第二讲 空间向量的数量积运算导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积运算，涵盖空间向量夹角、数量积定义与几何意义、运算律及性质等核心知识点。通过类比平面向量数量积构建学习支架，帮助学生从平面到空间实现知识迁移，明确前后知识脉络。 资料亮点在于题型分类全面，含概念辨析、投影向量、夹角与模长计算等七类必考题型，结合易错点解析与几何综合应用，培养学生数学思维与应用意识，助力提升立体几何问题解决能力。

第二讲 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1．能类比平面向量数量积的定义，给出空间向量夹角的概念和数量积的定义，会计算两个向量的数量积； 2．能类比平面向量数量积的几何意义，得出空间向量数量积的几何意义； 3．能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量，能说明空间向量运算律和实数运算律的联系与区别； 4．能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题． 【学习重点】空间向量数量积运算、几何意义以及应用意识 【学习难点】空间向量的投影 必掌握知识点： 一：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<>，异面直线的夹角的范围是0<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 二：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 三：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 必考题型全掌握 题型一：空间向量数量积的概念与运算律、命题辨析 1.数量积定义：已知两个非零空间向量，把叫做与的数量积，记作，即；零向量和任意向量数量积为。 2.运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： 易错点：数量积不满足结合律，即；与共线，与共线，二者一般不相等。 3.常用等价关系 （为非零向量）； ，求向量模常用变形：。 4.命题辨析高频坑点 ，不能推出或，还可能两向量互相垂直； 单位向量只是模等于 1，方向可以不同，单位向量不一定相等； 向量不能比较大小，只有模可以比较大小。 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误.故选：B. 2．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误；故选：A 3．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确.故选：D. 4．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 题型二：投影向量与投影数量 1.投影数量（数量，实数）：向量在向量上的投影数量：，结果可正、可负、可为 0。 2.投影向量（向量）：。 3.几何理解：过向量终点向所在直线作垂线，垂足和起点构成的向量就是投影向量； 若向量向平面投影：将向量两个端点向平面作垂线，连接两个垂足得到的向量就是该向量在平面内的投影向量。 区分：投影数量是实数；投影向量是向量，有大小有方向。 5．如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    6．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 7．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 8．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以，故选：B 题型三：利用数量积求向量的夹角 1.向量夹角定义：将两个非零向量起点移到同一点，所夹范围内的角叫向量夹角，记作，。 2.夹角计算公式：。 3.易混区分： 向量夹角范围； 异面直线所成角范围，等于向量夹角或其补角，取锐角或直角。 4.符号判断： ，夹角为锐角或两向量同向； ，夹角为钝角或两向量反向； ，两向量互相垂直。 9．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 10（多选）．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 11．（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 题型四：利用数量积求向量的模长 1.核心公式：，求模通用手段：把目标向量写成基底线性组合，平方后展开数量积运算。 2.常用展开： 3.几何体中使用：在正方体、正四面体、平行六面体、三棱锥中，选取一组基底，利用棱长、已知夹角，计算向量的数量积，再求线段长度（线段长度就是对应向量的模）。 12．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以．故选：C 13．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    14．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 15．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 16．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，故选项D正确. 17．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 题型五：向量与几何综合（垂直、动点最值、极化恒等式） 1.极化恒等式：； 若为中点，则，多用于处理动点数量积最值问题。 2.向量数量积与球面轨迹：若等于定值，则动点的轨迹是球面，结合几何关系求数量积的最大、最小值。 3.垂直判定：，用来证明线线垂直，四面体、正方体中经常使用。 18．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】建系，根据向量内积以及向量模的计算公式进行计算验证即可. 【详解】将设为原点，平面为平面，由平面， 得 ， ， ， . 因为，所以 ，推出， ①因为，所以 ，推出， 因此， ， ， 三者相等，①正确. ②因为，所以， 化简得​，但不一定有 . 举反例：取 ，满足和， 计算得 ， ，②错误. ③因为，，推出. ， ， 则 . 故，③正确. 综上，正确结论为①③. 19．设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 20．在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 题型六：空间向量与多面体、外接球综合 1.载体：正方体、平行六面体、正四面体、折叠问题； 2.考点：利用数量积判断线线垂直，找几何体的高、射影位置； 3.正四面体补形：正四面体可以补成正方体，正四面体的外接球等价于补出来正方体的外接球，简化求外接球半径与表面积计算； 4.折叠问题：折叠前后，同一平面内线段长度不变，但是向量夹角会发生改变，数量积会变化。 21（多选）．若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 【答案】AD 【分析】利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 22（多选）．金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 【答案】ACD 【分析】根据正四面体外接球的特征可判断A,B，求出二面角的平面角可判断C，利用数量积的运算公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为四面体外接球的球心，A正确； 对于B，设底面正三角形的外接圆半径为，则，即， 正四面体的高为，设外接球的半径为，则， 解得，所以正四面体外接球的表面积为，B不正确； 对于C，取的中点 M，连接， 因为和都是正三角形，所以，就是二面角的平面角， 因为，所以，C正确； 对于D，在中，，，由余弦定理可得， 所以，D正确. 23（多选）．如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算求解判断即可；对于B，根据空间向量的数量积运算律及模长公式求解判断即可；对于C，连接，设，连接，可证明，，可得平面，则点在底面的射影为点，进而判断即可；对于D，结合C可知三棱锥的外接球的球心为点，半径为，进而结合球的表面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由A知，， 而，，， 则 ，故B正确； 对于C，连接，设，连接， 由题意，四边形为正方形，则，， 而，，则为全等的等边三角形， 所以，而为的中点，则， 即，则，即， 因为平面，所以平面， 则点在底面的射影为点， 所以点在底面的射影在线段上，故C正确； 对于D，由C知， 则三棱锥的外接球的球心为点，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 24．在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 题型七：平面类比到空间，共面充要条件综合解答题 1.平面：若为直线外一点，在直线上，。 2.空间类比：若为平面外一点，在平面内，且。 3.题型：给出向量表达式，利用该系数条件结合数量积，求参数、求向量模长。 25．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得，即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 巩固提升： 1．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 2（多选）．下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 3（多选）．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，A对； 对于B选项，若，则与的夹角是锐角或与方向相同，B错； 对于C选项，假设、、也是共面向量， 则存在、，使得，即， 由向量、、是不共面的向量，则有、，无解， 故、、也是不共面的向量，C对； 对于D选项，因为， 所以，即， 所以、、共面，故、、、四点共面，D对. 故选：ACD. 4（多选）．若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 5（多选）．如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 6（多选）．在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    7（多选）．下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 【答案】CD 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 8（多选）．如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】BC 【详解】因为，，，所以，. 在平面直角坐标系上作出四边形，如图所示， 则，，得，B选项正确； 四边形显然不是矩形，A，D选项均错误，. 由，，，所以，， 得，C选项正确. 9（多选）．在平行六面体中，，，为的中点，则（    ） A．当时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当时， C．当时，四边形的面积为 D．无论为何值时，过三点的平面将平行六面体分成两个几何体的体积之比（体积较小部分∶体积较大部分）都为7∶17 【答案】ABD 【分析】A项，利用正方体的性质即可判断；BC项，通过向量的计算即可判断；D项，先作出平面，找到分割出的几何体，通过计算规则形状部分（棱台）的体积，进而求得两部分的体积之比. 【详解】A项，当时，为正方体，如图所示，易知，直线与的夹角为，则异面直线与所成角为，其余弦值为，故A正确； B项，已知，， 则， 所以，即，故B正确； C项，，则， ， 设的夹角为，则， 于是，，故C错误； D项，取的中点，连接，则， 因为为平行六面体，所以，所以，所以平面. 易知几何体为棱台，设平行六面体中的面积为，该面上的高为， 则，且，， 于是，， 故体积较小部分∶体积较大部分，故D正确. 10．如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 11．（不能建系）已知正方体棱长为1，是其表面三点，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】取线段的中点，利用极化恒等式得出，再分在同一个表面内，位于相邻的两个表面内，位于相对的两个表面内，三种情况进行讨论. 【详解】取线段的中点，则 ， ①若在同一个表面内，则当重合时，的最小值为， 又当为面对角线时取最大，故的最小值为； ②若分别位于相邻的两个表面内，不妨设平面，平面， 则的最小值为点到平面、平面的距离的最小值， 又当为体对角线时取最大，故的最小值为； ③若分别位于相对的两个表面内，不妨设平面，平面， 则的最小值为点到正方体的各个表面的距离的最小值， 又当为体对角线时取最大，故的最小值为， 综上可知，的最小值为 12．如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 13．正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 14．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 15．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 【答案】13 【详解】法一：(向量法)由 可得， 又因为，线段AB，BD在平面内， 所以,, 所以， 故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中， ， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1．能类比平面向量数量积的定义，给出空间向量夹角的概念和数量积的定义，会计算两个向量的数量积； 2．能类比平面向量数量积的几何意义，得出空间向量数量积的几何意义； 3．能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量，能说明空间向量运算律和实数运算律的联系与区别； 4．能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题． 【学习重点】空间向量数量积运算、几何意义以及应用意识 【学习难点】空间向量的投影 必掌握知识点： 一：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<>，异面直线的夹角的范围是0<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 二：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 三：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 必考题型全掌握 题型一：空间向量数量积的概念与运算律、命题辨析 1.数量积定义：已知两个非零空间向量，把叫做与的数量积，记作，即；零向量和任意向量数量积为。 2.运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： 易错点：数量积不满足结合律，即；与共线，与共线，二者一般不相等。 3.常用等价关系 （为非零向量）； ，求向量模常用变形：。 4.命题辨析高频坑点 ，不能推出或，还可能两向量互相垂直； 单位向量只是模等于 1，方向可以不同，单位向量不一定相等； 向量不能比较大小，只有模可以比较大小。 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 4．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 题型二：投影向量与投影数量 1.投影数量（数量，实数）：向量在向量上的投影数量：，结果可正、可负、可为 0。 2.投影向量（向量）：。 3.几何理解：过向量终点向所在直线作垂线，垂足和起点构成的向量就是投影向量； 若向量向平面投影：将向量两个端点向平面作垂线，连接两个垂足得到的向量就是该向量在平面内的投影向量。 区分：投影数量是实数；投影向量是向量，有大小有方向。 5．如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 题型三：利用数量积求向量的夹角 1.向量夹角定义：将两个非零向量起点移到同一点，所夹范围内的角叫向量夹角，记作，。 2.夹角计算公式：。 3.易混区分： 向量夹角范围； 异面直线所成角范围，等于向量夹角或其补角，取锐角或直角。 4.符号判断： ，夹角为锐角或两向量同向； ，夹角为钝角或两向量反向； ，两向量互相垂直。 9．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10（多选）．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 11．（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 题型四：利用数量积求向量的模长 1.核心公式：，求模通用手段：把目标向量写成基底线性组合，平方后展开数量积运算。 2.常用展开： 3.几何体中使用：在正方体、正四面体、平行六面体、三棱锥中，选取一组基底，利用棱长、已知夹角，计算向量的数量积，再求线段长度（线段长度就是对应向量的模）。 12．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 13．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D．    14．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 15．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 16．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 17．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型五：向量与几何综合（垂直、动点最值、极化恒等式） 1.极化恒等式：； 若为中点，则，多用于处理动点数量积最值问题。 2.向量数量积与球面轨迹：若等于定值，则动点的轨迹是球面，结合几何关系求数量积的最大、最小值。 3.垂直判定：，用来证明线线垂直，四面体、正方体中经常使用。 18．在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 19．设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 20．在正方体中，，点E，F在线段上，且，点是正方体表面上一动点，点P，Q是正方体表面上两动点，且，则的最小值为_________． 题型六：空间向量与多面体、外接球综合 1.载体：正方体、平行六面体、正四面体、折叠问题； 2.考点：利用数量积判断线线垂直，找几何体的高、射影位置； 3.正四面体补形：正四面体可以补成正方体，正四面体的外接球等价于补出来正方体的外接球，简化求外接球半径与表面积计算； 4.折叠问题：折叠前后，同一平面内线段长度不变，但是向量夹角会发生改变，数量积会变化。 21（多选）．若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 22（多选）．金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 23（多选）．如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 24．在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 题型七：平面类比到空间，共面充要条件综合解答题 1.平面：若为直线外一点，在直线上，。 2.空间类比：若为平面外一点，在平面内，且。 3.题型：给出向量表达式，利用该系数条件结合数量积，求参数、求向量模长。 25．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 巩固提升： 1．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 2（多选）．下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 3（多选）．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 4（多选）．若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 5（多选）．如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 6（多选）．在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 7（多选）．下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 8（多选）．如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 9（多选）．在平行六面体中，，，为的中点，则（    ） A．当时，异面直线与所成角的余弦值为 B．当时， C．当时，四边形的面积为 D．无论为何值时，过三点的平面将平行六面体分成两个几何体的体积之比（体积较小部分∶体积较大部分）都为7∶17 10．如图在正三棱锥中，，则________；________． 11．（不能建系）已知正方体棱长为1，是其表面三点，则的最小值为_____． 12．如图，平行六面体中，，，则__________． 13．正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 14．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 15．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $