第一讲 空间向量的线性运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其线性运算，涵盖空间向量概念、线性运算、共线与共面定理等核心知识。通过平面向量到空间向量的推广过程导入，建立新旧知识联系，为后续学习提供认知支架。 资料以“必考题型全掌握”为主线，从概念辨析到几何体内向量分解，再到共线共面应用及基底判断，逐步进阶。结合基本不等式求最值等综合题型，培养学生抽象能力、推理能力与应用意识，助力构建知识体系，提升解题效率。

第一讲 空间向量及其线性运算 【学习目标】 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，体会平面向量与空间向量的共性和差异； 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算； 3．记住向量共线、共面定理，并会用向量共线、共面定理解决相关问题． 【学习重点】 1．向量加减法运算（三角形法则和平行四边形法则）． 2．向量共线定理的应用． 【学习难点】向量共线、共面定理的应用 必掌握知识点 一：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 二：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 三：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 四：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 必考题型全掌握 题型一：空间向量基本概念（特殊向量、概念辨析） 1.空间向量定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫空间向量。向量的大小称为模（长度），向量本身不能比较大小，只有模可以比较大小。 2.特殊向量： ①零向量：长度为，方向任意，零向量与任意向量平行； ②单位向量：模等于，方向可以不同，故单位向量不一定相等； ③相等向量：方向相同、模相等，向量与起点位置无关，可以自由平移； ④相反向量：模相等，方向相反； ⑤共线（平行）向量：表示向量的有向线段所在直线平行或者重合。 3.重要结论：空间中任意两个向量一定是共面向量，即使对应有向线段在异面直线上，平移后可以共面。 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有________和________的量叫做空间向量． （2）长度：向量的________叫做向量的长度或________． （3）表示法 横线上应该填写____________________ 【答案】 大小 方向 大小 模 ； ； 0 1 相等 相反 相同 相等 2．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误.故选：C. 题型二：空间向量线性运算（加减、数乘，几何体中向量分解） 1.加法：三角形法则；平行四边形法则，和平面向量法则完全一致。 2.减法：，口诀：终点减起点。 3.数乘运算：实数乘向量得到；；，与同向；反向；得到零向量。 4.运算律：交换律、结合律、分配律，同平面向量。 5.常用模型结论： ①中点公式：若是中点，则； ②重心公式：为重心，则。 4．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以. 5．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 6．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 7．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 8．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 题型三：共线向量定理、向量共线与三点共线 1.共线向量定理：对于两个非零向量，存在实数，使得。 易错：若，推不出，因为有可能是零向量。向量共线，代表直线平行或者重合，不只是平行。 2.三点共线推论：三点共线，且。 3.坐标形式：若，（各分母不为 0）。 9．（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 10．设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确；故选：A 11．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此 题型四 ：共面向量定理、四点共面判定 1.共面向量定理：如果不共线，则向量与共面存在实数，满足。 2.四点共面推论（核心公式） 已知三点不共线，是空间任意一点； 四点共面，并且。 做题技巧：看到，直接检验系数相加是否等于；等于则四点共面，不等于则四点不共面。 12．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3). 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 13．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 14．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为.正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误.故选：C 15．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 题型五：空间向量基底的判断 1.基底定义：如果三个向量不共面，那么叫做空间的一组基底，三个向量称为基向量。 2.判断规则： ①可以作为基底：三个向量不共面； ②不可以作为基底：三向量共面，即其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合； ③硬性要求：零向量不能作为基向量，零向量和任意两个向量共面。 3.判断方法：假设，若存在实数解，则三向量共面，不能做基底；若无实数解，则可以做基底。 16．（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 17．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 题型六：空间向量 + 基本不等式求最值（代数式、体积） 1.解题流程： ①先用四点共面条件，得到参数等式关系； ②再结合基本不等式求代数式最小值或者几何体体积最小值； ③必须验证 “一正、二定、三相等”，检验等号是否能够取到。 2.常见题型：给出四点共面的向量表达式，建立参数关系，求解棱锥体积最小值。 18．已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 19．已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底,因为底面是平行四边形， 所以, 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以, 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 20．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立.故选A. 巩固提升： 1．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得答案. 【详解】如图，． 2．（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 3．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 5．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得，所以. 6．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 7．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 8．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得. 9．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 空间向量及其线性运算 【学习目标】 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，体会平面向量与空间向量的共性和差异； 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算； 3．记住向量共线、共面定理，并会用向量共线、共面定理解决相关问题． 【学习重点】 1．向量加减法运算（三角形法则和平行四边形法则）． 2．向量共线定理的应用． 【学习难点】向量共线、共面定理的应用 必掌握知识点 一：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 二：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 三：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 四：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 必考题型全掌握 题型一：空间向量基本概念（特殊向量、概念辨析） 1.空间向量定义：在空间中，既有大小又有方向的量叫空间向量。向量的大小称为模（长度），向量本身不能比较大小，只有模可以比较大小。 2.特殊向量： ①零向量：长度为，方向任意，零向量与任意向量平行； ②单位向量：模等于，方向可以不同，故单位向量不一定相等； ③相等向量：方向相同、模相等，向量与起点位置无关，可以自由平移； ④相反向量：模相等，方向相反； ⑤共线（平行）向量：表示向量的有向线段所在直线平行或者重合。 3.重要结论：空间中任意两个向量一定是共面向量，即使对应有向线段在异面直线上，平移后可以共面。 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有________和________的量叫做空间向量． （2）长度：向量的________叫做向量的长度或________． （3）表示法 横线上应该填写____________________ 2．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 题型二：空间向量线性运算（加减、数乘，几何体中向量分解） 1.加法：三角形法则；平行四边形法则，和平面向量法则完全一致。 2.减法：，口诀：终点减起点。 3.数乘运算：实数乘向量得到；；，与同向；反向；得到零向量。 4.运算律：交换律、结合律、分配律，同平面向量。 5.常用模型结论： ①中点公式：若是中点，则； ②重心公式：为重心，则。 4．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 7．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 8．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 题型三：共线向量定理、向量共线与三点共线 1.共线向量定理：对于两个非零向量，存在实数，使得。 易错：若，推不出，因为有可能是零向量。向量共线，代表直线平行或者重合，不只是平行。 2.三点共线推论：三点共线，且。 3.坐标形式：若，（各分母不为 0）。 9．（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10．设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 11．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 题型四 ：共面向量定理、四点共面判定 1.共面向量定理：如果不共线，则向量与共面存在实数，满足。 2.四点共面推论（核心公式） 已知三点不共线，是空间任意一点； 四点共面，并且。 做题技巧：看到，直接检验系数相加是否等于；等于则四点共面，不等于则四点不共面。 12．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 13．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 14．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为.正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量基底的判断 1.基底定义：如果三个向量不共面，那么叫做空间的一组基底，三个向量称为基向量。 2.判断规则： ①可以作为基底：三个向量不共面； ②不可以作为基底：三向量共面，即其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合； ③硬性要求：零向量不能作为基向量，零向量和任意两个向量共面。 3.判断方法：假设，若存在实数解，则三向量共面，不能做基底；若无实数解，则可以做基底。 16．（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 17．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 题型六：空间向量 + 基本不等式求最值（代数式、体积） 1.解题流程： ①先用四点共面条件，得到参数等式关系； ②再结合基本不等式求代数式最小值或者几何体体积最小值； ③必须验证 “一正、二定、三相等”，检验等号是否能够取到。 2.常见题型：给出四点共面的向量表达式，建立参数关系，求解棱锥体积最小值。 18．已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 19．已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 20．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 巩固提升： 1．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 2．（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 3．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 5．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 7．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 9．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $