专题10变量与函数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学变量与函数核心知识点，从常量与变量概念出发，深入理解函数“唯一确定”的对应关系，系统梳理解析式、列表、图象三种表示方法，通过十二类分层题型构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以神舟飞船燃料消耗、机器人搬运等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过“唯一对应”判断等逻辑分析发展数学思维，三种表示方法转化强化数学语言表达。课中助力分层教学实施，课后通过拔高题和综合应用帮助学生查漏补缺。

专题10变量与函数精讲学案 核心立意 认识变化过程中的常量与变量，理解函数概念，抓住“唯一确定”的核心对应关系，能区分自变量、求出函数值，认识函数的三种表达形式，初步建立变量对应的模型思想。 常量与变量的概念 ①在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量； ②在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； ③常量、变量依附于指定变化过程，过程改变，属性可能发生变化。 函数的定义 ①一个变化过程含有两个变量x、y； ②对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； ③x叫做自变量，y是x的函数；和x对应的y值称为函数值。 函数的三种表示方法 ①解析式法：用代数式表示变量之间的关系； ②列表法：用表格呈现自变量和对应函数值； ③图象法：用平面图形反映变量对应关系；三种表达方式之间可以相互转化。 自变量的取值范围 ①取值要让代数式本身有意义； ②实际问题中，自变量取值必须符合现实情境； ③剔除使式子无意义、不符合实际的数值。 ①判定函数的核心：自变量确定，函数值唯一对应，一对多的对应关系不是函数； ②常量不局限于数字，固定不变的字母也属于常量； ③分清自变量与函数，区分主动变化、被动对应关系； ④实际问题求自变量范围，不能只看代数式，必须结合实际意义。 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 函数解析式 ★ 题型三 求自变量的取值范围 ★★ 题型四 求自变量的值或函数值 ★ 题型五 用表格表示变量间的关系 ★ 题型六 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型七 用图象表示变量间的关系 ★ 题型八 函数图象识别 ★★ 题型九 从函数的图象获取信息 ★★ 题型十 用描点法画函数图象 ★ 题型十一 动点问题的函数图象 ★★★ 题型十二 函数的三种表示方法 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：函数的概念 解题思路：①找准变化过程中的两个变量；②依据函数定义判断：对于自变量x每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应；③牢记：一对一、多对一是函数，一对多不是函数；④区分常量、变量、自变量与函数。 1．神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【详解】解：由题意，燃料的体积随飞船飞行高度的增加而减少，即燃料体积随飞行高度的变化而变化．主动发生变化的量是飞船的飞行高度，即自变量是飞船的飞行高度． 2．下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【答案】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间的每一个确定的值，气温都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 对于正方形边长的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 由题意可得，当时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示是的函数的是． 3．下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   【答案】C 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A和B，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有两个值与其对应，故A和B不符合题意； C，能表示是的函数，故C符合题意； D，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有多个值与其对应，故D不符合题意． 题型二：函数解析式 解题思路：①审题找出题目蕴含的等量关系；②用含自变量x的代数式表示因变量y；③整理成y=代数式的标准形式；④检验：任意给定一个x，验证y是否唯一确定。 4．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 【答案】 【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为36cm，其中一边长为， ∴另一边长为， ∵面积为， ∴． 5．一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求解． 【详解】∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的水量为升， 又∵剩余水量总水量流出水量，总水量为升， ∴． 6．在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（）和搬运货物的重量y（）记录如下表： 搬运时间x（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量y（） 160 250 340 430 … 则y与x之间的关系式为________． 【答案】 【分析】观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加90千克，据此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加90千克， ∴. 7．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 题型三：求自变量的取值范围 解题思路：①先根据代数式本身要求列限制条件：分式分母≠0，二次根式被开方数≥0；②若是实际问题，自变量取值要符合现实意义（长度、人数非负等）；③联立条件，取公共解集，写出取值范围。 8．函数的定义域是_____． 【答案】 【分析】根据分母不为零即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 9．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 10．如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，将代入，可得到关于的一元一次不等式组，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 ， 将代入，得 ， 解不等式组，得 ． 11．若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于以及分式有意义的条件，进行计算即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：根据题意可知且， ， 解得：， 在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型四：求自变量的值或函数值 解题思路：①已知自变量求函数值：直接将自变量数值代入解析式计算；②已知函数值求自变量：把函数值代入解析式，解方程；③检验解是否在自变量取值范围内，舍去不合理解。 12．在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 【答案】 【分析】将代入给定的气温与海拔的关系式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得． 13．已知因变量是自变量的函数，且因变量的值随自变量的增大而减小，对于任意两个自变量、，对应的函数值为，对应的函数值为．若，则（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由因变量的值随自变量的增大而减小，，从而判断． 【详解】解：∵因变量的值随自变量的增大而减小，， ∴． 14．为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 【答案】 【分析】根据分段函数以及自变量取值范围，求出函数值． 【详解】解：根据题意得，当时，（元）． 15．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 题型五：用表格表示变量间的关系 解题思路：①先分清表格中自变量和因变量；②读取表格中两组变量的对应数据；③观察数据变化规律；④利用表格对应值求值、比较大小或预测变化趋势 16．为了提高学生劳动能力，某校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数（人）的变化关系如表所示： /（人） … /（棵） … 观察表中数据可知，当该班参与栽种幼苗活动的人数为人时，栽种幼苗的总数量为______棵． 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据归纳数量关系并解决实际问题，解题的关键是找出栽种总数量与参与活动人数的对应规律． 【详解】解：观察表中数据可知， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 这容易看出，栽种的幼苗总数量是参与活动人数的倍，那么它们的关系式就可以表示为， 当栽种幼苗活动的人数为人时，即，可求得， 栽种的幼苗总数量为棵． 17．地表以下岩层的温度y（单位：）随着所处深度x（单位：）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系： 1 2 3 4 55 90 125 160 根据表格数据，估计该地地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为________． 【答案】7 【详解】解：观察表格可知，地表以下岩层的深度每增加，温度增加， ∴当该地地表以下岩层的温度为时，，解得； 故岩层所处的深度为. 18．在一次实验中，小明同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的几组对应值如表格所示，下列结论中，错误的是（     ） 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 A．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长 B．不挂物体时，弹簧长 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的函数关系，再逐一判断选项，找出错误结论即可． 【详解】解：观察表格可知，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加，当时，，因此可得函数关系式为． A、由得y随x的增大而增大，即弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长，故本选项结论正确； B、当时，，故不挂物体时弹簧长，故本选项结论正确； C、当时， ，故当所挂物体的质量为时，弹簧长度是，故本选项结论错误； D、当时，，解得，故当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是，故本选项结论正确． 题型六：用关系式表示变量间的关系 解题思路：①分析题意，找出等量关系式；②变形等式，将因变量单独放在等号左侧；③规范写出函数关系式；④补充标注自变量的取值范围。 19．语文老师布置同学们暑假阅读《红楼梦》．小明暑假前已经阅读了8页，暑假期间每天阅读10页，则他阅读的总页数y（页）与暑假期间阅读的天数x（天）之间的函数解析式为________（无需写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】总阅读页数等于暑假前已读页数加上暑假天阅读的总页数，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：∵ 暑假前已阅读页，暑假每天阅读页，阅读天数为天， ∴ 暑假期间阅读的总页数为页， 总阅读页数，整理得． 20．某市居民用电价格是元千瓦时，居民应付电费为元，用电量为千瓦时，其中（     ） A．，是常量，是变量 B．是常量，，是变量 C．，是常量，是变量 D．，是常量，是变量 【答案】B 【分析】根据常量和变量的定义判断，常量是数值固定不变的量，变量是数值发生变化的量，据此区分各量即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，用电价格元/千瓦时是固定不变的数值，用电量可以取不同的值，应付电费随的变化而变化， ∴是常量，是变量． 21．如图，每张小纸带的长为，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为，用x张这样的小纸带粘贴成的纸带总长度，则y与x之间的关系式是____． 【答案】 【分析】用小纸带的总长度减去重叠部分的总长度即可. 【详解】解：由题意，. 22．某快递公司同城快递的收费标准如下（质量不足按计）： 质量/kg 1 2 3 4 5 费用/元 10 12 14 16 18 则与的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将表格中第一组代入各选项验证： 代入选项A：，排除A； 代入选项B：，排除B； 代入选项C：，符合，再验证其他点： 时，，时，，均符合表格数据； 代入选项D：，排除D； 与的关系式为． 题型七：用图象表示变量间的关系 解题思路：①明确横坐标轴表示自变量，纵坐标轴表示因变量；②理解图象上任意一点(x,y)代表一组变量对应值；③结合实际情境读懂点、线段的实际含义。 23．如图表示青蛙某次跳跃高度随跳跃的水平距离的变化情况．则图中的点表示的意义为____________． 【答案】青蛙落地时跳跃的水平距离 【分析】根据横纵坐标表示的意义进行作答即可； 【详解】解：由图可知，点表示的意义为青蛙落地时跳跃的水平距离. 24．张老师每天晚饭后都会去散步．某天晚饭后，他慢步到附近的书店，在书店里看了一会儿书后，因家中有事，快步走回家．下面能反映张老师当天离家距离与时间的关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象分段分析即可得出答案． 【详解】解：图象第一段：张老师从家慢步到附近的书店，张老师离家的距离y随着时间x的增大而增大；并且因为是慢步，所用时间相对较长；图象第二段：在书店看了一会儿书没有移动距离，因此张老师离家的距离y随着时间x的增大而不变；图象第三段：快步走回家，张老师离家的距离y随着时间x的增大而减小；并且因为是快步，所用时间相对较短．故B图象符合要求． 25．在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为．给出下列四个结论：①当时，；②当时，y随x的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．其中，正确的是_______ （填序号）． 【答案】 ②④ 【分析】根据图象在x轴上方的部分，即为，再确定自变量取值范围解答①；然后根据图象的增减性解答②；画出函数的图象，结合与原图象的交点个数解答③；最后根据图象与x轴的交点，再结合平移的性质解答④即可． 【详解】解：观察图象可知当或时，，则①不正确； 当时，y随着x的增大而增大，则②正确； ∵点， ∴点M在函数的图象上， 如图所示，由图象可知的图象与原图象有3个交点， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，则③不正确； 由条件可知将函数图象向右平移2个或4个单位长度，原图象上的点与原点重合，即经过原点，则④正确， 所以正确的有②④． 26．下列四个生活中的情景： （1）小明朝正上方抛出一个小球，小球离手的高度与运行时间的关系 （2）一定长度的弹簧挂上物体后的长度与所挂物体的重量之间的关系 （3）匀速行驶的汽车，油箱内的油量与行驶时间之间的关系 （4）商店内钢笔的单价不变，小明买钢笔要付的总钱数与他买的钢笔数之间的关系 下面坐标系内的四个图像与上面四个情景顺序对应正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一分析四个情景的函数图像特征并匹配图像即可． 【详解】解：情景（1）：竖直上抛的小球，高度随时间先上升到最高点、再下落，运动轨迹是开口向下的抛物线，对应图像； 情景（2）：弹簧总长度弹簧原长伸长量，是有初始长度的向上的射线，对应图像； 情景（3）：匀速行驶的汽车油耗均匀，油箱油量随时间匀速减少，是向下的一条线段，对应图像； 情景（4）：钢笔数量是正整数，总钱数与数量成正比例关系，是上升的点，对应图像； 因此四个情景的对应顺序为． 题型八：函数图象识别 解题思路：①利用竖线检验法判断：作垂直于x轴的直线，若直线与图象最多只有1个交点，则是函数图象；②核心检验：一个x只能对应唯一的y，排除一对多的图象。 27．某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有油，到乙地后发现油箱中还剩油．则油箱中所剩油（）与时间（）之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将行程分为行驶、休息、行驶三段，分析每段油量随时间的变化趋势，并结合终点剩余油量确定图象特征． 【详解】解：∵某人驾车匀速从甲地前往乙地， ∴出发后油箱中的油量随时间的增加而均匀减少，图象为下降的线段； ∵中途停车休息了一段时间， ∴休息期间时间增加，但油量不变，图象为平行于轴的线段； ∵休息后继续前往乙地， ∴油量继续随时间的增加而减少，图象为下降的线段，且与休息前的线段平行； ∵ 到乙地后发现油箱中还剩油， ∴ 图象终点的纵坐标为，即终点在直线上； 观察选项，只有C选项符合题意． 28．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 29．下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作轴的垂线，若垂线与图象有且只有一个交点，则图象表示是的函数，否则不是，由此逐项判断即可． 【详解】解：作轴的垂线，如图所示： ， 由上述可知，垂线与图象有且只有一个交点的图象是第一、二个图象的，即题中图象表示是的函数只有个． 题型九：从函数的图象获取信息 解题思路：①先读懂横、纵坐标各自代表的实际意义；②定位关键点：起点、终点、拐点、交点；③读取坐标数值，结合题干情境解释含义、计算、比较。 30．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元． 【答案】7.49 【详解】解：根据题意，这种汽油的单价是每升（元）． 31．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长最短的节气是（     ） A．春分 B．小满 C．立秋 D．大寒 【答案】D 【详解】解：观察图象的纵坐标（白昼时长/小时）可知，大寒：白昼时长介于小时和小时之间，春分、小满、立秋：白昼时长均大于小时， ∴选项中白昼时长最短的节气是大寒，对应选项D． 32．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 【答案】5或7或11.5 【分析】首先求出小丽的速度和小红的速度，分别求出当小红到达小丽家时和当小红到达公园时，可得当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况，然后分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】解：由图象得，小丽家到公园距离米，小丽从家到公园用时12分钟， ∴小丽的速度为（米/分）， 由图象得，小红家到小丽家距离600米，小红从家到小丽家用时2分钟， ∴小红的速度为（米/分）， 小红到达公园的时间是：（分钟）， 当，即小红到达小丽家时，两人相距：（米）， 当，即小红到达公园时，两人相距：，（米）， ∴当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况， 当时，小红从小丽家走到公园， 此时，解得：或7； 当时，小红到达公园，小丽还在到达公园的路上， 此时，解得：， 综上所述：小红距离小丽100米时，5或7或11.5． 33．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ）． A．当的面积为时，或 B． C．若，则对应个不同的值 D． 【答案】A 【分析】选项D、根据点在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B、当点在图1中到达点处时，对应图2中的点，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C、分点在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的值，即可判断； 选项A、分点在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即4， 当点在图1中到达点处时，对应图2中的点， ， ， ， 选项D正确； 当点在图1中到达点处时，对应图2中的点， 即， ， ， 选项B正确； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点在上运动，对应图2中点右侧的线段， 过点作于点， ， ， 当点在点的左侧时，， ， 此时； 当点在点的右侧时，同理可得， ， 此时， 综上所述，值有4个， 选项C正确； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为时，，解得； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时， ， 解得； 当的面积为4时，或， 选项A错误． 题型十：用描点法画函数图象 解题思路：①遵循三步法：列表→描点→连线；②列表选取合适、易计算的自变量值，算出对应函数值；③在坐标系描点，按自变量顺序平滑连线；④注意空心圈、实心点区分能否取到该数值。 34．试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 【答案】 高 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 【详解】解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 35．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 36．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 题型十一：动点问题的函数图象 解题思路：①按动点运动路径划分不同运动阶段；②分析每个阶段自变量与因变量的增减、不变规律；③结合变化趋势排除错误选项，匹配符合题意的函数图象。 37．如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 【答案】C 【分析】根据题意，先求出当点P在上运动时的面积即a的值，再根据点沿运动到D时的路程来求b的值即可． 【详解】解：当点P在上运动时， ∴， 由图知，点P沿运动到D时，路程为． ∴， ∴． 38．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 【答案】 8 26 【分析】根据图象可知，，根据三角形的面积公式求出的长，再根据梯形的面积公式求出梯形的面积即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点运动到点时， ， ∴， 当点在上运动时，的面积保持不变， 由图象可知，， ∴梯形的面积为. 39．周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C．D． 【答案】A 【分析】如图：应根据每个时间段小明离家的距离变化情况，进行思考．其中段表示小明离家的距离保持不变，据此即可解答． 【详解】解：根据图像得到，段S随时间t的增大而增大，因而到家的距离增大；段距离不变，说明这段所走的路线到家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆；段S随时间t的增大而减小，因而到家的距离减小，即选项A符合题意． 40．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 题型十二：函数的三种表示方法 解题思路：①牢记三种表达形式：解析式法、列表法、图象法；②掌握三种形式之间的相互转化；③根据问题需求，合理选择合适的表示方法，理解各自优缺点。 41．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 【答案】52 【分析】本题考查一次函数的应用． 根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和min时的温度. 【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高（℃）， min时的温度是（℃）. 故答案为：. 42．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 43．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 解答题 1．周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 【答案】(1)自变量是时间，因变量是离家距离 (2)分钟 (3)小明的家距离体育馆1500米 (4)小明在等红绿灯前的速度为120米/分 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，小明等待红绿灯花了（分钟）； （3）略 （4）解：（米/分）， 答：小明在等红绿灯前的速度为120米/分． 2．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 【答案】(1)行驶的路程x，油箱内剩余的油量y (2)，的取值范围为 (3)油箱内剩余的油量是升 【详解】（1）解：上述两个变量中，自变量是行驶的路程x，因变量是油箱内剩余的油量y； （2）解：根据题意得，， 令，即，解得； ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，（升）， 即油箱内剩余的油量是升． 3．天安门广场升旗仪式，震撼着每一个中国人的心，其中一个重要环节是国旗护卫队从天安门城楼拥护五星红旗齐步走至金水桥南侧，改为正步行进96步（代表着960万平方公里步幅可以测量），来到升降国旗区．这一段路程中要求正步的步幅不多不少，每一步都必须高度精确．护旗手离升降国旗区的距离与所走正步数（步）之间有下表所示的关系： (1)求护旗手每一步的步幅和金水桥南侧到升降国旗区的距离； (2)当护旗手正步行进至第16步时，护旗手距离升降国旗区的距离是多少？ 【答案】(1)护旗手每一步的步幅为，金水桥南侧到升降国旗区的距离 (2)当护旗手正步行进至第步时，护旗手距离升降国旗区的距离是 【分析】（1）先计算出每一步的步幅，结合题意即可得出金水桥南侧到升降国旗区的距离； （2）根据表格数据得出与的关系，代入，即可求解． 【详解】（1）解：每一步的步幅为， 金水桥南侧到升降国旗区的距离为， 所以护旗手每一步的步幅为，金水桥南侧到升降国旗区的距离． （2）解：由（1）可得与的关系， 当时， 所以当护旗手正步行进至第步时，护旗手距离升降国旗区的距离是． 4．在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0 0 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象； (2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． (3)根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为________（精确到），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为________（精确到）． 【答案】(1)与，与，与之间的关系如图所示： (2)2；1；3 (3)； 【分析】（1）根据表格数据描点、连线画出和图象； （2）根据函数图象趋势逐一判断即可； （3）观察图象得到时，，进而求出此时的值，根据三个杯子的总量得到三个杯子水面高度相同时的值． 【详解】（1）略； （2）解：第一个杯子是上下一样宽，则随匀速增大，故为2号杯； 第二个杯子是下窄上宽，则变化先急后缓，故为1号杯； 第三个杯子是下宽上窄，则变化先缓后急，故为3号杯； （3）解：由图可知，当时，， 则1号杯的水面高度约为， 经过操作后，三个杯子中的水面高度相同，即高度为：． 5．如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． (1)_____，_____； (2)当时，求的值； (3)如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，根据三角形的面积公式列方程求解即可； （3）连接，，利用垂直平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点在边上运动时， 面积为， 解得， 点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度． ； （2）当时，有两种情况： 当点在边上时，， 解得， 当点在边上时，， 解得， 综上可知，的值为或； （3）如图，连接，， 点在线段的垂直平分线上， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10变量与函数精讲学案 核心立意 认识变化过程中的常量与变量，理解函数概念，抓住“唯一确定”的核心对应关系，能区分自变量、求出函数值，认识函数的三种表达形式，初步建立变量对应的模型思想。 常量与变量的概念 ①在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量； ②在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； ③常量、变量依附于指定变化过程，过程改变，属性可能发生变化。 函数的定义 ①一个变化过程含有两个变量x、y； ②对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； ③x叫做自变量，y是x的函数；和x对应的y值称为函数值。 函数的三种表示方法 ①解析式法：用代数式表示变量之间的关系； ②列表法：用表格呈现自变量和对应函数值； ③图象法：用平面图形反映变量对应关系；三种表达方式之间可以相互转化。 自变量的取值范围 ①取值要让代数式本身有意义； ②实际问题中，自变量取值必须符合现实情境； ③剔除使式子无意义、不符合实际的数值。 ①判定函数的核心：自变量确定，函数值唯一对应，一对多的对应关系不是函数； ②常量不局限于数字，固定不变的字母也属于常量； ③分清自变量与函数，区分主动变化、被动对应关系； ④实际问题求自变量范围，不能只看代数式，必须结合实际意义。 题型 考察方向 难度 题型一 函数的概念 ★ 题型二 函数解析式 ★ 题型三 求自变量的取值范围 ★★ 题型四 求自变量的值或函数值 ★ 题型五 用表格表示变量间的关系 ★ 题型六 用关系式表示变量间的关系 ★★ 题型七 用图象表示变量间的关系 ★ 题型八 函数图象识别 ★★ 题型九 从函数的图象获取信息 ★★ 题型十 用描点法画函数图象 ★ 题型十一 动点问题的函数图象 ★★★ 题型十二 函数的三种表示方法 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：函数的概念 解题思路：①找准变化过程中的两个变量；②依据函数定义判断：对于自变量x每一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应；③牢记：一对一、多对一是函数，一对多不是函数；④区分常量、变量、自变量与函数。 1．神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 2．下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 3．下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   题型二：函数解析式 解题思路：①审题找出题目蕴含的等量关系；②用含自变量x的代数式表示因变量y；③整理成y=代数式的标准形式；④检验：任意给定一个x，验证y是否唯一确定。 4．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 5．一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 6．在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（）和搬运货物的重量y（）记录如下表： 搬运时间x（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量y（） 160 250 340 430 … 则y与x之间的关系式为________． 7．如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 题型三：求自变量的取值范围 解题思路：①先根据代数式本身要求列限制条件：分式分母≠0，二次根式被开方数≥0；②若是实际问题，自变量取值要符合现实意义（长度、人数非负等）；③联立条件，取公共解集，写出取值范围。 8．函数的定义域是_____． 9．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 10．如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 11．若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型四：求自变量的值或函数值 解题思路：①已知自变量求函数值：直接将自变量数值代入解析式计算；②已知函数值求自变量：把函数值代入解析式，解方程；③检验解是否在自变量取值范围内，舍去不合理解。 12．在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 13．已知因变量是自变量的函数，且因变量的值随自变量的增大而减小，对于任意两个自变量、，对应的函数值为，对应的函数值为．若，则（     ） A． B． C． D．不能确定 14．为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 15．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 题型五：用表格表示变量间的关系 解题思路：①先分清表格中自变量和因变量；②读取表格中两组变量的对应数据；③观察数据变化规律；④利用表格对应值求值、比较大小或预测变化趋势 16．为了提高学生劳动能力，某校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数（人）的变化关系如表所示： /（人） … /（棵） … 观察表中数据可知，当该班参与栽种幼苗活动的人数为人时，栽种幼苗的总数量为______棵． 17．地表以下岩层的温度y（单位：）随着所处深度x（单位：）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系： 1 2 3 4 55 90 125 160 根据表格数据，估计该地地表以下岩层的温度为时，岩层所处的深度为________． 18．在一次实验中，小明同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，所挂物体的质量与弹簧长度的几组对应值如表格所示，下列结论中，错误的是（     ） 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 20 22 24 26 28 A．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而变长 B．不挂物体时，弹簧长 C．当所挂物体的质量为时，弹簧长度是 D．当弹簧长度为（在弹性限度内）时，所挂物体的质量是 题型六：用关系式表示变量间的关系 解题思路：①分析题意，找出等量关系式；②变形等式，将因变量单独放在等号左侧；③规范写出函数关系式；④补充标注自变量的取值范围。 19．语文老师布置同学们暑假阅读《红楼梦》．小明暑假前已经阅读了8页，暑假期间每天阅读10页，则他阅读的总页数y（页）与暑假期间阅读的天数x（天）之间的函数解析式为________（无需写出自变量x的取值范围） 20．某市居民用电价格是元千瓦时，居民应付电费为元，用电量为千瓦时，其中（     ） A．，是常量，是变量 B．是常量，，是变量 C．，是常量，是变量 D．，是常量，是变量 21．如图，每张小纸带的长为，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为，用x张这样的小纸带粘贴成的纸带总长度，则y与x之间的关系式是____． 22．某快递公司同城快递的收费标准如下（质量不足按计）： 质量/kg 1 2 3 4 5 费用/元 10 12 14 16 18 则与的关系式为（     ） A． B． C． D． 题型七：用图象表示变量间的关系 解题思路：①明确横坐标轴表示自变量，纵坐标轴表示因变量；②理解图象上任意一点(x,y)代表一组变量对应值；③结合实际情境读懂点、线段的实际含义。 23．如图表示青蛙某次跳跃高度随跳跃的水平距离的变化情况．则图中的点表示的意义为____________． 24．张老师每天晚饭后都会去散步．某天晚饭后，他慢步到附近的书店，在书店里看了一会儿书后，因家中有事，快步走回家．下面能反映张老师当天离家距离与时间的关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为．给出下列四个结论：①当时，；②当时，y随x的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．其中，正确的是_______ （填序号）． 26．下列四个生活中的情景： （1）小明朝正上方抛出一个小球，小球离手的高度与运行时间的关系 （2）一定长度的弹簧挂上物体后的长度与所挂物体的重量之间的关系 （3）匀速行驶的汽车，油箱内的油量与行驶时间之间的关系 （4）商店内钢笔的单价不变，小明买钢笔要付的总钱数与他买的钢笔数之间的关系 下面坐标系内的四个图像与上面四个情景顺序对应正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八：函数图象识别 解题思路：①利用竖线检验法判断：作垂直于x轴的直线，若直线与图象最多只有1个交点，则是函数图象；②核心检验：一个x只能对应唯一的y，排除一对多的图象。 27．某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有油，到乙地后发现油箱中还剩油．则油箱中所剩油（）与时间（）之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 28．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    29．下列图象中，表示是的函数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九：从函数的图象获取信息 解题思路：①先读懂横、纵坐标各自代表的实际意义；②定位关键点：起点、终点、拐点、交点；③读取坐标数值，结合题干情境解释含义、计算、比较。 30．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元． 31．二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长最短的节气是（     ） A．春分 B．小满 C．立秋 D．大寒 32．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 33．如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ）． A．当的面积为时，或 B． C．若，则对应个不同的值 D． 题型十：用描点法画函数图象 解题思路：①遵循三步法：列表→描点→连线；②列表选取合适、易计算的自变量值，算出对应函数值；③在坐标系描点，按自变量顺序平滑连线；④注意空心圈、实心点区分能否取到该数值。 34．试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 35．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 36．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 题型十一：动点问题的函数图象 解题思路：①按动点运动路径划分不同运动阶段；②分析每个阶段自变量与因变量的增减、不变规律；③结合变化趋势排除错误选项，匹配符合题意的函数图象。 37．如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（   ） A．12，9 B．6，6 C．6，3 D．12，3 38．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．则的长为_____，梯形的面积为________． 39．周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C．D． 40．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十二：函数的三种表示方法 解题思路：①牢记三种表达形式：解析式法、列表法、图象法；②掌握三种形式之间的相互转化；③根据问题需求，合理选择合适的表示方法，理解各自优缺点。 41．下表中记录了某次试验中时间（单位：）和温度（单位：）的数据． 时间 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则时的温度是________． 42．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 43．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 解答题 1．周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的时间为（分钟），离家的距离为（米），与的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)小明等待红绿灯花了多长分钟？ (3)小明的家距离体育馆多少米． (4)求小明在等红绿灯前的速度． 2．小明一家人周末驾车去某景点游玩，出发前汽车油箱内有升汽油，从家出发后，每行驶千米，耗油升．设油箱内剩余的油量为（升），行驶的路程为（千米），且随的变化而变化． (1)上述两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； (2)用函数解析式表示与之间的对应关系，并求出的取值范围； (3)当到达景点时汽车共行驶了千米，求油箱内剩余的油量是多少升？ 3．天安门广场升旗仪式，震撼着每一个中国人的心，其中一个重要环节是国旗护卫队从天安门城楼拥护五星红旗齐步走至金水桥南侧，改为正步行进96步（代表着960万平方公里步幅可以测量），来到升降国旗区．这一段路程中要求正步的步幅不多不少，每一步都必须高度精确．护旗手离升降国旗区的距离与所走正步数（步）之间有下表所示的关系： (1)求护旗手每一步的步幅和金水桥南侧到升降国旗区的距离； (2)当护旗手正步行进至第16步时，护旗手距离升降国旗区的距离是多少？ 4．在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来．三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作，，，得到如下数据： 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0 0 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象； (2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号． (3)根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为________（精确到），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为________（精确到）． 5．如图1，长方形中，，动点从点出发，沿路线运动到点停止，已知点在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒个单位长度．设运动时间为秒，的面积为，与的关系图象如图2所示． (1)_____，_____； (2)当时，求的值； (3)如图3，连接，当点在线段的垂直平分线上时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $