第二十五章 一元二次方程 学业质量反馈卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册退

**基本信息** 初中数学第二十五章（一元二次方程）单元复习卷，120分钟120分，融合流感防控、苏超联赛等时代情境及《九章算术》文化素材，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|第7题以流感传染建模，考查方程应用| |填空题|5/15|根与系数关系、实际问题|第14题结合苏超联赛单循环赛制，强化模型意识| |解答题|7/75|解方程、综合实践|21题收纳盒制作任务，融合几何与代数，提升实践能力|

第二十五章 学业质量反馈卷 时间：120 分钟 分值：120 分 得分：__________ 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。 1. 下列方程是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. 方程化为一般形式后，其一次项系数和常数项分别是（） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A. B. C. D. 无法确定 4. 一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 当用配方法解方程时，若配方后得到的方程为，则的值为（） A. B. C. D. 6. (2025 乐山) 若方程的两个根是和，则的值为（） A. B. C. D. 7. 秋冬季是流感的高发季节，应养成勤洗手、戴口罩、常通风等良好卫生习惯，有效预防流感。若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 8. 定义新运算：规定，例如。若，则的值为（） A.或 B.或 C.或 D.或 9.《九章算术》中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长、短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、袤各几何？题目大意：一根竹竿横着比门宽 4 尺，竖着比门高 2 尺，斜着与门的对角线长恰好相等。门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为尺，则可列方程为（） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为_________ 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________ 13. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________。 14. 2025 年，江苏省城市足球联赛（简称 “苏超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了 “第二现场” 观赛的热潮。在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“苏超” 联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），且本赛季常规赛共进行了 78 场对决。若设参加该联赛的球队共有支，则可列方程为_________ 15. 已知实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，（如图1）。若，，则称为，的 “大黄金数”，为，的 “小黄金数”，当时，，的大黄金数与小黄金数之差_________ 三、解答题：本大题共 7 小题，共 75 分。 16.（9 分）解下列方程： (1)； (2)； (3)。 17.（9 分）已知关于的一元二次方程有实数根。 (1) 求的取值范围； (2) 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值。 18.（9 分）如图 2，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由总长度为 30 m 的篱笆围成。已知墙长为 16 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 m。 (1) 若苗圃园的面积为，求的值。 (2) 苗圃园的面积能达到吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由。 19.（10 分）(2025 湛江期中)【阅读】方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，； (1) 求证：无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根； 【猜想】根据以上方程及其解的特征，请猜想： (2) 关于的方程的解为_________，_________； 【验证】(3) 请用配方法解方程，以验证 (2) 中猜想结论的正确性。 20.（11 分）某芯片公司第一季度营业额为 2 000 万元，第三季度营业额为 2 880 万元。 (1) 若该公司每季度营业额的增长率相等，求其前三季度营业额的平均增长率； (2) 目前该公司仅有 1 条内存芯片生产线，其最大产能是 600 万个 / 季度，经调查发现，该公司每增加 1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少 20 万个 / 季度，现该公司要想保证每季度生产内存芯片 2 600 万个，且要节省投入成本（生产线越多，投入成本越大），则应该再增加几条生产线？ 21.（13 分）综合与实践：制作收纳盒 九年级课外小组计划用两块长为 100 cm，宽为 40 cm 的长方形硬纸板做收纳盒。 【任务要求】 任务一：设计无盖长方体收纳盒。如图 3①，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒。 任务二：设计有盖长方体收纳盒。如图 3②，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分。 【问题解决】 (1) 若任务一中设计的收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ (2) 若任务二中设计的收纳盒的底面积为。 ①该收纳盒的高为多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图 3③所示的玩具机械狗站立着放入该收纳盒中。 22.（14 分）(2025 深圳期中) 阅读材料 材料 1：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将，看作是此方程的两个不相等的实数根。 材料 2：如果实数，满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将，看作是此方程的两个不相等的实数根。 材料 3：如果实数，满足，，则可利用一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程，将，看作是此方程的两个实数根。 请根据上述材料，解决下面问题： (1) 已知实数，满足，，且，求的值； (2) 已知实数，满足，，且，求的值； (3) 已知实数，，满足，，求的最大值。 答案 1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.B 11.1 12.且 13. 14. 15. 16. 解：(1) 因为,,, 所以. 方程有两个不相等的实数根 , 即,. (2) 移项，得. 配方，得,. 由此可得,,. (3) 整理，得. 左边分解因式，得. 于是, 或, 即,. 17. 解：(1)方程有实数根， . 解得. (2),. , , 即. 解得,. 由 (1), 得. 的值为. 18. 解：(1) 根据题意，得. 解得,. 当时，, 不符合题意，舍去. 当时，, 符合题意. 的值为. (2) 苗圃园的面积不能达到. 理由如下: 假设苗圃园的面积能达到, 根据题意，得. 整理，得. , 原方程没有实数根. 假设不成立，即苗圃园的面积不能达到. 19.(1) 证明:, 无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根. (2) 解:. (3) 解：移项，得. 配方，得,. 由此可得,,. (1) 中猜想结论正确. 20. 解：(1) 设其前三季度营业额的平均增长率为. 由题意，得. 解得%,(不符合题意，舍去). 答：其前三季度营业额的平均增长率为%. (2) 设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个 / 季度. 由题意，得. 解得,. 要节省投入成本，. 答：应该再增加条生产线. 21. 解：(1) 设剪去的小正方形的边长为. 根据题意，得. 解得,(不符合题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为. (2)①设该收纳盒的高为, 则收纳盒底面的长为, 宽为. 根据题意，得. 解得,(不符合题意，舍去). 答：该收纳盒的高为. ②, 不能把该玩具机械狗站立着放入该收纳盒中. 22. 解：(1),, 且, ,可看作是方程的两个不相等的实数根. ,. . (2)可化为. 又, 且, ,可看作是方程的两个不相等的实数根. ,. . (3),, ,. ,可看作是方程的两个实数根. . 解得. 的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $