四川省达州市开江县普安中学2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题

**基本信息** 本试卷通过A卷基础巩固与B卷能力提升的分层设计，融合几何变换、方程应用及实际问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配九年级暑假复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|平行四边形判定、因式分解、平移性质|结合图形辨析，考查概念理解| |填空题|10/40|30°直角三角形、旋转角、根的判别式|融入尺规作图，强化空间观念| |解答题|8/78|旋转综合证明、分式方程应用、几何探究|18题旋转综合（12分）考查推理能力，25题军事演习应用（10分）体现应用意识，26题问题拓展（12分）培养创新意识|

四川省达州市开江县普安中学2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列命题中，错误的命题是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 3．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 4．如图，直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＜ax+4的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．x＞﹣1 D．x＜3 5．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是_______． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　　 ． 11．如图，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则旋转角α（0°＜α＜360°）为　　 °． 12．若关于x的方程3x2+2x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 13．如图，在△ABC中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心、大于PQ的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线BM交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．若△ABE周长为28，BE＝10，则△ADE的周长为_______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解下列方程：（1）x（x+5）＝24； （2）2（x﹣1）2﹣8＝0； （3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2； （4）（2027﹣x）2+（x﹣2026）2＝1． 15.（1）解分式方程：； （2）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 16．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 17．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 18．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为_______． 20．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为_______． 21．如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至E，使AE＝AB，点O是AC的中点，连接EO，EC．EC与AD相交于点F，若△CDF是等边三角形，CD＝2，则OE的长为_______． 22．已知关于x的不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程有增根，则不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为_______． 23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若，则的值为　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 25．军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 26．问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 参考答案以及试题分析 四川省达州市开江县普安中学2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列命题中，错误的命题是（　　） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题，不符合题意； B、两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，本选项说法为假命题，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法为真命题，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法为真命题，不符合题意； 故选：B． 2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【解答】解：A、（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16是多项式乘法运算，不符合题意； B、x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5，不是因式分解，不符合题意； C、x2+1≠（x+1）2，不是因式分解，不符合题意； D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，符合题意． 故选：D． 3．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（　　） A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm 【解答】解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴AD＝EF＝2cm，AE＝DF， ∵四边形ABFD的周长是19cm， ∴AD+AB+BF+DF＝19cm， ∴AD+AB+BE+EF+DF＝19cm， ∴2cm+AB+BE+2cm+AE＝19cm， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15cm， 故选：C． 4．如图，直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＜ax+4的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．x＞﹣1 D．x＜3 【解答】解：∵直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3）， ∴3＝﹣3m， ∴m＝﹣1， ∴A（﹣1，3）， 由图象可知，当x＞﹣1时，函数y＝﹣3x的图象在y＝ax+4的下方， 则不等式﹣3x＜ax+4的解集为x＞﹣1． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：a＝1，b＝﹣1，c＝m． 判别式Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4m， ∵方程没有实数根， ∴1﹣4m＜0， ∴． 故选：D． 6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即， 故选：B． 7．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 【解答】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选：D． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，∠BAD＝90°，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD，BE＝EO，即AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO＝6， ∴BD＝12， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是x　 ． 【解答】解：由题意得，1﹣2x≠0， 解得x， 故答案为：x． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　 ． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 11．如图，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则旋转角α（0°＜α＜360°）为　60　 °． 【解答】解：∵在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点， ∴∠BAC＝60°， ∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置， ∴旋转角α＝∠BAC＝60°， 故答案为：60． 12．若关于x的方程3x2+2x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k　 ． 【解答】解：∵关于x的方程3x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， 即4+12k＞0， k． 故答案为：k． 13．如图，在△ABC中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心、大于PQ的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线BM交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．若△ABE周长为28，BE＝10，则△ADE的周长为 　18　 ． 【解答】解：由题意得：BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠BED＝∠CBE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝DE， ∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝28-10＝18， 故△ADE的周长为18． 故答案为：18． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解下列方程：（1）x（x+5）＝24； （2）2（x﹣1）2﹣8＝0； （3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2； （4）（2027﹣x）2+（x﹣2026）2＝1． 【解答】解：（1）x（x+5）＝24， x2+5x﹣24＝0， （x+8）（x﹣3）， ∴x+8＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣8； （2）2（x﹣1）2﹣8＝0， （x﹣1）2﹣4＝0， [（x﹣1）+2][（x﹣1）﹣2]＝0， ∴（x﹣1）+2＝0或（x﹣1）﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3； （3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2， 整理得5y2+8y﹣2＝0， ∵a＝5，b＝8，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝82﹣4×5×（﹣2）＝104＞0， ∴y， ∴，； （4）设2027﹣x＝a， 则原方程可化为a2+（a﹣1）2＝1， 整理得2a2﹣2a＝0， 2a（a﹣1）＝0， ∴2a＝0或a﹣1＝0， ∴a＝0或a＝1， ∴2027﹣x＝0，2027﹣x＝1， 解得：x1＝2027，x2＝2026． 15.（1）解分式方程：； （2）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 【解答】解：（1）． 方程两边同乘3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1）， 解得， 检验，当时，3（x﹣1）≠0， ∴原方程的解为； （2） ， ∵x﹣1≠0，x≠0，x﹣3≠0， ∴x≠0，1，3， ∴x＝2， 当x＝2时，原式． 16．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA， ∴ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF， ∵AB＝DC＝DF， ∴AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAC＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB（180°﹣80°）＝50°， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°． 17．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下： 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． 18．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE； （2）解：BDCD． 理由：连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R， 由（1）可知∠CAD＝∠CBE， ∵∠ARC＝∠BRD， ∴∠ACR＝∠BKR＝90°， ∴AD⊥BE， ∵AB＝AE， ∴AD垂直平分BE， ∴DE＝BD， 又∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DECD， ∴BDCD； （3）解：过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC， 则∠POM＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点， ∴CO⊥AB，COAB＝OB， ∴∠COB＝∠POM＝90°， ∴∠POC＝∠MOB， ∴△POC≌△MOB（SAS）， ∴CP＝BM＝7，∠OPC＝∠OMB， 又∵∠OHP＝∠QHM， ∴∠PQM＝∠POM＝90°， ∵∠BMC＝45°， ∴△CMQ是等腰直角三角形， ∴CQ＝MQ， 在Rt△POM中，PMOM＝13， 设CQ＝QM＝x，则PQ＝x+7， 在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+7）2＝（13）2， 解得：x＝5（x＝﹣12舍去）， ∴QM＝5， ∴CMQM＝10． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为 x　 ． 【解答】解：BD， ∵AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 设BE＝x，则DEx， ∴， 解得：x． 故答案为：． 20．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为　2或2　 ． 【解答】解：由题意得x2﹣4x﹣3＝﹣2， 整理得：x2﹣4x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x， 即x的值为2或2， 故答案为：2或2． 21．如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至E，使AE＝AB，点O是AC的中点，连接EO，EC．EC与AD相交于点F，若△CDF是等边三角形，CD＝2，则OE的长为 　　 ． 【解答】解：∵△CDF是等边三角形， ∴CD＝CF＝DF＝2，∠D＝∠DCF＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠D＝60°，∠AEF＝∠DCF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵AE＝AB， ∴AE＝EF＝AF＝2， ∴AF＝EF＝CF＝2， ∴EC＝4，∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴∠EAC＝90°， ∴AC2， ∵点O是AC的中点， ∴AO， ∴EO， 故答案为：． 22．已知关于x的不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程有增根，则不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为 　　 ． 【解答】解：解不等式x﹣a≤0，得：x≤a， 解不等式2x＞﹣2，得：x＞﹣1， ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为0，1，2，3， ， 方程两边同乘以（y+3），得2﹣y﹣3＝m， 解得y＝﹣m﹣1， ∵关于x的分式方程有增根， ∴﹣m﹣1＝﹣3， 解得m＝2， ∴不等式mx≥x+m为2x≥x+2， 解得x≥2， ∴x＝2和3是不等式的解， ∴不等式组的整数解x是不等式mx≥x+m的解的概率为． 故答案为：． 23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若，则的值为　　 ． 【解答】解：∵， ∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k， ∵∠C＝90°， ∴ADk， ∵BE⊥AE， ∴∠E＝∠C＝90°， ∵∠CDA＝∠BDE， ∴△ACD∽△BED， ∴， ∴， ∴BEk， ∴， 故答案为． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 25．军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务． （1）求舰艇A，B的速度； （2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天． ①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式； ②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？ 【解答】解：（1）设舰艇A的速度的速度为x千米/小时，则舰艇B的速度的速度为2x千米/小时， 根据题意得：， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的根， 此时2x＝120， 答：舰艇A的速度的速度为60千米/小时，则舰艇B的速度的速度为120千米/小时； （2）①根据题意得：W＝50a+40（30﹣a）＝10a+1200， ∴总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式为W＝10a+1200； ②∵30﹣a≤2a， 解得a≥10， 在W＝10a+1200中， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当a＝10时，W最小，最小值为1300， 答：舰艇A应巡航10天，巡航的费用最少． 26．问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点， ∴，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， ∴， ∵∠EBF＝∠C＝90°， ∴△BCD∽△FBE； （2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形． ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， ∵AM∥BC， ∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE， ∴△AME≌△BFE（AAS）， ∴AM＝BF， ∵AD＝2CF，CF＝DH， ∴AH＝DH＝CF， ∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC， ∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°， ∴△MFH≌△BDC（SAS）， ∴∠AMF＝∠CBD， 又∵∠AMF＝∠BFG， ∴∠CBD＝∠BFG， ∴BG＝FG； 方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH， ∵E是AB中点，H是BD中点， ∴EHAD，EH∥AD， ∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥CF， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠HCB＝∠GFB， ∵∠BCD＝90°，H是BD中点， ∴CHBD＝BH， ∴∠HCB＝∠HBC， ∴∠GFB＝∠HBC， ∴BG＝FG； （3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形， ∴CF＝DM， ∵AD＝2CF， ∴AM＝DM＝CF， 设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF， ∴AFa， ∵AG＝FG，BG＝FG， ∴AG＝BG， ∵E是AB中点， ∴FE垂直平分AB， ∴BF＝AFa， ∵H是BD中点， ∴EH是△ABD中位线， ∴EHAD＝a，EH∥AD∥BC， ∴△EGH∽△FGB， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $