第五讲 空间向量运算的坐标表示 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖线性运算、数量积、夹角、距离及投影等核心知识点，通过平面向量到空间向量的推广构建知识脉络，以学习支架形式帮助学生迁移已有认知，明确空间向量基本定理及坐标运算的应用为学习重难点。 资料特色在于题型分类系统全面，从基础运算到综合应用覆盖十大必考题型，强调易错点辨析与实际问题解决，通过多样化习题培养学生的抽象能力、推理意识和应用意识，助力学生用数学思维理解空间关系，提升用数学语言解决立体几何问题的能力。

第 五讲 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】能将平面向量的概念及运算，推广到空间向量的概念及运算；可以利用共面向量定理，空间向量基本定理解决相关问题，能利用空间向量解决立体几何问题. 【学习重点】空间向量基本定理，空间向量的坐标运算及其应用. 【学习难点】空间向量基本定理，空间向量的坐标运算及其应用. 必掌握知识点 空间向量运算的坐标表示 1.设，，则； ； ； ； ； ． 2.设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 向量在向量上的投影为． 必考题型全归纳 题型一：空间向量坐标线性运算（加减、数乘、求向量、平行四边形顶点） 1.若点，，，口诀：终点坐标减去起点坐标。 2.设 加法： 减法： 数乘： 3.向量模长公式：。 4.平行四边形求顶点：利用，向量相等则对应坐标相等，解方程组求未知点坐标。 5.向量平行（共线）：存在实数，。 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 4．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 题型二：空间向量数量积坐标运算、垂直判定 1.数量积坐标公式：，运算结果是实数。 2.垂直充要条件：。 3.易错提醒：数量积为 0 只能推出垂直，不能推出其中某个向量是零向量。 5．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 6．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 8．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 题型三：投影数量、投影向量（坐标版） 1.在方向上投影数量（实数）：，可正可负可为零。 2.在方向上投影向量（向量）：，是向量，拥有坐标。 3.投影向量的模长：。 区分：投影数量是数；投影向量是向量，二者不能混淆 9．向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 11（多选）．已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 题型四：向量夹角计算、夹角为锐角、 钝角求参数 1.夹角公式：，夹角范围。 2.异面直线所成角：取，取向量夹角或者其补角中的锐角或直角。 3.夹角为锐角条件： 4.夹角为钝角条件： 易错：只写数量积大于 0，不排除同向共线，会出现错误参数解。 13．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 16．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 题型五：三向量共面、四点共面判定（坐标版） 1.三个向量共面：存在实数，使得，坐标对应相等，建立方程组求解参数。 2.四点共面判定： ； 或者，满足。 3.解题方法：把向量全部写成坐标形式，根据共面条件列方程组，看有无解；有解则共面，无解则不共面。 17．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 18．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 19．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 题型六：平面法向量、方向向量 1.平面的法向量： 垂直于平面的非零向量；法向量和平面内任意向量垂直，即数量积等于 0。 若是平面法向量，则对平面内任意向量，都有。 2.直线的方向向量：和直线平行的非零向量。 3.线面角：直线方向向量，平面法向量，线面角，。 20．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 21（多选）．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 题型七：单位向量、共线单位向量 1.单位向量：模等于的向量；非零向量同向单位向量：；反向单位向量：。 2.共线反向单位向量：先求原向量的模，取负号再除以模长。 22．若，则与共线反向的单位向量=___________. 题型八：空间向量概念命题辨析多选（基底、共面、夹角、投影综合） 1.基底条件：三个向量必须不共面，才可以作为空间一组基底；只要能写成另外两个的线性组合，就共面，不能做基底。 2.四点共面一定要检验系数之和是否等于 1。 3.不等于夹角是锐角，存在同向共线情况。 4.任意两个空间向量一定共面；三个向量不一定共面。 23．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 24（多选）．已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 25（多选）．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 题型九：坐标结合立体几何（动点、最值、极化恒等式、外接球） 1.解题思路：建立空间直角坐标系，动点设坐标，根据约束条件写出关系式。 2.距离平方和最小值：三角形内，距离三顶点距离平方和最小的点是重心。 3.极化恒等式：，是中点，用于向量数量积求最值。 4.外接球：设球心坐标，利用球心到各个顶点距离相等列方程，求解半径，再计算外接球表面积。 26．在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 27．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 28．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 题型十：解答大题（向量运算、共面、斜坐标系、线面角） 1.四点共面证明：把向量用坐标表示，验证是否满足共面向量定理。 2.常规大题套路：向量加减、求模、求夹角；已知向量垂直求参数。 3.斜坐标系：不再是两两垂直基底，计算数量积要带上基底之间的夹角； 4.线面角：找到平面法向量，利用列方程，判断点是否存在。 29．已知空间四点：，判断四点是否共面． 30．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 31．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 巩固提升： 1．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）．下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 6（多选）．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 8．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 9．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 10．已知向量，若，则________． 11．向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 12．已知向量，，且，则__________． 13．已知向量，向量，若，则__________． 14．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 15．若，则_________． 16．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 17．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 18．已知，，，则与所成角的大小为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 五讲 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】能将平面向量的概念及运算，推广到空间向量的概念及运算；可以利用共面向量定理，空间向量基本定理解决相关问题，能利用空间向量解决立体几何问题. 【学习重点】空间向量基本定理，空间向量的坐标运算及其应用. 【学习难点】空间向量基本定理，空间向量的坐标运算及其应用. 必掌握知识点 空间向量运算的坐标表示 1.设，，则； ； ； ； ； ． 2.设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 向量在向量上的投影为． 必考题型全归纳 题型一：空间向量坐标线性运算（加减、数乘、求向量、平行四边形顶点） 1.若点，，，口诀：终点坐标减去起点坐标。 2.设 加法： 减法： 数乘： 3.向量模长公式：。 4.平行四边形求顶点：利用，向量相等则对应坐标相等，解方程组求未知点坐标。 5.向量平行（共线）：存在实数，。 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 3．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 4．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 题型二：空间向量数量积坐标运算、垂直判定 1.数量积坐标公式：，运算结果是实数。 2.垂直充要条件：。 3.易错提醒：数量积为 0 只能推出垂直，不能推出其中某个向量是零向量。 5．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 7．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 8．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 题型三：投影数量、投影向量（坐标版） 1.在方向上投影数量（实数）：，可正可负可为零。 2.在方向上投影向量（向量）：，是向量，拥有坐标。 3.投影向量的模长：。 区分：投影数量是数；投影向量是向量，二者不能混淆 9．向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 10．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 11（多选）．已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 题型四：向量夹角计算、夹角为锐角、 钝角求参数 1.夹角公式：，夹角范围。 2.异面直线所成角：取，取向量夹角或者其补角中的锐角或直角。 3.夹角为锐角条件： 4.夹角为钝角条件： 易错：只写数量积大于 0，不排除同向共线，会出现错误参数解。 13．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   14．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 15．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 16．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得.故选:B. 题型五：三向量共面、四点共面判定（坐标版） 1.三个向量共面：存在实数，使得，坐标对应相等，建立方程组求解参数。 2.四点共面判定： ； 或者，满足。 3.解题方法：把向量全部写成坐标形式，根据共面条件列方程组，看有无解；有解则共面，无解则不共面。 17．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 18．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 19．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 题型六：平面法向量、方向向量 1.平面的法向量： 垂直于平面的非零向量；法向量和平面内任意向量垂直，即数量积等于 0。 若是平面法向量，则对平面内任意向量，都有。 2.直线的方向向量：和直线平行的非零向量。 3.线面角：直线方向向量，平面法向量，线面角，。 20．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 21（多选）．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 题型七：单位向量、共线单位向量 1.单位向量：模等于的向量；非零向量同向单位向量：；反向单位向量：。 2.共线反向单位向量：先求原向量的模，取负号再除以模长。 22．若，则与共线反向的单位向量=___________. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 题型八：空间向量概念命题辨析多选（基底、共面、夹角、投影综合） 1.基底条件：三个向量必须不共面，才可以作为空间一组基底；只要能写成另外两个的线性组合，就共面，不能做基底。 2.四点共面一定要检验系数之和是否等于 1。 3.不等于夹角是锐角，存在同向共线情况。 4.任意两个空间向量一定共面；三个向量不一定共面。 23．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 24（多选）．已知是棱长为2的正方体的表面及内部的点，满足（，，），则（     ） A．若，则， B．若与，，三个向量的夹角都相等，则的最大值为 C．若，则点的运动区域的面积为 D．当时，存在满足 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系判断A，向量数量积相等可得，计算向量的模判断B；分析可知点在及其内部，即可求面积即可判断C；根据数量积判断垂直关系即可判断D. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 因为是正方体的表面及内部的点，所以. 对于选项A，， 若，则， 得，不需要，例如当时，故A错误； 对于选项B，， 因为与，，三个向量的夹角都相等， 所以，即，则. 所以，则. 因为，所以，故B正确； 对于选项C，点，， 若， 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合； 当时，则，得与重合. 所以点在及其内部，则， 所以，即点的运动区域的面积为，故C正确； 对于选项D，当时，，. 所以， 所以 ， 所以不存在满足，故D错误. 25（多选）．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 题型九：坐标结合立体几何（动点、最值、极化恒等式、外接球） 1.解题思路：建立空间直角坐标系，动点设坐标，根据约束条件写出关系式。 2.距离平方和最小值：三角形内，距离三顶点距离平方和最小的点是重心。 3.极化恒等式：，是中点，用于向量数量积求最值。 4.外接球：设球心坐标，利用球心到各个顶点距离相等列方程，求解半径，再计算外接球表面积。 26．在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 27．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . 28．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 题型十：解答大题（向量运算、共面、斜坐标系、线面角） 1.四点共面证明：把向量用坐标表示，验证是否满足共面向量定理。 2.常规大题套路：向量加减、求模、求夹角；已知向量垂直求参数。 3.斜坐标系：不再是两两垂直基底，计算数量积要带上基底之间的夹角； 4.线面角：找到平面法向量，利用列方程，判断点是否存在。 29．已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 30．已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法运算和减法运算即可求解. 【详解】因为，所以可设．由于是的中点， 所以， 又因为是的中点， 所以，所以． 31．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 巩固提升： 1．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 2．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 3．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 5（多选）．下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 6（多选）．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 7．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【答案】 【分析】设点，利用空间两点距离公式展开得出关于的二次多元函数，根据平面内一点到三角形三顶点距离平方和的最小值在该三角形重心处取得，再利用空间三角形重心坐标公式求解． 【详解】设点，则 ， 是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得， 重心坐标为，即． 该点在平面上，符合要求． 8．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 9．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】由三棱锥的性质结合已知条件求出，构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出半径，进而利用球的面积公式求解． 【详解】已知，则是等边三角形， 面积为， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 等边三角形的外接圆圆心为，设外接球球心为， 则， ，则，解得， ， 外接球的面积． 10．已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 11．向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 12．已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 13．已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 14．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 15．若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 16．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 17．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 18．已知，，，则与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的公式即可得解. 【详解】由题意知，，， 设与所成角为， 则， 因为，所以， 所以与所成角的大小为.故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $