26.3《二次函数与一元二次方程》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过基础、进阶、中考三层设计，以“概念理解→综合应用→中考衔接”路径巩固二次函数与一元二次方程联系，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|单一知识点（交点个数、坐标、判别式等）|选择填空为主，直接应用概念（如判断抛物线与x轴交点个数）| |进阶思维题|综合知识点（含参数、面积计算、实际建模）|解答题占比高，考查推理能力（如二次函数与方程综合证明）| |中考链接题|中考核心考点（交点应用、实际问题、综合解答）|真题再现，衔接测评（如中考实际销售利润问题）|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 本节知识点总结 1. 二次函数与x轴的交点和一元二次方程根的关系： 抛物线 y = ax² + bx + c 与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。 ① Δ = b² - 4ac > 0 → 抛物线与x轴有两个公共点 → 方程有两个不相等的实数根； ② Δ = b² - 4ac = 0 → 抛物线与x轴有一个公共点（顶点在x轴上）→ 方程有两个相等的实数根； ③ Δ = b² - 4ac < 0 → 抛物线与x轴没有公共点 → 方程没有实数根。 2. 二次函数与一元二次方程的联系： ① 求抛物线与x轴的交点坐标，就是解对应的一元二次方程； ② 二次函数问题可以转化为一元二次方程问题来解决； ③ 一元二次方程问题也可以转化为二次函数问题，利用函数图象来分析。 3. 利用函数图象求方程的近似解： ① 画出函数 y = ax² + bx + c 的图象； ② 观察图象与x轴交点的横坐标，即为方程的近似解； ③ 可以利用二分法逐步缩小根所在的范围，提高近似解的精确度。 4. 实际应用： 小球飞行高度、行驶距离等实际问题中，可以建立二次函数模型，通过求函数与x轴的交点来解决实际问题。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 判断抛物线与x轴的交点个数 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）抛物线 y = x² - 4x + 3 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024秋·上海浦东·单元测）抛物线 y = x² - 2x + 1 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）抛物线 y = x² + x + 1 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 4．（2024秋·江苏南京·期中）下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（　　） A．y = x² - 2x + 1 B．y = x² + 2x + 1 C．y = x² - 3x + 2 D．y = x² + 2x + 2 题型02 求抛物线与x轴的交点坐标 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）抛物线 y = x² - 5x + 6 与x轴的交点坐标是______。 6．（2024秋·山东济南·月考）抛物线 y = 2x² - 4x + 2 与x轴的交点坐标是____ 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）抛物线 y = -x² + 4x 与x轴的交点坐标是______。 8．（2024秋·四川成都·单元测）求抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴的交点坐标。 题型03 利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）若抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 10．（2024秋·陕西西安·期中）若抛物线 y = x² + bx + 4 与x轴只有一个交点，则b的值是（　　） A．4 B．-4 C．±4 D．±2 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型04 二次函数与一元二次方程的相互转化 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）一元二次方程 x² - 3x - 4 = 0 的两根，可看作是下列哪个抛物线与x轴交点的横坐标（　　） A．y = x² - 3x - 4 B．y = x² + 3x - 4 C．y = x² - 3x + 4 D．y = x² + 3x + 4 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）若抛物线 y = x² + px + q 与x轴的交点坐标为 (2, 0) 和 (-3, 0)，则一元二次方程 x² + px + q = 0 的两根是______。 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）已知二次函数 y = x² - 5x + m 的图象与x轴的一个交点为 (1, 0)，则方程 x² - 5x + m = 0 的另一个根是（　　） A．-1 B．2 C．4 D．5 题型05 利用函数图象求方程的近似解 15.（2024-2025九年级上·福建福州·月考）根据下列表格中二次函数 y = ax² + bx + c 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 A．6 < x < 6.17 B．6.17 < x < 6.18 C．6.18 < x < 6.19 D．6.19 < x < 6.20 16．（2024秋·江西南昌·期中）已知二次函数 y = x² - 2x - 2，当 x = 2 时，y = -2；当 x = 3 时，y = 1。则方程 x² - 2x - 2 = 0 的一个正根的范围是______。 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）利用函数图象，求方程 x² - 2x - 2 = 0 的近似解（精确到0.1）。 题型06 二次函数与一元二次方程的实际应用 18．（2024秋·河南郑州·月考）一个小球从地面竖直向上抛出，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为 h = -5t² + 20t。小球经过多长时间落地？ 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）某飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的函数关系式为 y = -1.5x² + 60x。飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？ 20．（2024秋·广西南宁·单元测）某物体的运动高度 h(m) 与时间 t(s) 满足 h = -5t² + 10t，则物体落地的时间是（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 题型07 抛物线与x轴交点的综合应用 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）二次函数 y = ax² + bx + c 的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．abc > 0 B．b² - 4ac < 0 C．2a + b = 0 D．a + b + c ＞ 0 22．（2024秋·甘肃兰州·期中）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点，则线段AB的长为____。 23．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·单元测）已知抛物线 y = x² - (k+2)x + 4 与x轴只有一个交点，求k的值。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数 y = x² - 2mx + m² + 1（m为常数），当自变量x的值满足 -3 ≤ x ≤ -1 时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-1 D．1或-5 2．（2024秋·上海闵行·月考）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线 x = 1，与x轴的一个交点为 (3, 0)，则关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两根分别是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 3 B．x₁ = -1，x₂ = 3 C．x₁ = -3，x₂ = 3 D．x₁ = 1，x₂ = -3 【答案】B 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 (-1, 0) 和 (3, 0)，则方程 x² + bx + c = 0 的解是（　　） A．x₁ = -1，x₂ = 3 B．x₁ = 1，x₂ = -3 C．x₁ = -1，x₂ = -3 D．x₁ = 1，x₂ = 3 4．（2024秋·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，下列结论：① abc < 0；② b² - 4ac > 0；③ 2a + b = 0；④ a - b + c > 0。其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋·山东青岛·单元测）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）若抛物线 y = 2x² - 4x + c 与x轴没有交点，则c的取值范围是______。 8．（2024秋·四川成都·期中）已知二次函数 y = x² + bx + 3 的图象与x轴的一个交点为 (1, 0)，则它与x轴的另一个交点坐标是______。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）抛物线 y = x² - 6x + 5 与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积是______。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a > 0，b＞0) 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点在第______象限。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）用图象法求方程 x² - x - 1 = 0 的近似解时，可看作抛物线 y = x² - x - 1 与直线______的交点的横坐标。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知抛物线 y = x² - 2x - 3。 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）根据图象说明，当x取何值时，y > 0？ 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 y = x² - (m+2)x + 2m。 （1）求证：无论m取何值，该抛物线与x轴总有交点； （2）若该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为 (1, 0)，求点B的坐标。 14．（2024秋·福建福州·单元测）某商店销售一种商品，每件成本为40元。经市场调查，售价为50元时，可卖出200件；售价每增加1元，销售量减少10件。设售价为x元（x ≥ 50），销售量为y件。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，销售利润为2240元？ 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）点P是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根，则二次函数 y = x² - 4x + m 的图象与x轴（　　） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．交点个数无法确定 2．（2025·江苏中考）若二次函数 y = x² - 2x + k 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 3．（2025·浙江中考）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过 (1, 0) 和 (2, 0) 两点，则关于x的一元二次方程 x² + bx + c = 0 的解是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 2 B．x₁ = -1，x₂ = -2 C．x₁ = 1，x₂ = -2 D．x₁ = -1，x₂ = 2 4．（2024·山东济南中考）抛物线 y = x² - 4x + 3 与x轴交于A、B两点，则线段AB的长为______。 5．（2025·湖北中考）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线 x = 2，与x轴的一个交点坐标为 (5, 0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（　　） A．(-1, 0) B．(1, 0) C．(3, 0) D．(7, 0) 6．（2024·广东广州中考）已知二次函数 y = x² - 2x - 3，当 y < 0 时，x的取值范围是______。 7．（2024·陕西中考）已知二次函数 y = x² - 4x + 3。 （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）当 y > 0 时，直接写出x的取值范围。 8．（2024·重庆中考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元。 （1）用含x的代数式表示：降价后每件衬衫盈利______元，平均每天可售出______件； （2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 9．（2024·河北中考）二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．abc ＞ 0 B．b² - 4ac > 0 C．2a + b > 0 D．a + b + c < 0 10．（2024·河南中考）如图，抛物线 y = -x² + bx + c 与x轴交于A(-1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。当PE的长度最大时，求点P的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 本节知识点总结 1. 二次函数与x轴的交点和一元二次方程根的关系： 抛物线 y = ax² + bx + c 与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。 ① Δ = b² - 4ac > 0 → 抛物线与x轴有两个公共点 → 方程有两个不相等的实数根； ② Δ = b² - 4ac = 0 → 抛物线与x轴有一个公共点（顶点在x轴上）→ 方程有两个相等的实数根； ③ Δ = b² - 4ac < 0 → 抛物线与x轴没有公共点 → 方程没有实数根。 2. 二次函数与一元二次方程的联系： ① 求抛物线与x轴的交点坐标，就是解对应的一元二次方程； ② 二次函数问题可以转化为一元二次方程问题来解决； ③ 一元二次方程问题也可以转化为二次函数问题，利用函数图象来分析。 3. 利用函数图象求方程的近似解： ① 画出函数 y = ax² + bx + c 的图象； ② 观察图象与x轴交点的横坐标，即为方程的近似解； ③ 可以利用二分法逐步缩小根所在的范围，提高近似解的精确度。 4. 实际应用： 小球飞行高度、行驶距离等实际问题中，可以建立二次函数模型，通过求函数与x轴的交点来解决实际问题。 本节知识点总结 📅 一、基础过关题 题型01 判断抛物线与x轴的交点个数 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）抛物线 y = x² - 4x + 3 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】计算判别式Δ = b² - 4ac，根据Δ的符号判断交点个数。 【详解】解：在 y = x² - 4x + 3 中，a = 1，b = -4，c = 3， Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 > 0， ∴ 抛物线与x轴有两个交点。 故选：C。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）抛物线 y = x² - 2x + 1 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算判别式，Δ=0时有一个交点。 【详解】解：在 y = x² - 2x + 1 中，a = 1，b = -2，c = 1， Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0， ∴ 抛物线与x轴有一个交点。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）抛物线 y = x² + x + 1 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算判别式，Δ<0时没有交点。 【详解】解：在 y = x² + x + 1 中，a = 1，b = 1，c = 1， Δ = b² - 4ac = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 < 0， ∴ 抛物线与x轴没有交点。故选：A。 4．（2024秋·江苏南京·期中）下列抛物线中，与x轴有两个交点的是（　　） A．y = x² - 2x + 1 B．y = x² + 2x + 1 C．y = x² - 3x + 2 D．y = x² + 2x + 2 【答案】C 【分析】分别计算各选项的判别式，Δ>0的有两个交点。 【详解】解：A选项，Δ = (-2)² - 4×1×1 = 0，有一个交点； B选项，Δ = 2² - 4×1×1 = 0，有一个交点； C选项，Δ = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1 > 0，有两个交点； D选项，Δ = 2² - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 < 0，没有交点。 故选：C。 题型02 求抛物线与x轴的交点坐标 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）抛物线 y = x² - 5x + 6 与x轴的交点坐标是__ (2, 0) 和 (3, 0)____。 【答案】(2, 0)和(3, 0) 【分析】令y=0，解一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 5x + 6 = 0， 因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0， 解得 x₁ = 2，x₂ = 3。 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标是 (2, 0) 和 (3, 0)。 6．（2024秋·山东济南·月考）抛物线 y = 2x² - 4x + 2 与x轴的交点坐标是__(1, 0)____。 【答案】(1, 0) 【分析】令y=0，解方程2x² - 4x + 2 = 0。 【详解】解：令 y = 0，得 2x² - 4x + 2 = 0， 两边除以2得 x² - 2x + 1 = 0， 即 (x - 1)² = 0，解得 x₁ = x₂ = 1。 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标是 (1, 0)。 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）抛物线 y = -x² + 4x 与x轴的交点坐标是___(0, 0)和(4, 0)___。 【答案】(0, 0)和(4, 0) 【分析】令y=0，解方程-x² + 4x = 0。 【详解】解：令 y = 0，得 -x² + 4x = 0， 即 x² - 4x = 0，x(x - 4) = 0， 解得 x₁ = 0，x₂ = 4。 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标是 (0, 0) 和 (4, 0)。 8．（2024秋·四川成都·单元测）求抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴的交点坐标。 【答案】(-1, 0)和(3, 0) 【分析】令y=0，解一元二次方程。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0， 因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标是 (-1, 0) 和 (3, 0)。 题型03 利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）若抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴有两个交点，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 【答案】B 【分析】抛物线与x轴有两个交点，则Δ > 0。 【详解】解：抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴有两个交点， 则 Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×m = 4 - 4m > 0， 解得 m < 1。 故选：B。 10．（2024秋·陕西西安·期中）若抛物线 y = x² + bx + 4 与x轴只有一个交点，则b的值是（　　） A．4 B．-4 C．±4 D．±2 【答案】C 【分析】抛物线与x轴只有一个交点，则Δ = 0。 【详解】解：抛物线 y = x² + bx + 4 与x轴只有一个交点， 则 Δ = b² - 4ac = b² - 4×1×4 = b² - 16 = 0， 解得 b² = 16，b = ±4。 故选：C。 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根。 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴ 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 有两个不相等的实数根。 故选：A。 题型04 二次函数与一元二次方程的相互转化 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）一元二次方程 x² - 3x - 4 = 0 的两根，可看作是下列哪个抛物线与x轴交点的横坐标（　　） A．y = x² - 3x - 4 B．y = x² + 3x - 4 C．y = x² - 3x + 4 D．y = x² + 3x + 4 【答案】A 【分析】一元二次方程ax²+bx+c=0的根就是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标。 【详解】解：一元二次方程 x² - 3x - 4 = 0 的两根，就是抛物线 y = x² - 3x - 4 与x轴交点的横坐标。 故选：A。 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）若抛物线 y = x² + px + q 与x轴的交点坐标为 (2, 0) 和 (-3, 0)，则一元二次方程 x² + px + q = 0 的两根是___x₁ = 2，x₂ = -3___。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -3 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程的根。 【详解】解：抛物线 y = x² + px + q 与x轴的交点坐标为 (2, 0) 和 (-3, 0)， 即当 x = 2 或 x = -3 时，y = 0， ∴ 一元二次方程 x² + px + q = 0 的两根是 x₁ = 2，x₂ = -3。 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）已知二次函数 y = x² - 5x + m 的图象与x轴的一个交点为 (1, 0)，则方程 x² - 5x + m = 0 的另一个根是（　　） A．-1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用韦达定理，两根之和等于5。 【详解】解：设方程的另一个根为 x₂，由韦达定理得： x₁ + x₂ = 5，即 1 + x₂ = 5，解得 x₂ = 4。 ∴ 方程的另一个根是 4。 故选：C。 题型05 利用函数图象求方程的近似解 15.（2024-2025九年级上·福建福州·月考）根据下列表格中二次函数 y = ax² + bx + c 的自变量x与函数值y的对应值，判断方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 A．6 < x < 6.17 B．6.17 < x < 6.18 C．6.18 < x < 6.19 D．6.19 < x < 6.20 【答案】C 【分析】当y由负变正时，对应的x之间必有一个根。 【详解】解：由表格可知，当 x = 6.18 时，y = -0.01 < 0；当 x = 6.19 时，y = 0.02 > 0。 ∵ y的值由负变为正，∴ 在 6.18 < x < 6.19 之间，函数图象必与x轴有一个交点， 即方程 ax² + bx + c = 0 的一个解在 6.18 < x < 6.19 之间。 故选：C。 16．（2024秋·江西南昌·期中）已知二次函数 y = x² - 2x - 2，当 x = 2 时，y = -2；当 x = 3 时，y = 1。则方程 x² - 2x - 2 = 0 的一个正根的范围是___2 < x < 3___。 【答案】2 < x < 3 【分析】当y由负变正时，对应的x之间有一个根。 【详解】解：当 x = 2 时，y = 2² - 2×2 - 2 = -2 < 0； 当 x = 3 时，y = 3² - 2×3 - 2 = 1 > 0。 ∵ y的值由负变为正，∴ 在 2 < x < 3 之间，函数图象与x轴有一个交点， 即方程 x² - 2x - 2 = 0 的一个正根在 2 < x < 3 之间。 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）利用函数图象，求方程 x² - 2x - 2 = 0 的近似解（精确到0.1）。 【答案】x₁ ≈ -0.7，x₂ ≈ 2.7 【分析】先确定根所在的整数范围，再用二分法缩小范围。 【详解】解：设 y = x² - 2x - 2。 ① 当 x = -1 时，y = 1 + 2 - 2 = 1 > 0；当 x = 0 时，y = -2 < 0。 ∴ 一个根在 -1 < x < 0 之间。 取 x = -0.7，y = 0.49 + 1.4 - 2 = -0.11 ≈ 0； 取 x = -0.8，y = 0.64 + 1.6 - 2 = 0.24 > 0。 ∴ x₁ ≈ -0.7。 ② 当 x = 2 时，y = -2 < 0；当 x = 3 时，y = 1 > 0。 ∴ 另一个根在 2 < x < 3 之间。 取 x = 2.7，y = 7.29 - 5.4 - 2 = -0.11 ≈ 0； 取 x = 2.8，y = 7.84 - 5.6 - 2 = 0.24 > 0。 ∴ x₂ ≈ 2.7。 综上，方程的近似解为 x₁ ≈ -0.7，x₂ ≈ 2.7。 题型06 二次函数与一元二次方程的实际应用 18．（2024秋·河南郑州·月考）一个小球从地面竖直向上抛出，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为 h = -5t² + 20t。小球经过多长时间落地？ 【答案】4秒 【分析】落地时高度h=0，解方程求t。 【详解】解：小球落地时，高度 h = 0，即： -5t² + 20t = 0， 提取公因式得 -5t(t - 4) = 0， 解得 t₁ = 0（抛出时刻，舍去），t₂ = 4。 答：小球经过 4 秒落地。 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）某飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的函数关系式为 y = -1.5x² + 60x。飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？ 【答案】20秒 【分析】飞机停下来时，滑行距离达到最大值，此时对应抛物线顶点，也可以理解为速度为0的时刻。本题通过求顶点横坐标来解。 【详解】解：飞机停下来时，滑行距离达到最大值。 y = -1.5x² + 60x = -1.5(x² - 40x) = -1.5(x - 20)² + 600。 ∵ a = -1.5 < 0，∴ 当 x = 20 时，y取得最大值。 答：飞机着陆后滑行 20 秒才能停下来。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）某物体的运动高度 h(m) 与时间 t(s) 满足 h = -5t² + 10t，则物体落地的时间是（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 【答案】B 【分析】落地时h=0，解方程。 【详解】解：物体落地时，h = 0，即： -5t² + 10t = 0，-5t(t - 2) = 0， 解得 t₁ = 0（舍去），t₂ = 2。 ∴ 物体落地的时间是 2s。故选：B。 题型07 抛物线与x轴交点的综合应用 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）二次函数 y = ax² + bx + c 的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．abc > 0 B．b² - 4ac < 0 C．2a + b = 0 D．a + b + c ＞ 0 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点来判断。 【详解】解：由图象可知（开口向上，对称轴在左侧，与y轴负半轴相交，与x轴有两个交点）： A选项，开口向上a＞0，对称轴在左侧-＜0则b>0，与y轴负半轴相交c＜0，∴ abc<0，错误； B选项，抛物线与x轴有两个交点，∴ b²-4ac>0，错误； C选项，抛物线对称轴为-1，所以-=-1，所以b=2a，即2a-b=0，错误； D选项，当x=1时，y=a+b+c，由图象可知x=1时函数值在x轴上方，∴ a+b+c＞0，正确。 故选：D。 22．（2024秋·甘肃兰州·期中）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点，则线段AB的长为___4___。 【答案】4 【分析】先求交点坐标，再计算两点间距离。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0， 因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0， 解得 x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ A(-1, 0)，B(3, 0)，AB = |3 - (-1)| = 4。 23．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·单元测）已知抛物线 y = x² - (k+2)x + 4 与x轴只有一个交点，求k的值。 【答案】k = 2 或 k = -6 【分析】抛物线与x轴只有一个交点，则Δ = 0。 【详解】解：∵ 抛物线 y = x² - (k+2)x + 4 与x轴只有一个交点， ∴ Δ = b² - 4ac = [-(k+2)]² - 4×1×4 = 0， 即 (k+2)² - 16 = 0，(k+2)² = 16， k + 2 = ±4， 解得 k₁ = 2，k₂ = -6。 ∴ k的值为 2 或 -6。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数 y = x² - 2mx + m² + 1（m为常数），当自变量x的值满足 -3 ≤ x ≤ -1 时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-1 D．1或-5 【答案】D 【分析】先将函数化为顶点式，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【详解】解：∵y=x2-2mx+m2+1=(x-m)2+1, .当x=m时，y的最小值为1.当m<-3时， 在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1=5,解得m=-5,m2=-1(舍去); 当-3≤m≤-1时，y的最小值为1,舍去; 当m>-1时，在-3≤x≤-1中,y随x的增大而 减小， ∴1+2m+m2+1=5,解得m1=-3(舍去),m2=1. ∴m的值为-5或1. 故选D。 2．（2024秋·上海闵行·月考）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线 x = 1，与x轴的一个交点为 (3, 0)，则关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两根分别是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 3 B．x₁ = -1，x₂ = 3 C．x₁ = -3，x₂ = 3 D．x₁ = 1，x₂ = -3 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称。 【详解】解：抛物线的对称轴为 x = 1，与x轴的一个交点为 (3, 0)， 设另一个交点为 (x, 0)，由对称性得：(3 + x)/2 = 1，解得 x = -1。 ∴ 抛物线与x轴的两个交点为 (-1, 0) 和 (3, 0)， ∴ 方程 ax² + bx + c = 0 的两根为 x₁ = -1，x₂ = 3。 故选：B。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 (-1, 0) 和 (3, 0)，则方程 x² + bx + c = 0 的解是（　　） A．x₁ = -1，x₂ = 3 B．x₁ = 1，x₂ = -3 C．x₁ = -1，x₂ = -3 D．x₁ = 1，x₂ = 3 【答案】A 【分析】抛物线经过x轴上的点，这些点的横坐标就是方程的根。 【详解】解：∵ 二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过点 (-1, 0) 和 (3, 0)， 即当 x = -1 或 x = 3 时，y = 0， ∴ 方程 x² + bx + c = 0 的解是 x₁ = -1，x₂ = 3。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】C 【分析】方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有两个交点。 【详解】解：∵ 一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 抛物线 y = x² - 2x + m 与x轴有两个交点。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，下列结论：① abc < 0；② b² - 4ac > 0；③ 2a + b = 0；④ a - b + c > 0。其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象特征逐一判断。 【详解】解：由图象（假设开口向上，对称轴x=1，与y轴负半轴相交，与x轴有两个交点）： ① 开口向下a＜0，对称轴x=1即-=1得b=-2a＞0，与y轴正半轴相交c＞0，∴ abc＜0，①正确； ② 抛物线与x轴有两个交点，∴ b²-4ac>0，②正确； ③ 对称轴x=1，即-=1，∴ b=-2a，2a+b=0，③正确； ④ 当x=-1时，y=a-b+c，由对称性，x=-1时y＜0，∴ a-b+c＜0，④错误。 综上，①②③正确，共3个。 故选：C。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】先求A、B、C三点坐标，再计算三角形面积。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0，(x-3)(x+1)=0，解得 x₁=3，x₂=-1。 ∴ A(-1, 0)，B(3, 0)，AB = 4。 令 x = 0，得 y = -3，∴ C(0, -3)，OC = 3。 S△ABC = × AB × OC = × 4 × 3 = 6。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）若抛物线 y = 2x² - 4x + c 与x轴没有交点，则c的取值范围是___c > 2___。 【答案】c > 2 【分析】抛物线与x轴没有交点，则Δ < 0。 【详解】解：抛物线 y = 2x² - 4x + c 与x轴没有交点， 则 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×2×c = 16 - 8c < 0， 解得 c > 2。 8．（2024秋·四川成都·期中）已知二次函数 y = x² + bx + 3 的图象与x轴的一个交点为 (1, 0)，则它与x轴的另一个交点坐标是__(3, 0)____。 【答案】(3, 0) 【分析】利用韦达定理，两根之积等于3。 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 x₂，由韦达定理得： x₁ · x₂ = = = 3，即 1 × x₂ = 3，解得 x₂ = 3。 ∴ 另一个交点坐标是 (3, 0)。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）抛物线 y = x² - 6x + 5 与x轴交于A、B两点，顶点为C，则△ABC的面积是__8____。 【答案】8 【分析】先求A、B、C三点坐标，再计算面积。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 6x + 5 = 0，(x-1)(x-5)=0，解得 x₁=1，x₂=5。 ∴ A(1, 0)，B(5, 0)，AB = 4。 y = x² - 6x + 5 = (x-3)² - 4，∴ 顶点 C(3, -4)。 点C到x轴的距离为 |-4| = 4。 S△ABC = × AB × 4 = × 4 × 4 = 8。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a > 0，b＞0) 有两个不相等的实数根，则抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点在第__三____象限。 【答案】三 【分析】a>0且有两个不相等实根，说明Δ>0，顶点纵坐标为(4ac-b²)/(4a)<0，顶点在x轴下方。横坐标为-b/(2a)，符号取决于b。 【详解】解：∵关于a的方程ax2+bx十c=0(a>0,b>0)有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac>0, 即b2>4ac， ∵顶点的横坐标为，纵坐标为,a＞0,b>0, ∴<0, <0, ∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第三象限， 故选:C. 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）用图象法求方程 x² - x - 1 = 0 的近似解时，可看作抛物线 y = x² - x - 1 与直线___y = 0（即x轴）___的交点的横坐标。 【答案】y = 0（即x轴） 【分析】方程x² - x - 1 = 0的解就是抛物线y = x² - x - 1与x轴交点的横坐标。 【详解】解：方程 x² - x - 1 = 0 可变形为 x² - x - 1 = 0， 其解就是抛物线 y = x² - x - 1 与直线 y = 0（即x轴）的交点的横坐标。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知抛物线 y = x² - 2x - 3。 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）根据图象说明，当x取何值时，y > 0？ 【答案】（1）(-1, 0)和(3, 0)；（2）(1, -4)；（3）x < -1或x > 3 【分析】（1）令y=0解方程；（2）配方法求顶点；（3）根据图象与x轴的交点判断。 【详解】解：（1）令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0， 因式分解得 (x - 3)(x + 1) = 0，解得 x₁ = 3，x₂ = -1。 ∴ 抛物线与x轴的交点坐标为 (-1, 0) 和 (3, 0)。 （2）y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4， ∴ 抛物线的顶点坐标为 (1, -4)。 （3）∵ 抛物线开口向上，与x轴交于 (-1, 0) 和 (3, 0)， ∴ 当 x < -1 或 x > 3 时，y > 0。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数 y = x² - (m+2)x + 2m。 （1）求证：无论m取何值，该抛物线与x轴总有交点； （2）若该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为 (1, 0)，求点B的坐标。 【答案】（1）证明见详解；（2）B(2m, 0)，当A(1,0)时m=1，B(2, 0) 【分析】（1）证明Δ≥0；（2）利用韦达定理或代入求m。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(m+2)]² - 4×1×2m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0。 ∵ 无论m取何值，(m - 2)² ≥ 0，即 Δ ≥ 0， ∴ 无论m取何值，该抛物线与x轴总有交点。 （2）∵ 抛物线与x轴交于点 A(1, 0)， ∴ 将 x = 1，y = 0 代入得：1 - (m+2) + 2m = 0， 1 - m - 2 + 2m = 0，m - 1 = 0，解得 m = 1。 ∴ 抛物线为 y = x² - 3x + 2。 令 y = 0，得 x² - 3x + 2 = 0，(x-1)(x-2) = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = 2。 ∴ 点B的坐标为 (2, 0)。 14．（2024秋·福建福州·单元测）某商店销售一种商品，每件成本为40元。经市场调查，售价为50元时，可卖出200件；售价每增加1元，销售量减少10件。设售价为x元（x ≥ 50），销售量为y件。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当售价为多少时，销售利润为2240元？ 【答案】（1）y = -10x + 700；（2）售价为54元或56元 【分析】（1）根据题意列一次函数；（2）利润=每件利润×销售量，列方程求解。 【详解】解：（1）由题意，售价为50元时卖出200件，售价每增加1元，销售量减少10件， ∴ y = 200 - 10(x - 50) = 200 - 10x + 500 = -10x + 700。 （2）每件利润为 (x - 40) 元，销售量为 (-10x + 700) 件， 由题意得：(x - 40)(-10x + 700) = 2240， 展开得：-10x² + 700x + 400x - 28000 = 2240， -10x² + 1100x - 30240 = 0，两边除以-10得：x² - 110x + 3024 = 0， 因式分解：(x - 54)(x - 56) = 0，解得 x₁ = 54，x₂ = 56。 答：当售价为54元或56元时，销售利润为2240元。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知抛物线 y = x² - 2x - 3 与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）点P是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标。 【答案】（1）A(-1,0), B(3,0), C(0,-3)；（2）6；（3）P(3/2, -15/4) 【分析】（1）求交点坐标；（2）计算面积；（3）设P点坐标，用割补法表示面积，求最大值。 【详解】解：（1）令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0，(x-3)(x+1)=0，解得 x₁=-1，x₂=3。 ∵ A在B左侧，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)。 令 x = 0，得 y = -3，∴ C(0, -3)。 （2）AB = 3 - (-1) = 4，OC = |-3| = 3， S△ABC = × AB × OC = × 4 × 3 = 6。 （3）设 P(x, x² - 2x - 3)，其中 0 < x < 3。 直线BC的解析式：B(3,0)，C(0,-3)，斜率 k = (-3-0)/(0-3) = 1， ∴ 直线BC：y = x - 3。 过点P作PD⊥x轴交BC于点D，则 D(x, x - 3)。 PD = (x - 3) - (x² - 2x - 3) = -x² + 3x。 S△PBC = S△PDC + S△PDB = × PD × 3 = × (-x² + 3x) × 3 = (x² - 3x) = -(x - )² + 27/8。 ∵ - < 0，∴ 当 x = 时，S△PBC最大。 此时 y = ()² - 2× - 3 = - 3 - 3 = -。 ∴ 点P的坐标为 (, -)。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根，则二次函数 y = x² - 4x + m 的图象与x轴（　　） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．交点个数无法确定 【答案】C 【分析】方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有两个交点。 【详解】解：∵ 一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 二次函数 y = x² - 4x + m 的图象与x轴有两个交点。 故选：C。 2．（2025·江苏中考）若二次函数 y = x² - 2x + k 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 【答案】A 【分析】抛物线与x轴有两个交点，则Δ > 0。 【详解】解：∵ 二次函数 y = x² - 2x + k 的图象与x轴有两个交点， ∴ Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×k = 4 - 4k > 0， 解得 k < 1。 故选：A。 3．（2025·浙江中考）已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过 (1, 0) 和 (2, 0) 两点，则关于x的一元二次方程 x² + bx + c = 0 的解是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 2 B．x₁ = -1，x₂ = -2 C．x₁ = 1，x₂ = -2 D．x₁ = -1，x₂ = 2 【答案】A 【分析】抛物线经过x轴上的点，这些点的横坐标就是方程的解。 【详解】解：∵ 二次函数 y = x² + bx + c 的图象经过 (1, 0) 和 (2, 0) 两点， 即当 x = 1 或 x = 2 时，y = 0， ∴ 方程 x² + bx + c = 0 的解是 x₁ = 1，x₂ = 2。 故选：A。 4．（2024·山东济南中考）抛物线 y = x² - 4x + 3 与x轴交于A、B两点，则线段AB的长为___2___。 【答案】2 【分析】先求交点坐标，再计算距离。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 4x + 3 = 0，(x-1)(x-3)=0，解得 x₁=1，x₂=3。 ∴ A(1, 0)，B(3, 0)，AB = |3 - 1| = 2。 5．（2025·湖北中考）抛物线 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的对称轴为直线 x = 2，与x轴的一个交点坐标为 (5, 0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（　　） A．(-1, 0) B．(1, 0) C．(3, 0) D．(7, 0) 【答案】A 【分析】利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称。 【详解】解：设另一个交点坐标为 (x, 0)，由对称性得：(5 + x)/2 = 2， 解得 x = -1。 ∴ 另一个交点坐标为 (-1, 0)。 故选：A。 6．（2024·广东广州中考）已知二次函数 y = x² - 2x - 3，当 y < 0 时，x的取值范围是__-1 < x < 3____。 【答案】-1 < x < 3 【分析】先求抛物线与x轴的交点，再根据开口方向判断y<0的范围。 【详解】解：令 y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0，(x-3)(x+1)=0，解得 x₁=3，x₂=-1。 ∵ 抛物线开口向上，与x轴交于 (-1, 0) 和 (3, 0)， ∴ 当 -1 < x < 3 时，y < 0。 7．（2024·陕西中考）已知二次函数 y = x² - 4x + 3。 （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标； （3）当 y > 0 时，直接写出x的取值范围。 【答案】（1）(2, -1)；（2）(1, 0)和(3, 0)；（3）x < 1或x > 3 【分析】（1）配方法求顶点；（2）令y=0解方程；（3）根据图象判断。 【详解】解：（1）y = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1， ∴ 顶点坐标为 (2, -1)。 （2）令 y = 0，得 x² - 4x + 3 = 0，(x-1)(x-3)=0，解得 x₁=1，x₂=3。 ∴ 函数图象与x轴的交点坐标为 (1, 0) 和 (3, 0)。 （3）∵ 抛物线开口向上，与x轴交于 (1, 0) 和 (3, 0)， ∴ 当 x < 1 或 x > 3 时，y > 0。 8．（2024·重庆中考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价x元。 （1）用含x的代数式表示：降价后每件衬衫盈利___(40-x)___元，平均每天可售出__(20+2x)____件； （2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）(40-x)元，(20+2x)件；（2）降价10元或20元 【分析】（1）根据题意列代数式；（2）总盈利=每件盈利×销售量，列方程求解。 【详解】解：（1）降价后每件衬衫盈利 (40 - x) 元，平均每天可售出 (20 + 2x) 件。 （2）由题意得：(40 - x)(20 + 2x) = 1200， 展开得：800 + 80x - 20x - 2x² = 1200， -2x² + 60x - 400 = 0，两边除以-2得：x² - 30x + 200 = 0， 因式分解得：(x - 10)(x - 20) = 0，解得 x₁ = 10，x₂ = 20。 答：每件衬衫应降价10元或20元。 9．（2024·河北中考）二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．abc ＞ 0 B．b² - 4ac > 0 C．2a + b > 0 D．a + b + c < 0 【答案】B 【分析】根据抛物线的图象特征逐一判断，找出错误的结论。 【详解】解：由图象（假设开口向上，对称轴在0和1之间，与y轴负半轴相交，与x轴有两个交点）： A选项，开口向上a>0，对称轴在y轴左侧b<0，与y轴正半轴c＞0，∴ abc＜0，A错误； B选项，图象与x轴有两个交点，b²-4ac>0，B正确； C选项，抛物线对称轴x=-＞-1，a＞0，∴ b＜2a，2a+b<0，C无法确定，故错误； D选项，由抛物线对策性可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，D错误。 故选B。 10．（2024·河南中考）如图，抛物线 y = -x² + bx + c 与x轴交于A(-1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E。当PE的长度最大时，求点P的坐标。 【答案】（1）y = -x² + 2x + 3；（2）P(, ) 【分析】（1）用交点式或代入法求解析式；（2）设P点坐标，表示PE的长度，求最大值。 【详解】解：（1）∵ 抛物线与x轴交于 A(-1, 0)、B(3, 0)， ∴ 可设 y = -(x + 1)(x - 3) = -(x² - 2x - 3) = -x² + 2x + 3。 ∴ 抛物线的解析式为 y = -x² + 2x + 3。 （2）令 x = 0，得 y = 3，∴ C(0, 3)。 直线BC的解析式：B(3, 0)，C(0, 3)，斜率 k = (3-0)/(0-3) = -1， ∴ 直线BC：y = -x + 3。 设 P(x, -x² + 2x + 3)，则 E(x, -x + 3)，其中 -1 < x < 3。 PE = (-x² + 2x + 3) - (-x + 3) = -x² + 3x = -(x - )² + 。 ∵ -1 < 0，∴ 当 x = 时，PE最大。 此时 y = -()² + 2× + 3 = - + 3 + 3 = 。 ∴ 点P的坐标为 (, )。 学科网（北京）股份有限公司 $