专题6.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（6重难点题型+高分技法+高考真题）训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过6大重难点题型系统整合平面向量核心考点，提炼可迁移的解题方法，强化数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量的基本概念|4题|聚焦概念辨析，强调共线、相等向量的本质属性|从向量定义出发，构建概念认知基础| |平面向量的线性运算|5题|“爪子型”公式转化，几何性质辅助运算|承接概念，实现向量运算的几何化表达| |共线|6题|三点共线充要条件（λ倍关系）|深化线性运算，建立向量共线的判定体系| |平面向量的基本定理及应用|7题|基底表示法与三点共线定理|连接几何与代数，搭建向量分解的理论框架| |平面向量的直角坐标运算|7题|坐标运算法则，方程思想求解参数|实现向量运算的代数化，体现数形结合| |平面向量共线的坐标表示|8题|坐标成比例或行列式为零的充要条件|将共线判定转化为代数运算，强化运算能力|

专题5-1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、坐标计算向量的模 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 6．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 重难点题型1 平面向量的基本概念 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 1．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 2．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 【答案】BC 【难度】0.78 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积 【详解】选项A，任意两个向量不能比较大小，故A错误； 选项B，设的夹角为，则， 所以，即，故B正确； 选项C，由零向量的定义可知，零向量的长度为0，方向是任意的，故C正确； 选项D，零向量与任意向量平行，在同一平面内，对任意两个向量，必然满足且， 但这两个向量可以毫无关系，不一定平行，仅当共同平行的向量为非零向量时结论才成立，故D错误. 3．（多选题）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量）、数量积的运算律 【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 4．（多选题）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．非零向量、，满足且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 重难点题型2 平面向量的线性运算 （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，，，为的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量减法法则的几何应用、用基底表示向量 【详解】，为的中点，所以， 所以. 2．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，    . 3．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 4．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.5 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】本题考查平面向量的线性运算，解题的关键在于利用向量共线的性质，结合平行四边形的性质，将用和表示出来，先根据已知条件得到与的关系，再利用向量共线设出与的关系，进而得到与、的关系，最后根据求出． 【详解】已知，则． 因为为与的交点，所以，，三点共线，，，三点共线． 设（为实数），因为是平行四边形，所以，所以． 因为，，三点共线，所以存在实数，使得． 又因为， ，所以． ，解得． 所以． 根据向量减法的三角形法则，，将代入可得： ． 5．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 0 【难度】0.4 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量共线定理的推论、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 重难点题型3 共线 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=． 1．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 4．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 5．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 6．（2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【详解】若，，三点共线， 则存在实数满足，即， 又因为向量，不共线，所以， 因此. 重难点题型4 平面向量的基本定理及应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．（2026·湖北武汉·三模）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则、用基底表示向量 【详解】由图得，， 所以. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【详解】取中点，根据中位线性质易得， 所以． 3．（2026·山东德州·三模）已知点是所在平面内一点，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量 【详解】由，得， 所以. 4．（2026·陕西渭南·三模）如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直以及向量的数量积的运算求解即可. 【详解】因为，所以 已知点和，则. 因为，则， 化简得，解得. 5．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.76 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 6．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、由向量线性运算结果求参数、垂直关系的向量表示 【分析】根据条件得，设，以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系. 【详解】因为均在圆上,且，则，且， 不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则,由可得, ,则，故得. 7．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 重难点题型5 平面向量的直角坐标运算 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 1．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（    ） A．1 B．8 C． D．2 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【详解】，所以. 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【详解】解：． 3．（2026·湖北·二模）已知，，则（    ） A．25 B．16 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【详解】，则，故选D. 4．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 5．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 【答案】 【难度】0.82 【知识点】向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由图可得， 所以， 则. 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量，，则________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【详解】由，，得， 则. 7．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后表示出的坐标，代入中可求出的值，从而可求得结果. 【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以， 因为， 所以， 所以，解得，， 所以． 故答案为： 重难点题型6 平面向量共线的坐标表示 （1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【详解】由，得，解得，所以，， 则． 2．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.93 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【详解】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 3．（2026·云南·模拟预测）设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量，若，可得， 解，解得或， 所以是的充分不必要条件. 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 6．（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】已知向量，，则，， 若与平行，则，即. 7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，且，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，，且 所以，解得， 所以， 因此. 8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】先根据平行的坐标关系得出，最后应用数量积坐标公式计算求解. 【详解】因为，，， 所以，即， 从而． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5-1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 6．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 重难点题型1 平面向量的基本概念 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 1．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 2．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 3．（多选题）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 4．（多选题）已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．非零向量、，满足且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 重难点题型2 平面向量的线性运算 （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，，，为的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东临沂·二模）已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 重难点题型3 共线 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=． 1．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 4．（2026·浙江·二模）已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 5．（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．（2026·湖北孝感·二模）已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（   ） A． B．1 C． D．2 重难点题型4 平面向量的基本定理及应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： （1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． （2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． （3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点． 1．（2026·湖北武汉·三模）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·三模）已知点是所在平面内一点，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·三模）如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁盘锦·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 6．（2026·湖北黄冈·三模）已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 平面向量的直角坐标运算 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 1．（2026·湖南·模拟预测）已知向量，，则（    ） A．1 B．8 C． D．2 2．（2026·浙江金华·三模）已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·二模）已知，，则（    ） A．25 B．16 C．4 D．5 4．（2026·江西·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量，，则________. 7．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值______． 重难点题型6 平面向量共线的坐标表示 （1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 3．（2026·云南·模拟预测）设向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．6 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 6．（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，且，则______. 8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $