2.4相似三角形与实际问题（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 以分层设计为核心，通过A组基础应用、B组综合提升、C组思维拓展及中考衔接，构建从单一测量到跨学科综合的知识巩固路径，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|相似三角形求高度、宽度、古代问题、跨学科应用|结合无人机测绘、小区挡车杆等生活情境，基础题型对应核心考点| |B组能力进阶|复杂测量情境（影子分台阶、多工具结合）|融合光的反射与仰角测量，强化推理能力与问题解决| |C组思维拔高|方案设计与多策略比较|通过不同测量方案探究，发展创新意识与批判性思维| |拓展链接中考|中考真题实战|直接选用中考原题，衔接测评需求，提升应用意识|

分层作业 2.4相似三角形与实际问题 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似求物体的高度或距离 题型02利用相似求物体的宽度 题型03古代数学测量问题 题型04跨学科问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用相似求物体的高度或距离 1．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·二模）为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行．如图是其工作示意图，智能箱与挡车杆交于点，挡车杆为，为，要使挡车杆右端从水平位置下降的垂直距离为，则挡车杆左端垂直上升的距离的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 6．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． ( 题型0 2 )利用相似求物体的宽度 7．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ ( 题型0 3 )古代数学测量问题 11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 12．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ( 题型0 4 )跨学科问题 13．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 2．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺．        在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 5．（2026·山东济宁·二模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 1．（发散思维能力）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 2．（学科融合）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 3．（方程思想）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 1．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 3．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4相似三角形与实际问题 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 利用相似求物体的高度或距离 1.B 2.A 3.A 4.9 5. 【详解】解：：AB⊥BD,CD⊥BD, .∠AB0=∠CD0=90°， ,∠AOB=∠COD, .△ABOACDO, AB OB ·CDOD' 1.65.4-0D .20D OD=3. ∴.OF=OD+DF=18, CD⊥OF,EF⊥OF, CD∥EF, ∴.aCDO∽aEFO, CD OD EFOF' 23 .EF18' ∴，EF=12, 答：旗杆EF的高度为12米. 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解由题意可知，四边形BDEC是矩形， .BD=CE=1.7米， :∠ABC=∠MNC=90°，∠ACB=∠MCN, ∴.△ABC∽aMNC, CM CN AC BC, BC=32.4米，CN=1.6米，CM=2米， 21.6 AC32.4’ .AC=40.5米， 在R△ABC中，AB=VAC2-BC2=V40.52-32.42=24.3米， .AD=AB+BD=24.3+1.7=26米， 答：音乐厅AD的高度为26米， 题型02 利用相似求物体的宽度 7.C 8.60 9. 【详解】(1)证明：证明：由题可知∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE, ,∴.△ABC∽AEDC (2)解：由题可知，BC=45m,DC=20m,DE=32m, △ABC∽△EDC, BC AB 45 AB :DC=DE,即20=32， .AB=72. 答：河宽AB为72m。 10. 【详解】解：已知OB=120,OD=60,OC=80,OA=40, OD601OA401 0B1202'0C802 OD OA OB OC' :∠AOD与∠COB是对顶角， ∴.∠AOD=∠COB 两边对应成比例且夹角相等，故aOAD∽aOCB 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD OA 1 BCOC2· 已知AD=68步，代入得：BC=68×2=136, ∴.B、C之间相距136步. 颗型03 古代数学测量问题 11.D 12.D 题型04 跨学科问题 13.C 14.C 15. 【详解】(1)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H, .45F D B G C E .'∠AFH=45° ∴.△AFH是等腰直角三角形， .∠BAF=45° 根据题意得，∠DCE=∠ACB .∠ABC=∠DEC=90°， .△DCE∽AACB CE DE ·BCAB1 AB DE 1.6 2 BC CE2.43 (2)解：，△AFH是等腰直角三角形， ∴.FH=BG. .∠HBG=∠FGB=∠FHB=90°， .四边形BGFH是矩形， .FG=BH=1.6m,AH=FH=BG, 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BG=x, AB 2 BC-3' x+1.62 ÷+1153,解得x=182 .AB=AH+BH=18.2+1.6=19.8m, 答：该上天台的高度AB为19.8m B组 能力进阶 1.A 2.180°-a,4.1 【详解】(1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD 又∠ABC=∠EDC, .△ABC∽△EDC, BC AB CDDE' 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5DE' 解得DE=1Om」 故旗杆ED的高度为lOm; (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90°， 四边形BCDG为矩形， ~日测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m,BC=GD=18m, ∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， .△DGASADFE, AG EF DG DF' DF=0.8米，EF=0.4米， 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG_0.4 180.8 解得AG=9, AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m) 答：旗杆AB的高度10.6米。 4. 【详解】解：由题意，可知BO∥DF ∴△ABO∽AADF. AO BO ·AFDF· .A0=35cm=0.35m,B0=25cm=0.25m,AF=44.45m, .DF=31.75m. ·测高仪底座水平放置， .四边形ACEF为矩形， .AC=EF=70cm=0.7m .DE=DF+EF=31.75+0.7≈32.5(m)」 答：楼宇的高度DE约为32.5m 【详解】(1)解：·成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ∴.B'N=BN,AB=A'B, .FN∥BC B'F_BN-1, 则FCNB :.CF=FB', EF∥B, .∴ACEFACAB', EF CF 1 则BCB2' .AB=x,EF=y, 1 2则y=2, 1 即y与x之间的函数表达式为y=2: (2)解：由成像原理作出看到部分人像的长度为70cm的图形，过点C'作BB的平行线分别交PWAB于 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点MM,如图所示： C M MO B N B 图2 :CM∥QM'MM'=MC CO CM' QC-MM=1. 即CQ=QC, .P'Ql/A'C', △APOACAC, P'O CO 1 则=cC2' PO_AC'=,×70=35(cm 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： A B N B 图2 由(1)可知，AB=AB=180cm, .P'O'=PO=90cm ∴.Qg=P'g'-P'9=90-35=55(cm), 即下移的距离为55cm; (3)解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度N,如图： A A B N B 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FW=150-8 =71cm 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度EW,如图： A =-0A2 B2 N B'2 ·EN=180- 2=176cm, ∴.最小的镜子长为EF=EW-FN=I05cm C组 思维拔高 1. 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长AE交BF的延长线于点G,如图所示： C& G 根据题意得CD∥EF∥AB」 ∴.△GCD∽aGEF,AGEFAGAB, GD CD GF EF .CD=1.5m,EF =2m,DF 1m GD1.5 GD+12 解得GD=3m」 .GF=GD+DF=3+1=4(m), .BF=15m, .GB=15+4=19(m). 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△GEF∽△GAB, EF GF AB GB 24 AB19' 解得AB=9.5m, ∴教学大楼的高度为9.5m: 选择第三组的方案， 根据题意得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB, ∴ACDEAABE, CD DE .AB EB' CD=1.5m,ED =3m,BE =19m. .1.53 AB19' 解得AB=9.5m】 教学大楼的高度为9.5m 2. 【答案】(1)解：：AB‖A'B, .∠A=∠A,∠B=∠B .△AOB∽△AOB' 、A'BOF 4'B'16 AB OE 即2420 4B'=96 m 5 96 答：像AB的长为5cm, OB OF 2解：0D0D-0F,理由如下： AB⊥光轴l,CD⊥光轴l,MN⊥光轴I, .∠ABO=∠BOE=∠EOF=∠CDF=90°(F为MN右侧的那点，下面一样)， ,AE‖光轴I, .AE⊥MN, .∠AE0=90° 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形ABOE是矩形， ,OE=AB、 .·∠AOB=∠COD,∠ABO=∠CDO ∴.△ABOACDO CD OD .AB OB' 同理可证明△EOF∽△CDF, OF OE OF AB DFCD' 即OD-OF-CD' OB OF OD-OD-OF 3. 【详解】解：如图 M C N FD 用用 O EP B 令AB交CD于点H,设CH=x, AB⊥CD,MN⊥CD.CP⊥PO ∴.PC∥AB,AB∥MN ,∴.△EPC∽△EBA,△MNF∽AAHF, EPPC FN MN EB AB'FH AH CD∥PQ, ∴四边形PBHC是平行四边形， ∴PB=CH=x,BH=PC=1.2, .EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, 0.4-1.2 31.8 0.4+xAB’18-xAB-1.2' 0.41.2 由0.4+x=AB,得AB=1.2+3x' 3 1.8 18-x1.2+3x-1.2 解得x=3, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经检验，x=3是原方程的解， .AB=1.2+3×3=10.2(m)」 答：路灯AB的高度为10.2m 拓展 链接中考 1.B 2. 【详解】(1)证明：连接PN,如图1， 在△PON和△NMP中， PO=MN,ON=PM,PN=NP, .∴aPQW≌aNMP(SSS). ∴.∠QPN=∠MNP. “PM∥QN(内错角相等，两直线平行)· 4小 D 6 ww7777774 图1 (2)解：由题意，墙面l⊥地面，AB⊥OD,P11,DB⊥1， .PQ∥DB,ABIICD ∴.∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90° ∴四边形POBD是矩形， ..PO=BD=10 又：∠AOB=∠COD,∠CDO=∠AB0=90°， ..AOAB-AOCD, .ABOB 'CDOD· .AB=57,OB=OD-BD=190. 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=57×200 60 190 ∴.CD的长度为60cm 3. 【详解】(1)证明：SD⊥AC, .∠SDC=∠SDA=90°， ,'∠MDS=LBDS .∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS, ∠MDA=∠BDC: (2)解：由题意得， BC⊥AC,MA⊥AC. ∴，∠BCD=∠MAD .∠MDA=∠BDC, :.△MDAP△BDC, BC CD MA AD' BC=1.5米，AC=12米，CD=2米， 1.52 Ma12-2, .MA=7.5(米)， 同理可得，△BCE∽△NAE, BC CE :NA AE' DE=2米， 1.52+2 ·NA12-2-2 .NA=3(米)， .MN=MA-NA=7.5-3=4.5(米). 答：公益广告牌的高度MN为4.5米. 4. 【详解】解：1)如图，PH⊥MN于点H,交EF于点G, 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N (图1) 则四边形POFG,PONH均为矩形， :.HN=GF=P9=l.4m,GP=QF=2m,HP=N0=NF+F0=16+2=18(m), EG=EF-GF=2.8-1.4=1.4(m), 由题意知EF∥MN, ∴.∠M=∠E,∠MHP=∠EGP .△MHP∽AEGP. MH HP MH_18 EGGP，即1.4=2， 解得MH=12.6, :MN=MH+HN=12.6+1.4=14(m), 即旗杆MW的高度为14m. (2)如图，PH⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F'于点M', E H---.P B777777T77Tn7 FO (图2) P9=P'g'=1.4m. 点P在线段PH上，四边形POFM,POBH,P'OFM',P'O'BH均为矩形， ..HP=BO.MP=FO=1.2m,M'P'=F'O'=2.2m,HB=MF MF'=PO=P'O'=1.4m. ∴.EM=EM'=2.8-1.4=1.4m, 由题意知EF∥AB ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP, ∴.△HAPAMEP, 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH HP ∴.MEMP, AH HP' 同理可得MEMP, EM E'M', HP HP' ∴.MPMP, ..HP=BO.HP'=BO'=BO+00'=BO+30 BQ_B9+30 .1.22.2 解得BQ=36m. ∴.HP=36m, AH HP AH 36 代入ME=MP得：14=1.2， 解得AH=42m, AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m) 即妙光塔AB的高度为43.4m, 13/13 分层作业 2.4相似三角形与实际问题 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似求物体的高度或距离 题型02利用相似求物体的宽度 题型03古代数学测量问题 题型04跨学科问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用相似求物体的高度或距离 1．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 2．（2026·山西忻州·二模）为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行．如图是其工作示意图，智能箱与挡车杆交于点，挡车杆为，为，要使挡车杆右端从水平位置下降的垂直距离为，则挡车杆左端垂直上升的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∵， ∴， ， ， 解得． 3．（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】延长、交于点，设，则，容易证明，则，求得，则，，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 6．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 【答案】米 【分析】由题意可知，四边形是矩形，米，可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据可以求出音乐厅的高度． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， 米， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， 在中，米， 米， 答：音乐厅的高度为米． ( 题型0 2 )利用相似求物体的宽度 7．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． ( 题型0 3 )古代数学测量问题 11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 12．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由求出，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴尺， ∴（尺）， 故选：． ( 题型0 4 )跨学科问题 13．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 15．（2026·海南儋州·二模）【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 2．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为（米）． （米）． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆和一把呈南北方向固定摆放的与标杆垂直的长尺．        在数学综合实践课上，某同学受圭表构造的启发，制作了一个测高仪，如图所示．激光头可以发射激光，沿方向射出，处有一个游标可以自由移动，光线恰好通过游标孔射出．使用时，底座水平放置，铅锤高线始终保持与底座垂直．从底座上读出的长度及的高度，再在地面进行相关测量即可通过所学知识求得被测物体的高度． 如图，用测高仪测量某楼宇的高度，测高仪底座水平放置，激光头发射激光恰好通过游标孔照射到楼宇的最高点处．经测量，激光头距地面，距楼宇的水平距离为，测高仪上为，高为，且，，，，，，在同一平面内．请计算楼宇的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】先据题意得，推出，求出的长，再根据测高仪底座水平放置，推出四边形为矩形，求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：由题意，可知 ． ∴ ． ∴． ∵ ， ， ， ∴， ∵测高仪底座水平放置， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴． 答：楼宇的高度约为． 5．（2026·山东济宁·二模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3)最小的镜子长为 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度，如图： ∴， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度，如图： ∴， ∴最小的镜子长为． 1．（发散思维能力）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（学科融合）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 3．（方程思想）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 1．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 3．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $