1.3.1 等比数列及其通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“等比数列及其通项公式”，涵盖概念、等比中项、通项公式及应用。通过“棋盘麦粒”传说情境导入，联系生活实际，对比等差数列知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定义与性质。 其亮点是以核心素养为导向，情境问题培养数学眼光，例题多解法训练数学思维，符号语言规范数学表达。如体验题辨析“常数列是否为等比数列”强化概念，分层作业满足不同需求。助力学生提升运算与推理能力，为教师提供系统教学资源。

第1章 数列 1.3　等比数列 1.3.1　等比数列及其通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等比数列的概念．(重点) 2．掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用．(重点、难点) 3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点) 1．通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养． 2．借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养． 1.3.1　等比数列及其通项公式 传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒，……按这样的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？ 必备知识·情境导学探新知 1.3.1　等比数列及其通项公式 知识点1　等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之__都等于__________，那么这个数列称为等比数列．这个常数叫作等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋) 提醒　等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 比 同一个常数 公比 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 体验　1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　) (3)常数列一定为等比数列． (　　) × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 知识点2　等比中项 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成____数列，则G称为a与b的等比中项． 等比 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 思考　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ √ [提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列． 体验　2．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1　　　 B．－1　　 　C．±1　　 　D．2 C　[设2＋和2－的等比中项为a， 则a2＝(2＋)(2－)＝1．即a＝±1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 知识点3　等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝__________． a1qn-1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 体验　3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________． 8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2． 又a1＝2，∴a3＝2×22＝8．] 8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 类型1　等比数列通项公式的基本运算 【例1】　【链接教材P26例1】 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． 关键能力·合作探究释疑难 1.3.1　等比数列及其通项公式 [解]　设首项为a1，公比为q． (1)法一：因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝． 法二：因为a7＝a4q3， 所以q3＝4，q＝． 所以an＝a4qn-4＝2·． (2)法一：因为 由得q＝，从而a1＝32，又an＝1，∴32×＝1． 即26-n＝20，所以n＝6． 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝． 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32． 由an＝a1qn-1＝1，知n＝6． 【教材原题·P26例1】 例1　已知数列{an}是公比为q的等比数列． (1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； (2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [解]　(1)由等比数列的通项公式可知， 这是一个关于a1和q的方程组，②÷①得q3＝27，即q＝3． 因此，a1＝． 因此，数列{an}的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2． (2)由等比数列的通项公式，得an＝a1qn-1＝125×＝54-n． 又an＝3.2×10-4＝5-5，因此，54-n＝5-5，得n＝9． 反思领悟　1．“知三求一”型，等比数列通项公式涉及四个量a1，n，q，an，已知其中的三个可以求出第四个，其中a1与q是基本量． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [跟进训练] 1．在等比数列{an}中． (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [解]　(1)∵an＝a1·qn-1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n-1＝128， ∴2n-1＝32， ∴n－1＝5，n＝6． (2)∵an＝a1·qn-1＝625，n＝4，q＝5， ∴a1＝＝＝5． (3)a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2． 当q＝2时，an＝a1qn-1＝2·2n-1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn-1＝2·(－2)n-1 ＝(－1)n-12n， ∴数列{an}的公比q为2或－2， 对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n-12n． 类型2　等比中项及应用 【例2】　(1)设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　) A．8　　　　B．4　　　　C．1　　　　D． (2)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42．求a5，a7的等比中项． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 尝试与发现 (1)利用等比中项建立等式，再寻找求最小值的方法． (2)按等比数列基本量的运算确定a5，a7后，这两项的等比中项也就确定了． (1)B　[因为是5a与5b的等比中项，则＝5a·5b，所以a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 (2)[解]　设该等比数列的公比为q， ∵∴ 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， ②÷①得q(1－q)＝⇒q＝，∴a1＝＝＝96． 设G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962·＝9， ∴a5，a7的等比中项是±3． 反思领悟　等比中项的三个功能 (1)求等比中项，任何同号的两个实数a，b的等比中项为±；异号的两数没有等比中项． (2)建立等量关系式，a，b，c成等比数列⇔b2＝ac． (3)证明数列为等比数列，若在数列{an}中，anan＋2＝⇔{an}为等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [跟进训练] 2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{an}前10项的和为(　　) A．10 B．8 C．6 D．－8 (2)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，则实数x的值为________． √ －4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 (1)A　(2)－4　[(1)由题意可得＝a1a4，即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)， 解之可得a1＝－8，故S10＝－8×10＋×2＝10． (2)根据条件可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4， 而当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，故x＝－4．] 类型3　等比数列的判断与证明 【例3】　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 尝试与发现 利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题探究] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2， an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)”． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4， 所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n-1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n． 2．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证：数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an． 又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴{an}是首项为1，公比为的等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 反思领悟　1．判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下： (1)定义法：若当n≥1，n∈N＋时，＝q(q≠0，q为常数)，则数列{an}为等比数列． (2)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N＋)，则数列{an}为等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式an＝cqn(c，q≠0)，则数列{an}为等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 2．一般地，若数列{an}满足递推关系式an＝kan－1＋b(k，b∈R，k≠1)，则可构造等比数列，通过该等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式． 3．一般地，若数列{an}满足Sn＝kan＋b(k，b∈R，k≠0，且k≠1)，则根据Sn与an的关系可推得{an}是首项为，公比为的等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [跟进训练] 3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)． 求证：数列是等比数列． [证明]　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， 所以Sn＋1－Sn＝Sn， 所以n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn， 所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 所以＝2． 因为＝a1＝1≠0， 所以≠0(n∈N＋)， 所以＝2(常数)， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列． 1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　) A．an＝n　　　　　　 B．an＝ C．an＝2－n D．an＝log2n 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[只有选项C具备an＝cqn的形式，故选C．] 1.3.1　等比数列及其通项公式 2．在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　) A．8 B．－8 C．±8 D．16 √ A　[两式相加得a5＝32，两式相减得a1＝2． ∴q4＝＝16．∴q2＝4．∴a3＝a1q2＝2×4＝8．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 3．若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 √ B　[∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1．两式作差得an＝ 2an－1，∵q＝＝2，又a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1．∴a5＝a1×q4＝1×24＝16．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________． 4n-1　[由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以通项公式an＝4n-1．] 4n-1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 5．在等差数列{an}中，a3＝0，如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________． 9　[∵a3＝0，∴ak＝(k－3)d，a6＝3d，ak＋6＝(k＋3)d．由条件知3d×(k＋3)d＝(k－3)2d2，解得k＝9，故应填9．] 9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数． (2)任何两个实数都有等比中项吗？ [提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 [提示]　 定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N＋)⇔{an}为等比数列 等比中项法 ＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)⇔{an}为等比数列 通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列 (3)如何判断一个数列为等比数列？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 等比数列的由来 等比数列源于古代的一些实际问题．古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯．他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年—前1700年间数学研究的一些成果．其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注数为7，49，343，2 401，16 807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器．原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜．2 000多年中无人能解释． 阅读材料·拓展数学大视野 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 直到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题： 今有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？ 显然这是一个等比数列的求和问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 由此也基本解开了阿默斯之谜．原来阿默斯问题的意思是：今有七人，每人有七猫，每猫食七鼠，每鼠食七只大麦穗，每穗可长成大麦七量器，由此可得之数列如何？当然这仅仅是推测． 我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”： 今有出门重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？ 这并不是纯粹的互相传抄，而是反映了数学发展的内部规律． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是(　　) A．{lg an}　　　　　　 B．{1＋an} C． D．{} 课时分层作业(七)　等比数列及其通项公式 45 C　[因为数列{an}是等比数列，所以an＝a1qn-1， 对于A，＝不一定是常数，故A不一定是等比数列； 对于B，{1＋an}可能有的项为零，故B不一定是等比数列； 对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列{an}公比的倒数，故C项一定是等比数列； 对于D，当q<0时，数列{an}存在负项，此时无意义，故D项不符合题意．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ (　　) A．4　　　B．2　　　C．－2　　　D．－4 D　[根据已知条件知，a＋c＝2b①，bc＝a2②且a＋3b＋c＝10③，由①③得b＝2．把b＝2代入①②解得a＝2(舍)或a＝－4．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 47 3．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　) A． B． C． D． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝∴＝＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 48 √ 4．实数－1，x，y，t，－4等比数列，则xyt等于(　　) A．－4 B．1 C．8 D．－8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[设a1＝－1，a2＝x，a3＝y，a4＝t，a5＝－4， 由等比数列知xt＝a2a4＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4， y2＝＝a1a5＝(－1)×(－4)＝4，因为y＜0，所以y＝－2，所以xyt＝4×(－2)＝－8，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 49 √ 5．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为(　　) A． B．－ C． D．1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设等差数列的公差为d(d≠0)，则a3＝1＋2d，a7＝1＋6d，a16＝1＋15d，由条件可知(1＋2d)(1＋15d)＝(1＋6d)2，解得d＝或d＝0(舍)，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 50 二、填空题 6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3×2n-3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2． 所以an＝a1qn-1＝a1q2·qn-3＝a3·qn-3＝3×2n-3．] 3×2n-3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 51 7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 27，81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3． 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．] 27，81 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 52 8．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝144，4a2＋a4＝48，则数列{an}的公比为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[由a2a4＝144，得q4＝144，因为各项均为正数，所以a1q2＝12，由4a2＋a4＝48，得4a1q＋a1q3＝48，解得a1＝3，q＝2，所以公比为2．故答案为2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 53 三、解答题 9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　令an＋1＋k＝2(an＋k)，即an＋1＝2an＋k， 与an＋1＝2an＋1比较得k＝1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 又因为a1＋1＝2≠0，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1，所以an＝2n－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 54 10．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且 a2·a5＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 55 [解]　(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列， 又a2·a5＝，所以＝，由于各项均为负， 故a1＝－，an＝－． (2)设an＝－，则－＝－＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 √ 11．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．－ B．－2 C．1 D．－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ AC　[由题意知2a3＝a1＋a2，∴2a1q2＝a1＋a1q，又a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选AC．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 57 12．(多选题)有下列四个命题，正确的是(　　) A．等比数列中的每一项都不可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 58 AC　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0． ① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1． ② 由①②解得a1＝，d＝－1．] 　 －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 60 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N＋)，则数列{an}中，a1＝________，an＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2， 当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N＋)， 得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)，两式相减得2an＝3an－3an－1－2， 即an＝3an－1＋2，整理得＝3， ∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列， ∴an＋1＝3n，∴an＝3n－1．故答案为a1＝2，an＝3n－1．] 2 3n－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 61 15．(1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p； (2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.3.1　等比数列及其通项公式 62 [解]　(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－ pcn＋1)(cn－pcn－1)对一切n≥2，n∈N＋均成立．将cn＝2n＋3n代入上式，得[2n+1＋3n+1－p(2n＋3n)]2＝[2n+2＋3n+2－p(2n+1＋3n+1)][2n＋3n－p(2n-1＋3n-1)]，整理得(2－p)(3－p)＝0，解得p＝2或p＝3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 (2)证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，且p≠q．要证{cn}不是等比数列，只需证≠c1c3． 因为＝(a2＋b2)2＝(a1p＋b1q)2＝q2＋2a1b1pq，c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝q2＋a1b1(p2＋q2)， 所以－c1c3＝2a1b1pq－a1b1(p2＋q2)＝－a1b1(p－q)2． 因为p≠q，所以p－q≠0，又a1≠0，b1≠0，所以≠c1c3． 故{cn}不是等比数列． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $