2.2.2直线的两点式方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过回顾点斜式、斜截式及特殊直线方程，以“两点确定直线的坐标关系”问题驱动探究，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步推导方程形式。 其亮点在于以问题链激活数学思维，通过实例推导（如过两点求方程）培养逻辑推理能力，分层练习（如截距互为相反数的分类讨论）强化数学语言表达，表格小结对比方程条件与形式，助力学生形成系统认知，教师可直接应用于教学，提升课堂效率与学生应用能力。

第二章 直线和圆的方程 2.2.2 直线的两点式方程 前情回顾 直线的点斜式方程 点斜式方程 斜截式方程 点斜式方程 直线上一点坐斜率 直线存在斜率 斜截式方程 斜率𝑘直线在𝑦轴上的截距𝑏 直线存在斜率 即 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 学 习 目 标 1 2 3 掌握两点式、截距式方程的推导，并能明确其适用条件. 明确直线的两点式方程和截距式方程中参数的含义. 能运用直线方程的两点式、截距式解决平行和垂直问题. 读教材 阅读课本P62-P64，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的两点式方程和截距式方程”吧！ 1. 直线的两点式方程和截距式方程是什么？ 2. 直线的两点式方程和截距式方程不能表示哪些直线？ 新课引入 本节课我们就来探讨一下，直线上 任意一点的坐标满足的关系式？ 给定一点和一个方向()可以唯一确定一条直线(点斜式方程)； 两点也能唯一确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线经过两点，(其中，)；因为两点确定一条直线，也就是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系， 那么，这一关系又该如何表示呢？ O 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 2 直线的截距式方程 3 题型训练 新知探究1 问题： 直线经过和两点，用所学知识求直线的方程？ 法一：设直线的斜率为，则 ∴由直线的点斜式方程可得， 法二：设直线为 解得： ∴ 思考：你还有其他方法吗？ 新知探究1 探究1 在平面直角坐标系中，一条直线上任意一点的坐标与直线上 两点之间的关系如何表示？ 解：如图() ＝ O ＝ ①当时，直线垂直于轴，直线方程为； ②当时，直线垂直于轴，直线方程为. 概念 直线的两点式方程 直线的两点式方程： 方程:就是经过两点(其中，)的直线的方程， 我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。 O 两点式方程： 构成元素：直线上两个点 应用条件：直线斜率存在且0 概念辨析 思考 当直线的斜率为0或者斜率不存在时，直线的方程是什么？ 当直线的斜率为时 即 当直线的斜率不存在时 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 l x y O P0(x0,y0) P(x,y) l x y O P0(x0,y0) P(x,y) 练习巩固 练习1 过点，的直线方程是( ) A. B. C. D. D 由方程 ，化简得 练习2 ，则的边中线方程是( ) . . . C 解：由题可知：中线过点和中点 方程 ，化简得 练习巩固 练习3 求经过下列两点的直线的两点式方程： (1) (2,1)， (0,－3)； (2) (0,5)， B(5,0). 由方程 ； 由方程 . 练习巩固 练习4 (1)若直线经过点，，求直线的方程？ (2)若点在过点，的直线上， 解：(1) 因为 。 方法总结 直线的两点式方程： 如何利用直线上两点和求直线两点式方程？ 确定点的坐标：根据已知条件求出直线上两点坐标； 第 1 步 写方程： ① 若，直线方程为： ② 若，直线方程为： ③ 若且，直线方程为： = 第 2 步 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 2 直线的截距式方程 3 题型训练 新知探究2 探究2 如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为， 其中，求直线的方程？ 解：将两点，的坐标代入两点式， 或重合 概念 直线的斜截式方程 直线的截距式方程： 定义：方程由直线在两条坐标轴上的 截距与确定，我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式。 构成元素：直线轴上的截距， 直线在轴上的截距， 使用条件：直线不与x,y轴平行或重合，且直线不过坐标原点。 截距式方程 （特殊的两点式） 练习巩固 练习1 过点，两点直线方程是( ) 解：由题可知：直线在在轴上的截距为2，在轴上的截距为3， 由截距式方程 得： C 练习巩固 练习2 根据下列条件,，求直线的方程: (1) 过点(0, 5)，且在两坐标轴上的截距之和为2； (2) 过点(5, 0)，且在两坐标轴上的截距之差为2. 解：(1)设直线方程为 ＋ ＝1，则解得 则直线方程为 ＋ ＝1； (2)设直线方程为 ＋ ＝1，则解得 或 则直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 练习巩固 练习3 求过点，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程？ 注意：截距相等或者互为相反数说明直线可能过原点 分类讨论 解：① 当直线在坐标轴上的截距均为0时，方程为，即； ② 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为，即， 又∵过点，∴，∴的方程为， 综上所述，直线的方程是或. 练习巩固 练习4 求过点且在轴上和在 轴上的截距相等的直线的方程？ 注意：截距相等或者互为相反数说明直线可能过原点 分类讨论 解：① 当直线在坐标轴上的截距均为0时，方程为，即； ② 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为，即， 又∵过点，∴，∴的方程为， 综上所述，直线的方程是或. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 2 直线的截距式方程 3 题型训练 直线的点斜式、斜截式方程 题型1 题型探究 例1 (1)已知直线的两点式方程为 ，求直线的斜率？ 解：由题意知，直线点(－5,0)和点(3,－3)，所以斜率 (2)求经过 与 两点的直线的方程？ 由坐标可知直线与轴平行， 所以直线的方程为： 直线的两点式、截距式方程 题型1 题型探究 例2 已知三个顶点坐标，，， 求三角形三条边所在的直线方程？ 解：∵，，∴直线与轴垂直，故其方程为. ∵，，由直线方程的两点式可得的方程为， 即. 同理，可由直线方程的两点式得直线的方程为，即. ∴三边，，所在的直线方程分别为 ，，. 直线的两点式、截距式方程 题型1 题型探究 例3 若直线与两坐标轴的交点分别为 ，且线段的中点坐标为 求直线 的方程? 解： 由题意知，直线 在两坐标轴上的截距都存在且都不为0， 设直线的方程为，又线段的中点坐标为， 则,即 ，则直线的方程为 . 直线的两点式、截距式方程 题型1 题型探究 例4 已知(3,0)，(0,4)，直线上一动点()，求的最大值？ 解： 由题意知，直线 的方程为，则， 所以=+4)= 即当点坐标为()时，的取得最大值为3. 与坐标轴围成三角形问题 题型2 题型探究 例5 已知直线的倾斜角的正切值为 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6， 求直线 的方程？ 解：设直线的方程为倾斜角为 由得 ， 解得或 故所求的直线方程为或 课堂小结 两点式 截距式 已知条件 两点 (其中，) 直线在轴上的截距 与 直线在轴上的截距 图示 方程形式 适用条件 斜率存在且的直线 斜率存在且的直线 且不过原点的直线 感谢聆听! $