2.1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过乡村振兴种植园、相框边框等实际问题引导学生列方程，复习一元一次方程“元”“次”概念，类比构建知识支架，自然引出新知。 特色在于生活化情境与数学建模结合，如种植园面积、文创增长率问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过类比归纳概念发展推理意识，强化模型意识，分层练习与当堂检测助力巩固，为教师提供清晰流程，提升课堂效率。

同步练习 2.1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 夯实基础 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程中，二次项系数是（　　） A．3 B．4 C． D． 3．若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（　　） A． B．2 C． D．5 4．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 5．若关于的方程是一元二次方程，则　　 ． 6．写出下列各个方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）． 能力提升 7．下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于的一元二次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9.电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作，则方程可以列为 ． 10．将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．写出关于的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式． 思维拓展 11．关于的方程， （1）当满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 答案详解 1．解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、，整理得，是一元二次方程，故此选项符合题意； 、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：． 2．解：一元二次方程中，二次项系数是3， 故选：． 3．解：方程， 整理得：， 则常数项是． 故选：． 4．解：设矩形的一边长为米， 根据题意得，． 故选：． 5．解：根据题意可知，未知数的最高次数为2，可得， 解得：， 此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：1． 6．解：（1）整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，，1； （2）整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，； （3）整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，，0； （4）整理得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为5，，0； 7．解：①，是一元二次方程； ②，当时方程不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理方程得：，不是一元二次方程； 故选：． 8．解：设竹竿的长为尺，则门宽尺，门高尺， 根据题意得：． 故选：． 9.解：根据题意得：． 故答案为：． 10．解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：， 则根据题意，列出关于的方程为：． 整理，得． 该方程属于关于的一元二次方程． 11．解：（1）关于的方程是一元二次方程， ， ， 所以时关于的方程是一元二次方程； （2）关于的方程是一元一次方程， 且， ， 时关于的方程是一元一次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1　认识一元二次方程 第1课时　一元二次方程 【课堂引入】 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长，宽的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，根据题意列出方程． 待学生列出方程后教师提问：这样的方程我们以前学过吗？那么它又有什么样的特点呢？ 【教学目标】 课题 第1课时　一元二次方程 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项． 3．通过运用数学知识解决实际问题，激发学生的学习热情和积极性．让学生能运用数学思维思考一元二次方程的有关概念，感受数学学习过程中的乐趣，增强学好数学的愿望与信心. 教学重点 掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，并能用这些概念解决简单问题. 教学难点 把实际问题转化为一元二次方程模型. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识． 课件展示： 1．一元一次方程中的“一元”是指1个未知数，“一次”是指未知数的次数是1，一元一次方程左右两边都是整式的形式． 2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝1. 回顾一元一次方程的概念，理解“元”和“次”的含义，有助于学生类比得到一元二次方程的概念. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 问题1: (多媒体出示)要做一个长方形艺术相框，相框外框长，宽，内部照片区域面积为，相框四周边框的宽度处处相等。你能求出边框的宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？ 问题2: (多媒体出示)校园手工社团制作文创小摆件，一月份生产 50 件，往后两个月每月按相同的百分率增长，三月份产量达到 72 件。求月平均增长率。根据题意，你能列出怎样的方程？ 问题3: (多媒体出示)如图，一架长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙多少米吗？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？ 本活动的设计意图在于引导学生通过自主探究、合作交流，对具体问题形成从形象到抽象认识，训练学生从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识，提高学生的抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 由【课堂引入】，我们可以得到三个方程： ， ， (x＋6)2＋72＝102， 化简，得 ， ， x2＋12x－15＝0. 上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程． 我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导. 对一元二次方程概念的归纳体现了学生对一元二次方程特征的认识，是知识的一次升华，能培养学生的概括能力，突出教学重点. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　例1　下列方程是一元二次方程的是（　A　） A． B． C． D． 例2　若方程(m－1)xm2＋1－x－2＝0是一元二次方程，则m的值为－1． 例3　把一元二次方程化成一般形式，正确的是（　A　） A． B． C． D． 　 续表 教学步骤 互动探究 设计意图 活动3：开放训练、体现应用 　例4　已知关于x的方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0. (1)当k取何值时，方程是一元一次方程？ (2)当k取何值时，方程是一元二次方程？ 解：(1)由k－5＝0且k＋2≠0，得k＝5. 所以当k＝5时，方程是一元一次方程． (2)由k－5≠0，得k≠5. 所以当k≠5时，方程是一元二次方程． 【变式训练】 1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D) A．ax2＋bx＋c＝0 B．(m－3)x2－2x＝0 C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0 D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0 2．一个两位数等于它的两个数字的积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，根据题意，可列出方程为10(x－2)＋x＝3x(x－2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 让学生通过练习，巩固和加深对新知的理解，培养其严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力. 活动4：课堂检测 【随堂检测】 1.若方程(m2－1)x2＋mx－5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是(C) A．0 B．1 C．±1 D．－1 2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　D　） A．2，，1 B．2，3， C．2，3，1 D．2，， 3．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为(60－x)x＝864． 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”. 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第32页随堂练习第1，2题，教材第35页习题2.1第1，2题. 让学生归纳本节课学习的主要内容，对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯. 教学反思 　　本节课的教学亮点突出新旧知识衔接与生活化教学。课堂以一元一次方程为依托，通过类比辨析，引导学生自主总结一元二次方程的核心特征，降低新知学习难度。同时选取相框几何面积、文创产量增长率等贴近学生生活的实例，引导学生梳理等量关系、建立方程，落实数学建模素养，让学生体会知识的实用价值。此外，课堂重点强调了二次项系数不为0、实际解需检验等易错点，帮助学生规避基础思维误区。 本节课教学仍存在明显不足。一是学生主体性发挥不足，课堂讲解偏多，留给学生自主探究、归纳总结的时间有限，部分学困生对核心概念理解不够透彻。二是教学梯度性欠缺，应用题建模引导较为笼统，未层层递进拆解问题，导致部分学生难以独立梳理等量关系，建模能力得不到有效锻炼。三是缺少分层教学，教学节奏和练习适配中等生，对学困生帮扶、优等生拓展不足。 针对以上问题，后续我将优化教学策略。首先精简课堂冗余讲解，预留充足时间开展小组讨论、自主归纳，凸显学生主体地位，深化学生对概念的理解。其次细化应用题教学步骤，分层拆解问题，循序渐进引导学生完成建模过程，突破学习难点。最后落实分层教学，设计梯度化练习，兼顾不同层次学生学情。同时持续强化概念辨析与解题规范训练，夯实学生基础，为后续一元二次方程解法及综合应用教学做好充分铺垫 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $