专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量的概念及线性运算核心考点，覆盖向量意义、几何表示、线性运算及共线条件等高考要求，按“概念辨析-运算法则-共线应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法总结、真题训练及分层练习，帮助学生突破线性拆分、共线条件应用等难点，体现系统复习与针对性突破。 讲义突出数学思维培养，如在共线定理应用中，引导学生通过构造三角形转化向量关系，结合待定系数法建立方程求参数，发展逻辑推理与数学运算能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合例题变式训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义 (2)掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义 (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 平面向量的概念 平面向量的线性运算 全国一卷：第6题，5分 天津卷：第14题，5分 命题规律分析 1、平面向量的概念及线性运算 平面向量是高考的重点、热点内容，平面向量的概念及线性运算包含向量概念、向量共线定理及向量的加减数乘运算，是平面向量的基础内容。 从近三年的高考情况来看，本节内容主要以选择题、填空题的形式考查，侧重向量线性拆分、共线条件的应用，依托图形考查数学运算能力、逻辑转化能力，考查形式、频率比较稳定，难度较易；学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线定理的理解。 考点1 平面向量的概念 知识点1 平面向量的有关概念 1．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 考点2 平面向量的线性运算 知识点3 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3．利用共线向量定理解题的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【方法技巧与总结】 1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则. 2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】（2026·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 【变式1-1】（25-26高一下·天津红桥·期末）下列各量属于向量的是（    ） A．速度 B．质量 C．距离 D．电流 【答案】A 【解题思路】由向量的概念进行判断． 【解答过程】向量是既有大小又有方向的量， 质量，距离，电流只有大小，没有方向，属于标量， 速度既有大小，又有方向，属于向量，故选项A正确． 故选：A. 【变式1-2】（2026·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【解题思路】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【解答过程】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件是且 C．若，，则 D．若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形 【答案】D 【解题思路】依据向量的基本概念、相等向量和平行向量的性质，逐一判断各选项的正误. 【解答过程】选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小， 因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误； 选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反， 此时即使，也无法推出，故B错误； 选项C：规定零向量与任意向量平行，若， 则满足、时，和不一定平行，故C错误； 选项D：由可得，且与方向相同， 即且，结合是平面内不共线的四个不同点， 可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确. 故选：D． 【题型2 向量的几何表示】 【例2】（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解题思路】根据点到的距离相等可得答案. 【解答过程】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解答过程】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【题型3 向量加、减法的几何意义】 【例3】（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由向量的加减法的几何意义可得. 【解答过程】. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一下·陕西·期中）在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案. 【解答过程】由图象可知，A选项，； B选项，； C选项，； D选项，． 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁铁岭·期末）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【解答过程】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【解题思路】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【解答过程】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【题型4 向量的线性运算】 【例4】（2026·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解. 【解答过程】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D. 【变式4-1】（2026·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】因为是边上的中点， 所以，即. 故选：A. 【变式4-2】（2026·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， . 故选：D. 【变式4-3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【解答过程】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A. 【题型5 根据向量线性运算求参数】 【例5】（25-26高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 【变式5-1】（2026·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可. 【解答过程】连接，如图所示：    因为， 所以， 所以，所以. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一下·重庆涪陵·阶段检测）在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用向量的加法、减法线性运算即可求解. 【解答过程】， 所以，. 故选：. 【变式5-3】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【解答过程】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 故选：A. 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 【例6】（2026·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【解题思路】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【解答过程】，， 因为与共线， ， 故选：A． 【变式6-1】（2026·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【解答过程】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【解答过程】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 【例7】（2026·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可． 【解答过程】因为向量不共线，且， 设，即， 所以，解得． 故选：D． 【变式7-1】（2026·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线定理即可求解. 【解答过程】由于与平行，故存在实数，使得， 由于向量不平行，故，解得， 故选：C. 【变式7-2】（2026·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出.思路二：由共线向量基本定理即可得解. 【解答过程】方法一：由已知有，，解得. 方法二：设，由题意，解得. 故选：B. 【变式7-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【解题思路】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可. 【解答过程】由，且均不为零向量，则， 可得，则， 整理得，解得或． 故选：C． 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解题思路】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【解答过程】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2．（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【解答过程】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 故选：C. 3．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算计算即可. 【解答过程】如图，    . 故选：D 4．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【解题思路】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【解答过程】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 故选：A. 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【解答过程】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【解答过程】因为，所以， 则 ． 故选：B． 7．（2026·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由向量共线得到，求解即可. 【解答过程】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A. 8．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【解题思路】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【解答过程】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【解题思路】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【解答过程】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 故选：BD. 10．（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中， ，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【解答过程】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【解答过程】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12．（2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________． 【答案】 【解题思路】利用向量线性运算转化为，根据系数相等可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，得. 故答案为：. 13．（25-26高三上·湖北·期中）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 【答案】 【解题思路】根据共线向量基本定理，列式求实数的值. 【解答过程】由条件可知，，， 所以，解得：（舍）或. 故答案为：. 14．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解题思路】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【解答过程】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【解题思路】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. 【解答过程】（1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 16．（25-26高一下·新疆和田·期末）如图，在中，分别是边的中点，，    (1)用表示向量； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由向量的线性运算法则求解； （2）用表示向量、，证明它们共线即可得证． 【解答过程】（1）如图，延长到点，使，连接， 则四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， （2）求证：由（1）知， 所以．又因为有公共点， 所以三点共线． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【解答过程】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 18．（25-26高一下·全国·期末）如图，在平行四边形中，．设，．    (1)用表示，； (2)若，证明：，，三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由向量的减法及线性运算求解即可； （2）由向量的线性运算可得，即可得证. 【解答过程】（1）由平行四边形， 得． 又，所以， 所以． （2）由（1）得， 又， 所以． 又，有公共点， 所以，，三点共线． 19．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． (1)用，表示向量； (2)设，求，的值； (3)如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）直接由向量的线性运算可得； （2）根据、、三点共线及、、三点共线，并结合三点共线的结论可得； （3）由（2）的结论可得，再结合条件及、、三点共线可得. 【解答过程】（1）因为，所以，因此. （2）因为，即，又因为，即. 由题，所以， 因为、、三点共线，所以.① 又因为，，所以， 因为、、三点共线，所以.② 联立①②得，解得，. 因此，. （3）由（2）知，，所以 ，即. 因为，（，均为非零实数），所以，. 所以，因为、、三点共线，所以. 因此. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义 (2)掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义 (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 平面向量的概念 平面向量的线性运算 全国一卷：第6题，5分 天津卷：第14题，5分 命题规律分析 1、平面向量的概念及线性运算 平面向量是高考的重点、热点内容，平面向量的概念及线性运算包含向量概念、向量共线定理及向量的加减数乘运算，是平面向量的基础内容。 从近三年的高考情况来看，本节内容主要以选择题、填空题的形式考查，侧重向量线性拆分、共线条件的应用，依托图形考查数学运算能力、逻辑转化能力，考查形式、频率比较稳定，难度较易；学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线定理的理解。 考点1 平面向量的概念 知识点1 平面向量的有关概念 1．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 考点2 平面向量的线性运算 知识点3 平面向量线性运算问题及其解题策略 1．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2．向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3．利用共线向量定理解题的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【方法技巧与总结】 1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则. 2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】（2026·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【变式1-1】（25-26高一下·天津红桥·期末）下列各量属于向量的是（    ） A．速度 B．质量 C．距离 D．电流 【变式1-2】（2026·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【变式1-3】（25-26高一下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件是且 C．若，，则 D．若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形 【题型2 向量的几何表示】 【例2】（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【变式2-1】（25-26高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式2-2】（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【变式2-3】（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【题型3 向量加、减法的几何意义】 【例3】（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·陕西·期中）在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】（25-26高一上·辽宁铁岭·期末）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【题型4 向量的线性运算】 【例4】（2026·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·四川自贡·三模）在中，是边上的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据向量线性运算求参数】 【例5】（25-26高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一下·重庆涪陵·阶段检测）在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【题型6 平面向量共线定理及其应用】 【例6】（2026·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（   ） A．2 B． C．0 D．1 【变式6-1】（2026·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【题型7 已知向量共线（平行）求参数】 【例7】（2026·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-1】（2026·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 8．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 二、多选题 9．（25-26高一下·安徽淮北·期末）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中， ，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 11．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·福建泉州·二模）已知，则实数的值为___________． 13．（25-26高三上·湖北·期中）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 14．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 16．（25-26高一下·新疆和田·期末）如图，在中，分别是边的中点，，    (1)用表示向量； (2)求证：三点共线． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 18．（25-26高一下·全国·期末）如图，在平行四边形中，．设，．    (1)用表示，； (2)若，证明：，，三点共线． 19．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图1，在中，为直角，，，与相交于点，连接，记，． (1)用，表示向量； (2)设，求，的值； (3)如图2，过点的直线与边、分别交于点、，设，（，均为非零实数），求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $