bx+3 的顶点坐标为(1，2)，若关于x 的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t 为实数)在-1 ≤ x ≤ 5 范围内有两个不同的实数根，则实数t 的取值范围是( ) A. 2 ≤t<11 B. t ≥ 2 C. 6<t<11 D. 2<t ≤ 6 D 分层练习 6. 如图，抛 物 线 y=ax2+c与直线 y=mx+n 交于 A(－1， p)， B(3， q)两点，则不等式 ax2+mx+c>n 的解集是____________ ． x＜－3或x＞1 7. 根据表格可知一元二次方程x2+x-1=0 小于0 的近似解x ≈ __________(精确到小数点后一位) -1.6 x -1.65 -1.65 -1.6 -1.55 -1.5 x2+x-1 0.19 0.072 5 -0.04 -0.1475 -0.25 分层练习 8.已知二次函数y=x2+2(a+ 1)x+3a2-2a+3，a 为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2 有两个交点，求a 的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x 轴有交点，求a 的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. 拓展练习 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2 有两个交点，求a 的取值范围； 拓展练习 (2)若该二次函数的图象与x 轴有交点，求a 的值； 解（2）∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ=4(a+1)2－4×1×(3a2－2a+3)=－8a2+16a－8=－8(a－1)2≥0.∴-8(a－1)2=0，解得a=1. 拓展练习 (3)求证：该二次函数的图象不经过原点. $