第1章 再练一课(范围：§1.3)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦数列核心知识，涵盖等比数列、等差数列的通项公式、前n项和公式及综合应用，通过练习题导入，如从方程根确定等比数列（第10题），连接方程与数列知识，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于分层设计题型（选择、填空、解答），结合《张丘建算经》织布问题培养数学眼光，通过错位相减法推导等过程训练数学思维与符号表达能力。学生能巩固知识提升解题逻辑，教师可直接用于课堂练习和方法示范。

再练一课(范围：§1.3) 第1章　数列 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B A A AD CD 题号 9 10 11 　12 答案 BD 31 4 3- 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)S8=1×=-85. (2)由a4=a1q3，得96=-·q3，解得q=-4，所以S4=-×=. (3)由S5=a1×=，得a1=2，所以a5=a1q4=. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵{an}的公差为d=2， ∴a2=a1+2，a3=a1+4. ∵a1+1，a2+2，a3+4成等比数列， ∴(a1+1)(a1+8)=， 解得a1=8， 从而an=8+2(n-1)=2n+6. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(1)得an=2n+6， ∴an-2n=2n+6-2n， ∴Sn=(8+10+…+2n+6)-(2+22+…+2n) =- =n(n+7)-(2n+1-2) =n2+7n-2n+1+2. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当n=1时，由4S2=3S1-9，得4(a1+a2)=3a1-9，则4a2=-9=-，解得a2=-， 当n≥2时，由4Sn+1=3Sn-9， ① 得4Sn=3Sn-1-9， ② ①-②得4an+1=3an， ∵a2=-≠0，∴an≠0，∴=， 又=，∴{an}是首项为-的等比数列， ∴an=-×=-3×. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由3bn+(n-4)an=0， 得bn=-an=(n-4)·， ∴Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)·， Tn=-3×-2×-1×+…+(n-5)·+(n-4)·， 两式相减得Tn=-3×++++…+-(n-4)· 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 =-+-(n-4)· =-+-4×-(n-4)· =-n·， ∴Tn=-4n·. 一、单项选择题 1.等比数列{an}中，若a2=，a5=，则a8等于 A.12 B.10 C.8 D.4 设等比数列{an}的公比为q， 则 所以a8=a1×q7=×27=4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 2.方程x2-5x+4=0的两根的等比中项是 A.-2和2 B.1和4 C.2和4 D.2和1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由一元二次方程根与系数的关系可知方程x2-5x+4=0的两根之积为4， 又因为4=(±2)2，故方程x2-5x+4=0的两根的等比中项是±2. 解析 √ 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，a5=16，则S10等于 A.1 023 B.511 C.-1 023 D.-511 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设{an}的公比为q，由题意可得q3==8，所以q=2， 由题意可得a1==1， 故S10===1 023. 解析 √ 4.已知等差数列{an}的公差d为正数，等比数列{bn}的公比为q，若a1=b1=1，a2=b2，a14=b4，则d+q等于 A.4 B.5 C.6 D.7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由a2=b2，a14=b4，得 ∵d>0，∴q>1，所以=13，∴q2+q-12=0，解得q=3，d=2，d+q=5. 解析 √ 5.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，a1=b1>0，a4=b4>0，则下列说法正确的是 A.a2+a3>b2+b3 B.a2+a3<b2+b3 C.a2+a3=b2+b3 D.a2+a3与b2+b3的大小不确定 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是等比数列，设公差、公比分别为d，q， ∴a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3) =b1(1+q)(1-q+q2)，b2+b3=b1q(1+q)， ∵数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=b1>0，a4=b4>0，∴q>0，q≠1， ∵q2-q+1-q=q2-2q+1=(q-1)2>0， ∴a2+a3>b2+b3. 解析 6.设数列{an}的通项公式为an=2n+1，数列的前m项和Tm=，则m的值为 A.8 B.10 C.12 D.20 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ==-，Tm=+++…+ =-， 则-=，得2m+1+1=513，解得m=8. 解析 二、多项选择题 7.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且2Sn=3an+m，则 A.m=-1 B.{an}是等差数列 C.an= D.Sn= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=1时，2S1=2a1=3a1+m，因为a1=1，所以m=-1，故A正确； 于是2Sn=3an-1，当n≥2时，2Sn-1=3an-1-1，所以2an=2Sn-2Sn-1=3an-1- (3an-1-1)=3an-3an-1，即an=3an-1，即=3， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故an=3n-1，Sn=， 故BC错误，D正确. 解析 8.设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2=，a3a5=，则 A.a1= B.S3= C.an+Sn为常数 D.{Sn-2}为等比数列 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，所以a3a5=a2qa2q3=q4=q4=，则q=，又因为a2=a1q=a1=，则a1=1，故A错误； an=a1qn-1=，Sn==2=2-，S3=2-=，故B错误； an+Sn=+2-=2，故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sn-2=2--2=-==，故{Sn-2}为等比数列，故D正确. 解析 9.《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n天所织布的尺数为an，bn=，则 A.b10=8b5 B.数列{bn}是等比数列 C.a1b30=105 D.= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，首项a1=5， 则30a1+=9×4×10+30=390， 解得d=，∴an=a1+(n-1)d=. ∵bn=，∴===2d， ∴数列{bn}是等比数列，B选项正确； ∵5d=5×=≠3，∴==25d≠23，A选项错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a30=a1+29d=21，∴a1b30=5×221>105，C选项错误； a4=a1+3d=5+3×=， a5=a1+4d=5+4×=， ∴===，D选项正确. 解析 三、填空题 10.已知数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 由x2-3x+2=0，解得x=1或x=2， ∵数列{an}为递增的等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根， ∴a1=1，a2=2，∴公比q=2， ∴其前5项和S5==31. 解析 11.已知等比数列{an}的公比为q，且16a1，4a2，a3成等差数列，则q=　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 因为{an}为等比数列，且公比为q，所以a2=a1q，a3=a1q2且a1≠0，q≠0.因为16a1，4a2，a3成等差数列，所以16a1+a3=2×4a2， 即16a1+a1q2=2×4a1q，整理得q2-8q+16=0，解得q=4. 解析 12.已知数列{an}的首项为2，且满足an+1=，则=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题知，==+-3=， 所以=-3=-， 所以数列是以-为公比的等比数列， 所以-3=×=-， 则=3-. 解析 四、解答题 13.在等比数列{an}中， (1)已知a1=1，公比q=-2，求前8项和S8； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S8=1×=-85. 解 (2)已知a1=-，a4=96，求前4项和S4； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由a4=a1q3，得96=-·q3，解得q=-4，所以S4=-×=. 解 (3)已知公比q=，前5项和S5=，求a1，a5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由S5=a1×=，得a1=2，所以a5=a1q4=. 解 14.在公差为2的等差数列{an}中，a1+1，a2+2，a3+4成等比数列. (1)求{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵{an}的公差为d=2， ∴a2=a1+2，a3=a1+4. ∵a1+1，a2+2，a3+4成等比数列， ∴(a1+1)(a1+8)=， 解得a1=8， 从而an=8+2(n-1)=2n+6. 解 (2)求数列{an-2n}的前n项和Sn. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)得an=2n+6， ∴an-2n=2n+6-2n， ∴Sn=(8+10+…+2n+6)-(2+22+…+2n) =- =n(n+7)-(2n+1-2) =n2+7n-2n+1+2. 解 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且4Sn+1=3Sn-9. (1)求数列{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=1时，由4S2=3S1-9，得4(a1+a2)=3a1-9，则4a2=-9=-，解得a2=-， 当n≥2时，由4Sn+1=3Sn-9， ① 得4Sn=3Sn-1-9， ② ①-②得4an+1=3an， ∵a2=-≠0，∴an≠0，∴=， 又=，∴{an}是首项为-的等比数列， ∴an=-×=-3×. 解 (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0，求{bn}的前n项和Tn. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由3bn+(n-4)an=0， 得bn=-an=(n-4)·， ∴Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)·， Tn=-3×-2×-1×+…+(n-5)·+(n-4)·， 两式相减得Tn=-3×++++…+-(n-4)· 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 =-+-(n-4)· =-+-4×-(n-4)· =-n·， ∴Tn=-4n·. 解 第1章　数列 <<< $