30.1 直线与圆（预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理直线与圆的相交、相切、相离判定（d与r关系），圆与圆的位置关系，切线的判定与性质，切线长定理及尺规作图等内容，形成从定义到应用的递进学习支架。 该资料以题型归纳为特色，涵盖判断、计算、证明等10类题型，结合例题与变式训练，培养学生几何直观与推理能力。如切线证明强调“连半径证垂直”策略，尺规作图结合实例，助力教师分层教学，学生课后可通过巩固练习查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 01讲 直线与圆 题型归纳 【知识点1 直线和圆的位置关系 1】 【知识点2 圆与圆的位置关系 2】 【知识点3 切线 3】 【知识点4 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 3】 【知识点5 切线长 3】 【题型1. 判断直线与圆的位置关系 4】 【题型2. 利用直线与圆的位置关系求半径 5】 【题型3. 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 5】 【题型4. 圆或直线平移问题 5】 【题型5. 圆与圆的位置关系 6】 【题型6. 切线的证明 7】 【题型7. 切线的性质定理 8】 【题型8. 切线的性质与判定综合 9】 【题型9. 切线长定理 11】 【题型10. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 13】 【巩固练习 14】 知识清单 知识点1 直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 3.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 4.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 知识点2 圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点3 切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点4 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求.（3） （2） （1） 知识点5 切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 题型专练 题型1. 判断直线与圆的位置关系 【例1】如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【例2】如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 【变式1】已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式2】如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 题型2. 利用直线与圆的位置关系求半径 【例1】已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 【变式3】如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______． 题型3. 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例1】若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式2】已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【变式3】设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 题型4. 圆或直线平移问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【变式2】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【变式3】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 题型5. 圆与圆的位置关系 【例1】两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【例2】已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【变式2】《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是_____． 【变式3】已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是__________． 题型6. 切线的证明 【例1】中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 【变式1】如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【变式2】已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【变式3】如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 【变式4】已知：如图，两个圆都以O为圆心，点P在小圆上，经过点P，且． 求证：是小圆的切线． 题型7. 切线的性质定理 【例1】如图，内接于，直线与相切于点B，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【变式3】如图，是的直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则________ 度． 【变式4】如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 题型8. 切线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1】如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式2】如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【变式3】如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 题型9. 切线长定理 【例1】如图，，，是的切线，P，C，D为切点，如果，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 【例2】如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【变式1】如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【变式3】如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 【变式4】小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【变式5】如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 题型10. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 【例1】尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【变式2】如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 巩固练习 1．（2026·湖南怀化·一模）如图，AB是的直径，AC与相切于点A，连接BC交于点D．点E在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 6．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 8．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 10．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 12．（2026·广东东莞·一模）足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求的长． 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，是外接圆，点是圆外一点，是的切线．连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径． 14．（2026·广西钦州·三模）如图，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知，，求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章直线与圆的位置关系 01讲直线与圆 少题型归纳 【知识点1直线和圆的位置关系… 1】 【知识点2圆与圆的位置关系： 2】 【知识点3切线 3】 【知识点4尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 …3】 【知识点5切线长 …3】 【题型1.判断直线与圆的位置关系 4】 【题型2.利用直线与圆的位置关系求半径… …5】 【题型3.已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离… 5】 【题型4.圆或直线平移问题… 5】 【题型5.圆与圆的位置关系 6】 【题型6.切线的证明… 7】 【题型7.切线的性质定理 8】 【题型8.切线的性质与判定综合… …9】 【题型9.切线长定理… 11】 【题型10.尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 13】 【巩固练习 …14】 知识清单 知识点1直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相 交，这条直线叫做圆的割线 2相切的定义：如图24.2-8（2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆 相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 1/18 2相离的定义：如图24.2-8（3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 (1) (2) (3) 图24.2-8 3.直线和圆的位置关系的判定：设⊙0的半径为r,圆心O到直线的距离d,则有 直线和⊙0相交台d<r: 直线和⊙0相切中r: 直线和⊙0相离中>r. 知识点2圆与圆的位置关系 02 (1) (2) (3) oo2 or0a (4) (5) (6) 图1 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 相 外离 图1中(1) 0 离 内含 图1中(5)(6) 相 外切 图1中(2) 1 切 内切 图1中(4) 2 相交 图1中(3) 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径1和r2之间的关系 外离 d>ri+r2 内含 0≤d<r2-T1(t2>T1) 外切 d=r1+r2 2/18 内切 d=r2-1(r2>T1) 相交 <r2-T1<d<1+r2(r2>r) 知识点3切线 1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 ①证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径， 故要“连半径，证垂直”： ②已知圆的切线时，常连接圆心和切，点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来 解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点4尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 已知：如图，己知⊙0以及圆外一点P. 求作：过点P作⊙O的切线 步骤：(1)如图(1)，连接OP,分别以O、P为圆心，大于号OP为半径画弧，两弧相 交于M、N两点，连接MN与OP交于点O',O'为OP的中点； (2)如图(2)，以0为圆心，00'为半径画圆，⊙0与⊙0交于点A,B: (3)如图(3)，连接AP、BP,直线AP、BP即为所求 (1) (2) (3) 知迟点5切线长 1切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆 的切线长 2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角 3/18 符号语言：，PA和PB是⊙O的两条切线 ∴.PA=PB,OP平分∠APB 图24.2-14 题型专练 题型1.判断直线与圆的位置关系 【例1】如果⊙0的半径为5cm,圆心0到直线的距离为d,且d=3cm,那么⊙0和直线l 的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【例2】如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位 置关系是 有一种节约叫光盘 有一种公益叫光盘 【变式1】已知圆的半径是6cm,如果圆心到直线的距离是3cm,那么直线和圆的位置关系 是() A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 【变式2】如图，已己知⊙0的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为() A.11 B.12 C.3 D.14 【变式3】已知⊙0半径为6cm,圆心0到直线AB的距离为3cm,则直线与⊙0的位置关 系是 4/18 题型2.利用直线与圆的位置关系求半径 【例1】已知直线1与⊙0相离，圆心O到直线1的距离为3，则⊙0的半径可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】直线与半径为r的⊙0相交，且点0到直线的距离为6，则r的取值范围是() A.T<6 B.T=6 C.r>6 D.T≥6 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心，R为半径画圆，若⊙C 与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 【变式3】如图，已知∠ACB=30°，CM=2,AM=5,以M为圆心，r为半径作⊙M,⊙M 与线段AC有交点时，则r的取值范围是 B M 题型3.已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例1】若半径为3cm的⊙0与直线1相离，则圆心O到直线1的距离可以是() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【变式1】已知⊙0的半径等于4，直线与⊙0没有公共点，则圆心0到直线的距离可能是 () A.0 B.2 C.4 D.6 【变式2】己知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切，圆心0到直线AB距离等于 【变式3】设⊙0的半径为4，点O到直线α的距离为d,若⊙0与直线a至多只有一个公 共点，则d的取值范围是 题型4。圆或直线平移问题 【例1】如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将0P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为() A.1 B.1或5 C.3 D.3或5 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，-1)， 5/18 AB=2V3.将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使得⊙P与x轴相切，则平移的距离为() y A B A.1 B.1或2 C.3 D.1或3 【变式2】已知⊙0的半径为5cm,点0到直线的距离0P为7cm.把直线向上平移cm: 才能使1与⊙0相切？ 【变式3】如图，在直线l上有相距5cm的两点A和0（点A在点0的右侧），以0为圆心作半 径为1cm的圆，过点A作直线AB11.将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点0始终在直线l 上)，则⊙O与直线AB在 秒时相切、 题型5，圆与圆的位置关系 【例1】两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，则这两圆的位置关系为() A.相交 B.内含 C.内切 D.外切 【例2】已知⊙O的半径0A长为4，点B在线段0A上，且0B=2,如果⊙B与⊙O有公共 点，那么⊙B的半径r的取值范围是() A.>6 B.T<2 C.2<T<6 D.2≤r≤6 【变式1】己知圆01和圆02的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是() A.当0102=2时，两圆没有公共点B.当0102=5时，两圆有一个公共点 C.当0102=0时，两圆有公共点 D.当0102=7时，两圆有两个公共点 【变式2】《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成 6/18 两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是 【变式3】已知半径分别是15cm和20cm的两个圆相交，公共弦长是24cm,那么这两个 圆的圆心距是 题型6，切线的证明 【例1】Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D,交AC于点 E,且BD=BC.求证：AB是⊙O的切线. 【变式1】如图，以点O为圆心，AB为直径作圆，在⊙O上取一点C,连接AC,BC,延长AB 至点D,连接DC,使得∠DCB=∠DAC,求证：CD是⊙O的切线. B 【变式2】己知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC=∠D=60°.求证：AE 是⊙0的切线： B 7/18 【变式3】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，延长AE到点D,连接BD, 且AB=BD,∠BAD=30°，求证：直线BD是⊙O的切线. B 【变式4】已知：如图，两个圆都以O为圆心，点P在小圆上，AB经过点P,且PA=PB, 求证：AB是小圆的切线. 题型7、切线的性质定理 【例1】如图，△ABC内接于⊙O,直线EF与⊙O相切于点B,若∠C=40°，则∠ABF=() E B A.20° B.30 C.40° D.50° 【变式1】如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心0在线段PA上.己知∠P=50°， 则PAB的大小为() B A.50 B.40° C.25 D.20° 8/18 【变式2】如图PA切⊙0于点A,P0交⊙0于点B,若PA=12,0P=13,则⊙0的半径是 () B A.4 B.2 c.5 D.10 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC切⊙O于点C,连接AC.若 ∠CPA=30°，则∠ACP= 度 【变式4】如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，经过点P作⊙O的切线，点C 为切点，连接OC,BC.若LP=50°，则LB的度数为 B 题型8.切线的性质与判定综合 【例1】如图，在⊙O中，E是半径0A上一点，射线EF1OA,交圆于B,P为EB上任一点， 射线AP交圆于C,D为射线BF上一点，且DC=DP,下列结论：①CD为⊙O的切线：②PA> PC;③∠CDP=2LA,其中正确的结论有() 0 9/18 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D,点E在线段AC上， 且ED=EA D (1)求证：ED是⊙0的切线； (2)若ED=V5,∠B=60°，求⊙0的半径. 【变式2】如图，己知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D,E是BD的中点，AE与BC交于点 F,∠C=2LEAB A E (1)求证：AC是⊙0的切线， (2)若c0sC=子CA=12,求AF的长. 10/18 【变式3】如图，AD是⊙O的直径，B、C都是⊙O上的点，连接AB、BC、OC、AC,E是AC 延长线上一点，连接DE,且LABC=LAED. (1)证明：DE是⊙O的切线： (2)连接OE,交⊙O于点F.当CD=AO时，若CE=2,求EF的长， 题型9.切线长定理 【例1】如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，P,C,D为切点，如果AB=7,AC=4,则BD 的长为() 0 A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 【例2】如图，在△ABC中，AO平分LBAC交BC于点O,以点0为圆心，B0长为半径的⊙O 与AB相切于点B,与BC相交于点D. B (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若AB=5,AC=13,设△AB0的面积为S1,△ABC的面积为S2,m=.求常数m的值. 11/18 【变式1】如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,FG与⊙O相切于点E,交PA于点F, 交PB于点G,若PA=5cm,则△PFG的周长为() E 0 G B A.5cm B.7cm C.9cm D.10cm 【变式2】如图，在△ABC中，己知∠C=90°，BC=4,AC=3,则它的内切圆⊙O的半径 是() 0 A.1 B.2 C.2.5 D.5 【变式3】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,分别 交PA、PB于点C、D,若△PCD的周长为18，则PA的长度为· D B 【变式4】小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正 东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树 的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下，求： 大树) 北时门 西门东门 蓟门 (1)大树到城堡南门的距离： 12/18 (2)城堡外圆的半径. 【变式5】如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径. B (1)若LBAC=28,∠P的度数是多少？ (2)若∠BAC=30°，AC=8,求△ABP的周长. 题型10。尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 【例1】尺规作图：已知⊙O,点P在圆外，过点P引圆的两条切线.（不写作法，保留作 图痕迹) ·P 【变式1】己知点A在⊙0上，用尺规按下列要求画图： ① ② (1)在图①中画出点P,使AP是⊙O的直径： (2)在图②中画出点Q,使AQ是⊙0的切线.（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说 明) 13/18 【变式2】如图，已知⊙O及点P,利用直尺和圆规过点P作⊙O的切线. 图① 图② (1)如图①，点P在⊙0外 (2)如图②，点P在⊙0外. (要求：不写作法，保留作图痕迹) 【变式3】如图，已知AB,用不含刻度的直尺和圆规作图.要求：不写作图步骤，写出必要 的文字说明， A B (1)作出AB所在圆的圆心O: (2)过点P作圆O的一条切线： 巩固练习 1.(2026湖南怀化一模)如图，AB是⊙0的直径，AC与⊙0相切于点A,连接BC交⊙0 于点D.点E在⊙0上，若LC=55°，则∠DEA的大小为() B 14/18 A.35 B.459 C.55 D.60° 2.(2026河南周口·二模)如图，射线BA与⊙0相切于点A,经过圆心0的射线B0与⊙0 相交于点C、D两点，连接AD,若LB=38°，则LADB的度数为() A.38 B.52° C.26° D.14 3.(2026河北邯郸.一模)如图，⊙0是地球示意图，AB表示赤道，太阳光线1‖L2、地平 面l3与⊙0相切.某时刻某地纬度∠1=32°，太阳光直射纬度∠2=23°，则太阳高度角（太 阳光线与地平面的夹角)∠3的度数为() 地平面 赤道 A.50 B.45° C.40° D.35° 4.(2026海南海口.一模)如图，AC经过⊙0的圆心O,AB与⊙0相切于点B,若∠A=50°， 则∠C的度数为() A.20 B.30 C.40° D.50° 5.(25-26九年级上广东广州期末)若⊙0的半径为5，圆心0到直线AB的距离为2，则 直线AB与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”) 6.(25-26九年级上河北衡水期末)已知⊙0的半径为r,圆心0到直线的距离为4，若直 线与⊙0相离，且r为整数，则r的值可以为 ·(写出一个即可) 7.(25-26九年级上河南周口·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以点 15/18 C为圆心作⊙C,若⊙C与AB相切，则⊙C的半径为一 8.(2025浙江湖州·二模)如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切 线，C为切点，连结C0,CD,若∠D=25,则LA的度数为 B 9.(2025山东青岛模拟预测)如图，线段AB长为8，O是AB上一点，且0A=3,以O为 圆心，OA为半径作圆在AB的上方求作点P使得BP相切于⊙O. B 10.(2526九年级上西藏拉萨.期末)如图，BD是⊙0的直径，A是BD延长线上的一点， 点E在⊙O上，BC⊥AE,交AE的延长线于点C,BC交⊙O于点F,且点E是DF的中点. C (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若LCBD=60,BE=6,求BC的长. 16/18 11.(25-26九年级上·天津和平.期中)已知AB是⊙0的直径，AT是⊙0的切线，AT=10. E A A 图① 图② (1)如图①，若LATB=45°，求直径AB的长： (2)如图②，点C是0B上一点，若LATC=45°，TC与⊙O相交于点D,过点D作弦DE II AT, 与AB相交于点F,DE=12,求AF和直径AB的长， 12.（2026广东东莞.一模)足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心， 成为全世界情感交流的桥梁.图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何 模型，PA,PB是圆的切线，A,B为切点， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O(不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，延长B0交射线A于点C,若PB=6,PC=10,请补全图形，并求0C 的长 17/18 13.(2026湖北武汉·模拟预测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙0是△ABC外接圆， 点D是圆外一点，DB是⊙O的切线.连接DO,DO与AB交于点E. B D A (1)求证：∠DBA=∠ACB: (2)若D01AB,BC=2,DE=4,求⊙0的半径. 14.(2026广西钦州三模)如图，∠B=∠D=90°，∠1=∠2，AB与CD交于点0，以0为圆 心，OB长为半径作圆. A (1)证明：AC是⊙O的切线； (2)已知BC=6,AB=8,求0C的长. 18/18第三十章直线与圆的位置关系 01讲直线与圆 少题型归纳 【知识点1直线和圆的位置关系… 1】 【知识点2圆与圆的位置关系： 2】 【知识点3切线 3】 【知识点4尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 …3】 【知识点5切线长 ……3】 【题型1.判断直线与圆的位置关系 4】 【题型2.利用直线与圆的位置关系求半径… …6】 【题型3.已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离… 81 【题型4.圆或直线平移问题… 9】 【题型5.圆与圆的位置关系 12】 【题型6.切线的证明… 14】 【题型7.切线的性质定理 18】 【题型8.切线的性质与判定综合… 21】 【题型9.切线长定理… 27】 【题型10.尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 34】 【巩固练习 …38】 知识清单 知识点1直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相 交，这条直线叫做圆的割线 2相切的定义：如图24.2-8（2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆 相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 1/50 2相离的定义：如图24.2-8（3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 (1) (2) (3) 图24.2-8 3.直线和圆的位置关系的判定：设⊙0的半径为r,圆心O到直线的距离d,则有 直线和⊙0相交台d<r: 直线和⊙0相切中r: 直线和⊙0相离中>r. 知识点2圆与圆的位置关系 02 (1) (2) (3) oo2 or0a (4) (5) (6) 图1 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 相 外离 图1中(1) 0 离 内含 图1中(5)(6) 相 外切 图1中(2) 1 切 内切 图1中(4) 2 相交 图1中(3) 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径1和r2之间的关系 外离 d>ri+r2 内含 0≤d<r2-T1(t2>T1) 外切 d=r1+r2 2/50 内切 d=r2-1(r2>T1) 相交 <r2-T1<d<1+r2(r2>r) 知识点3切线 1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 【提示】 ①证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径， 故要“连半径，证垂直”； ②已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来 解决问题，即“见切线，连半径，得垂线” 知迟点4尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 己知：如图，己知⊙O以及圆外一点P. 求作：过点P作⊙O的切线· 步骤：（1)如图(1)，连接OP,分别以O、P为圆心，大于0P为半径画弧，两弧相 交于M、N两点，连接MN与OP交于点O',O'为OP的中点： (2)如图(2)，以0为圆心，00'为半径画圆，⊙0与⊙0'交于点A,B: (3)如图(3)，连接AP、BP,直线AP、BP即为所求 (1) (2) (3) 知识点5切线长 1切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆 的切线长 2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 3/50 线平分两条切线的夹角 符号语言：，PA和PB是⊙O的两条切线 .PA=PB,OP平分∠APB 图24.2-14 瓢型专练 题型1.判断直线与圆的位置关系 【例1】如果⊙0的半径为5cm,圆心0到直线的距离为d,且d=3cm,那么⊙0和直线l 的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【答案】c 【分析】比较圆的半径r与圆心到直线的距离d的大小，即可得到位置关系，规则为：d<r 时直线与圆相交，d=r时相切，d>r时相离. 【详解】解：，⊙0的半径r=5cm,圆心0到直线的距离d=3cm, ∴d<r, 根据判定规则可得⊙O和直线的位置关系是相交， 【例2】如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位 置关系是 有一种节约叫光盘 有一种公益叫光盘 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，已知O的半径为r,圆心O到直线的距 离是d,当d>r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d<r时，直线和圆相交. 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d. ..d<r, ∴.直线和圆相交， 4/50 故答案为：相交。 【变式1】已知圆的半径是6cm,如果圆心到直线的距离是3cm,那么直线和圆的位置关系 是() A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径r=6cm,圆心到直线的距离d=3cm,然后比较d=3cm< r=6cm即可求解. 【详解】解：根据题意得圆的半径r=6cm,圆心到直线的距离d=3cm, .'d 3cm <r 6cm, ,根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交 【变式2】如图，已知⊙0的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为() B.12 C.3 D.14 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关 键.直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切， 当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直 线与圆相交，根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可， 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于⊙0的半径， 所以该直线与⊙0相交 由图可知只有直线L1与圆相交. 故选：A 【变式3】己知⊙O半径为6cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,则直线与⊙O的位置关 系是 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系. 5/50 【详解】解：，⊙0半径为6cm,圆心O到直线AB的距离为3cm,3<6, ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线AB与⊙O相交. 题型2，利用直线与圆的位置关系求半径 【例1】已知直线1与⊙0相离，圆心O到直线1的距离为3，则⊙0的半径可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直 线的距离大于圆的半径 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选 项 【详解】解：，直线1与⊙O相离， ∴.圆心0到直线的距离d>半径r, 已知d=3, ∴，T<3. 观察选项中只有A.2<3,满足条件 故选：A. 【变式1】直线与半径为r的⊙0相交，且点0到直线的距离为6，则r的取值范围是( A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.T≥6 【答案】c 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d,半 径为r,当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交.根 据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径 【详解】解：，直线1与⊙0相交， ∴.点O到直线I的距离d<r, 又，d=6, ∴.r>6. 故选：C 【变式2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心，R为半径画圆，若⊙C 与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 6/50 【答案】智<r≤5 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆 的位置关系是解题的关键 作CD L AB于D,由勾股定理求出AB,由三角形的面积求出CD,由AC>BC,可得以C为圆 心，T=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点：若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可 得出r的取值范围. 【详解】解：作CD⊥AB于D,如图所示： ∠C=90°，AC=5,BC=12, .AB=V52+12z=13, ,△ABC的面积=ABCD=ACBC, ∴.CD=ACBC=60 AB 即圆心C到AB的距离d= 131 .AC<BC, ∴.以C为圆心，r=12为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点， ∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是磐<r≤5。 放答案为：兽<T≤5. 【变式3】如图，已知LACB=30°，CM=2,AM=5,以M为圆心，r为半径作⊙M,⊙M 与线段AC有交点时，则r的取值范围是一· B 【答案】1≤r≤5 【分析】过M作MH1AC于H,根据直角三角形的性质得到HM=二CM=1,然后根据直 线与圆的位置关系即可得到结论 7/50 【详解】解：过M作MH1AC于H,如图所示： H C M ,CM=2,∠ACB=30°， HM =CM =1, ,AM=5,⊙M与线段AC有交点， r的取值范围是1≤r≤5， 故答案为：1≤r≤5. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r,圆心O到直线I的距离为d, 若直线1和⊙0相交台d<r:直线1和⊙0相切台d=r:直线1和⊙0相离台d>r. 题型3，已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例1】若半径为3cm的⊙0与直线1相离，则圆心O到直线1的距离可以是() A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d,圆的半径 为r,则当d>时，直线与圆的位置关系为相离；当d=r时，直线与圆的位置关系为相切， 当d<r时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线1的距离大于3cm,据 此可得答案。 【详解】解：，半径为3cm的⊙0与直线1相离， ∴.圆心O到直线1的距离大于3cm, ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D 【变式1】已知⊙O的半径等于4，直线与⊙0没有公共点，则圆心0到直线的距离可能是 () A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系.根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距 离大于半径，即可求解。 8/50 【详解】解：，直线与⊙O没有公共点， ∴.直线1与⊙0相离， ∴.圆心O到直线l的距离d>半径r, r=4 .d>4, 故选：D 【变式2】已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙0相切，圆心0到直线AB距离等于 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切， 即可得出结果. 【详解】解：，⊙0的半径为5，直线AB与⊙0相切， ∴.圆心0到直线AB距离等于5： 故答案为：5 【变式3】设⊙0的半径为4，点O到直线a的距离为d,若⊙0与直线a至多只有一个公 共点，则d的取值范围是 【答案】d≥4 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系.根据题意可得⊙0与直线α相离或相切，即 可求解。 【详解】解：：⊙0与直线a至多只有一个公共点， ∴.⊙0与直线a相离或相切， ,⊙0的半径为4， .d≥4. 故答案为：d≥4 题型4.圆或直线平移问题 【例1】如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将0P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为() 9/50 A.1 B.1或5 C.3 D.3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时， 点到圆心的距离等于圆的半径.分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根 据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案. 【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)， 0P=3, ⊙P的半径为2， ∴.AP=BP=2, 0A=1,0B=5, ∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1， 当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为1或5， 故选：B B 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，一1)， AB=2V3.将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使得⊙P与x轴相切，则平移的距离为( A.1 B.1或2 C.3 D.1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直 角三角形的问题是关键.作PC 1 AB于点C,由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即 可求得PA的长，再分点P向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可. 10/50 【详解】解：连接PA,作PC L AB于点C,由垂径定理得： AC-AB=×2N3=V3, 在直角△PAC中，由勾股定理得：PA2=PC2+AC2, 即P42=12+(W3)2=4, PA=2, ⊙P的半径是2. 将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=1+2=3： 将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=2-1=1. 故选：D 【变式2】已知⊙0的半径为5cm,点0到直线的距离0P为7cm.把直线向上平移 cm. 才能使与⊙0相切？ 【答案】2或12/12或2 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解：观察图形：'⊙0的半径为5cm,点0到直线的距离0P为7cm, ∴.把直线l向上平移7-5=2cm或7+5=12cm才能使1与⊙0相切， 故答案为：2或12. 【变式3】如图，在直线l上有相距5cm的两点A和0（点A在点0的右侧)，以0为圆心作半 径为1cm的圆，过点A作直线AB1L.将⊙0以2cm/s的速度向右移动（点0始终在直线l 上)，则⊙O与直线AB在 秒时相切. 11/50 B 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端 且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相 切.熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为 1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间. 【详解】解：当点0到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切， 开始时O点到AB的距离为5， 当圆向右移动5-1或5+1时，点0到AB的距离为1cm,此时⊙0与AB相切， ∴t=(5-1)÷2=2(⊙)或t=(5+1)÷2=3(s), 即⊙0与直线AB在2秒或3秒时相切. 故答案为：2或3 题型5，圆与圆的位置关系 【例1】两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，则这两圆的位置关系为() A.相交 B.内含 C.内切 D.外切 【答案】D 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据圆心距等于两圆的半径的和可得两圆外切，即 可求解。 【详解】解：，两圆的半径分别为3和4，圆心距为7,3+4=7， ∴这两圆的位置关系为外切. 故选：D. 【例2】已知⊙O的半径0A长为4，点B在线段0A上，且0B=2,如果⊙B与⊙0有公共 点，那么⊙B的半径r的取值范围是() A.r>6 B.T<2 C.2<r<6 D.2≤r≤6 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情 况的半径即可得到r的取值范围 12/50 【详解】解：，⊙0半径为4，两圆圆心距0B=2, 当⊙B内切于⊙O时，⊙B的半径r=4-2=2,此时两圆有一个公共点，符合要求： 当⊙O内切于⊙B时，⊙B的半径T=4+2=6,此时两圆有一个公共点，符合要求： 当2<r<6时，两圆相交，有两个公共点，符合要求： ∴.⊙B与⊙0有公共点时，⊙B的半径r的取值范围是2≤T≤6. 【变式1】己知圆01和圆02的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是() A.当0102=2时，两圆没有公共点B.当0102=5时，两圆有一个公共点 C.当0102=0时，两圆有公共点 D.当0102=7时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解。 【详解】解：⊙01和⊙02的半径分别是5和7，且7-5=2,5+7=12， A、当0102=2时，0102=7-5=2，两圆内切，有1个公共点，故A错误： B、当0102=5时，2<5<12，两圆相交，有2个公共点，故B错误： C当0102=0时，0102<2，两圆内含，没有公共点，故C错误： D当0102=7时，2<7<12，两圆相交，有2个公共点，故D正确. 【变式2】《哪吒之魔童闹海》己经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成 两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是 【答案】内切与内含 【分析】两个等圆半径相等，结合不同位置关系对圆心距与半径的数量关系要求，即可判断 不可能存在的位置关系. 【详解】解：设两个等圆的半径都为r1=r2=T,两圆圆心距为d, 根据两圆位置关系的数量关系， 内切要求圆心距满足d=r1一T2,代入得d=0,此时两圆重合，不满足内切的定义， 内含要求圆心距满足d<r1-T2z,代入得d<0,圆心距为距离不可能为负数，不存在该情 况， 外离要求圆心距满足d>r1+r2=2r,存在符合要求的圆心距，可成立， 外切要求圆心距满足d=T1+r2=2r,存在符合要求的圆心距，可成立， 相交要求圆心距满足|r1一r2l<d<r1+r2,即0<d<2r,存在符合要求的圆心距，可成 立， 因此两个等圆不可能存在的位置关系是内切与内含. 13/50 【变式3】已知半径分别是15cm和20cm的两个圆相交，公共弦长是24cm,那么这两个 圆的圆心距是 【答案】25cm或7cm 【分析】本题主要考查相交两圆的性质，分类讨论是解题的关键 结合已知，分两圆的圆心在弦的同侧和弦的异侧两种情况画出图形，根据勾股定理可得到圆 心距的两部分分别是9cm,16cm,然后根据两圆的位置关系确定圆心距，从而完成解答， 【详解】如图，AB=24cm,01A=15cm,02A=20cm, 200 图1 图2 ,公共弦长为AB=24cm, ·AC=12cm,AB10102, ∴01C=√01A2-AC2=9cm, 02C=V02A2-AC2=16cm, ∴.①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=9+16=25cm, ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=16-9=7cm, 故这两个圆的圆心距是25cm或7cm. 故答案为：25cm或7cm. 题型6。切线的证明 【例1】Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D,交AC于点 E,且BD=BC.求证：AB是⊙O的切线， 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定 方法（证明直线与圆的半径垂直）是解题的关键。 14/50 要证明AB是⊙O的切线，需证明圆心O到AB的距离等于半径（或证明OD L AB),通过连接 OD,利用已知条件BD=BC、OD=OC,结合公共边OB,证明△OBD≌△OBC,从而得到 L0DB=∠0CB=90°，即可得证. 【详解】证明：连接OD, .BD BC,OB=0B,OD=OC, △OBD≌△OBC(SSS) ∠0DB=∠0CB=90: OD为⊙O的半径， ·AB是⊙O的切线； 【变式1】如图，以点O为圆心，AB为直径作圆，在⊙O上取一点C,连接AC,BC,延长AB 至点D,连接DC,使得∠DCB=∠DAC,求证：CD是⊙O的切线. D 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识 点是解题的关键。 连接0C,由圆的半径相等得0A=0C,由等边对等角，直径对的圆周角是90°和两角互余， 证得∠0CD=90°即可解答 【详解】证明：如图，连接OC B OA=OC,∴.∠0AC=∠OCA. 15/50 又∠DCB=∠DAC, ∴.∠DCB=∠OCA. AB是⊙O的直径， .∠0CA+∠0CB=∠ACB=90. ∠DCB+∠0CB=L0CD=90°， ·OC1CD 又，0C是⊙0的半径， CD是⊙O的切线. 【变式2】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙0上，∠EAC=∠D=60°.求证：AE 是⊙0的切线： B ○ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识 点，正确掌握相关性质内容是解题的关键， 由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠B= ∠D=60°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC=90°-∠B=30°，进而可得∠BAE= ∠BAC+∠EAC=90°，即BA⊥AE,然后根据切线的判定定理即可得出结论： 【详解】证明：~AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .AC=AC ∴.∠B=∠D=60°， ÷∠BAC=90°-LB=30°， ∴.∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即：BA⊥AE, ·AE是⊙O的切线： 16/50 【变式3】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，延长AE到点D,连接BD, 且AB=BD,∠BAD=30°.求证：直线BD是⊙O的切线， 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质.连接OB根据等边对等角的性质 得到∠OBA=∠BAD=30°，推出LBOD=60°，∠D=∠BAD=30°，再结合三角形内角和定 理，得到∠0BD=90°，即可证明结论. 【详解】证明：如图，连接OB, 0B=0A,∠BAD=30°， .∠0BA=∠BAD=30°， ∴.LB0D=60°， .AB=AD, .∠D=∠BAD=30°， ∴.在△0BD中，L0BD=180°-60°-30°=90°，且0B是⊙0的半径， ∴.直线BD是⊙O的切线. 【变式4】己知：如图，两个圆都以O为圆心，点P在小圆上，AB经过点P,且PA=PB, ○ 求证：AB是小圆的切线. 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三线合一，切线的判定定理等知识点，熟练掌握切线的判定定理是 解题的关键。 连接OP,OA,OB,由三线合一可得OP⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得出结论 17/50 【详解】证明：如图，连接0P,OA,OB, 0A 0B,PA=PB, ..OP 1 AB, AB是小圆的切线， 题型7、切线的性质定理 【例1】如图，△ABC内接于⊙O,直线EF与⊙O相切于点B,若LC=40°，则∠ABF=() A.20 B.30° C.40° D.50° 【答案】c 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识.熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周 角定理是解题的关键。 连接0A,OB,先根据切线的性质可得∠0BF=90°，由∠C=40可得∠AOB=80°，由此可 以求出LOBA的度数，根据角的和差可以求出∠ABF的度数. 【详解】解：连接OA,OB, ○ B ,直线EF与⊙O相切于点B, ∴.∠0BF=90°， ∠C=40°， ∴.∠A0B=80°， 18/50 .0A=OB 20BA=∠0AB=18080=500, 2 ·∠ABF=∠0BF-∠0BA=90°-50°=40°. 故选：C 【变式1】如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙0相切于点B,圆心0在线段PA上.已知∠P=50°， 则∠PAB的大小为() B A.50° B.40° C.25o D.20° 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识 点是解题的关键， 连接OB,由切线的性质得∠PB0=90°，即可计算∠POB=40°，再由圆周角定理可得出∠PAB 的大小。 【详解】解：连接OB,如下图所示： PB是⊙O的切线， ∴.LPB0=90, ,∠P=50, .∴.∠P0B=180°-∠PB0-∠P=40°， ∴PAB=P0B=20, 故选D 【变式2】如图PA切⊙0于点A,P0交⊙0于点B,若PA=12,0P=13,则⊙0的半径是 19/50 B A.4 B.2 c.5 D.10 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键。 根据切线的性质得到OA⊥AP,然后利用勾股定理计算得到⊙O的半径即可. 【详解】解：如图PA切⊙O于点A, ..0A 1 AP. PA=12,0P=13, 0A=√0P2-PA2=V132-122=5. 故选：C. 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC切⊙O于点C,连接AC.若 ∠CPA=30°，则∠ACP= 度 B 【答案】120 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质： 连接0C,根据切线的性质可得∠0CP=90°，求出∠C0P=60°，进而可得∠0AC=∠0CA= C0P=30,然后可得答案. 【详解】解：连接0C, B 20/50 ,PC切⊙O于点C, ∴.∠0CP=90°， LCPA=30°， ,∴.∠C0P=60°， ,0A=0C, ∴∠0AC=z0CA=C0P=30, .∠ACP=∠C0A+∠0CP=30°+90°=120°， 故答案为：120. 【变式4】如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，经过点P作⊙O的切线，点C 为切点，连接0C,BC.若LP=50°，则∠B的度数为 B 【答案】20°/20度 【分析】因为点C为⊙O的切点，连接0C,BC得Rt△PC0,LP=50°，可知∠PC0的度数， 根据∠PCO是△OBC的外角，又因为OC=OB,得到∠OBC=∠OCB,由此即可求解， 【详解】解：，点C为⊙0的切点， ,PC是⊙0的切点，即有Rt△PC0,∠0CP=90°，且∠P=50°， ∴，∠C0P=90°-50°=40°， 连接OC,BC得OC=OB, ∴.LOBC=∠0CB,且LC0P=40°=2∠0BC, ∴20BC=C0P=×40°=20， 故答案是：20°. 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，理解切线的性质，即切点到圆心的连线垂直与切线， 垂直为切点，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及等腰三角形的性质是解题的关 键 题型8.切线的性质与判定综合 【例1】如图，在⊙O中，E是半径OA上一点，射线EF1OA,交圆于B,P为EB上任一点， 21/50 射线AP交圆于C,D为射线BF上一点，且DC=DP,下列结论：①CD为⊙O的切线：②PA> PC;③LCDP=2LA,其中正确的结论有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键：根据 已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案， 【详解】解：连接0C,如图所示： .DC DP, .LDPC=∠DCP, ,LDPC=∠APE, ∴LAPE=∠DCP, ,0A=0C, ∴.LOAC=L0CA: .EF 1 OA, ..∠0AC+∠APE=90° ,∴.∠OCA+∠DCP=90°， ,CD为⊙O的切线，①正确： ②由图可知PA>PC不一定： ,CD为⊙O的切线， 22/50 ∴.LDCP=A0C. :∠DCP=A0C=180°-2∠A), 又：∠DCP=(180°-∠CDP), ∴.180°-2∠A=180°-∠CDP, ∴.LCDP=2A,③正确 故选：B. 【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D,点E在线段AC上， 且ED=EA, ○ (1)求证：ED是⊙O的切线： (2)若ED=3,∠B=60°，求⊙0的半径. 【答案】(1)证明见解析 (21 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助 线是解题的关键， (1)连接OD.根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论： (2)根据切线的性质得到ED=EC,求得ED=EC=EA=V5.根据直角三角形的性质即 可得到结论 【详解】(1)证明：连接0D D 23/50 .ED=EA, ∴∠A=∠ADE, 0B=OD .∠OBD=∠BDO, ∠ACB=90°， ∠A+∠ABC=90° ·∠ADE+LBD0=90°， ∠0DE=90, ∴DE是⊙O的切线： (2)解：LACB=90°，BC为直径， ·AC是⊙O的切线. DE是⊙O的切线， .ED=EC, ED=3, ·ED=EC=EA=V3 ÷AC=2V3, 在Rt△ABC中，∠B=60°， ∠A=30°， .BC=2. ⊙0的半径为1. 【变式2】如图，已知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D,E是BD的中点，AE与BC交于点 F,∠C=2LEAB. (1)求证：AC是⊙0的切线. 2若c0sC=子CA=12,求AF的长. 【答案】(1)见解析 (2)4v6 24/50 【分析】(1)连接AD,由E是BD的中点可得LDAB=2LEAB,进而可得∠ACB=∠DAB.再 证LBAC=90°，即可求证AC是⊙O的切线. (2)先根据cosC-是-求出CD=8,再证zCAE=∠CFA,则可得CF=AC=12,进而 可得DF=4,最后再根据勾股定理即可求出AF的长， 本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，正确 作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键. 【详解】(1)证明：连接AD,如图所示： ,E是BD的中点， .'.DE BE, ∴.∠EAD=∠EAB, ∴∠DAB=2∠EAB ∠ACB==2∠EAB, ·∠ACB=∠DAB, AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠DAC+∠ACB=90°， ∠DAC+∠DAB=90°， 即LBAC=90°， AC⊥AB, ~AB是圆的直径， ·AC是⊙O的切线： (2)解：在Rt△ACD中，cosC= CD=×12=8, :AC是⊙O的切线， .∠CAE+∠EAB=∠CAB=90°， 25/50 ~AB是圆的直径， ·∠ADB=90°， ·∠CFA+∠EAD=90, :∠EAB=∠EAD, ·.∠CAE=∠CFA, ∴CF=AC=12, DF=4, AD2=AC2-CD2=122-82=80, ..AF=VAD2 DF2 =V80+16=4v6. 【变式3】如图，AD是⊙O的直径，B、C都是⊙O上的点，连接AB、BC、OC、AC,E是AC 延长线上一点，连接DE,且LABC=LAED (1)证明：DE是⊙O的切线： (2)连接0E,交⊙0于点F.当CD=A0时，若CE=2,求EF的长. 【答案】(1)见解析 (22V7-2W5 【分析】(I)由圆周角定理得到∠ABC=LADC,结合∠ABC=∠AED,推出∠ADC=LAED, 再根据AD是⊙O的直径，得到∠ACD=90°，进而得到∠ECD=90°，即可推出∠AED+ ∠EDC=90°，从而得到∠ADC+∠EDC=90°，即可证明结论： (2)由CD=AO,可得CD=DO,易证△DC0是等边三角形，根据CE=2,求出DE=4, 利用勾股定理求出CD=2V3,得到A0=CD=0F=2V5,再利用勾股定理求出0E=2V7 由EF=OE-OF即可求解. 【详解】(1)证明：LABC=∠ADC,∠ABC=∠AED, ·LADC=∠AED, AD是⊙O的直径， 26/50 ∴.∠ACD=90°， ∴.∠ECD=90°， ·.LAED+LEDC=90°， ∴.∠ADC+∠EDC=90°， ∠ADE=90°，即AD 1 DE, OD是半径， ∴DE是⊙O的切线： (2)解：CD=A0, .CD =OD, 0C=0D, ..OC=OD=CD, △DCO是等边三角形， ÷.∠0DC=60°， :∠ADE=90°， ∠EDC=30°， ..DE=2CE=4, ·CD=VDE2-CE=2V3, .A0=CD=0F=2V3, OE=VOD2+DEZ =2v7, ·EF=0E-0F=2V7-23. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判 定与性质，勾股定理.灵活掌握切线的判定定理是解题的关键. 题型9。切线长定理 【例1】如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，P,C,D为切点，如果AB=7,AC=4,则BD 的长为() A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 27/50 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。 由AB,AC,BD是⊙O的切线可知AC=AP,BP=BD,求出BP的长即可求出BD的长. 【详解】解：：AC、AP为⊙O的切线， ∴AC=AP, ,BP、BD为⊙O的切线， .'.BP=BD ..BD=PB=AB-AP=7-4=3. 故选：A 【例2】如图，在△ABC中，AO平分∠BAC交BC于点O,以点O为圆心，B0长为半径的⊙O 与AB相切于点B,与BC相交于点D. (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)若AB=5,AC=13,设△AB0的面积为S1,△ABC的面积为S2,m=三. 求常数m的值. 【答案】(1)见解析 Rm=音 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点， 掌握圆中相关定理的内容是解题关键， (1)过点0作0E1AC,由角平分线的性质定理可得0E=OB,即可求证： (2)在Rt△ABC中求出BC,设⊙O的半径为r,则OE=OB=T,CE=AC-AE=13-5=8, OC=BC-OB=12-r,在Rt△COE中求出BO即可求解. 【详解】(1)证明：过点0作0E1AC,垂足为E,如图， 28/50 以点O为圆心，BO长为半径的⊙O与AB相切于点B, :.OB 1 AB, AO平分LBAC, ∴OE=OB, OE是⊙O的半径，又OE1AC, ∴AC是⊙O的切线： (2)解：由(1)知0B1AB, ∴.∠ABC=909 根据勾股定理得BC=√AC2-AB2=√132-5=12， ?AB,AC均为⊙O的切线，切点分别为B和E, ..AE=AB 设⊙0的半径为r,则0E=0B=r,CE=AC-AE=13-5=8,0C=BC-0B=12-T, 在Rt△C0E中，根据勾股定理得0C2=CE2+OE2, 即(12-r)2=82+r2, 解得r=9 即B0=兴 10 【变式1】如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,FG与⊙O相切于点E,交PA于点F, 交PB于点G,若PA=5cm,则△PFG的周长为() A 29/50 A.5cm B.7cm C.9cm D.10cm 【答案】D 【分析】由PA、PB是⊙O的切线，得PA=PB:由FA、FE和GE、GB分别是⊙O的切线， 得FA=FE、GE=GB:将△PFG的周长转化为PF+FG+PG,再替换为PF+FE+EG+PG, 进一步转化为PA+PB,结合PA的长度计算结果。 【详解】解：~PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, .PA PB 5cm, ~FA,FE分别与⊙O相切于点A,E, ·FA=FE GE,GB分别与⊙O相切于点E,B, ..GE=GB, 六C△PFG=PF+FG+PG PF+FE+EG+PG =PF+FA+GB+PG =PA+PB =5+5 =10(cm). 【变式2】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4,AC=3,则它的内切圆⊙0的半径 是() B A.1 B.2 C.2.5 D.5 【答案】A 【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理， 再根据AF+BF=AB,设半径为r,得到3-+4-r=5解方程即可， 【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF, 则 OE⊥AC,OF⊥AB,OD⊥BC, 30/50 B F D E ∴，四边形OECD是矩形. 设半径为r,则CD=CE=r, ,∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=√BC2+AC2=5, .'.AF=AE=3-r,BD BF=4-r, .3-r+4-r=5, r=1, .△ABC的内切圆的半径为1. 【变式3】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E,分别 交PA、PB于点C、D,若△PCD的周长为18，则PA的长度为 B 【答案】9 【分析】本题考查了切线的性质，利用切线长定理是解决问题的关键， 先根据切线长定理得到PA=PB,CA=CE,DE=DB,再利用△PCD的周长为18得到PC+ CE+DE+PD=18,然后利用等线段代换得到PA+PB=18,从而得到PA的长. 【详解】解：：PA、PB分别切⊙O于点A、B,CD切⊙O于点E, ..PA=PB,CA=CE,DE=DB, ,△PCD的周长为18， ..PC+CE DE+PD =18, ..PC+CA+DB+PD=18, 即PA+PB=18, 31/50 .PA=9 故答案为：9 【变式4】小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正 东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树 的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下，求： 大树 北门 西门东 南 (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径. 【答案】(1)12里 (2)4.5里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关 键 (1)由AB切圆于D,BC切圆于C,连接OD,得到OD 1 AB,OC1BC,BD=BC=9里， 由勾股定理求出AC=√AB2-BC=12(里)， (2)在Rt△A0D中，由勾股定理列式A02=0D2+AD2,(12-r)2=r2+62,所以求出 0D=4.5(里)，即可得到答案 【详解】(1)解：如图，⊙0表示圆形城堡， 由题意知：AB切圆于D,BC切圆于C,连接OD, ÷OD1AB,OC1BC,BD=BC=9里， AD=6(里)， ·AB=AD+BD=15(里)， AC=VAB2-BC2=12(里)， 32/50 则大树到城堡南门的距离12里； (2)解：设城堡的半径为r里， ∴.A0=(12-r)里，AD=AB-BD=15-9=6(里)， .'OD 1 AB, ∴.在Rt△A0D中，A02=OD2+AD2 ·(12-)2=r2+62, r=4.5(里). 城堡的半径为4.5里. 【变式5】如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径. C B (1)若LBAC=28°，∠P的度数是多少？ (2)若LBAC=30°，AC=8,求△ABP的周长. 【答案】(1)56° (2)123 【分析】(1)先利用切线的性质得到∠CAP=90°，则利用互余计算出∠PAB的度数，再根 据切线长定理得到PA=PB,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数： (2)连接BC,先根据直角三角形的性质求得AB=4V3,再根据切线的性质得到PA=PB, ∠CAP=90°，推出△PAB是等边三角形，进而可得到答案. 【详解】(1)解：，PA是⊙0的切线， ∴.OA1PA,即∠CAP=90° .∠PAB=90°-∠BAC=90°-28°=62°. ,PA,PB是⊙O的切线， ..PA=PB, .∠PBA=∠PAB=62°， ∠P=180°-∠PAB-∠PBA=56°； (2)解：连接CB, 33/50 ,AC是⊙0的直径， ∴.∠CBA=90°， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AC=8, ∴BC=AC=4, 由勾股定理：AB=VAC2-BC区=V⑧2-4平=4V3, .'LCAP=90, .LPAB=90°-LBAC=90°-30°=60°， .PA=PB, ∴.△PAB是等边三角形， .AB PA=PB=4V3, .△ABP的周长为4W3×3=123. 题型10.尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 【例1】尺规作图：已知⊙O,点P在圆外，过点P引圆的两条切线.（不写作法，保留作 图痕迹) O。 P 【答案】见解析 【分析】本题考查直径所对圆周角为90°，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键.以 P0为直径作⊙C,与⊙O交于A,B,连接PA,PB,根据直径所对圆周角为90°，则∠OAP= L0BP=90°，由切线的判定定理可知PA,PB为⊙O的两条切线. 【详解】解：如图，A、PB为所作。 理由：以PO为直径作⊙C,与⊙O交于A,B,连接PA,PB,根据直径所对圆周角为90°，则 ∠OAP=∠OBP=90°，由切线的判定定理可知PA,PB为⊙O的两条切线. 34/50 【变式1】己知点A在⊙0上，用尺规按下列要求画图： ① ② (1)在图①中画出点P,使AP是⊙0的直径： (2)在图②中画出点Q,使AQ是⊙0的切线.（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说 明) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键， (1)根据直径经过圆心，作直线A0,交⊙0于点P即可： (2)根据切线的定义，连接A0,过点A作A01AQ于点A,交点就是点Q解答即可， 【详解】(1)解：作直线A0,交⊙O于点P, 则AP是⊙O的直径， 则点P即为所求， (2)解：连接A0 过点A作A01AQ于点A,交点为Q,如图： 则点Q即为所求 35/50 【变式2】如图，已知⊙O及点P,利用直尺和圆规过点P作⊙O的切线. 0 p 图① 图② (1)如图①，点P在⊙0外 (2)如图②，点P在⊙0外. (要求：不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】(1)过点P作直线l1OP,则直线为⊙O的切线： (2)连接0P,作0P的垂直平分线得到0P的中点0'，再以0为圆心，00'为半径作圆交⊙0 于A、B两点，则直线PA、PB为⊙O的切线： 【详解】(1)如图，直线为所作 (2)如图，PA、PB为所作. 0 【变式3】如图，已知AB,用不含刻度的直尺和圆规作图.要求：不写作图步骤，写出必要 的文字说明. P B (1)作出AB所在圆的圆心O: 36/50 (2)过点P作圆O的一条切线. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定 (1)如图，在AB上取点Q,连接AQ,BQ,再作线段AQ,BQ的垂直平分线上，交点为O,可 得O为AB所在圆的圆心 (2)如图，连接OP,作线段OP的垂直平分线，垂足为D,以D为圆心，D0为半径画圆交AB 于C,则直线PC为⊙O的切线， 【详解】(1)解：如图，在AB上取点Q,连接AQ,BQ,再作线段AQ,BQ的垂直平分线上 交点为O,则O为AB所在圆的圆心 (2)解：如图，连接0P,作线段OP的垂直平分线，垂足为D,以D为圆心，D0为半径画圆 交AB于C,则直线PC为⊙O的切线. 理由如下： ,0P为直径， ∠0CP=90, ,0C为半径， ∴.PC为⊙O的切线. 37/50 巩固练习 1.(2026湖南怀化一模)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙0相切于点A,连接BC交⊙0 于点D.点E在⊙0上，若LC=55,则LDEA的大小为() B A.35 B.45 C.55° D.60° 【答案】A 【分析】由切线的性质得到∠CAB=90°，再根据三角形的内角和可知∠CBA,再由同弧所对 的圆周角相等即可求解。 【详解】解：，AB是⊙O直径，AC是⊙O的切线，A为切点， ∴.∠CAB=90°， LC=55, ∴.LCBA=90°-∠C=35°， :∠DEA与∠DBA所对的弧为AD, .∠DEA=∠DBA=35 2.（2026河南周口·二模)如图，射线BA与⊙0相切于点A,经过圆心0的射线B0与⊙0 相交于点C、D两点，连接AD,若LB=38°，则LADB的度数为() A.38 B.52° C.26° D.14° 【答案】c 【分析】连接OA,利用切线的性质可得OA1AB,得到直角∠OAB,在Rt△OAB中，求出LAOB 的度数，利用圆周角定理求出LADB的度数 38/50 【详解】解：连接0A, D A ,射线BA与⊙O相切于A, ..0A 1 AB, ∠B=38°， 在Rt△0AB中，∠A0B=90°-38°=52°， ∠ADB=A0B=X52°=26. 3.(2026河北邯郸一模)如图，⊙0是地球示意图，AB表示赤道，太阳光线L1L2、地平 面l3与⊙0相切.某时刻某地纬度∠1=32°，太阳光直射纬度∠2=23°，则太阳高度角（太 阳光线与地平面的夹角)∠3的度数为() 地平面 赤道 A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】D 【分析】先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导 太阳高度角的度数， 【详解】如图，设切点为D,连接0D, 地平面 赤道 S 39/50 地平面与⊙O相切于D, ∴.∠0DE=90°， 太阳光线l1Ⅱl2, ,∴.∠1+∠2+∠3+∠0DE=180°， ,∠1=32°，∠2=23°， ∴.∠3=180°-90°-32°-23°=35° 4.(2026海南海口一模)如图，AC经过⊙0的圆心O,AB与⊙0相切于点B,若∠A=50°， 则上C的度数为() A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【分析】连接0B,由切线的性质结合三角形内角和定理求得LA0B=40°，再利用圆周角定 理求解即可. 【详解】解：连接OB, B ,AB是⊙O的切线， .L0BA=90°， :∠A=50°， .∠A0B=180°-90°-50°=40°， 2C=2A0B=20 5.(25-26九年级上广东广州期末)若⊙0的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则 直线AB与⊙O的位置关系是 (填“相交”、“相切”或“相离”) 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系.设⊙0的半径为，圆心O到直线l的距离为d.① 直线I和⊙0相交÷d<r,②直线l和⊙0相切~d=r,③直线l和⊙0相离d>r.据 40/50 此判断即可。 【详解】解：，⊙0的半径为5，圆心0到直线AB的距离为2， ..d<r, 直线与圆相交， 故答案为：相交。 6.(25-26九年级上河北衡水期末)已知⊙0的半径为r,圆心0到直线的距离为4，若直 线与⊙0相离，且r为整数，则r的值可以为 (写出一个即可) 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于 半径得出r<4,再根据r为整数且r>0,即可得出答案. 【详解】：直线1与⊙0相离， ∴.圆心o到直线1的距离d>r.已知d=4, ∴.4>r,即r<4, 又，r为整数且r>0, r可取1,2,3. 故答案为：3 7.(25-26九年级上河南周口·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以点 C为圆心作⊙C,若⊙C与AB相切，则⊙C的半径为_ 【答案】号 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于 圆的半径.也考查了勾股定理.作CD1AB于D,先根据勾股定理计算出AB,再利用等积 法计算出CD,然后根据切线的性质即可得到⊙C的半径长. 【详解】解：作CD⊥AB于D,如图， B ∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=VAC2+BCZ=32+4平=5， 41/50 :S△ABc=ACBC=iAB-CD, cD=-= AB :⊙C与AB相切， ∴CD长为⊙C的半径， 即⊙c的半径长为号 故答案为：号 8.(2025浙江湖州二模)如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切 线，C为切点，连结C0,CD,若LD=25°，则LA的度数为· C B 【答案】40° 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌 握知识点的应用是解题的关键. 由AC是⊙0的切线，则有∠AC0=90°，根据等边对等角得LD=∠0CD=25°，所以LA0C= ∠D+∠0CD=25°+25°=50°，最后通过三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：，AC是⊙O的切线， ..OC I AC, .∠AC0=90°， ,0C=0D, .∠D=∠0CD=25°， ∴.LA0C=∠D+∠0CD=25°+25°=50°， .∠A=40°， 故答案为：40°. 9.(2025山东青岛模拟预测)如图，线段AB长为8，O是AB上一点，且0A=3,以O为 圆心，OA为半径作圆在AB的上方求作点P使得BP相切于⊙O. 42/50 B 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线，以OB为直径作圆，与⊙O在AB上方的交点即 为所求点P. 【详解】解：如图，点P即为所作. 10.(25-26九年级上·西藏拉萨.期末)如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点， 点E在⊙O上，BC L AE,交AE的延长线于点C,BC交⊙O于点F,且点E是DF的中点. (1)求证：AC是⊙O的切线： (2)若LCBD=60,BE=6,求BC的长. 【答案】(1)见解析 23V3 【分析】(1)连接OE,则得LOEB=LOBE,由弧相等得∠CBE=∠OBE,得∠CBE=∠OEB, 得OE IIBC,即可证明： (2)由(1)得∠CBE=30°，从而求得CE,由勾股定理即可求得BC的长. 【详解】(1)证明：连接0E,如图， 0E=0B, ..LOEB=LOBE, ,点E是DF的中点， ..DE =EF, 43/50 ..LCBE LOBE, ∴LCBE=LOEB, ∴.OE II BC, .'BC L AC, ∴.0E1AC, ,OE是圆的半径， ∴.AC是⊙O的切线： (2)解：由(1)知，∠CBE=∠OBE, ∴，LCBE=∠CBD=30°， ..CE=BE=3, .BC L AC, ∴.LC=90°， 由勾股定理得：BC=VBE2-CE2=V62-37=3V3. 【点睛】本题考查了切线的判定，相等的弧对的圆周角相等，含30度角直角三角形的性质， 勾股定理等知识。 11.（25-26九年级上·天津和平.期中)已知AB是⊙0的直径，AT是⊙0的切线，AT=10. B D A 图① 图② (1)如图①，若LATB=45°，求直径AB的长： (2)如图②，点C是0B上一点，若∠ATC=45°，TC与⊙0相交于点D,过点D作弦DE I AT, 与AB相交于点F,DE=12,求AF和直径AB的长. 【答案】(1)10 44/50 (2)AF=4,AB=13: 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是 解决此题的关键.： (1)由题意得∠BAT=90°；推出∠ABT=45°=∠ATB即可求解； (2)连接0D,同理可得AC=AT=10:根据DE II AT,推出AB1DE,即∠CFD=90°；进 而得DF=DE=6=CF,设半径为r,则OF=-4,根据OF2+DF2=OD2,即可求解： 【详解】(1)解：，AT是⊙0的切线， ∴.AB1AT,即∠BAT=90: :LATB=45°， .LABT=45°， .'.AB AT=10; (2)解：连接OD,如图所示： A 图② ,∠ATC=45°，∠BAT=90°： ∴.LACT=45°=LATC, .AC=AT=10: .'DE II AT, .AB⊥DE,即∠CFD=90°： ,LACT=45°， .∠CDF=45°=∠ACT, ∴.CF=DF, ,AB是⊙O的直径，AB1DE, ..DF=DE=6=CF, ..AF=AC-CF=4: 设半径为r,则0F=r-4, 45/50 0F2+DF2=0D2, -4+62=r2,解得：7=号 .AB=2r=13: 12.(2026广东东莞.一模)足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心， 成为全世界情感交流的桥梁.图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何 模型，PA,PB是圆的切线，A,B为切点， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心0（不写作法，保留作图痕迹）： (2)在(1)的条件下，延长B0交射线PA于点C,若PB=6,PC=10,请补全图形，并求0C 的长 【答案】(1)解：点O如图所示： (2)5 【分析】(1)在圆上任取一点D,分别作线段AB,BD的垂直平分线，相交于点O,则O即 为所求， (2)根据题意补全图形，连接A0,结合切线的性质，可得∠CBP=90°，∠0AC=90°，PA= PB=6,则AC=PC-PA=4,由勾股定理得BC=VPC2-PB2=8,设0C=x,则B0= OA=8-x,在Rt△AOC中，由勾股定理得出0A2+AC2=OC2,代入数值求出x的值即可 作答. 【详解】(1)略： 46/50 (2)解：连接A0,如图所示， ,PA,PB是圆的切线，A,B为切点 ∴.LCBP=90°，∠0AC=90°，PA=PB=6, 则AC=PC-PA=4, 在Rt△BCP中，由勾股定理得BC=VPC2-PBZ=8, 设0C=x,则B0=OA=8-x, 在Rt△AOC中，由勾股定理得出OA2+AC2=OC2, 即(8-x)2+42=x2, 解得x=5, .0C=5. 13.(2026湖北武汉模拟预测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙0是△ABC外接圆， 点D是圆外一点，DB是⊙O的切线.连接DO,DO与AB交于点E. (1)求证：∠DBA=∠ACB: (2)若D01AB,BC=2,DE=4,求⊙0的半径 【答案】(1)证明：连接0B,如图所示， B D DB是⊙O的切线， ∴.OB⊥DB, +∠DB0=90°， 47/50 ∴.∠DBA+∠ABO=90° 0B=0A, ·∠AB0=∠BA0, LABC=90°， ∴.∠BA0+∠ACB=90°， ∠AB0+∠ACB=90°， ·∠DBA=∠ACB. 2W5 【分析】(1)利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质通过等量代换推出LAB0+ ∠ACB=90°，根据切线的性质推出LDBA+∠AB0=90°，最后根据等量代换即可证明 ∠DBA=∠ACB. (2)根据中位线定理求出OE的长度，设半径参数T,在Rt△DBE和Rt△DBO中用参数T 构造DB2,利用线段一样式子相等，即可列出关于r的方程，解出即可. 【详解】(1)略 (2)解：D01AB,且经过⊙O, ..BE AB, 、0A=OC, 0B=BC=×2=1. .DO 1 AB, ∴.∠BE0=∠BED=90°， 设⊙O半径0B=T,则在Rt△BE0中，BE2=B02-OE2=r2-1, 在Rt△DBE中，DB2=BE2+DE2=r2-1+16=r2+15. 由(1)问可知，∠DB0=90°， 在Rt△DB0中，DB2=0D2-0B2=(4+1)2-r2=25-r2. .r2+15=25-2, r2=5, r=√5或r=-V5(舍去). ·⊙0半径为v5 【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，中位线定理，是一道圆的综合题，解 48/50 题的关键在于通过勾股定理构造同样线段的式子，将其转化关于半径的方程， 14.(2026广西钦州三模)如图，∠B=∠D=90°，∠1=∠2，AB与CD交于点0，以0为圆 心，OB长为半径作圆. B (1)证明：AC是⊙0的切线： (2)已知BC=6,AB=8,求0C的长. 【答案】(1)证明：过点O作OE1AC,垂足为点B, B ∴.L0EC=∠0EA=90°， ,LB=90°， .∠B=∠0EC=90°， ∠B=∠OEC 在△BOC和△EOC中， ∠1=∠2 0C=0C .△B0C≌△E0C(AAS), ..0B=0E, :0B为半径， ∴.0E为半径， 又，0E1AC, .AC是⊙O的切线： (2)0C=3V5 【分析】(1)过O点作OE⊥AC,垂足为点E,证明△BOC≌△EOC(AAS),推出OB=OE, 49/50 即可证明： (2)设⊙O的半径为T,则0B=OE=r,OA=AB-OB=8-T,由△B0C≌△E0C(AAS) 得BC=CE=6,用勾股定理解Rt△OAE求出r,再用勾股定理解Rt△OBC即可求出OC的 长 【详解】(1)略 (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=BC2+AB2,BC=6,AB=8, ∴.AC=V62+8=10, 设⊙O的半径为r,则OB=OE=T, ..0A=AB-OB=8-r, 由(1)得△BOC兰△E0C(AAS), ..BC CE=6, ,.AE=AC-CE=10-6=4, 在Rt△OAE中，由勾股定理得OE2+AE2=OA2, 即r2+42=(8-r)2, 解得：T=3, 在Rt△OBC中，由勾股定理得0C2=0B2+BC2, 即0C2=32+62=45, .0C=35 50/50 第三十章 直线与圆的位置关系 01讲 直线与圆 题型归纳 【知识点1 直线和圆的位置关系 1】 【知识点2 圆与圆的位置关系 2】 【知识点3 切线 3】 【知识点4 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 3】 【知识点5 切线长 3】 【题型1. 判断直线与圆的位置关系 4】 【题型2. 利用直线与圆的位置关系求半径 6】 【题型3. 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 8】 【题型4. 圆或直线平移问题 9】 【题型5. 圆与圆的位置关系 12】 【题型6. 切线的证明 14】 【题型7. 切线的性质定理 18】 【题型8. 切线的性质与判定综合 21】 【题型9. 切线长定理 27】 【题型10. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 34】 【巩固练习 38】 知识清单 知识点1 直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 2.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 3.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 知识点2 圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点3 切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 【提示】 ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点4 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求.（3） （2） （1） 知识点5 切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 题型专练 题型1. 判断直线与圆的位置关系 【例1】如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴， 根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 【例2】如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，已知O的半径为r，圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 【变式1】已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 【变式2】如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关键．直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可． 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 【变式3】已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 题型2. 利用直线与圆的位置关系求半径 【例1】已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 【变式1】直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2】在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：过M作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，与线段有交点， ∴r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 题型3. 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例1】若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1】已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵ 直线与没有公共点， ∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r， ∵， ∴， 故选：D 【变式2】已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 【变式3】设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解． 【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点， ∴与直线a相离或相切， ∵的半径为4， ∴． 故答案为： 题型4. 圆或直线平移问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【变式2】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【变式3】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 题型5. 圆与圆的位置关系 【例1】两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据圆心距等于两圆的半径的和可得两圆外切，即可求解． 【详解】解：∵两圆的半径分别为和，圆心距为，, ∴这两圆的位置关系为外切. 故选：D． 【例2】已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 【变式1】已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 【变式2】《哪吒之魔童闹海》已经突破百亿票房，剧中太乙真人送哪吒的风火轮可以看成两个等圆，那这两个等圆不可能存在的位置关系是_____． 【答案】内切与内含 【分析】两个等圆半径相等，结合不同位置关系对圆心距与半径的数量关系要求，即可判断不可能存在的位置关系． 【详解】解：设两个等圆的半径都为，两圆圆心距为， 根据两圆位置关系的数量关系， 内切要求圆心距满足，代入得，此时两圆重合，不满足内切的定义， 内含要求圆心距满足，代入得，圆心距为距离不可能为负数，不存在该情况， 外离要求圆心距满足，存在符合要求的圆心距，可成立， 外切要求圆心距满足，存在符合要求的圆心距，可成立， 相交要求圆心距满足，即，存在符合要求的圆心距，可成立， 因此两个等圆不可能存在的位置关系是内切与内含． 【变式3】已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交两圆的性质，分类讨论是解题的关键． 结合已知，分两圆的圆心在弦的同侧和弦的异侧两种情况画出图形，根据勾股定理可得到圆心距的两部分分别是， ，然后根据两圆的位置关系确定圆心距，从而完成解答． 【详解】如图，，，， ∵公共弦长为， ， ， ， ∴①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距， ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距， 故这两个圆的圆心距是或． 故答案为：或． 题型6. 切线的证明 【例1】中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法（证明直线与圆的半径垂直）是解题的关键． 要证明是的切线，需证明圆心到的距离等于半径（或证明）．通过连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． 【详解】证明：连接， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； 【变式1】如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】证明：如图，连接． ，． 又， ．     是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【变式2】已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【变式3】如图，是的内接三角形，是的直径，延长到点D，连接，且，．求证：直线是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质．连接根据等边对等角的性质得到，推出，，再结合三角形内角和定理，得到，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，且是的半径， ∴直线是的切线． 【变式4】已知：如图，两个圆都以O为圆心，点P在小圆上，经过点P，且． 求证：是小圆的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三线合一，切线的判定定理等知识点，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 连接，，，由三线合一可得，然后根据切线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接，，， ，， ， 是小圆的切线． 题型7. 切线的性质定理 【例1】如图，内接于，直线与相切于点B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周角定理是解题的关键． 连接，，先根据切线的性质可得，由可得，由此可以求出的度数，根据角的和差可以求出的度数． 【详解】解：连接，， ∵直线与相切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式1】如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，由切线的性质得，即可计算，再由圆周角定理可得出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【变式2】如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 【变式3】如图，是的直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则________ 度． 【答案】120 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质； 连接，根据切线的性质可得，求出，进而可得，然后可得答案． 【详解】解：连接， ∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 【答案】/20度 【分析】因为点为的切点，连接，得，，可知的度数，根据是的外角，又因为，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点为的切点， ∴是的切点，即有，，且， ∴， 连接，得， ∴，且， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，理解切线的性质，即切点到圆心的连线垂直与切线，垂直为切点，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型8. 切线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 【变式2】如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由E是的中点可得，进而可得．再证，即可求证是的切线． （2）先根据求出，再证，则可得，进而可得，最后再根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵E是的中点， ∴， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是圆的直径， 是的切线； （2）解：在中，， ， 是的切线， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论； （2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）证明： ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解： ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键． 题型9. 切线长定理 【例1】如图，，，是的切线，P，C，D为切点，如果，，则的长为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 由，，是的切线可知，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线， ∴， ∵、为的切线， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 【变式1】如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由、是的切线，得；由、和、分别是的切线，得、；将的周长转化为，再替换为，进一步转化为，结合的长度计算结果． 【详解】解：，分别相切于点， ， ，分别与相切于点， ， 分别与相切于点， ， ． 【变式2】如图，在中，已知，，，则它的内切圆的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】A 【分析】根据是的内切圆添加辅助线，然后，运用勾股定理及圆的切线长定理，再根据，设半径为，得到解方程即可 ． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∴四边形是矩形． 设半径为，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为1． 【变式3】如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若的周长为18，则的长度为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了切线的性质，利用切线长定理是解决问题的关键． 先根据切线长定理得到，，，再利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到，从而得到的长． 【详解】解：∵、分别切于点、，切于点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：9 【变式4】小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 【变式5】如图，，是的切线，，为切点，是的直径． (1)若，的度数是多少？ (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； （2）连接，先根据直角三角形的性质求得，再根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，进而可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理：， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 题型10. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 【例1】尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查直径所对圆周角为，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【详解】解：如图，PA、PB为所作． 理由：以为直径作，与交于，连接，根据直径所对圆周角为，则，由切线的判定定理可知为的两条切线． 【变式1】已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 【变式2】如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）如图，直线为所作． （2）如图，、为所作． 【变式3】如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定． （1）如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，可得为所在圆的圆心． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【详解】（1）解：如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，则为所在圆的圆心． （2）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 理由如下： ∵为直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 巩固练习 1．（2026·湖南怀化·一模）如图，AB是的直径，AC与相切于点A，连接BC交于点D．点E在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线的性质得到，再根据三角形的内角和可知，再由同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是直径，是的切线，A为切点， ∴， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 2．（2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵射线与相切于， ∴， ∵， 在中，， ∴． 3．（2026·河北邯郸·一模）如图，是地球示意图，表示赤道，太阳光线、地平面与相切．某时刻某地纬度，太阳光直射纬度，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用切线性质得到直角，再结合太阳光线平行的条件，通过角度的和差关系推导太阳高度角的度数． 【详解】如图，设切点为，连接， ∵地平面与相切于D， ∴， ∵太阳光线， ∴， ∵，， ∴． 4．（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的性质结合三角形内角和定理求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 6．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查直线与圆的关系，根据直线与圆相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径得出，再根据r为整数且，即可得出答案． 【详解】∵直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离．已知， ∴，即， 又∵r为整数且， ∴r可取1，2，3． 故答案为：3 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径．也考查了勾股定理．作于D，先根据勾股定理计算出，再利用等积法计算出，然后根据切线的性质即可得到的半径长． 【详解】解：作于D，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴长为的半径， 即的半径长为． 故答案为：． 8．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 10．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点C，交于点，且点是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则得，由弧相等得，得，得，即可证明； （2）由（1）得，从而求得，由勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相等的弧对的圆周角相等，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识． 11．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 12．（2026·广东东莞·一模）足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求的长． 【答案】(1)解：点O如图所示： (2)5 【分析】（1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【详解】（1）略； （2）解：连接，如图所示， ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， 解得， ∴． 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，是外接圆，点是圆外一点，是的切线．连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， 是的切线， ， ， ． ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质通过等量代换推出，根据切线的性质推出，最后根据等量代换即可证明． （2）根据中位线定理求出的长度，设半径参数，在和中用参数构造，利用线段一样式子相等，即可列出关于的方程，解出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且经过， ， ， ． ， ， 设半径，则在中，， 在中，． 由（1）问可知，， 在中，． ， ， 或（舍去）． 半径为． 【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，中位线定理，是一道圆的综合题，解题的关键在于通过勾股定理构造同样线段的式子，将其转化关于半径的方程． 14．（2026·广西钦州·三模）如图，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：过点O作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，则，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：在中，由勾股定理得，，， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $