23.2 解直角三角形及其应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

23.2解直角三角形及其应用 第1课时解直角三角形 y 要固梳理 1解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形. 2.解直角三角形要用到的关系：①锐角之间的关系：∠A十∠B=90°；②三边之间的关系：Q2十b2三c2;③边 角之间的关系：sinA= ∠A的对边=0 1=4你边-.m4=A台时这 ∠A的邻边一b (a,b,c分别是 斜边 斜边 ∠A,∠B,∠C的对边). 已课内基础闯关 4.在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A, ∠B,∠C的对边.根据下列条件解直角三 知识点① 已知两边解直角三角形 角形 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2, (1)∠A=30°，a=6. BC=1.下列结论错误的是 (2)∠A=30°，b=105. A.AC=√3 B.∠A=30° C.∠B=60 DesA-方 第1题图 2.(教材变式)在Rt△ABC中，已知∠C=90°，知识点③ 已知一边及锐角三角函数值解直 BC=19,AB=38.解这个直角三角形. 角三角形 5.如图，在△ABC中，AB=AC =5,sinB=号，则BC的长是 4 ( ）第5题图 A.3 B.6 C.8 D.9 6.如右图，在△ABC中， 知识点②已知一边及一锐角解直角三角形 sinB= 3,tanC- 2.AB 3.如图所示的是一段索道的 =3.求AC的长. 示意图.已知A,B两点间 的距离为600m,∠BAC= a,则缆车从A点到B点上 第3题图 升的高度(BC的长)为 600 A.600sina m B. m sina 600 C.600cosa m D. m coSa 九年级数学HK版 已课外拓展提高 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC 上，∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=5,则 BD的长度为 ( 12 B.5 C. 15 4 D.4 55 1259 R ----0 第7题图 第8题图 色综合能力提升 8.如图，若记△ABC底边BC上的高为h1, 12.现有一张宽为12cm的练习纸，相邻两条格 △PQR底边QR上的高为h2,则有( ) 线间的距离均为0.8cm.小聪在练习纸的左 A.h=h2 B.h<h2 上角用印章印出一个矩形图案，图案的顶点 C.h>h2 D.以上都有可能 恰好在四条格线上（如下图），测得∠a=32°. 9.一题多解法如图所示，在四边形ABCD中， (1)求矩形图案ABCD的面积. ∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，CD=2,BC (2)若小聪在第一个图案的右边以同样的 =11,则AC的长为 方式继续印矩形图案，最多能印几个完整 的矩形图案？ (参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8， tan32°≈0.6) E B C 第9题图 第10题图 0.8cm 10.安徽中考特色·双空题(2025一2026六安 G 金安区期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB 12 cm =90°，AC=6,BC=8,CD⊥AB,垂足为D, E是线段CD上一点（不与点C,D重合）， 连接AE并延长交BC于点F. (1)CD的长为 (2)若F是BC的中点，则tan∠FAB的值 为 11.如右图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=√5，D是 AC上一点，连接BD.若 A amA=号an∠ABD=号，求CD的长。 上册第23章 85△ 第2课时仰角、俯角问题 要梳理 1.在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫作仰角；当视线在水平线下 方时叫作俯角. 2.解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形 时，要通过作高或垂线构造直角三角形， 已课内基础闯关 3.如下图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α 知识点仰角、俯角问题 是17°，识别到最近点B的俯角3是45°，该摄像 1.如图，在综合与实践活动课上，小强先测得 头安装在距地面5m的点C处.求最远点与最 教学楼在水平地面上的影长BC为35m,又 近点之间的距离AB(结果取整数，参考数据： 在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°， sinl7°≈0.29，cosl7°≈0.96，tanl7°≈0.31). 则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺 序正确的是 A.3⑤☒tan29日 [ B.35÷tan2g▣ 0 c.35☒sin29 第1题图 D.35☒cos29▣ 2.如图，用探测器测一栋楼的高 4.(教材变式)如右图，信号塔CD 度，从点A测得该楼顶部点C的 在高270m的山峰BC上，小明 仰角为60°，底部点B的俯角为 45°，点A与楼BC的水平距离 在山脚的点A处测得信号塔底 420 58° AD=50m,则这栋楼的高度为 部C的仰角为42°，再沿AB方E 第2题图 向前进62.5m到达点E处，测得信号塔顶 m(结果保留根号). 部D的仰角为58°.求信号塔CD的高度（结 变式题(2025一2026毫州涡 果精确到1m,参考数据：sin42°≈0.67， 阳期未)如图，某人站在楼顶观 c0s42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85， 测对面的笔直的旗杆AB.已知 cos58°≈0.53，tan58°≈1.60). 观测点C到地面的距离CD= 8m,测得旗杆顶部A的仰角 变式题图 ∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB= 45°，那么旗杆AB的高度是 ( A.(√2+8√3)m B.(8+8√3)m C.(82+ 8√3 83 D.(8+3)m 86 九年级数学HK版 已课外拓展提高 综合能力提升 5.如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为 8.综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量 32°，向前走了15m到达点E处，在点E处 天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示 看建筑物顶端D的仰角为64°，则CD的长 意图如下图所示，点C,D,E依次在同一条 度用三角函数表示为 ( 水平直线上，DE=36m,EC⊥AB,垂足为 A.15sin32° B.15tan64° C.该小组在点D处测得桥塔顶部B的仰角 C.15sin64° D.15tan32° 为45°，测得桥塔底部A的俯角为6°，又在点E 37 458 处测得桥塔顶部B的仰角为31°（结果取整 数，参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1). 640 32 C E (1)求CD的长. 第5题图 第6题图 (2)求桥塔AB的高度. 6.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将 无人机垂直上升至距地面30m的点P处， 测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无 人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q 处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教 学楼AB的高度约为 m(精确到 1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75). 7.某彩亭可抽象成下图所示的示意图，AB是 彩亭的中轴，在点M处测得点D的仰角是 30°，BC=6m.在点E处测得AE平行于水 平线BC,点F的俯角∠AEF=45°，EF= 4m.已知AB=6.3m,MC=1.5m,求中轴 上DF的长度（结果精确到0.1m,参考数 据：√3≈1.73，√2≈1.41) 50 30 上册第23章 87△ 第3课时 方向角问题 要梳理 在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角 三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角 已课内基础闯关 知识点② 构造直角三角形解决方向角问题 知识点① 直角三角形中的方向角问题 3.如图，海中有一小岛A,在点 1.如图，为了测量一条河 B测得小岛A在北偏东30 309 流的宽度，一测量员在 方向上，渔船从点B出发由 B C 河岸边相距200m的 西向东航行10 n mile到达点 第3题图 200m P,Q两点分别测定对 第1题图 C,在点C测得小岛A恰好在正北方向上. 岸一棵树T的位置.已知树T在点P的正 此时渔船与小岛A的距离为 北方向上，且树T在点Q的北偏西70°方向 A.103 203 3 n mile B. 3 n mile 上，则河宽PT可以表示为 ) 200 C.20 n mile D.10√3 n mile A.200tan70°m B tan70°m 4.(教材变式)如下图，一艘轮船从A处向正东 200 C.200sin70°m 方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60 D sin70°m 方向上，继续航行16.6 n mile到达B处，这 2.如下图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37° 时测得灯塔C在北偏东42°方向上，已知灯 方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正 塔C四周15 n mile内有暗礁.这艘轮船继续 南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的 向正东方向航行会有触礁的危险吗？请说 南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A 明理由（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈ 处有多远（结果精确到1 n mile,参考数据： 0.74,tan42°≈0.90，√3≈1.73) sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 北 tan37°≈0.75)？ 609 242 379 P 45 Λ88 九年级数学HK版 已课外拓展提高 色综合能力提升 5.如图，小明在点C处看到西北方向上有一凉 8.如下图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C 亭A,北偏东35°方向上有一棵大树B,已知 处测得水库右岸D处某标志建筑DE顶端的 凉亭A在大树B的正西方向.若BC=50m, 仰角为α.在C处一架无人机沿北偏西(90° 则AB的长为 3)方向飞行100√5m到达A处，无人机沿水 50 50 A. 平线AF方向继续飞行30m至B处，测得正 sin35 cos35°m B 前方水库右岸D处的俯角为30°.线段AM 50 50 B 45359 sin35°+ cos35 m 的长为无人机距地面的铅直高度，点M,C,D →+东 C.50(cos35°-sin35)m 第5题图 在同一条直线上（参考数据：sina= 3 5,coSa D.50(cos35°+sin35°)m 6.如图，从点A测得M村 北 4 3 5,tana= 4,sing= 2√5 5,tan3=2, 在北偏东30°方向，小明从 点A沿北偏东60°方向步 √3≈1.732). 行800m到达点C,测得 A (1)求无人机的飞行高度AM. M村位于点C的北偏西 第6题图 (2)求标志建筑DE的高度（结果精确到0.1m). 75°方向.若在AC上找一点N,使得MN最 北 短，则AN的长是 m(结果 保留根号). 7.如右图，CD是一座南北走向 北 309 ou 的大桥，一辆汽车在笔直的公 路1上由北向南行驶，在A处 45 测得桥头C在南偏东30°方向 60 上，继续行驶1500m后到达B 处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D 在南偏东45°方向上.求大桥CD的长度（结果 精确到1m,参考数据：√3≈1.73). 上册第23章 89△ 第4课时坡度、坐标系中的倾斜角问题 要梳理 在解决有关坡度的问题中，一般通过作高构造直角三角形.坡角是一个锐角，坡度实际就是一个锐角的正 切值，水平宽度和铅直高度都是直角边，解决坡度问题实质是解直角三角形问题 已课内基础闯关 知识点② 坐标系中的倾斜角问题 知识点① 坡度问题 3.如图，∠EFG=90°，EF=10, 1.(2025一2026六安金寨期末) OG=17,cos∠FGO= 5,则点 如图，一个人从山脚下的点A一20° F的坐标是 A出发，沿山坡小路AB走第1题图 第3题图 3 到山顶点B.已知坡角为20°，山高BC B.(8,12) C.(6,4 D.(6,10) 2km.下列计算小路AB的长度的式子正确 课外拓展提高 的是 4.(教材变式)如下图，堤坝的横截面是梯形 A.2÷sin20°= B.2×sin20°= ABCD(DC∥AB),迎水坡BC的坡角a为 C.2÷c0s20°= D.2Xtan20°= 30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽 2.（2025资阳)如右 DC=2.5m,坝高5m. 图，已知水平地面 i=13 B 6ODN (1)求坝底宽AB的长（结果保留根号） AM上方有一个水 A30币 (2)为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决 平的平台BN,该 定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5m,背水坡 平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测 AD的坡度改为1：14.求横截面增加的面积 得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得 D C C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3, AB=10√/10m,CD⊥BD(点A,B,C,D在 同一竖直平面内) (1)求平台BN的高度， (2)求建筑物的高度（即CD的长）. 90 九年级数学HK版,∠DFC=∠E,∠CDF=∠BDE, :∠DCF=∠DBE,∴.cos∠DBE=cos∠DCF=25 24 5.解：如图，过点D作DE⊥CD交BC于点E. ∠ACD=∠CDE=90°， .DE∥AC. 又：D是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线DE=2AC=4. 在R△CDE中an∠BCD-S用C高-号 42 .CD=6,∴.AD=√AC2+CD=10. AC 84 在Rt△ACD中，c0sA=AD-105 6.解：如图，过点B作BE⊥AD,交 AD的延长线于点E. ∠C=90°，∠ADC=45°， ,∴.△ACD是等腰直角三角形， ∴.CD=AC=5, ∴.AD=√AC+CD=5√2. sinZABC-AB-13.AC=5.:AB=13. ∴.BC=√AB2-AC=12, ,.BD=BC-CD=12-5=7. ∠BDE=∠ADC=45°，BE⊥AE, 六△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=7y2 2 AE-AD+DE-12:m/BAD-BE AE17 23.2解直角三角形及其应用 第1课时解直角三角形 1.D 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=19,AB=38, .AC=√AB2-BC=193. BC√3 anA=AC-3∠A=30∠B=90°-∠A=60. 3.A 4.解：(1)：∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°. .a=6,∴.c=2a=2×6=12,∴.b=12×sin60°=6√3. (2)∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°. 103 1 b=105,.c= in60=20.a=2=10. 5.B 6.解：过点A作AD⊥BC于点D,如 1 图.在Rt△ABD中，sinB=3 B ABAB=3.AD=1.在R△ACD中，anC=2 A 2 CDCD=AD=, AD ∴AC=√AD+CD=√W12+(2)2=√3. 7.C【解析1：∠C=90,AC=4,6osA=号， ..AB=AC -COSA5,BC=VAB-ACT=3. :∠DBC=∠A,∴.cOs∠DBC=cOs∠A=BD=5 BC 4 BD=3X4=4 515 8.A【解析】如图，分别作出△ABC底边BC上的高 AD,△PQR底边QR上的高PE,则AD=h1,PE= hz.在Rt△ADC中，h,=AC·sinC=5sin55°.在 Rt△PER中，h2=PR·sin∠PRE=5sin55°，.h1 =h2. 125° B D 0 9.14【解析】如图，延长AD,BC交于点E. iE ∠DAB=60°，∠B=∠ADC=90°， .∠E=30°. CD=2,.CE=2CD=4, ∴.BE=CE+BC=15, ,∴.AB=BE·tan30°=53， ∴.AC=AB2+BC=14. ◆一题多解法 如图，过点D作DE⊥AB于点E, 过点C作CF⊥DE于点F. :∠DAB=60°，∠B=∠ADC =90°， ∴.∠ADE=30°，∠CDF=60°，四 EB 边形CFEB是矩形， ∴.EF=BC=11,BE=CF 在R△CDF中，CF=CD·sin∠CDF=2X 2 =E,DF=CD·m∠CDF=2x号-1. ∴.BE=√5，DE=DF+EF=12. 在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=12X √5 =43, 3 .AB=AE+EB=43+√3=5√3. 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=14. 10.14.82号 【解析】(1)在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=6,BC=8, 由勾股定理，得AB=√AC2+BC=√62+8=10. CD⊥AB,垂足为D, ∴.∠CDA=90° 由三角形的面积公式，得S=AB,CD=号AC ·BC, 上册详解详析 33Λ CD-ACBC-6X8-4.8. AB 10 ∴.CD的长为4.8. (2)过点F作FH⊥AB于点H,如图所示， ∴.∠FHA=∠CDA=90°， ∴.FH∥CD. 在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AD=√AC-CD= √62-4.87=3.6， .BD=AB-AD=10-3.6=6.4. F是BC的中点，FH∥CD, .FH是△BCD的中位线， FH=2CD=2.4,DH=BH=2BD=3.2. ∴.AH=AD+DH=3.6+3.2=6.8. FH2.46 在Rt△AFH中，tan∠FAB=AH-6.8i7 、6 tan∠FAB的值为7： 11.解：如图，过点D作DE⊥AB 于点E.:tanA=DE=1 AE=2 a∠ABD距-行：AE 2DE,BE=3DE,.2DE+3DE 5DE AB. 在R△Ac中，aA-,BC=5,÷C-是 2AC-2/5,AB=VACFBC=5,.DE- 1 1,.AE=2,.AD=WAE+DE=√5，.CD=AC -AD=5. 12解：在R△BCE中，BC-二*会-16 四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=90°，∴.∠BCE+∠FCD=90°. 又，∠EBC+∠BCE=90°，∴.∠FCD=∠EBC =32. FC1.6 在Rt△FCD中，CD= os∠FCD≈0.82， .矩形图案ABCD的面积为2×1.6=3.2(cm2). (2)在Rt△ADH中，易得∠DAH=32°， AD 1.6 ..AH= cos∠DAH≈0.82. 在Rt△CGH中，∠GCH=32°， ∴.GH=CG·tan32°≈0.8×0.6=0.48. 又.(12-0.48)÷2=5.76 ∴.最多能印5个完整的矩形图案. 第2课时仰角、俯角问题 1.A 2.(50+503) 变式题D【解析】由题意，得BE=CD=8. BE 在Rt△EBC中，CE= an450-8. 34 九年级数学HK版 在R△AEC中，AE=CE·tan30°=8y 3 5AB=(8+85)m 3.解：由题意，得CE∥AD, ∴∠A=∠a=17°，∠CBD=∠B=45° 在R△ACD中，AD=CD=5」 5 tanA tani7≈0.37≈16.1. CD 5 在Rt△BCD中，BD=ian∠CBD-tan45=5, ,.AB=AD-BD≈16.1-5≈11. 故最远点与最近点之间的距离AB约是11m. 4.解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=tan42°=BC, AB' .AB=_BC 270 tan42≈0.90=300(m). .AE=62.5m,∴.BE=AB-AE≈300-62.5=237.5(m). BD 在Rt△BED中，tan∠BED=tan58=BE' ,∴.BD=BE·tan58°≈237.5×1.60=380(m), ,∴.CD=BD-BC≈380-270=110(m). 故信号塔CD的高度约为110m. 5.C【解析】：∠CED=64°，∠F=32°，.∠EDF ∠CED-∠F=64°-32°=32°，.∠EDF=∠F, .DE=EF=15m.在Rt△CDE中，：sin∠CED= DE..CD=DE·sin∠CEDl5sin64 6.17【解析】由题意知，AC=30,PQ=26.6,∠APC= 37°，∠BQC=45°. 在R△APC中，PC=,AC30 tan37≈0.75=40， .QC=PC-PQ≈40-26.6=13.4. 在Rt△BQC中，BC=QC≈13.4， ∴.AB=AC-BC≈30-13.4=16.6≈17(m). 7.解：如图，过点M作MN⊥AB,垂足为N. 由题意知，四边形CMNB是 450 矩形， ..MC=BN=1.5,MN=BC= 6,AN=AB-BN=6.3-1.5=M30° 4.8. 在Rt△DMN中，DN=MN· tan∠DMN=6x 3=23≈3.46. 在Rt△AEF中，AF=EF·sin∠AEF=4X 2 =22 2 ≈2.82. .AF+DN=AN+DF, .DF≈3.46+2.82-4.8≈1.5. 故中轴上DF的长度约为1.5m 8.解：(1)设CD=x. .DE=36,..CE=CD+DE=+36. .EC⊥AB,∴.∠BCE=∠ACD=90° ∠CDB=45°， .BC=CD·tan∠CDB=x. ∠CEB=31°， .BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， x=(x十36)·0.6，解得x=54. 故CD的长约为54m. (2).∠CDA=6°， .AC=CD·tan∠CDA=54Xtan6°≈54×0.1=5.4， .AB=AC+BC=5.4+54≈59. 故桥塔AB的高度约为59m. 第3课时方向角问题 1.B 2.解：如图，由题意，得AB⊥PC于点C. 在Rt△APC中. ∠A=37°，AP=100, ∴.PC=AP·sinA=100×sin37°≈100× 0.6=60, AC=AP·c0s37°≈100×0.8=80. 在Rt△PBC中. ∠B=45°，.BC=PC=60, .AB=AC+BC=80+60=140. 故B处距离A处约140 n mile.. 3.D【解析】如图，连接AC.由题意， 得AC⊥CB.在Rt△ACB中，∠ABC =90°-30°=60°，BC=10 n mile, .AC=BC·tan60°=l0√5 n mile, 307 此时渔船与小岛A的距离为 l0√3 n mile. 4.解：没有触礁的危险 理由：如图，过点C作CD⊥AB北 交AB的延长线于点D. 由题意，得∠ACD=60°，∠BCD =42°，AB=16.6. 设CD=x. 在Rt△CBD中，BD=CD·tan42°≈0.9x, .AD=AB+BD=16.6+0.9x. 在Rt△ACD中，AD=CD·tan60°≈1.73x, .∴.16.6+0.9x=1.73x, 解得x=20. .15<20, ·∴，这艘轮船继续向正东方向航行没有触礁的危险 5.D【解析】如图，过点C作CD ⊥AB,垂足为D. 在Rt△BCD中，∠BCD=35°， 4535% BC=50, .BD=BC·sin35°= 50sin35°，CD=BC·c0s35°=50cos35°. 在Rt△ADC中， :∠ACD=45°，∠ADC=90°， .∴.AD=CD=50cos35°， .∴.AB=AD+BD=50(cos35°+sin35)m. 6.400(3-3)【解析】如图，过点M作MN⊥AC于点 N,此时MN最短.依据题意，得∠MAN=60°-30°= 30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，AC=800m, .∠MCN=180°-75°-60° 北 =45°，.MN=CN.设MN= x,则AN=800-x.在 Rt△AMN中，tan30° MN AN x 800-x 3,解得x √ 400(√3-1).经检验，x=400(√3-1)是原分式方程的 解，且符合题意，∴.AN=800-400(√3-1)=400(3- √5)m. 7.解：如图，分别过点C和点D作AB 北 的垂线，垂足分别为M,N,则四边形 -30 东 CDNM为矩形，.DN=CM,CD B =MN. 45° 在Rt△CBM中，CM=BM· M605 N tan∠CBM=√3BM. 在R△ACM中，aA-C-5 AM3· √3BM√3 ·1500+BM-3,解得BM=750. ∴.CM=750√5，∴.DN=CM=750√5. DN 在Rt△DBN中，BN= tan∠DBN=750,3, ∴.CD=MN=BN-BM=750√3-750≈548(m). 故大桥CD的长度约为548m. 8.解：(1)根据题意可知，∠ACM=3,AC=100√5m, AM=AC·sg=1005x2 =200(m) 故无人机的飞行高度AM为200m. (2)根据题意可知，∠ECD=a,AB=30m,∠FBD =30°. 如图，过点B作BG⊥MC于点G,交AC于点H. B .30 M G C罐D :AB∥CM, ∴.∠BAH=∠ACM=B, .BH=AB·tan3=30X2=60(m), ∴.HG=BG-BH=200-60=140(m). ,AB∥CM, ∴.△HBA△HGC, ..AB CG=BH GH, ∴.30：GC=60:140,解得GC=70. :∠GBD=90°-30°=60°， .GD=BG·tan∠GBD=200×√3=200√3(m), ∴.CD=GD-GC=(200√3-70)m, ∴DE=CD:aw=(20,5-70)X≈207.3m. 故标志物DE的高度约为207.3m. 35y 上册详解详析 第4课时坡度、坐标系中的倾斜角问题 1.A 2.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E. ,斜坡AB的坡度为1：3， BE 1 AE=3AE=3BE. 在Rt△ABE中，AB=BE+AE,即(10√0)=BE+ (3BE)2, 解得BE=10. 故平台BN的高度为10m. (2)如图，延长CD交AM于点F,则CF⊥AM, .四边形BEFD为矩形， ,∴.DF=BE=10m,BD=EF 设CD=xm,则CF=(x+l0)m. 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， AFAF tan∠CAp气E&3=x十10 3 10)m, 在Rt△CBD中，∠CBD=60°， 则BD tan∠CBD-3xm, 由(1)可知，AE=3BE=30m, √3(x+10)- 3x=30,解得x=15V3-15. 故建筑物的高度为(15√3-15)m. B60 i=13 D A30° 3.B【解析】如图，过点F作AB⊥y 轴交y轴于点A,过点G作GB⊥ AB于点B, 则∠FGO+∠FGB=90°，∠BFG +∠FGB=90°，∠AEF+∠AFEO =90°， ,∴.∠BFG=∠FGO ,AB⊥y轴，GB⊥AB,∠AOG=90°，∴.四边形 AOGB为矩形， ..AO=GB,AB=OG=17. :∠EFG=90°，.∠AFE+∠BFG=90°， ∴.∠AEF=∠BFG=∠FGO. 在R△AEF中，os∠AEP-S,即S-名，解得 AE=6. 由勾股定理，得AF=√EF一AE=8,∴.BF=AB一 AF=17-8=9. BF 在Rt△BFG中，cos∠BFG= 93 C,即C=5,解得FG =15. 由勾股定理，得BG=√FG一BF=12,则点F的坐 标是(8,12). 36 九年级数学HK版 4.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB 于点F,如图，则四边形DFEC为矩形， .'FE=DC=2.5 m,DF=CE=5 m. 在Rt△AFD中，背水坡AD的坡度i为1：1.2， .AF=1.2DF=1.2×5=6(m). CE 在Rt△CEB中，taaE3,EB三an30=53m, ∴.AB=AF+FE+EB=(8.5+5√3)m. D'DC GF E B (2)如图，延长CD至点D,延长BA至点A',连接 A'D',过点D'作DG⊥A'B于点G,则四边形D'DFG 为矩形， ..D'D=GF,D'G=DF=5 m. 由题意，得D'D=0.5m,A'G=1.4DG=7m, .GF=0.5m, ..A'A=A'G+GF-AF=1.5 m, ∴梯形D/A'AD的面积=2×0.5+1.5)X5=5 (m2). 故横截面增加的面积为5m. 模型构建专题解直角三角形 应用中的基本模型 1.解：连接DF交AH于点G,如图. 由题意，得CD=EF=GH= 1.6 m,DF CE 182 m,DF ⊥AH. D45.. 53 设DG=xm, ∴FG=DF-DG=(182-x)m. 在Rt△ADG中，∠ADG=45°， ∴.AG=DG=xm. 在Rt△AFG中，∠AFG=53°， ,∴.AG=FG·tan53°=(182-x)tan53°m, ∴x=(182-x)tan53°，解得x≈104， .AG≈104m, .AH=AG+GH≈104+1.6=105.6(m). 故风电塔筒AH的高度约为105.6m. 2.解：(1)，斜坡CD的坡度i=1：1, ∴.tana=DH：CH=1:1=1, .a=45°. 故斜坡CD的坡角a为45°. (2)在Rt△CDH中， a=45°， .'.CH=DH=12 m, ∠PCH=∠PCD+a=26+45°=71. 在Rt△PCH中， :tan∠PCH=CH H_PD+12≈2.90， 12 .PD≈22.8m. 22.8m>18m, ∴此次改造符合电力部门的安全要求.