2.2.3 因式分解法解一元二次方程 分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础技能到综合应用再到中考衔接，覆盖因式分解法全类型，强化运算能力与推理意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|提公因式、公式法等5类因式分解及易错点、解法选择|以解答题为主，直接对应知识点，如提公因式法解方程，强化基本运算| |进阶思维题|根与系数关系、几何应用、综合解法选择|含选择、填空、解答，如三角形边长与方程根的综合题，培养模型意识| |中考链接题|中考真题及模拟题，涵盖方程求解、实际应用|选用成都、苏州等中考题，如利润问题，体现应用意识与数据观念|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第3课时 因式分解法 本节知识点总结 1. 因式分解法的定义：当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用因式分解法求解。 2. 基本原理：若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0。 3. 因式分解法的常见类型： （1）提公因式法：如 5x² - 4x = 0 → x(5x - 4) = 0 （2）提取多项式公因式：如 x(x - 2) - (x - 2) = 0 → (x - 2)(x - 1) = 0 （3）平方差公式：如 x² - 4 = 0 → (x + 2)(x - 2) = 0 （4）完全平方公式：如 x² - 6x + 9 = 0 → (x - 3)² = 0 （5）十字相乘法：如 x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0 4. 易错点：不能两边约去含有未知数的因式（会丢根），如 5t² = 15t 不能约去 5t，应移项后提取公因式。 5. 解法选择：直接开平方法适用于形如 (x + m)² = n 的方程；配方法适用于所有方程但步骤较多；公式法适用于所有方程；因式分解法适用于一边为0且另一边易分解的方程。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 提公因式法解方程 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）用因式分解法解方程：3x² - 6x = 0。 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）用因式分解法解方程：2x² + 5x = 0。 3．（2024秋·广东深圳·月考）用因式分解法解方程：4x² - 8x = 0。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）方程 5x² = 10x 的解是（　　） A．x = 2 B．x = 0 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = -2 题型02 提取多项式公因式解方程 5．（2024秋·浙江杭州·期中）用因式分解法解方程：x(x - 3) + 2(x - 3) = 0。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）用因式分解法解方程：(x + 1)² - 3(x + 1) = 0。 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）用因式分解法解方程：2x(x - 4) = 3(x - 4)。 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）方程 x(x - 2) = x - 2 的解是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 题型03 平方差公式法解方程 9．（2024秋·河北石家庄·月考）用因式分解法解方程：x² - 9 = 0。 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用因式分解法解方程：4x² - 25 = 0。 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）用因式分解法解方程：(x + 2)² - 16 = 0。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）方程 9x² - 4 = 0 的解是（　　） A．x = B．x = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = ，x₂ = - 题型04 完全平方公式法解方程 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）用因式分解法解方程：x² - 6x + 9 = 0。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）用因式分解法解方程：x² + 4x + 4 = 0。 15．（2024秋·福建福州·月考）用因式分解法解方程：4x² - 12x + 9 = 0。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）方程 x² + 10x + 25 = 0 的解是（　　） A．x = 5 B．x = -5 C．x₁ = x₂ = 5 D．x₁ = x₂ = -5 题型05 十字相乘法解方程 17．（2024秋·天津南开·期中）用因式分解法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用因式分解法解方程：x² + x - 6 = 0。 19．（2024秋·云南昆明·单元测）用因式分解法解方程：2x² - 7x + 3 = 0。 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根分别是（　　） A．3和4 B．-3和-4 C．3和-4 D．-3和4 题型06 因式分解法的易错点（防丢根） 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）解方程 3x² = 6x 时，两边同时除以 3x，得到 x = 2，这种做法（　　） A．正确，结果也正确 B．错误，丢了 x = 0 这个根 C．错误，应该两边除以3 D．错误，应该用公式法 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·单元测）小明解方程 x(x - 1) = 2(x - 1) 时，两边同时除以 (x - 1)，得到 x = 2，则原方程的解应为（　　） A．x = 2 B．x = 1 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．无解 23．（2024-2025九年级上·青海西宁·期中）方程 2x(x - 3) = 5(x - 3) 的解是______。 题型07 解法选择与综合应用 24．（2024秋·内蒙古呼和浩特·月考）下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（　　） A．x² - 3x + 1 = 0 B．2x² - 5x = 0 C．x² + 2x - 1 = 0 D．3x² - 2x - 2 = 0 25．（2024-2025九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）选择适当的方法解方程：x² - 4x = 0。 26．（2024秋·吉林长春·单元测）选择适当的方法解方程：(x - 1)² - 4 = 0。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）一元二次方程 x² - 3x = 0 的根是（　　） A．x = 3 B．x₁ = 0，x₂ = -3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x = 0 2．（2024秋·上海闵行·月考）方程 (x - 2)(x + 3) = 0 的解是（　　） A．x = 2 B．x = -3 C．x₁ = 2，x₂ = -3 D．x₁ = -2，x₂ = 3 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² + mx + n = 0 的两个根分别为 2 和 -3，则 m、n 的值分别为（　　） A．m = 1，n = -6 B．m = -1，n = -6 C．m = 1，n = 6 D．m = -1，n = 6 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知 x = 1 是方程 x² + bx - 2 = 0 的一个根，则方程的另一个根是（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 x² - 13x + 36 = 0 的根，则三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．13或15 D．以上都不对 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若代数式 x² - 4x + 3 的值为 0，则 x 的值为（　　） A．x = 1 B．x = 3 C．x₁ = 1，x₂ = 3 D．x₁ = -1，x₂ = -3 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）方程 x² - 2x = 0 的解是______。 8．（2024秋·四川成都·期中）方程 (x - 1)² = 2(x - 1) 的解是______。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）已知 x = 2 是方程 x² - 6x + m = 0 的一个根，则 m = ______，另一个根是_____。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）若 x² + (m - 1)x + 4 是一个完全平方式，则 m 的值为______。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）方程 x² - 9x + 18 = 0 的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为______。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）用适当的方法解下列方程： （1）x² - 5x = 0； （2）x² - 4x + 4 = 0； （3）x² - 3x - 4 = 0。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求 k 的取值范围。 14．（2024秋·福建福州·单元测）在解方程 x² + 2x - 8 = 0 时，小明的解法如下： 解：x² + 2x = 8， x² + 2x + 1 = 9， (x + 1)² = 9， x + 1 = 3， x = 2。 请判断小明的解法是否正确，若不正确，请写出正确的解法。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足 a² + b² + c² = ab + bc + ac，试判断△ABC 的形状。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）一元二次方程 x² - 4x = 0 的解是（　　） A．x = 4 B．x₁ = 0，x₂ = 4 C．x₁ = 0，x₂ = -4 D．x = 0 2．（2024·江苏苏州中考）方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别是（　　） A．2和3 B．-2和-3 C．2和-3 D．-2和3 3．（2024·浙江杭州中考）已知关于 x 的方程 x² + 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（　　） A．m = 1 B．m = -1 C．m = 2 D．m = -2 4．（2024·山东济南中考）若 x = -1 是关于 x 的一元二次方程 x² + 3x + m + 1 = 0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．（2024·湖北武汉中考）方程 (x - 1)(x + 2) = 2(x + 2) 的根是（　　） A．x = 3 B．x = -2 C．x₁ = 3，x₂ = -2 D．x₁ = -3，x₂ = 2 6．（2024·广东广州中考）方程 x² - 2x - 3 = 0 的解是_____。 7．（2024·陕西中考）若一元二次方程 x² - 6x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值为______。 8．（2024·重庆中考）解方程：x² - 4x - 5 = 0。 9．（2024·天津中考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。 10．（2024·河南中考）某商店销售一种商品，每件进价为 40 元。经市场调查，当售价为 50 元时，可销售 200 件；售价每提高 1 元，销售量减少 10 件。设每件商品的售价为 x 元（x ≥ 50）。 （1）用含 x 的代数式表示销售量； （2）若商店销售这种商品的总利润为 2240 元，求每件商品的售价。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.2一元二次方程的解法 第3课时 因式分解法 本节知识点总结 1. 因式分解法的定义：当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用因式分解法求解。 2. 基本原理：若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0。 3. 因式分解法的常见类型： （1）提公因式法：如 5x² - 4x = 0 → x(5x - 4) = 0 （2）提取多项式公因式：如 x(x - 2) - (x - 2) = 0 → (x - 2)(x - 1) = 0 （3）平方差公式：如 x² - 4 = 0 → (x + 2)(x - 2) = 0 （4）完全平方公式：如 x² - 6x + 9 = 0 → (x - 3)² = 0 （5）十字相乘法：如 x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0 4. 易错点：不能两边约去含有未知数的因式（会丢根），如 5t² = 15t 不能约去 5t，应移项后提取公因式。 5. 解法选择：直接开平方法适用于形如 (x + m)² = n 的方程；配方法适用于所有方程但步骤较多；公式法适用于所有方程；因式分解法适用于一边为0且另一边易分解的方程。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 提公因式法解方程 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）用因式分解法解方程：3x² - 6x = 0。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 2 【分析】方程左边有公因式3x，提取公因式后化为两个一次因式的乘积。 【详解】解：3x² - 6x = 0， 提取公因式，得 3x(x - 2) = 0， ∴ 3x = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 2。 2．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）用因式分解法解方程：2x² + 5x = 0。 【答案】x₁ = 0，x₂ = - 【分析】方程左边有公因式x，提取公因式。 【详解】解：2x² + 5x = 0， 提取公因式，得 x(2x + 5) = 0， ∴ x = 0 或 2x + 5 = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = -。 3．（2024秋·广东深圳·月考）用因式分解法解方程：4x² - 8x = 0。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 2 【分析】方程左边有公因式4x，提取公因式。 【详解】解：4x² - 8x = 0， 提取公因式，得 4x(x - 2) = 0， ∴ 4x = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 2。 4．（2024-2025九年级上·江苏南京·单元测）方程 5x² = 10x 的解是（　　） A．x = 2 B．x = 0 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = -2 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，注意不能两边约去x。 【详解】解：5x² = 10x，移项得 5x² - 10x = 0， 提取公因式，得 5x(x - 2) = 0， ∴ 5x = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 2。故选：C。 题型02 提取多项式公因式解方程 5．（2024秋·浙江杭州·期中）用因式分解法解方程：x(x - 3) + 2(x - 3) = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -2 【分析】方程左边有公因式(x - 3)，提取多项式公因式。 【详解】解：x(x - 3) + 2(x - 3) = 0， 提取公因式(x - 3)，得 (x - 3)(x + 2) = 0， ∴ x - 3 = 0 或 x + 2 = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -2。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）用因式分解法解方程：(x + 1)² - 3(x + 1) = 0。 【答案】x₁ = -1，x₂ = 2 【分析】方程左边有公因式(x + 1)，提取多项式公因式。 【详解】解：(x + 1)² - 3(x + 1) = 0， 提取公因式(x + 1)，得 (x + 1)[(x + 1) - 3] = 0， 即 (x + 1)(x - 2) = 0， ∴ x + 1 = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = -1，x₂ = 2。 7．（2024秋·湖北武汉·单元测）用因式分解法解方程：2x(x - 4) = 3(x - 4)。 【答案】x₁ = 4，x₂ = 【分析】移项后提取公因式(x - 4)，注意不能两边约去(x - 4)。 【详解】解：2x(x - 4) = 3(x - 4)， 移项，得 2x(x - 4) - 3(x - 4) = 0， 提取公因式(x - 4)，得 (x - 4)(2x - 3) = 0， ∴ x - 4 = 0 或 2x - 3 = 0， 解得 x₁ = 4，x₂ = 。 8．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）方程 x(x - 2) = x - 2 的解是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 【答案】C 【分析】移项后提取公因式(x - 2)。 【详解】解：x(x - 2) = x - 2，移项得 x(x - 2) - (x - 2) = 0， 提取公因式(x - 2)，得 (x - 2)(x - 1) = 0， ∴ x - 2 = 0 或 x - 1 = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 1。故选：C。 题型03 平方差公式法解方程 9．（2024秋·河北石家庄·月考）用因式分解法解方程：x² - 9 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -3 【分析】方程左边是平方差形式，用平方差公式分解。 【详解】解：x² - 9 = 0， 利用平方差公式，得 (x + 3)(x - 3) = 0， ∴ x + 3 = 0 或 x - 3 = 0， 解得 x₁ = -3，x₂ = 3。 10．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）用因式分解法解方程：4x² - 25 = 0。 【答案】x₁ = ，x₂ = - 【分析】方程左边是平方差形式，4x² = (2x)²，25 = 5²。 【详解】解：4x² - 25 = 0， 利用平方差公式，得 (2x + 5)(2x - 5) = 0， ∴ 2x + 5 = 0 或 2x - 5 = 0， 解得 x₁ = -，x₂ = 。 11．（2024秋·重庆沙坪坝·期中）用因式分解法解方程：(x + 2)² - 16 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -6 【分析】将(x + 2)看作整体，利用平方差公式分解。 【详解】解：(x + 2)² - 16 = 0， 利用平方差公式，得 [(x + 2) + 4][(x + 2) - 4] = 0， 即 (x + 6)(x - 2) = 0， ∴ x + 6 = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = -6，x₂ = 2。 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·月考）方程 9x² - 4 = 0 的解是（　　） A．x = B．x = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = ，x₂ = - 【答案】C 【分析】利用平方差公式分解。 【详解】解：9x² - 4 = 0， 利用平方差公式，得 (3x + 2)(3x - 2) = 0， ∴ 3x + 2 = 0 或 3x - 2 = 0， 解得 x₁ = -，x₂ = 。 故选：C。 题型04 完全平方公式法解方程 13．（2024秋·湖南长沙·单元测）用因式分解法解方程：x² - 6x + 9 = 0。 【答案】x₁ = x₂ = 3 【分析】方程左边是完全平方式，用完全平方公式分解。 【详解】解：x² - 6x + 9 = 0， 利用完全平方公式，得 (x - 3)² = 0， ∴ x - 3 = 0， 解得 x₁ = x₂ = 3。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）用因式分解法解方程：x² + 4x + 4 = 0。 【答案】x₁ = x₂ = -2 【分析】方程左边是完全平方式。 【详解】解：x² + 4x + 4 = 0， 利用完全平方公式，得 (x + 2)² = 0， ∴ x + 2 = 0， 解得 x₁ = x₂ = -2。 15．（2024秋·福建福州·月考）用因式分解法解方程：4x² - 12x + 9 = 0。 【答案】x₁ = x₂ = 【分析】方程左边是完全平方式，4x² = (2x)²，9 = 3²，中间项-12x = 2×2x×(-3)。 【详解】解：4x² - 12x + 9 = 0， 利用完全平方公式，得 (2x - 3)² = 0， ∴ 2x - 3 = 0， 解得 x₁ = x₂ = 。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）方程 x² + 10x + 25 = 0 的解是（　　） A．x = 5 B．x = -5 C．x₁ = x₂ = 5 D．x₁ = x₂ = -5 【答案】D 【分析】利用完全平方公式分解。 【详解】解：x² + 10x + 25 = 0， 利用完全平方公式，得 (x + 5)² = 0， ∴ x + 5 = 0， 解得 x₁ = x₂ = -5。 故选：D。 题型05 十字相乘法解方程 17．（2024秋·天津南开·期中）用因式分解法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = 3 【分析】用十字相乘法分解，找两个数乘积为6，和为-5，即-2和-3。 【详解】解：x² - 5x + 6 = 0， 十字相乘分解，得 (x - 2)(x - 3) = 0， ∴ x - 2 = 0 或 x - 3 = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 3。 18．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）用因式分解法解方程：x² + x - 6 = 0。 【答案】x₁ = -3，x₂ = 2 【分析】用十字相乘法分解，找两个数乘积为-6，和为1，即3和-2。 【详解】解：x² + x - 6 = 0， 十字相乘分解，得 (x + 3)(x - 2) = 0， ∴ x + 3 = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = -3，x₂ = 2。 19．（2024秋·云南昆明·单元测）用因式分解法解方程：2x² - 7x + 3 = 0。 【答案】x₁ = ，x₂ = 3 【分析】二次项系数不为1，用十字相乘法分解，2x²分解为2x和x，常数项3分解为-1和-3。 【详解】解：2x² - 7x + 3 = 0， 十字相乘分解，得 (2x - 1)(x - 3) = 0， ∴ 2x - 1 = 0 或 x - 3 = 0， 解得 x₁ = ，x₂ = 3。 20．（2024-2025九年级上·广西南宁·期中）方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根分别是（　　） A．3和4 B．-3和-4 C．3和-4 D．-3和4 【答案】A 【分析】用十字相乘法分解。 【详解】解：x² - 7x + 12 = 0， 十字相乘分解，得 (x - 3)(x - 4) = 0， ∴ x - 3 = 0 或 x - 4 = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = 4。故选：A。 题型06 因式分解法的易错点（防丢根） 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）解方程 3x² = 6x 时，两边同时除以 3x，得到 x = 2，这种做法（　　） A．正确，结果也正确 B．错误，丢了 x = 0 这个根 C．错误，应该两边除以3 D．错误，应该用公式法 【答案】B 【分析】方程两边不能同时除以含有未知数的因式，会丢失x=0这个根。 【详解】解：3x² = 6x，移项得 3x² - 6x = 0，提取公因式 3x(x - 2) = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 2。两边除以3x会丢失x=0这个根。 故选：B。 22．（2024-2025九年级上·甘肃兰州·单元测）小明解方程 x(x - 1) = 2(x - 1) 时，两边同时除以 (x - 1)，得到 x = 2，则原方程的解应为（　　） A．x = 2 B．x = 1 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．无解 【答案】C 【分析】两边除以(x - 1)会丢失x=1这个根，应移项后提取公因式。 【详解】解：x(x - 1) = 2(x - 1)，移项得 x(x - 1) - 2(x - 1) = 0， 提取公因式(x - 1)，得 (x - 1)(x - 2) = 0， 解得 x₁ = 1，x₂ = 2。 故选：C。 23．（2024-2025九年级上·青海西宁·期中）方程 2x(x - 3) = 5(x - 3) 的解是______。 【答案】x₁ = 3，x₂ = 【分析】移项后提取公因式(x - 3)，不能两边约去(x - 3)。 【详解】解：2x(x - 3) = 5(x - 3)，移项得 2x(x - 3) - 5(x - 3) = 0， 提取公因式(x - 3)，得 (x - 3)(2x - 5) = 0， ∴ x - 3 = 0 或 2x - 5 = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = 。 题型07 解法选择与综合应用 24．（2024秋·内蒙古呼和浩特·月考）下列方程中，最适合用因式分解法求解的是（　　） A．x² - 3x + 1 = 0 B．2x² - 5x = 0 C．x² + 2x - 1 = 0 D．3x² - 2x - 2 = 0 【答案】B 【分析】因式分解法适用于一边为0且另一边易分解的方程，B选项有公因式x。 【详解】解：A选项不能直接因式分解；B选项 2x² - 5x = x(2x - 5) = 0，适合因式分解法；C、D选项不易直接因式分解。 故选：B。 25．（2024-2025九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）选择适当的方法解方程：x² - 4x = 0。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 4 【分析】方程左边有公因式x，适合用因式分解法。 【详解】解：x² - 4x = 0， 提取公因式，得 x(x - 4) = 0， ∴ x = 0 或 x - 4 = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 4。 26．（2024秋·吉林长春·单元测）选择适当的方法解方程：(x - 1)² - 4 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】方程左边是平方差形式，适合用因式分解法或直接开平方法。 【详解】解：(x - 1)² - 4 = 0， 利用平方差公式，得 [(x - 1) + 2][(x - 1) - 2] = 0， 即 (x + 1)(x - 3) = 0， ∴ x + 1 = 0 或 x - 3 = 0， 解得 x₁ = -1，x₂ = 3。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）一元二次方程 x² - 3x = 0 的根是（　　） A．x = 3 B．x₁ = 0，x₂ = -3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x = 0 【答案】C 【分析】提取公因式x求解。 【详解】解：x² - 3x = 0，提取公因式，得 x(x - 3) = 0， ∴ x = 0 或 x - 3 = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = 3。 故选：C。 2．（2024秋·上海闵行·月考）方程 (x - 2)(x + 3) = 0 的解是（　　） A．x = 2 B．x = -3 C．x₁ = 2，x₂ = -3 D．x₁ = -2，x₂ = 3 【答案】C 【分析】利用ab=0则a=0或b=0求解。 【详解】解：(x - 2)(x + 3) = 0， ∴ x - 2 = 0 或 x + 3 = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = -3。 故选：C。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）若关于 x 的一元二次方程 x² + mx + n = 0 的两个根分别为 2 和 -3，则 m、n 的值分别为（　　） A．m = 1，n = -6 B．m = -1，n = -6 C．m = 1，n = 6 D．m = -1，n = 6 【答案】A 【分析】由根写出因式分解形式，再展开比较系数。 【详解】解：∵ 方程的两个根为 2 和 -3， ∴ 方程可写为 (x - 2)(x + 3) = 0， 展开得 x² + x - 6 = 0， 与 x² + mx + n = 0 比较，得 m = 1，n = -6。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知 x = 1 是方程 x² + bx - 2 = 0 的一个根，则方程的另一个根是（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】先代入x=1求b，再解方程求另一个根；或利用根与系数关系。 【详解】解：将 x = 1 代入方程，得 1 + b - 2 = 0，解得 b = 1。 方程为 x² + x - 2 = 0，因式分解得 (x + 2)(x - 1) = 0， 解得 x₁ = -2，x₂ = 1。∴ 另一个根是 -2。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 x² - 13x + 36 = 0 的根，则三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．13或15 D．以上都不对 【答案】A 【分析】先解方程，再根据三角形三边关系判断第三边的取值。 【详解】解：x² - 13x + 36 = 0，因式分解得 (x - 4)(x - 9) = 0， 解得 x₁ = 4，x₂ = 9。 当第三边为4时，3 + 4 > 6，能构成三角形，周长 = 3 + 6 + 4 = 13； 当第三边为9时，3 + 6 = 9，不能构成三角形，舍去。 ∴ 三角形的周长为13。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若代数式 x² - 4x + 3 的值为 0，则 x 的值为（　　） A．x = 1 B．x = 3 C．x₁ = 1，x₂ = 3 D．x₁ = -1，x₂ = -3 【答案】C 【分析】令代数式等于0，解一元二次方程。 【详解】解：由题意，x² - 4x + 3 = 0， 因式分解得 (x - 1)(x - 3) = 0， ∴ x - 1 = 0 或 x - 3 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = 3。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）方程 x² - 2x = 0 的解是__x₁ = 0，x₂ = 2____。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 2 【分析】提取公因式x求解。 【详解】解：x² - 2x = 0，提取公因式，得 x(x - 2) = 0， ∴ x = 0 或 x - 2 = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = 2。 8．（2024秋·四川成都·期中）方程 (x - 1)² = 2(x - 1) 的解是___x₁ = 1，x₂ = 3___。 【答案】x₁ = 1，x₂ = 3 【分析】移项后提取公因式(x - 1)。 【详解】解：(x - 1)² = 2(x - 1)，移项得 (x - 1)² - 2(x - 1) = 0， 提取公因式(x - 1)，得 (x - 1)(x - 3) = 0， ∴ x - 1 = 0 或 x - 3 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = 3。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）已知 x = 2 是方程 x² - 6x + m = 0 的一个根，则 m = __8____，另一个根是__4____。 【答案】8；4 【分析】先代入x=2求m，再解方程求另一个根。 【详解】解：将 x = 2 代入方程，得 4 - 12 + m = 0，解得 m = 8。 方程为 x² - 6x + 8 = 0，因式分解得 (x - 2)(x - 4) = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 4。∴ m = 8，另一个根是 4。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）若 x² + (m - 1)x + 4 是一个完全平方式，则 m 的值为__5或-3____。 【答案】5或-3 【分析】完全平方式的中间项系数等于±2×一次项系数×常数项平方根。 【详解】解：∵ x² + (m - 1)x + 4 是完全平方式， ∴ m - 1 = ±2×1×2 = ±4， 当 m - 1 = 4 时，m = 5； 当 m - 1 = -4 时，m = -3。 ∴ m 的值为 5 或 -3。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）方程 x² - 9x + 18 = 0 的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为___15___。 【答案】15 【分析】先解方程，再根据等腰三角形三边关系判断底和腰。 【详解】解：x² - 9x + 18 = 0，因式分解得 (x - 3)(x - 6) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = 6。 若底为3，腰为6，则周长 = 3 + 6 + 6 = 15； 若底为6，腰为3，则 3 + 3 = 6，不能构成三角形，舍去。 ∴ 三角形的周长为 15。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）用适当的方法解下列方程： （1）x² - 5x = 0； （2）x² - 4x + 4 = 0； （3）x² - 3x - 4 = 0。 【答案】（1）x₁ = 0，x₂ = 5；（2）x₁ = x₂ = 2；（3）x₁ = 4，x₂ = -1 【分析】根据方程特点选择适当的因式分解方法。 【详解】解：（1）x² - 5x = 0， 提取公因式，得 x(x - 5) = 0， ∴ x = 0 或 x - 5 = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = 5。 （2）x² - 4x + 4 = 0， 利用完全平方公式，得 (x - 2)² = 0， ∴ x - 2 = 0，解得 x₁ = x₂ = 2。 （3）x² - 3x - 4 = 0， 十字相乘分解，得 (x - 4)(x + 1) = 0， ∴ x - 4 = 0 或 x + 1 = 0，解得 x₁ = 4，x₂ = -1。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求 k 的取值范围。 【答案】（1）证明见详解；（2）k < 0 【分析】（1）计算判别式证明非负；（2）因式分解求根，再根据条件列不等式。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(k + 3)]² - 4×1×(2k + 2) = k² + 6k + 9 - 8k - 8 = k² - 2k + 1 = (k - 1)² ≥ 0， ∴ 方程总有两个实数根。 （2）x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0， 因式分解，得 (x - 2)[x - (k + 1)] = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = k + 1。 ∵ 方程有一个根小于1，而 x₁ = 2 > 1， ∴ k + 1 < 1，解得 k < 0。 14．（2024秋·福建福州·单元测）在解方程 x² + 2x - 8 = 0 时，小明的解法如下： 解：x² + 2x = 8， x² + 2x + 1 = 9， (x + 1)² = 9， x + 1 = 3， x = 2。 请判断小明的解法是否正确，若不正确，请写出正确的解法。 【答案】不正确，正确解为x₁ = 2，x₂ = -4 【分析】小明在开平方时只取了正根，漏掉了负根；也可以用因式分解法。 【详解】解：小明的解法不正确，在 (x + 1)² = 9 开平方时，应该得到 x + 1 = ±3，而不是只取 x + 1 = 3。 正确解法（因式分解法）： x² + 2x - 8 = 0， 十字相乘分解，得 (x + 4)(x - 2) = 0， ∴ x + 4 = 0 或 x - 2 = 0， 解得 x₁ = -4，x₂ = 2。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足 a² + b² + c² = ab + bc + ac，试判断△ABC 的形状。 【答案】等边三角形 【分析】将等式移项后乘以2，配方化为三个完全平方式的和为0。 【详解】解：∵ a² + b² + c² = ab + bc + ac， ∴ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0， ∴ (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (a² - 2ac + c²) = 0， 即 (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² = 0。 ∵ (a - b)² ≥ 0，(b - c)² ≥ 0，(a - c)² ≥ 0， ∴ a - b = 0，b - c = 0，a - c = 0， ∴ a = b = c。 ∴ △ABC 是等边三角形。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）一元二次方程 x² - 4x = 0 的解是（　　） A．x = 4 B．x₁ = 0，x₂ = 4 C．x₁ = 0，x₂ = -4 D．x = 0 【答案】B 【分析】提取公因式x求解。 【详解】解：x² - 4x = 0，提取公因式，得 x(x - 4) = 0， ∴ x = 0 或 x - 4 = 0，解得 x₁ = 0，x₂ = 4。 故选：B。 2．（2024·江苏苏州中考）方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别是（　　） A．2和3 B．-2和-3 C．2和-3 D．-2和3 【答案】A 【分析】用十字相乘法分解。 【详解】解：x² - 5x + 6 = 0，因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0， ∴ x - 2 = 0 或 x - 3 = 0，解得 x₁ = 2，x₂ = 3。 故选：A。 3．（2024·浙江杭州中考）已知关于 x 的方程 x² + 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（　　） A．m = 1 B．m = -1 C．m = 2 D．m = -2 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，判别式等于0。 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = b² - 4ac = 4 - 4m = 0， 解得 m = 1。此时方程为 x² + 2x + 1 = 0，即 (x + 1)² = 0。 故选：A。 4．（2024·山东济南中考）若 x = -1 是关于 x 的一元二次方程 x² + 3x + m + 1 = 0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】将x = -1代入方程求解m。 【详解】解：将 x = -1 代入方程，得 (-1)² + 3×(-1) + m + 1 = 0， 即 1 - 3 + m + 1 = 0，m - 1 = 0，解得 m = 1。 故选：C。 5．（2024·湖北武汉中考）方程 (x - 1)(x + 2) = 2(x + 2) 的根是（　　） A．x = 3 B．x = -2 C．x₁ = 3，x₂ = -2 D．x₁ = -3，x₂ = 2 【答案】C 【分析】移项后提取公因式(x + 2)，不能两边约去(x + 2)。 【详解】解：(x - 1)(x + 2) = 2(x + 2)， 移项得 (x - 1)(x + 2) - 2(x + 2) = 0， 提取公因式(x + 2)，得 (x + 2)(x - 3) = 0， ∴ x + 2 = 0 或 x - 3 = 0，解得 x₁ = -2，x₂ = 3。 故选：C。 6．（2024·广东广州中考）方程 x² - 2x - 3 = 0 的解是__x₁ = 3，x₂ = -1____。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】用十字相乘法分解。 【详解】解：x² - 2x - 3 = 0，因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0， ∴ x - 3 = 0 或 x + 1 = 0，解得 x₁ = 3，x₂ = -1。 7．（2024·陕西中考）若一元二次方程 x² - 6x + m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值为___9___。 【答案】9 【分析】方程有两个相等的实数根，判别式等于0。 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = b² - 4ac = 36 - 4m = 0， 解得 m = 9。此时方程为 x² - 6x + 9 = 0，即 (x - 3)² = 0。 8．（2024·重庆中考）解方程：x² - 4x - 5 = 0。 【答案】x₁ = 5，x₂ = -1 【分析】用十字相乘法或配方法求解。 【详解】解：x² - 4x - 5 = 0， 因式分解，得 (x - 5)(x + 1) = 0， ∴ x - 5 = 0 或 x + 1 = 0， 解得 x₁ = 5，x₂ = -1。 9．（2024·天津中考）已知关于 x 的一元二次方程 x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时，求 k 的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 4或k = 5 【分析】（1）计算判别式证明大于0；（2）先求方程的根，再分情况讨论等腰三角形。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(2k + 1)]² - 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实数根。 （2）x² - (2k + 1)x + k² + k = 0， 因式分解，得 (x - k)[x - (k + 1)] = 0， 解得 x₁ = k，x₂ = k + 1。 ∵ △ABC 是等腰三角形，BC = 5， ∴ 分两种情况： ① 当 AB = AC 时，k = k + 1，不成立； ② 当 AB = BC 时，k = 5，此时 AC = 6，三边为5、5、6，能构成三角形； ③ 当 AC = BC 时，k + 1 = 5，解得 k = 4，此时 AB = 4，三边为4、5、5，能构成三角形。 综上所述，k 的值为 4 或 5。 10．（2024·河南中考）某商店销售一种商品，每件进价为 40 元。经市场调查，当售价为 50 元时，可销售 200 件；售价每提高 1 元，销售量减少 10 件。设每件商品的售价为 x 元（x ≥ 50）。 （1）用含 x 的代数式表示销售量； （2）若商店销售这种商品的总利润为 2240 元，求每件商品的售价。 【答案】（1）(700 - 10x)件；（2）每件商品的售价为56元或54元 【分析】（1）根据售价与销售量的关系列代数式；（2）根据总利润=单件利润×销售量列方程。 【详解】解：（1）当售价为 x 元时，比 50 元提高了 (x - 50) 元， 销售量减少 10(x - 50) 件， ∴ 销售量为 200 - 10(x - 50) = 200 - 10x + 500 = (700 - 10x) 件。 （2）由题意，得 (x - 40)(700 - 10x) = 2240， 展开，得 700x - 10x² - 28000 + 400x = 2240， 整理，得 -10x² + 1100x - 30240 = 0， 两边除以-10，得 x² - 110x + 3024 = 0， 因式分解，得 (x - 56)(x - 54) = 0， 解得 x₁ = 56，x₂ = 54。 ∵ x ≥ 50，∴ x₁ = 56，x₂ = 54 都符合题意。 答：每件商品的售价为 56 元或 54 元。 学科网（北京）股份有限公司 $