第二章《一元二次方程》单元复习课 课件 2026-2027学年北师大版数九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识网格以问题引导结合结构化呈现，将概念、解法、应用及思想方法串联，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于采用情境化典例设计，如“阳光中学文化广场建设项目”贯穿全章，结合喷泉设计、资金管理等实际问题培养数学建模能力，通过根的判别式判断存在性问题发展逻辑推理。作业分基础巩固与素养提升，满足分层需求，助力学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

新版北师大数学九年级上册数学 第二章 一元二次方程 单元回顾与思考 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.掌握一元二次方程的定义及一般形式,能熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 2.理解根的判别式的意义,能准确判断方程根的情况;掌握根与系数的关系并能灵活应用. 3.能根据实际问题中的数量关系建立一元二次方程模型,求解并检验结果的合理性. 1.提升运算求解能力,能根据方程特点选择最优解法,提高解题准确性和速度. 2.培养数学建模能力,能将实际问题转化为数学问题并解决. 3.发展转化与化归、整体代换等数学思维能力. 1.数学抽象：从实际问题中抽象出一元二次方程模型. 2.逻辑推理：通过根的判别式和根与系数的关系进行推理判断. 3.数学运算：熟练进行一元二次方程的求解运算. 4.数学建模：运用一元二次方程解决实际问题,体会数学的应用价值. 目录 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明. 2.在解决实际问题的过程中,怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明. 3.举例说明解一元二次方程有哪些方法.配方法的一般过程是怎样的？ 4.如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？请举例说明. 5.一元二次方程的根与系数有什么关系？这种关系有什么作用？请举例说明. 6.利用方程解决实际问题的关键是什么？ 7.梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴进行交流. 知识网格 典例精选 一元二次方程章末综合复习：阳光中学文化广场建设项目 项目背景 为丰富校园文化生活,阳光中学决定投资建设一个集休闲、学习、活动于一体的校园文化广场.项目组在规划设计、工程施工和资金管理过程中遇到了一系列数学问题,需要我们运用一元二次方程的知识逐一解决. 【核心问题】学校计划在校园中心建设一个长方形文化广场,已知广场的长比宽多12米,面积为988平方米. 问题1:列方程与定义辨析 (1)设广场的宽为x米,请列出关于x的一元二次方程,并将其化为一般形式. 一般形式 典例精选 (2) 请判断下列方程哪些是一元二次方程,并说明理由： ① x(x+12)=988 ② x²+12x-988=0 ③ -988=0 ④ x³+12x²-988x=0 (2)①和②是一元二次方程.理由:它们都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,都是整式方程.③是分式方程④是一元三次方程，都不是一元二次方程 做题反思:判断一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2 典例精选 问题2：一元二次方程的解法请用四种不同的方法解方程x²+12x-988=0,并求出广场的长和宽. 考查知识点：一元二次方程的四种基本解法 因式分解法： x²+12x-988=0 (x+38)(x-26)=0 x₁=-38（舍去）,x₂=26 所以广场的宽为26米,长为26+12=38米. (2) 配方法： x²+12x=988 x²+12x+36=988+36 (x+6)²=1024 x+6=±32 x₁=-38（舍去）,x₂=26 所以广场的宽为26米,长为 38米. 典例精选 问题2：一元二次方程的解法请用四种不同的方法解方程x²+12x-988=0,并求出广场的长和宽. 考查知识点：一元二次方程的四种基本解法 (3) 公式法： a=1,b=12,c=-988 Δ=b²-4ac =12²-4×1×(-988) =144+3952 =4096 X= x₁=-38（舍去），x₂=26 所以广场的宽为26米,长为38米. (4)直接开平方法： 同配方法，将方程化为(x+6)²=1024， 然后直接开平方求解 做题反思： 1.因式分解法是最简便的方法,但只适用于能因式分解的方程. 2.公式法是万能方法,适用于所有一元二次方程,但计算量较大. 3.配方法是基础,它揭示了公式法的来源，也是后续学习二次函数的重要工具. 典例精选 问题3:根的判别式项目组原计划将广场设计为正方形,若设正方形的边长为y米,则面积为y²平方米. (1)若广场面积为988平方米,判断方程y²=988的根的情况. (2)若广场面积为S平方米,当S取何值时,方程y²=S有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ (3)不解方程,判断方程2y²+5y-100=0的根的情况. 考查知识点：根的判别式的意义及应用 (1)方程y²=988可化为y²-988=0， Δ=0²-4×1×(-988)=3952>0， 所以方程有两个不相等的实数根. (2)方程y²=S可化为y²-S=0， Δ=0²-4×1×(-S)=4S. 当4S>0,即S>0时,方程有两个不相等的实数根；当4S=0,即S=0时,方程有两个相等的实数根；当4S<0,即S<0时,方程没有实数根. 典例精选 (3)a=2,b=5,c=-100 =5²-4×2×(-100)=25+800=825>0， 所以方程有两个不相等的实数根. 做题反思：根的判别式不仅可以判断方程根的情况,还可以根据根的情况确定参数的取值范围. 问题4:根与系数的关系 已知方程x²+12x-988=0的两个根分别为x₁和x₂（x₁<x₂）. (1)求x₁+x₂和x₁x₂的值 (2)求x₁²+x₂² 的值. (3)求的值 (4)若方程x²+mx+n=0的两个根分别是x₁+1和x₂+1,求m和n的值. 考查知识点：根与系数的关系及其应用 典例精选 (1)根据根与系数的关系， 得:x₁+x₂=-12÷1=-12;x₁x₂=-988÷1=-988 (2) x₁²+x₂² =(x₁+x₂)²-2x₁x₂ =(-12)²-2×(-988) =144+1976 =2120 (3) = = = (4) 新方程的两根之和为 (x₁+1)+(x₂+1)=(x₁+x₂)+2=-12+2=-10 新方程的两根之积为 (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+x₁+x₂+1=-988-12+1=-999 所以m=-(-10)=10，n=-999 做题反思：利用根与系数的关系可以不解方程直接求与两根有关的代数式的值，关键是将代数式转化为用x₁+x₂和x₁x₂表示的形式. 典例精选 问题5:实际应用——喷泉设计广场中心计划建设一个正方形喷泉,喷泉四周有宽度相等的大理石步道.已知喷泉的边长比步道的宽度多8 米,步道的面积为240平方米 (1)设步道的宽度为z米,列出关于z的一元二次方程并求解 (2)若喷泉的深度为0.5米,求喷泉的容积. 考查知识点：列一元二次方程解面积问题、体积问题 审 找 设 验 解 列 答 反思 巩固拓展 解(1)喷泉的边长为(z+8)米，整个喷泉加步道的大正方形边长为(z+8+2z)=(3z+8)米 根据题意，得：(3z+8)²-(z+8)²=240 展开整理得：8z²+32z-240=0 化简得：z²+4z-30=0 解得：z₁=-2+≈3.83，z₂=-2- （舍去） 所以步道的宽度约为3.83米. (2)喷泉的边长为3.83+8≈11.83米,喷泉的容积为 11.83×11.83×0.5≈70.0立方米. 做题反思：面积问题常用"大减小"法,注意步道在喷泉四周，所以大正方形的边长等于喷泉边长加上两倍的步道宽度 巩固拓展 问题6：实际应用——资金管理学校前年投入校园建设资金40万元，今年投入文化广场建设资金48.4万元 (1)求这两年校园建设资金的年均增长率 (2)若按此增长率增长,预计明年学校将投入多少校园建设资金？ 考查知识点：列一元二次方程解增长率问题 (1)设这两年校园建设资金的年均增长率为r 根据题意，得：40(1+r)²=48.4 (1+r)²=1.21 1+r=±1.1 r₁=0.1=10%，r₂=-2.1（舍去） 所以这两年校园建设资金的年均增长率为10% (2)明年投入资金为48.4×(1+10%)=53.24万元 做题反思:增长率问题的基本公式是a(1+x)ⁿ=b,其中a 是起始量,x是增长率,n是增长次数,b是终止量.增长率不能为负数,所以要舍去负根. 巩固拓展 问题7:数学思想——换元法 广场上计划安装一批太阳能路灯,每个路灯的造价为(3t+5)元.已知购买路灯的总费用满足方程：(3t+5)²-4(3t+5)+3=0求每个路灯的造价. 考查知识点：换元法解一元二次方程（整体思想） 解:设3t+5=m,则原方程可化为：m²-4m+3=0 (m-1)(m-3)=0 m₁=1,m₂=3 当m=1时,3t+5=1,解得t=-（舍去,造价不能为负数）； 当m=3时,3t+5=3,解得t=-（舍去，造价不能为负数） 经检验,两个解都不符合实际意义,说明题目数据有误. 若将方程改为(3t-5)²-4(3t-5)+3=0，则：设3t-5=m 解得m₁=1,m₂=3. 当m=1时,3t-5=1,解得t=2；当m=3时,3t-5=3,解得t= 所以每个路灯的造价为3×2+5=11元或3×8/3+5=13元. 巩固拓展 问题8:存在性问题 项目组计划用一条长56米的铁丝围成两个正方形花坛,放置在广场的两侧 (1)要使这两个正方形花坛的面积之和等于100平方米,该怎么围？ (2)这两个正方形花坛的面积之和可能等于200平方米吗？请说明理由. 考查知识点：列一元二次方程解几何问题、根的判别式的实际应用 解：(1)设其中一个正方形花坛的边长为k米，则另一个正方形花坛的边长为(56-4k)÷4=(14-k)米 根据题意，得：k²+(14-k)²=100 整理得：k²-14k+48=0 解得：k₁=6,k₂=8 当k=6时,14-k=8；当k=8时,14-k=6 所以应将铁丝剪成4×6=24米和4×8=32米两段,分别围成两个正方形. 巩固拓展 问题8:存在性问题 项目组计划用一条长56米的铁丝围成两个正方形花坛,放置在广场的两侧 (1)要使这两个正方形花坛的面积之和等于100平方米,该怎么围？ (2)这两个正方形花坛的面积之和可能等于200平方米吗？请说明理由. 考查知识点：列一元二次方程解几何问题、根的判别式的实际应用 (2)假设两个正方形花坛的面积之和等于200平方米, 则:k²+(14-k)²=200 整理得：k²-14k-2=0 Δ=(-14)²-4×1×(-2)=196+8=204>0 解得：k=7± 因为7+>14，7-<0,都不符合题意. 所以这两个正方形花坛的面积之和不可能等于200平方米. 做题反思：存在性问题通常先假设存在，列方程求解后再根据实际意义判断解是否合理. 思想方法 1.转化与化归思想：解一元二次方程的核心是"降次“,将二次方程转化为一次方程求解. 2.整体思想：当方程中出现相同的代数式时,将其看作一个整体，用换元法求解,简化计算. 3.数学建模思想：将实际问题转化为一元二次方程模型,通过解方程解决实际问题. 4.分类讨论思想：在解含有字母系数的一元二次方程或判断根的情况时,需要对二次项系数是否为0进行分类讨论. 5.配方法思想：配方法不仅是解一元二次方程的方法,也是一种重要的数学变形方法,在后续学习二次函数时会经常用到. 当堂检测 如图,一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B,点P在线段AB上（不与点A，B重合）,过点P分别作OA和OB的垂线,垂足为C，D.点P在何处时,矩形OCPD的面积等于1？ 步骤1：设点P的坐标 因为点P在一次函数y=-2x+3的图象上,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为-2x+3, 即(P(x,-2x+3),由题意可知,点A是直线与x轴交点y=0,解得x=即A(,0)； 点B是直线与y轴交点x=0，解得y=3，即B(0,3)因此x的取值范围是0<x< 当堂检测 步骤2：根据矩形面积列方程 四边形OCPD是矩形,所以OC=x,OD=-2x+3 矩形面积S=OC・OD， 根据题意得：x(-2x+3)=1 步骤3：解一元二次方程 整理方程： -2x²+3x=1 2x²-3x+1=0 因式分解得： (2x-1)(x-1)=0 解得： x₁=，x₂=1 两个解都满足 0<x<，符合题意. 步骤4：求对应点P的坐标 当x=时,y=-2×+3=2,此时P(,2)当x=1时,y=-2×1+3=1,此时P(1,,1)答：当点P的坐标为(,2)或(1,1) 时,矩形OCPD的面积等于1. 反思总结 1.解一元二次方程有哪四种基本方法？它们各自的适用范围是什么？请举例说明如何根据方程特点选择最优解法. 2.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？你认为在哪个步骤最容易出错？应该如何避免？ 3.本章学习的"降次"思想是数学中一种非常重要的思想方法，你能举例说明它在其他数学知识中的应用吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第55页 第6题 课本第56页 第17题 二、素养类作业 课本第57页 第23题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $