3.4 函数的应用（一）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的应用，核心知识点包括一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型。通过情境导入联系现实实例，搭建从已学函数知识到实际应用的学习支架，引导学生体会函数模型解决问题的过程。 其亮点在于精选8个贴近生活的实例，如弹簧拉力、刹车距离、阶梯水价等，结合数学眼光观察现实问题，数学思维分析建模过程，数学语言表达函数关系。课堂小结系统梳理模型类型与解题步骤，帮助学生提升应用意识与实践能力，也为教师提供清晰的教学思路与丰富素材。

3.4函数的应用（一） 情境导入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密 联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决 实际问题的过程与方法． 例1、下表是弹簧伸长长度x(单位：cm) 与拉力F(单位：N) 的相关数据： x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F 1 2 3 4 5 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 例2、若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(单位：m) 与刹车时的速率x(单 位：km/h) 的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距 离为20m．在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的 距离为50m，那么这辆车是否超速行驶？ 例3、某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m) 的矩形广告牌，如何设计这个 广告牌可以使广告牌的面积最大？ 例4、要建造一个容积为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2， 池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在 7万元以内（精确到0.1m）？ 例5、某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则 (1) 设总成本为y1(单位：万元)，单位成本为y2(单位：万元)，销售总收入为y3(单位： 万元)，总利润为y4(单位：万元)，分别求出它们关于总产量x(单位：件) 的函数解析式； (2) 根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析． 例6、某人开汽车以60km/h的速率从 A 地到150km远处的 B 地，在 B 地停留1h后，再以50km/h的速率返回 A 地．把汽车与 A 地的距离x(单位：km) 表示为时间t(单位：h)（从 A 地出发时开始）的函数；再把车速v(单位：km/h) 表示为时间t的函数，并分别画出这两个函数的图象． 例7、为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行 “阶梯水价”． 计费方法如下表： 若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量． 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 例8、图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象． (1) 试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； (2) 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3） 所示．你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ (2)图(2)的建议是: 降低成本而保持票价不变；图(3)的建议是: 提高票价而保持成本不变. y＝kx＋b　 y＝ax2＋bx＋c 　 二、解决函数应用问题的步骤 1.审题；2.建模；3.解模；4.还原． 一、常用函数模型 y＝axn＋b　 三、在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 课堂小结 常用函数模型 一次函数模型 (k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 (a，b，c为常数，a≠0) 幂函数模型 (a，b，n为常数，a≠0) 分段函数 $