专题2 一元二次方程的解法归类2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 系统整合一元二次方程9类解法，从基础到特殊技巧分层训练，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|4类（直接开平方等）|步骤规范（如配方“化1-移项-配方”）|概念生成→原理推导| |方法应用|2类（指定/适当方法）|策略选择（如因式分解优先于公式法）|解法迁移→综合应用| |特殊技巧|3类（绝对值/换元/平均数法）|转化思想（换元降次、分类讨论去绝对值）|拓展延伸→创新思维|

专题2一元二次方程的解法归类2026-2027学年人教版九年 级数学上册 类型1运用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解方程： (12x-3-4=0: 2)x2+6x+9=7; (3)9x2+5=2; (4)(y+22=(3y 类型2运用配方法解一元二次方程 2.用配方法解下列方程： (1)x2+4x-7=0 (2)xx-7=5x-36 第1页，共1页 (3)3x2-4x-2=0: (4)5x-4x+12=0, (5)川x-32x+1=-5 类型3运用公式法解一元二次方程 3.用公式法解方程： (1)x2-7x-18=0 (2)2x2-7x+7=01 (3)4x2+4x-1=-10-8x' (4)2x(x+3)=x2+2 第2页，共1页 类型4运用因式分解法解一元二次方程 4.用因式分解法解下列方程， (1)xx-3)=2x-6; (2)3x(x-2)=2(2-X (3)1-x2=4x-1); (4)4(x-12-25x2= (5)(2x+12-6(2x+1)+9=0 类型5用指定方法解方程 5.按要求解方程： (1)3(2x-12-12=0直接开方法： (2)2x2-4x-7=0配方法： 第3页，共1页 (3)x2+x-1=0(公式法)： (4)(2x-12-x2=0因式分解法： (5)3x(x-1)=2(x-1)(适当方法： (6)x2+10x+16=0(适当方法)： 类型6用适当方法解方程 6.用适当方法解方程. (1(3x+2)2=25 (2)x2+2x-5=0 (3)2x2+5x+1=0 (4)(2x+32=(3x+22: (5)(2x+12=3(2x+1): (6)2x(x+3)=x2-9 第4页，共1页 类型7解含绝对值的一元二次方程 7.阅读下面的例题与解答过程： 例解方程：x2-x-2=0 解：当x≥0时，原方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意，舍去： 当x<0时，原方程可化为x2+x-2=0,解得x=1,x2=-2(不合题意，舍去： :原方程的解是x,=2:X2=-2 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值·这是解决数学问题的一种重要思 想---分类讨论请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)x2-2x|=0 (2)x2-2x-4|x-1-4=0 第5页，共1页 类型8用换元法解一元二次方程 8.阅读下面的材料： 解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,那么x4=y2, 于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4 当y=1时，x2=1,.x=±1； 当y=4时，x=4,∴.x=±2 ·.原方程有四个根：X,=1,X=-1!X3=2:X4=-2 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问 题 (1)解方程：(X2+x2-5(x2+x)+4=0 第6页，共1页 (2)解方程：4(x2+x2-4x+x)-3=0 9.阅读材料，解答问题， 解方程：(4x-1}-10(4x-1)+24=0. 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y2-10y+24=0, 解得y1=6,y2=4. 第7页，共1页 .4x-1=6或4X-1=4 1 x=4,=4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=0 2)(x2-2x2-5x2+10x-6=0 第8页，共1页 类型9用平均数法解一元二次方程 10.【提出问题】在上次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来. (50-2x)40-2x)=936 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程. 如：解方程x(x+4)=6」 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,(x+22-2=6,（x+2}=6+2,(x+22=10. 直接开平方并整理，得x,=-2+V10'x2=-2-10: 我们称这种解法为“平均数法”. (1)下面是用“平均数法”解方程(x+2川x+6)=5时写的解题过程. 第9页，共1页 解：原方程可变形，得 [(x+▣)-O][(x+口)+O]=5 (x+▣2-O2=5'(x+口2=5+O2. 直接开平方并整理，得X1=☆，2=⑧ 上述过程中的“口”，“”，“女”，“⑧”表示的数分别为 (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：(x+3(x-1)=5: (3【问题解决】请用“平均数法”解方程：(50-2x)(40-2x)=936: 第10页，共1页 答案和解析 1.【答案】【小题1】 整理，得2x-3-4 :2x-3=±2 1 4 【小题2】 写成平方的形式，得x+32=7. ∴.x+3=±V7 .x1=-3+V7?x2=-3-V7 【小题3】 9x2=-3 “8方 ·方程无实数解。 【小题4】 开方，得y+2=±(3y-1). y+2=3y-1或y+2=-(3y-1) 4 第11页，共1页 2.【答案】【小题1】 解：X,=-2+x2=-2-面 【小题2】 解：X1=X2=6: 【小题3】 解：24画， 2-V10 3，X2= 3 【小题4】 解：该方程无实数根； 【小题5】 解：X, 3.【答案】【小题1】 .a=1'b=-7?c=-18' ∴.4=(-72-4×1×(-18)=121>0' x=-b±v6-4ac-(-7)±1217±11， 2a 2×1 2 即x1=9,X2=-2. 【小题2】 .a=2’b=-7’c=7 第12页，共1页 .∴.△=(-72-4×2×7=-7<0' .方程没有实数根. 【小题3】 方程整理得4x2+12x+9=0, .∴.a=4'b=12’c=9' ∴.4=122-4×4×9=0 b123 x1=x,=202×42 【小题4】 方程整理得x2+6x-2=0, ∴.a=1’b=6’c=-2' .△=62-4×1×(-2)=44>0' x=-b±vb2-4ac=-6±v4.-3tm 2a 2 ∴.x1=-3+V11’x2=-3-V11 4.【答案】【小题1】 移项，得x(x-3)-2x+6=0, 因式分解，得x(x-3)-2(x-3)=0, 即x-3(x-2)=0, 第13页，共1页 x-3=0或x-2=0, ∴.X1=3’X2=2 【小题2】 移项，得3x(x-2)-2(2-x)=0, 因式分解，得x-23x+2)=0, X-2=0或3x+2=0: 2 X1=2,X=- 【小题3】 移项，得1-x2-4(x-1)=0, 因式分解，得(1+x)(1-x)+4(1-x)=0, 即(1-x)(1+x+4)=0, 1-x=0或5+x=0? ∴.X1=1’x2=-5 【小题4】 因式分解，得[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x]=0, 即(7x-2(-3x-2)=0, ∴.7x-2=0或-3x-2=0 第14页，共1页 2 【小题5】 因式分解，得2x+1-32=0, 即(2x-22=0,∴.2x-2=0,∴.X1=X2=1. 5.【答案】x=房X= x=2+3V 2 ,飞2-32 2 水，=1+5 2,=1-5 2 x宁 6号 X1=-2,X2=-8 【解析】(1)3(2x-12-12=0, (2x-12=4' 2x-1=2’2x-1=-2' 解得多名= (2)2x2-4x-7=0' 第15页，共1页 X2-2x+1=2+1, 2 x--多 1=t3 X=2+32, P x=2-3v2: 2 (3)x2+x-1=0' △=1+4=5>0' x=1±5 2 x=15x=1,5 2 2 (4)(2x-12-x2=0 (2x-1+x)2x-1-x=0' 3X-1=0’X-1=0' 1 x3X=1 (5)3x(x-1)=2(x-1) 3xx-1)-2(x-1)=0' 第16页，共1页 (x-1)(3x-2)=0’ 1 (6)x2+10x+16=0' x2+10x+25=9' (x+52=9 x+5=±3’ X1=-2?X2=-8 6.【答案】【小题1】 1或一子 解：对(3x+22=25两边开平方， 得3x+2=±5， 解方程3x+2=5,得x=1, 解方程3x+2=-5,得x=- 3 方程的解为x,=1或x2=一3} 【小题2】 第17页，共1页 x1=-1+V6’X2=-1-V6 解：x2+2x-5=0, x2+2x+1-1-5=0' x2+2x+1=6' (x+12=6 ∴.x+1=±V6' .x=-1±V6, .x1=-1+V6’x2=-1-V6 【小题3】 x,=5四，x,=5+亚 4 4 解：在方程2x+5x+1=0中， a=2'b=5'c=1'△=b2-4ac=52-4×2×1=17' x=-5±V17 4 x1=-5亚x,=-5+亚 4 4 第18页，共1页 【小题4】 X1=-1’X2=1 解：(2x+32=(3x+2, (2x+3)2-(3x+22=0' [2x+3)+(3x+2)][2x+3)-(3x+2)]=0' (5x+5)(-x+1)=0' .5x+5=0或-x+1=0' ∴.X1=-1’X2=1 【小题5】 1 x=-2水=1. 解：原方程可变形为：(2x+1-3(2x+1)=0, 则2x+1)(2x+1-3)=0, ∴.（2x+1)(2x-2)=0' 【小题6】 第19页，共1页 X1=X2=-3· 解：原方程移项得2xx+3)-(x+3(x-3)=0, (x+3)(2x-x+3)=0' (x+3)(x+3)=0' .X1=X2=-3 7.【答案】x1=0,x2=2,X3=-2: X2=6,X3=-4 【解析】(1)当x<0时，x2+2x=0,解得x3=-2,x4=0(舍去)： 当x≥0时，x2-2X=0,解得X1=0,x2=2; :.原方程的解为x,=0:X=2'x3=-2 (2)当x≥1时，X2-2x-4x+4-4=0' 即x2-6x=0, 解得x1=0(舍去)，x2=6, 当x<1时，x2-2x+4x-4-4=0, 即x2+2x-8=0, 第20页，共1页 解得x=-4,x4=2(舍去)， :.原方程组的解为x,=6?X,=-4:· 8.【答案】【小题1】 设y=x+x,原方程可化为y-5y+4=0, 解得y1=1,y2=4. 当x2+x=1,即x2+x-1=0时， 解得x=1±V⑤ 2 当x2+x=4,即x2+X-4=0时， 解得x=1±17 2 综上所述，原方程的解为x,=-15,X ,5=:亚，亚 2’ 2 【小题2】 设x+x=y,原方程可变为4y-4y-3=0, 解得=是=2 当y=时，+x多 解得x,7-1 2,1 2 即(x+号+0，此时方程无实数根。 第21页，共1页 六原方程有两个根：X=二7- 2 ,7-1 2 9.【答案】【小题1】 解：设x2=y,则原方程化为y-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2=3, ∴.X=±3 当y=-2时，x=-2,无实数解. 原方程的解为x,=√3x=-V3 【小题2】 设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x2-2x=6, 解得x,=1+V7x=1-7 当y=-1时，x2-2x=-1, 解得X3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x,=1+V7X,=1-√7？x=x4=1 第22页，共1页 10.【答案】4,2，-1，-7： X1=2,X2=-4: X1=38,X2=7 【解析】(1)原方程因式分解可得[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, ∴.(x+4)2-4=5' ∴.(x+4)2=9 x+4=3或x+4=-3, 解得x1=-1,2=-7. :上述过程中的“口”，“0”，“女”，“⑧”表示的数分别为4：2.-1-7 故答案为：4,2.-1，-7： (2)原方程分解因式可得：[(x+1)+21[(x+1)-2]=5' ∴.(x+12-4=5' ∴.(x+1)2=9' ..x+1=3’x+1=-3 解得X1=2,X2=-4； 第23页，共1页 (3)(50-2x)(40-2x)=936' ∴.(2x-50)(2x-40)=936’ ∴.[(2x-45)-5][(2x-45)+5]=936' ∴.(2x-452-25=936' ∴.(2x-452=961' .∴.2x-45=31’2x-45=-31' .∴.X1=38’X2=7 第24页，共1页