第二十五章 《一元二次方程》单元自测卷强化卷01 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九上一元二次方程单元强化卷，覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过停车场、世运会销售等真实情境，融合几何与函数综合，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|方程定义（1题）、根的判别式（2题）、增长率（3题）|结合函数图像判断象限（6题），体现数形结合| |填空|4/16|等腰三角形边长（14题）、动点面积（16题）|利用根与系数关系求参数范围（15题），渗透分类讨论| |解答|9/98|解方程（17题）、世运会销售问题（21题）、收纳盒制作（24题）|新定义“全整根方程”（23题）考查创新思维，项目化任务（24题）强化实践应用|

第二十五章 一元二次方程（单元自测·强化卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，4个填空题，9个解答题） 1、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：方程3x2＝5x+2， 整理得：3x2﹣5x﹣2＝0， 则常数项是﹣2． 故选：A． 2．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解答】解：由条件可知： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（k2+6）＝36﹣8k2﹣48＝﹣8k2﹣12， ∵k2≥0， ∴﹣8k2≤0， ∴Δ＝﹣8k2﹣12≤﹣12＜0， 因此方程无实数根． 故选：C． 3．小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【答案】B 【解答】解：设每月盈利的月平均增长率为x，根据题意得： 4800（1+x）2＝6912， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 所以每月盈利的月平均增长率为20%， 故选：B． 4．设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6 【答案】C 【解答】解：由题意得：α+β＝﹣1，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣5）＝4， 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 【答案】B 【解答】解：由条件可得：k2﹣4＝0，解得k＝±2， ∵已知方程是一元二次方程， ∴k+2≠0，即k≠﹣2， ∴k＝2． 故选：B． 6．若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×a＜0， 即25﹣4a＜0， 解得， 对于一次函数y＝（a﹣5）x+a， ∵， ∴，且a＞0， ∴该一次函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B 【解答】解：根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520， 故选：B． 8．已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 【答案】B 【解答】解：∵a，b是直角三角形的直角边， ∴a＞0，b＞0． 由a﹣b＝1，两边平方得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1． 将a2+b2＝25代入上式，得25﹣2ab＝1， 解得ab＝12． ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25+2×12＝49，且a+b＞0， ∴a+b＝7． ∵a，b是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根， ∴a+b＝﹣p，ab＝q． 代入得7＝﹣p，12＝q， 即p＝﹣7，q＝12， 故选：B． 9．如图，一辆汽车沿东西走向的平直道路MN（M在西，N在东）匀速向东行驶，道路南侧有一交通违法监测卡口A司机在道路上的点O处发现卡口A后，继续行驶4秒到达点B处，此时测得∠ABN＝45°．已知卡口摄像头有效覆盖半径为1.5百米，从点O开始，汽车与卡口的直线距离s（百米）与汽车行驶的路程x（百米）满足s2＝x2﹣3.2x+4．则卡口摄像头能抓拍到该汽车的持续时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 【答案】B 【解答】解：如解图，过点A作AC⊥MN于点C， ∵s2＝x2﹣3.2x+4＝（x﹣1.6）2+1.44， ∴当x＝0时，s2＝4， 即OA2＝4， ∴OA＝2， 当AC⊥MN时，s2取最小值1.44， 即AC2＝1.44， ∴AC＝1.2， ∴（百米）， 由条件可知BC＝AC•tan45°＝1.2（百米）， ∴汽车4秒行驶的路程为OB＝OC﹣BC＝1.6﹣1.2＝0.4（百米）， ∴汽车速度v＝0.4÷4＝0.1（百米/秒）， ∵摄像头有效覆盖半径为1.5百米， 以A为圆心，1.5百米为半径，作⊙A，交直线MN于点E、F，则AE＝AF， ∴当汽车在线段EF上时，卡口摄像头能抓拍到该汽车， ∴（百米）， ∵AE＝AF，AC⊥MN， ∴CF＝CE＝0.9百米， ∴EF＝EC+CF＝0.9+0.9＝1.8（百米）， ∵汽车速度为0.1百米/秒， ∴可抓拍的持续时间t＝1.8÷0.1＝18（秒）． 故选：B． 10．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 【答案】A 【解答】解：利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，结合BD＝2求出AD的长如下： 配方得（x+2）2＝13， 解得，， ∵线段长度必须为正数， ∴该方程符合几何意义的解为， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝2，AC＝3， 由勾股定理得， ∵在斜边AB上截取BD＝2， ∴． ∴线段AD的长表示方程的一个解． 故选：A． 11．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 【答案】A 【解答】解：令t＝2x+3，则at2+bt+c＝0， ∴t＝﹣1或t＝2， ∴2x+3＝﹣1或2x+3＝2， 解得x＝﹣2或， ∴新方程的解为x1＝﹣2，， 故选：A． 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是2倍方程； ②若（x﹣3）（mx+1）＝0为3倍方程，则； ③若p，q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0为2倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0为n倍方程，则nb2＝（n+1）2ac． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：根据新定义“n倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系逐项分析判断如下： ①解方程x2﹣3x+2＝0， 因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∵2＝2×1，满足2倍方程定义，①正确，符合题意； ②方程（x﹣3）（mx+1）＝0的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当x1＝3x2时，，解得m＝﹣1， 当x2＝3x1时，，解得， ∴m＝﹣1或，故②错误，不符合题意； ③若pq＝8，则方程px2﹣6x+q＝0的判别式Δ＝（﹣6）2﹣4pq＝36﹣4×8＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴x1＝2x2，满足2倍方程定义，故③正确，符合题意； ④设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为α，nα， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘a2（n+1）2整理得：nb2＝（n+1）2ac，故④正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程， ∴|a|＝2且a+2≠0， 解得a＝2， 故答案为：2． 14．如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为　米或5米　 ． 【答案】米或5米． 【解答】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为x米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得x•（32﹣4x）＝60， 解得x1＝3，x2＝5， 当x＝3时，，则每个鸡舍的长为米； 当x＝5时，，则每个鸡舍的长为5米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或5米， 故答案为：米或5米． 15．已知x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝3，则m的值等于 　0　 ． 【答案】0 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣1， ∵（x1+2）（x2+2）＝3， ∴x1x2+2（x1+x2）+4＝3， 即﹣1﹣2m+4＝3， 解得m＝0． 故答案为：0． 16．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程x2+8ax＝9a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+4a）2＝（3a）2+（4a）2，以3a和4a为两直角边作△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x1＝AD＝2，则x2的值为　﹣18　 ． 【答案】﹣18． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3a，BC＝4a，∠ACB＝90°， ∴AB5a， ∴AD＝AB﹣BD＝5a﹣4a＝a． ∵x1＝AD＝2， ∴a＝2， ∴x2＝﹣AE＝﹣（AB+BE）＝﹣（5a+4a）＝﹣9a＝﹣9×2＝﹣18． 故答案为：﹣18． 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）解一元二次方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 【答案】（1），x2＝1； （2）x1＝3，x2＝1． 【解答】解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0， （3x+1）（x﹣1）＝0， ，x2＝1； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）[（x﹣3）+2x]＝0， 即3（x﹣3）（x﹣1）＝0， x1＝3，x2＝1． 18．（10分）已知分式． （1）化简分式M； （2）若关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个实数根，且a为正整数，求分式的M值． 【答案】（1）； （2）3． 【解答】解：（1） ． （2）由条件可知Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）≥0， 解得a≤3， ∵a为正整数， ∴a＝1，2，3， ∵要使分式有意义， a≠1，2， ∴当a＝3时，原式． 19．（10分）已知四边形ABCD相邻两边AB，AD的长度分别是关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根x1，x2． （1）若四边形ABCD为菱形，求a的值； （2）若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC的长度为，求a的值． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1）由条件可知方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝0， 整理可得：1﹣4a＝0， 解得：； （2）由条件可知x2+（2a﹣1）x+a2＝0一定有两个实数根， ∴Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0， ∴1﹣4a≥0， ∴， ∴x1+x2＝1﹣2a，， ∵矩形对角线AC的长度为， ∴， 整理可得：a2﹣2a﹣3＝0， 解得：a1＝3（不符合题意，舍去），a2＝﹣1， ∴a＝﹣1． 20．（10分）已知m，n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+mx＝n2． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若x0是方程的一个实数根，试判断代数式与m2+4n2的大小． 【答案】（1）证明见解答； （2）（2x0+m）2＝m2+4n2． 【解答】（1）证明：方程化为一般式为x2+mx﹣n2＝0， ∵Δ＝m2﹣4（﹣n2） ＝m2+4n2， ∵m，n为正实数， ∴m2＞0，4n2＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵x0是方程的一个实数根， ∴mx0﹣n2＝0， ∴mx0＝n2， ∴（2x0+m）2＝44mx0+m2＝4（mx0）+m2＝4n2+m2， 即（2x0+m）2＝m2+4n2． 21．（10分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 【答案】（1）每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 【解答】解：（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元， 根据题意得：10， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意， ∴x12＝9（元）． 答：每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出12+4（12﹣y）＝（60﹣4y）个， 根据题意得：y（60﹣4y）＝216， 整理得：y2﹣15y+54＝0， 解得：y1＝6，y2＝9， ∵销售单价不得低于8元， ∴y＝9． 答：存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 22．（12分）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 【答案】（1）； （2）±1． 【解答】解：（1）设x2＝y，则x4＝y2， ∴原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， ∴y1＝﹣2，y2＝6． ∴当y＝﹣2时，x2＝﹣2，无解 当y＝6时， ∴原方程有两个根为：； （2）由题意得，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（4a）2+2（a2﹣1）2＝2a4+12a2+2＝16， ∴a4+6a2﹣7＝0． 设t＝a2，则t2＝a4， ∴原方程可化为t2+6t﹣7＝0． ∴t1＝1，t2＝﹣7． ∴当t＝1时，a2＝1，a＝±1；当t＝﹣7时，a2＝﹣7，无解． ∴当x2+y2＝16时a的值为±1． 23．（12分）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”ax2+bx+c＝0（a≠0），设其两根为x1、x2，定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中s＝|x1+x2|，p＝|x1x2|）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为M1（s1，p1），M2（s2，p2），s1+s2＝|p1﹣p2|，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：x2﹣9x+20＝0（x1＝4，x2＝5），特征数对M1（9，20）； 方程②：x2﹣6x+5＝0（x1＝1，x2＝5），特征数对M2（6，5）； 验证：因为9+6＝|20﹣5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： （1）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（k为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为M（3，2），求k的值； （2）某同学利用AI工具生成了“全整根方程”A：x2+mx+n＝0（m＞0，0＜n＜25）与“全整根方程”B：x2+11x+30＝0，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的n的值． 【答案】（1）k＝1； （2）满足条件的一个n的值为12（答案不唯一，9也符合要求）． 【解答】解：（1）因式分解可得：（x﹣2）（x﹣k）＝0， 解得方程的两个根为2和k， ∵特征数对为M（3，2）， ∴， 由|2k|＝2得k＝±1， 当k＝1时，|1+2|＝3，符合条件， 当k＝﹣1时，|﹣1+2|＝1≠3，舍去， 故k＝1； （2）对方程B因式分解可得： （x+5）（x+6）＝0， 解得方程B的两根为﹣5和﹣6， ∴方程B的特征数对：s2＝|（﹣5）+（﹣6）|＝11，p2＝|（﹣5）×（﹣6）|＝30， 对于方程A由根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝n， ∵m＞0，0＜n＜25， ∴s1＝m，p1＝n， ∵两个方程互为“关联全整根方程”， ∴11+m＝|30﹣n|， ∵0＜n＜25， ∴30﹣n＞0， ∴11+m＝30﹣n， ∴m+n＝19， 设方程A两根为﹣a，﹣b（a，b为正整数），则m＝a+b，n＝ab， 代入得a+b+ab＝19， ∴（a+1）（b+1）＝20， ∵20＝2×10＝4×5， ∴n＝ab＝（2﹣1）（10﹣1）＝9或n＝（4﹣1）（5﹣1）＝12； ∴一个满足条件的n为9或12． 24．（12分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　（80﹣2x）　 cm，底面宽AB为　（60﹣2x）　 cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】（1）（80﹣2x）；（60﹣2x）； （2）裁去小正方形的边长x的值为10； （3）书本能完全放入该收纳盒内． 【解答】解：（1）方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为（80﹣2x）cm，底面宽AB为（60﹣2x）cm． 故答案为：（80﹣2x）；（60﹣2x）； （2）∵无盖收纳盒的底面长BC＝（80﹣2x）cm，底面宽AB＝（60﹣2x）cm，底面积为2400cm2， ∴（80﹣2x）（60﹣2x）＝2400， 解得x＝10或x＝60， ∵底面宽60﹣2x＞0，即x＜30， ∴x＝60舍去， ∴x＝10， 答：裁去小正方形的边长x的值为10； （3）根据题意可知，收纳盒的高为bcm， 则盒子的底面的矩形MNOP中MN＝（60﹣2b）cm，，根据题意可知： （60﹣2b）（40﹣b）＝1750， 解得b＝5或b＝65（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为5cm，MN＝60﹣2×5＝50（cm），NO＝40﹣5＝35（cm）， ∵32＜50，22＜35，4＜5， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 25．（12分）阅读下列材料，回答问题： 我们把形如a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求a，b的值． 解：原式可变形为： （a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， 即（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若x2+y2﹣6x+8y+25＝0，求x，y的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断△ABC的形状，并说明理由； （3）求代数式x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 【答案】（1）x＝3，y＝﹣4； （2）等边三角形，理由见解答． （3）2． 【解答】解：（1）原式变形为： （x2﹣6x+9）+（y2+8y+16）＝0，即（x﹣3）2+（y+4）2＝0， ∴x﹣3＝0，y+4＝0， 解得x＝3，y＝﹣4； （2）△ABC是等边三角形， 理由： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，两边乘2得： 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0 变形为：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． （3）原式配方得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+2＝（x﹣2）2+（y+1）2+2， ∴当x＝2，y＝﹣1时，原式取最小值2． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 强化卷02 2026-2027学年九年级 上册第二十五单元自测卷 数 学 (人教版新教材) 姓 名 : 考场号 : 班 级 : 学 校 : 座位号 : ) ( 22 . ( 8 分) ) ( 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、准考证号等填写清楚。 2.客观题必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 3.请在题号对应的答题区域作答,区域外书写无效。 正确填涂: 缺考标记: 错误填涂 : ) ( 贴条形码区 ) ( 一、单选题(共12题,共36分) ) ( D D D D ) ( D D D D ) ( 1 2 3 4 A B C 5 6 7 8 A B C 9 10 11 12 A B C D A B C A B C A B C D A B C A B C A B C D A B C A B C A B C D ) ( 二、填空题(共 6 题,共1 2 分) ) ( 14. ) ( 13. 1 7 . ) ( 2 3 . (10分) ) 20. (8分) ( 三、解答题(共8题,共 72 分) ) ( 1 9 . ( 8 分) )21. (8分) 第1页/共2页 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 4 . (1 0 分) ) ( 2 6 . (1 0 分) ) 25. (10分) 第2页/共2页 学科网（北京）股份有限公司 $· 第二十五章 一元二次方程（单元自测·强化卷01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） （12个选择题，4个填空题，9个解答题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九上第二十五章：一元二次方程。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若一元二次方程3x2＝5x+2的二次项系数是3，则它的常数项是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 2．关于x的一元二次方程2x2﹣6x+k2+6＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 4．设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6 5．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2 6．若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 8．已知Rt△ABC的两条直角边a，b分别是一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且a2+b2＝25，a﹣b＝1，则p和q的值分别为（　　） A．﹣1，5 B．﹣7，12 C．3，4 D．7，﹣12 9．如图，一辆汽车沿东西走向的平直道路MN（M在西，N在东）匀速向东行驶，道路南侧有一交通违法监测卡口A司机在道路上的点O处发现卡口A后，继续行驶4秒到达点B处，此时测得∠ABN＝45°．已知卡口摄像头有效覆盖半径为1.5百米，从点O开始，汽车与卡口的直线距离s（百米）与汽车行驶的路程x（百米）满足s2＝x2﹣3.2x+4．则卡口摄像头能抓拍到该汽车的持续时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 10．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 11．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数，且a≠0）的解是x1＝﹣1，x2＝2，那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　） A． B． C． D．∵Δ＜0，∴方程无实数解 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是2倍方程； ②若（x﹣3）（mx+1）＝0为3倍方程，则； ③若p，q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0为2倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0为n倍方程，则nb2＝（n+1）2ac． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 14．方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　 　 ． 15．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的两个实根为x1，x2，若，则a的取值范围为 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　 　 ． 三、解答题（本题共9小题，共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）解一元二次方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 18．（10分）已知分式． （1）化简分式M； （2）若关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个实数根，且a为正整数，求分式的M值． 19．（10分）已知四边形ABCD相邻两边AB，AD的长度分别是关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根x1，x2． （1）若四边形ABCD为菱形，求a的值； （2）若四边形ABCD为矩形，且该矩形对角线AC的长度为，求a的值． 20．（10分）已知m，n为正实数，关于x的一元二次方程为x2+mx＝n2． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若x0是方程的一个实数根，试判断代数式与m2+4n2的大小． 21．（10分）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 22．（12分）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 23．（12分）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”ax2+bx+c＝0（a≠0），设其两根为x1、x2，定义有序数对M（s，p）为该方程的特征数对（其中s＝|x1+x2|，p＝|x1x2|）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为M1（s1，p1），M2（s2，p2），s1+s2＝|p1﹣p2|，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：x2﹣9x+20＝0（x1＝4，x2＝5），特征数对M1（9，20）； 方程②：x2﹣6x+5＝0（x1＝1，x2＝5），特征数对M2（6，5）； 验证：因为9+6＝|20﹣5|，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．解答下列问题： （1）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（k为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为M（3，2），求k的值； （2）某同学利用AI工具生成了“全整根方程”A：x2+mx+n＝0（m＞0，0＜n＜25）与“全整根方程”B：x2+11x+30＝0，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的n的值． 24．（12分）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm，宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）． 方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为xcm的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形ABCD． 方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若EF和IJ两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形MNOP． （1）任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为　 　 cm，底面宽AB为　 　 cm． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为1750cm2，请通过计算判断，图中长为32cm，宽为22cm，厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内． 25．（12分）阅读下列材料，回答问题： 我们把形如a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形． 例如：若a2+b2+2a﹣4b+5＝0，求a，b的值． 解：原式可变形为： （a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0， 即（a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若x2+y2﹣6x+8y+25＝0，求x，y的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断△ABC的形状，并说明理由； （3）求代数式x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $■口▣口▣■ 强化卷012026-2027学年九年级上册第二十五单元自测卷 数学（人教版新教材） 姓名： 考场号 班级： 学校： 座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、准考证号等填写清楚。 2.客观题必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.请在题号对应的答题区域作答，区域外书写无效。 贴条形码区 正确填涂：■ 错误填涂：☑☐) 缺考标记：☐ 单选题（共12题，共36分） 1A□BcD 5AB□cJD 9A▣C 2A□BcJD□ 6A▣D 10A□B□cJn□ 3A [c TA▣BD 11BD□ 4AB□D□ 8ABc网D□ 12AB]cJD□ ■■■■■■■■■■ 填空题（共4题，共16分）》 13. 14 6 16 三、解答题（共9题，共98分）》 17.(10分) (1）3x2-2x-1=0; I (2)(x-3)2+2x(x-3)=0. 0 18.(10分) 19.(10分) 第1页/共2页 0 20.(10分) 21.(10分) ■ 0 0 0 ■口口口■口 0 22.(12分) 23.(12分) 24.(12分) 第2页/共2页 0 25.(12分) 0 0 0