第3章 3.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质及应用（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质及应用，核心知识点包括直线与双曲线的位置关系、弦长计算、中点弦问题及常见结论应用。课堂导入以上节课几何性质为基础，通过类比椭圆位置关系自然过渡，搭建知识衔接的学习支架，引导学生逐步深入综合应用。 其亮点在于以问题驱动和类比迁移培养数学眼光，通过分类讨论（如二次项系数是否为0）发展数学思维，以规范解题步骤和结论总结强化数学语言。例如直线与双曲线位置关系例题中强调判别式与渐近线平行的特殊情况，帮助学生深化理解，教师可利用分层练习提升教学效率。

第2课时 双曲线的简单几何性质及应用 第3章　3.2.2　双曲线的简单几何性质 <<< 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长问题. 3.能用双曲线的性质解决问题. 学习目标 导 语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 一、直线与双曲线的位置关系的判断 二、弦长的计算及中点弦问题 课时对点练 三、双曲线中的常见结论及应用 随堂演练 内容索引 一 直线与双曲线的位置关系的判断 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 问题 提示　有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况. 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有 公共点. (3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点. 当a=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 公共点. 两个 一个 没有 一个 知识梳理 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 注 意 点 <<< 8 已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点； 例 1 9 联立消去y， 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由 得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个公共点. 解 10 (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； 由得k=±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1-k2=0，即k=±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x=5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当k=±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. 解 11 (3)直线l与双曲线没有公共点. 由得k<-或k>， 此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线没有公共点. 解 12 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 反 思 感 悟 13 (课本例6)　讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. 跟踪训练1 由消去y得x2-(x+b)2=1. 整理得2bx+b2+1=0. ① 如果b=0，则方程①变为1=0，无解.此时直线与双曲线无公共点.事实上，此时直线为y=x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点. 如果b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点. 解 14 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的 取值范围为 　　　　　　　　.  跟踪训练1 15 将y=kx+2代入双曲线方程整理可得x2-4kx-10=0， 设直线与双曲线右支交于两点， 则 解得-<k<-1，即k的取值范围为. 解析 16 二 弦长的计算及中点弦问题 已知双曲线C：x2-y2=2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为 A.3 B.4 C.6 D.6 例 2 √ 18 双曲线C：-=1，则c2=4， ∴右焦点为F(2，0)， 根据题意易得过F的直线斜率存在， 设方程为y=k(x-2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立 化简得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0， ∴xA+xB=，xAxB=. 解析 19 ∵线段AB中点的横坐标为4， ∴xA+xB==8， 解得k2=2，∴xAxB==10， 则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24， 则|AB|===6. 解析 20 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 反 思 感 悟 21 已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练 2 22 方法一　设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1， 代入双曲线方程x2-=1， 得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0， ∴ 解得k<，且k≠±. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=. 解 23 ∵点B(1，1)是弦的中点， ∴=1，∴k=2>. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 解 24 方法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=2， 且 由①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0， ∴kMN==2， ∴直线MN的方程为y-1=2(x-1)， 解 25 即y=2x-1. 由消去y，得2x2-4x+3=0. 又Δ=-8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 解 26 三 双曲线中的常见结论及应用 设F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=120°，则点P到x轴的距离为 A. B. C. D. 例 3 √ 28 设点P到x轴的距离为h，由双曲线-=1得a=，b=2，c=，|F1F2|=2=|F1F2|×h= =×2×h=，故h=. 解析 29 双曲线-=1(a>0，b>0)中常用到的结论 (1)P为双曲线上异于实轴端点的一点，∠F1PF2=θ，则=. (2)已知斜率存在的直线l与双曲线交于A，B两点，点M是AB的中点，O为坐标原点，则kOM·kAB=. (3)已知A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，则kPA·kPB=. (4)已知P(x0，y0)是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为-=1. 反 思 感 悟 30 已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)，直线l：9x+y-13=0经过点P，且与双曲线E交于A，B两点，若P恰好是弦AB的中点，则双曲线E的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x 跟踪训练 3 √ 因为P是弦AB的中点，O为坐标原点，则kOP·kAB=，而kOP=-，kAB=-9，故=-×(-9)=3，=，所以双曲线E的渐近线方程为y=±x. 解析 31 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系的判断. (2)弦长的计算与中点弦问题. (3)双曲线中的常见结论及应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：判断直线与双曲线的公共点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论.代数计算中的运算失误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0，b>0)的交点个数是 A.1 B.2 C.1或2 D.0 √ 由双曲线-=1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y=±x， 因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行， 所以它与双曲线只有1个交点. 解析 1 2 3 4 2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) √ 将y=x-1代入2x2-y2=3， 得x2+2x-4=0， 由此可得弦的中点的横坐标为==-1，纵坐标为-1-1=-2. 解析 1 2 3 4 3.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为 A.(-2，2) B.[-2，2) C.(-2，2] D.[-2，2] 易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0， 由Δ>0可得-2<k<2. 解析 √ 4.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　　　.  由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y=±x，把x=2代入渐近线方程，得y=±2，故|AB|=4. 解析 1 2 3 4 4 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A C B C AC 3x+4y-5=0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 2((1，]内的任意值均可) D AC BCD BCD 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 由 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 答案 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则1==(2-k2≠0)， 解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， 故直线AB的方程为y=x+1. 答案 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当a=时， 双曲线C的方程为4x2-y2=1， 联立消去y，得3x2+2x-2=0. 设l与C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=-， 于是|AB|=·=×=. 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中， 得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0， 所以 解得0<a<且a≠1. 答案 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又双曲线的离心率e===， 所以e>且e≠， 即离心率e的取值范围是∪(，+∞). 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)解　由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为-=1. 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明　将l：x=my+1代入双曲线C：-=1， 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2-1≠0， Δ=32m2-8>0， y1+y2=-，y1y2=-. 直线AE的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yM=+2； 答案 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线AF的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yN=+2. ∵+ ==-4， ∴yM+yN=0，又B(1，0)， ∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点. 答案 基础巩固 1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点. 解析 2.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点，则a的值可以是 A.4 B.2 C.1 D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 因为在双曲线-y2=1中，x≥2或x≤-2，所以若x=a与双曲线有两个交点， 则a>2或a<-2，故只有A符合题意. 解析 3.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 设点P(x，y)，由题意知k1·k2=·====3， 所以其渐近线方程为y=±x. 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由已知条件易得直线l的斜率 k==1， 设双曲线E的方程为-=1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则-=1， ① -=1， ② x1+x2=-24，y1+y2=-30， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由①②得==1， 又因为a2+b2=c2=9， 故a2=4，b2=5，所以E的方程为-=1. 解析 5.设双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 设双曲线的半焦距为c， 则F(c，0)，将x=c代入双曲线-=1， 得y=±，不妨取C，B， 又A1(-a，0)，A2(a，0)， 故==-==. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为A1B⊥A2C， 故-×=-1， 即=1，即=1， 所以a=b，故该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 解析 6.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3，)，则下列结论正确的是 A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y=±x D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 由双曲线C：-=1过点(3，)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为-y2=1.所以a=，b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为==，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确； 将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ=-4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.过点A(3，-1)且被点A平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是 　　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3x+4y-5=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y+1=k(x-3)， 代入-y2=1， 消去y得关于x的一元二次方程 (1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0)， ∴-=6，∴k=-(满足Δ>0)， ∴所求直线方程为3x+4y-5=0. 解析 8.记双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y= 2x与C无公共点”的e的一个值　　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2((1，]内的任意值均可) 双曲线C的渐近线方程为y=±x，若直线y=2x与双曲线C无公共点， 则2≥，∴≤4，∴e2==1+≤5， 又e>1，∴e∈(1，]， ∴填写(1，]内的任意值均可. 解析 9.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 由 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则1==(2-k2≠0)， 解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， 故直线AB的方程为y=x+1. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 解 10.已知直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1(a>0). (1)若a=，求l与C相交所得的弦长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当a=时， 双曲线C的方程为4x2-y2=1， 联立消去y，得3x2+2x-2=0. 设l与C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=-， 于是|AB|=·=×=. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 将y=-x+1代入双曲线-y2=1中，得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0， 所以解得0<a<且a≠1. 又双曲线的离心率e===， 所以e>且e≠， 即离心率e的取值范围是∪(，+∞). 解 11.(2023·天津)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|=2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为过F2(c，0)作一条渐近线y=x的垂线，垂足为P，则|PF2|==b=2， 所以b=2， ① 联立可得x=，y=， 即P， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为直线PF1的斜率为=， 整理得(a2+c2)=4ab， ② a2+b2=c2与①②联立得，a=，b=2， 故双曲线的方程为-=1. 解析 12.(多选)设A，B为双曲线x2-=1上的两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是 A.(2，0) B.(-2，4) C.(1，4) D.(-1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=n，依题知n<-1或n>1，此时线段AB的中点为(n，0)，则选项A中的点满足题意，则A正确； 当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m， 联立 消去y得x2+2kmx+m2+4=0， 由题知k2-4≠0， ① Δ=4k2m2-4(k2-4)(m2+4)>0， 化简为k2<m2+4， ② 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)， 则x1+x2=， y1+y2=k(x1+x2)+2m=， 所以x0=，y0=，即=， 对于B，可得k=-2，不满足条件①，故B错误； 对于C，可得k=1，m=3，满足条件①②，故C正确； 对于D，可得k=-4，m=-3，不满足条件②，故D错误. 解析 答案 13.(多选)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是 A.直线PF1与直线PF2的斜率之积为 B.|PQ|的最小值为 C.若|PQ|=2，则△PF1Q的周长为8 D.点P到两条渐近线的距离之积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，F1(-，0)，F2(，0)， 设P(m，n)，则2m2-3n2=6，又·=·==，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直 于x轴的弦的长度最小， 即|PQ|的最小值为==，故B正确； 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2a， 所以|PF1|+|QF1|=4a+|PF2|+|QF2|=4a+|PQ|， 故△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=4a+2|PQ|=4+4=8，故C正确； 由双曲线的渐近线方程为x±y=0， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ·==，故D正确. 解析 14.设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的 一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 双曲线-=1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y=±x.不妨设直线FB的方程为y=(x-5)，代入双曲线方程整理，得x2-(x-5)2=9， 解得x=，y=-，∴B. ∴S△AFB=|AF|·|yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×=. 解析 15.(多选)已知双曲线C：x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x= my-1(m∈R)与C的左、右两支分别交于M，N两点(点N在第一象限)，点P在直线l上，点Q在直线NF2上，且QF1∥PF2，则 A.C的离心率为3 B.当m=时，|MN|= C.∠PF2M=∠NF2P D.|QF2|为定值 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意得，a=1，b=，c=2，e==2，故A错误； 联立y2-2y=0， 解得y=0或y=，则|MN|=×=，故B正确； 解析 由直线l：x=my-1(m∈R)可知M(-1，0)，又F2(2，0)，P，故P在线段MF2的垂直平分线上， 设PM，PF2的斜率分别为k，-k，M(-1，0)， 故直线MP的方程为y=k(x+1)， 联立 得(3-k2)x2-2k2x-k2-3=0，则3-k2≠0， 设N(x1，y1)，又点N在第一象限，则x1=，0<k<，故N. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当NF2⊥x轴时，x1==2，解得k=1，y1=3，故△MF2N是等腰直角三角形，且易知∠PF2M=∠NF2P=45°； 当NF2不垂直于x轴时，则k≠1，直线NF2的斜率为 =，故tan∠NF2M=-，因为tan∠PF2M=k， 所以tan 2∠PF2M==tan∠NF2M，所以2∠PF2M= ∠NF2M，∠PF2M=∠NF2P，故C正确； 因为QF1∥PF2，故∠F2F1Q=∠PF2M=∠NF2P=∠F2QF1，故|QF2|=|F1F2|=4，故D正确. 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2，2)，且△AF1F2的面积为2. (1)求双曲线C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为-=1. 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)直线l：x=my+1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x=1交于点M，N，证明：B是MN的中点. 将l：x=my+1代入双曲线C：-=1， 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2-1≠0， Δ=32m2-8>0， y1+y2=-，y1y2=-. 直线AE的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yM=+2； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 直线AF的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yN=+2. ∵+ ==-4， ∴yM+yN=0，又B(1，0)， ∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点. 证明 第3章　3.2.2　双曲线的简单几何性质 <<< $