22.3 相似三角形（第1课时 相似三角形）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的定义、相似比及由平行线判定相似三角形的核心知识点，通过复习相似多边形性质及例题导入，衔接新知探究，从相似多边形过渡到相似三角形，再通过中位线问题等引导学生推导平行线判定定理，构建前后连贯的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过“问题-证明-归纳”培养数学思维（如推理能力，证明DE∥BC时△ADE∽△ABC），用符号语言（相似比k）和几何直观（A字形、X字形模型）强化数学语言表达，结合分层练习（基础过关如正方形相似三角形、能力提升如直角三角形相似应用）与结构化小结，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供清晰教学路径和丰富教学资源。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第22章 图形的相似 22.3 相似三角形 第1课时 相似三角形 章节导读 22.1成比例线段 22.2相似图形 相似三角形的判定2.3 相似三角形 图形的变换与坐标 成比例线段 相似三角形的判定1 22.3相似三角形 相似图形 相似三角形的性质 相似三角形的应用 位似图形 22.4位似图形 22.5图形与坐标 平行线分线段成比例 用坐标确定位置 2 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握相似三角形的定义； 掌握由平行线判定两个三角形相似； 经历三角形相似的定义及由平行线判定两个三角形相似的探究过程. 复习回顾 相似多边形的性质和定义？ 相似多边形的对应边成比例，对应角相等。 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似. 回顾训练 如图的两个四边形相似，则∠D的度数是 ， . 87° 4cm 新知探究 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 相似三角形 根据相似多边形的定义，如果两个对应边成比例、对应角相等，则这两个三角形相似. 新知探究 相似三角形 如图，在△与△中，如果 , . C A B 此时△与△相似， 记作 读作△ABC 相似于 △A'B'C' . 通常把对应顶点写在对应位置上.便于找到相似三角形的对应边和对应角. 新知探究 相似三角形 如果记，这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比. 当时，两个相似三角形有什么特点？ 思考 当时， ，即, , ,此时两个三角形全等. 全等三角形是相似三角形的特例. 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图为△的中位线，△和△是相似三角形吗？你能证明吗？试一试吧. 思考 △和△是相似三角形 证明：根据三角形中位线定理，有，. 由此可知， ，； . 即△和△的三个角对应相等、三条边对应成比例.因此△△是相似三角形，相似比. 如果只有这个条件，是否同样也能得到△△呢? 8 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，并分别交于点 . 求证：. 证明 ∵ ， ∴ ， = (平行线分线段成比例)， 过点 作 的平行线交 于点 ， ∴= (平行线分线段成比例). ∴= = . A B C D E F 9 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，并分别交于点 . 求证：. A B C D E F ∵， ∴四边形是平行四边形. ∴ . ∴= = . 又∵， ，. ∴ （相似三角形的定义） 10 新知探究 由平行线判定两个三角形相似 如图，，与是否相似？ 仍然相似. 理由如下：如图，在上截取，过点作交于点， ∵ ∴， 又 ， ∴, 又∵, ∴ 思考 F G 11 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 归纳总结 归纳总结 由平行线判定两个三角形相似 A字形 X字形 A B C D E 典例分析 例1 如图，在△中，点是边的三等分点， . 求的长. 由平行线判定两个三角形相似 A B C D E 解：∵ ， ∴ （平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ∴ = = ， ∴ . 随堂练习 1.如图，正方形的边长为1，点为对角线的交点，试指出图中的相似三角形，并求出它们的相似比. 基础过关(P76) A D B C O 解: 都两两相似. 同类三角形（小三角形之间、大三角形之间）的相似比为 1:1； 小三角形与大三角形的相似比为 . 随堂练习 2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形周长的比是多少? 基础过关(P76) 解:设较大三角形的另外两边长分别为， 则 = ， = ， 所以39＋36＋15 =90，， 所以， 所以较大三角形的周长是90，较小三角形与较大三角形周长的比是 . 随堂练习 3.如图，在△中，点是边的四等分点，， . 求四边形 的周长. 基础过关(P76) A B C D E F 解：∵ ， ∴ ， ∴ = = = ， ∴ ∵ ， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ . 4.如图所示，在△中，点在线段上，且△，则下列结论一定正确的是(　　) A． B． C． D． 随堂练习 能力提升 A 解：B：，比例式推导不出，错误。 C：，由​ = ，得到，和本式不符，错误。 D：，题目条件没有和相关的比例，错误。 随堂练习 能力提升 解:已知△三边为 3 cm，4 cm，5 cm ， ∴△是直角三角形. ∵△∽△ 所以△ 也是直角三角形。 △ABC最大边5cm，△ 最大边25cm 相似比： 原直角边3、4，放大5倍：3×5=15cm，4×5=20cm 所以 C 5.已知△ 的三条边长为 3 cm，4 cm，5 cm，，那么的形状是__________，又知的最大边长为 25 cm，那么的面积为_______cm2. 直角三角形 150 随堂练习 能力提升 6.如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点. (1)求证：； (2)若，求的长． （1）证明： ∵， ∴(AAS)． 19 随堂练习 能力提升 6.如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点. (1)求证：； (2)若，求的长． (2)解：由题知，. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴, ∴ ∴ 20 课堂小结 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边的比等于相似比； 相似三角形 当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似； 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $