第一章勾股定理单元学情调研试题 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本单元学情调研试题以勾股定理为核心，通过选择、填空、解答题的梯度设计，覆盖概念验证、实际应用及综合探究，体现从基础巩固到能力提升的分层路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理概念与验证|如第1题图形验证辨析，第11题直角三角形距离计算，强化概念理解| |中档|实际情境应用|如第5题梯子问题、第6题折断树问题，结合生活场景培养几何直观| |综合|综合探究与证明|如25题赵爽弦图推导、20题台风路径分析，发展推理能力与模型意识|

第一章勾股定理单元学情调研试题 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列选项中图中三角形都是直角三角形，不能用来验证勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 2.数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学利用纸板拼出如图所示的图形，并借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，，，在同一直线上，设，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 3.如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 4.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，则小巷的宽度为(    ) A. B. C. D. 6.如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵大树折断前的高度为(    ) A. B. C. D. 7.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点，顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为(    ) A. B. C. D. 8.如图，有一个直角三角形纸片，，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，工人把一个长的梯子靠在墙上，底端距离墙根，顶端靠墙，如果梯子的顶端下移，则梯子的底端向外移动(    ) A. B. C. D. 10.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管外表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在中，，，，则点到的距离为          ． 12.如图，在中，，，，，则的度数为        ． 13.小红同学先朝正东方向行进了，再朝正北方向行进了，此时小红离出发点的距离是          ． 14.如图，在中，已知，，，、、是在内部的矩形，它们的一个顶点在上，一组对边分别在上或与平行，另一组对边分别在上或与平行．若各矩形在上的边长相等，矩形的一边长是，则这样的矩形、、的个数是______． 15.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面          填“合格”或“不合格” 16.笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点在同一直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线           千米． 17.如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长、高的台阶上铺设红色地毯已知台阶宽为，则共需买          的红地毯． 18.如图，圆柱底面的周长为，高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长最小为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 20.一艘轮船以海里时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以海里时的速度由南向北移动距台风中心海里的圆形区域包括边界都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向海里处，如果这艘轮船继续航行，小时后，会不会遇到台风请说明理由． 21.勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． 如图，这是美国第任总统詹姆斯加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． 如图，在中，，垂足为，求的长． 22.为了绿化环境，我区某中学有一块四边形空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，。 求空地的面积 若每种植的草皮需要元，问总共需要多少元 23.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某些原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． 是否是从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； 原路比新路多多少千米？ 24.如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为米，管道分叉口与之间的距离为米，于点，到的距离为米，假设所有管道的材质相同． 求，之间的距离； 珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 25.【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． 已知：在中，，，，求证：． 证明：由图可知正方形正方形． 正方形          ，          ，正方形          ， ，化简得． 【深入思考】如图，用两个中的直角三角形拼成一个梯形求证：． 【实际应用】将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图所示的风车．若，，风车外围轮廓实线部分的总长度为，求这个风车图案的面积． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 合格  16.   17.   18.   19. 解：连接． ，，， 在中，． ，是直角三角形，且．  20. 会遇到台风理由如下： 如图所示，线段表示台风中心经过的路径，线段表示轮船航行的路径． 由题意，得海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得， 即海里． 所以轮船会遇到台风．   21. 【小题】 解： ， 整理得： 【小题】 解：设 和都是直角三角形 在中， 在中， ，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得．  22. 【小题】 解：如答图，连接。 在中，，，，。。。 空地的面积为。 【小题】 总共需要元。   23. 【小题】 解：是从村庄到河边最近的路．  理由：在中，千米，千米，千米，，是直角三角形，垂线段最短，是从村庄到河边最近的路． 【小题】 ，设千米，  则千米．  在中，由勾股定理，得  ，  即，  解得，千米，原路比新路多千米．  24. 【小题】 解：， ． 在中，， 由勾股定理得， 即，之间的距离为米； 【小题】 解：珍珍的观点正确，过程如下： 由得， ． 在中， 由勾股定理得． ，，， ， ，即， 是垂线段， 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．  25. 【小题】   【小题】 证明：梯形， 即，  化简得． 【小题】 解：如图． 由题意设，则  在中，，  即，解得风车的面积为：．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $