第1章 1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质及应用，通过“前n项和是否具有二次函数性质”的问题导入，衔接已学求和公式，搭建函数思想与数列知识的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，通过二次函数法、通项法求最值培养推理能力，利用S_n、S_2n-S_n等性质应用发展抽象能力，分情况讨论{|an|}求和等例题解析，帮助学生规范表达。学生能深化理解，教师可高效教学。

第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 第1章　1.2.3　等差数列的前n项和 <<< 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.　　　　　 学习目标 导 语 我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？ 一、等差数列前n项和的最值问题 二、等差数列前n项和的性质 课时对点练 三、等差数列的奇(偶)项和问题 随堂演练 内容索引 四、求数列{|an|}的前n项和 等差数列前n项和的最值问题 一 根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题1 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N+，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn=An2+Bn. 1.等差数列前n项和公式Sn=na1+d可化成关于n的函数得Sn=n2+n. 2.因为Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 知识梳理 3.在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 知识梳理 (1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 注 意 点 <<< 9 　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式； 例 1 设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10=18，S5=-15， 所以 所以an=3n-12，n∈N+. 解 10 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 因为a1=-9，d=3，an=3n-12， 所以Sn==(3n2-21n) =-， 所以当n=3或4时， 前n项和Sn取得最小值为S3=S4=-18. 解 11 把本例中的条件“S5=-15”改为“S5=125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值. 延伸探究 12 S5=×5×(a1+a5)=×5×2a3 =5a3=125， 故a3=25，又a10=18，a10-a3=7d， 所以d=-1<0，故Sn有最大值， an=a3+(n-3)d=28-n，n∈N+. 设Sn最大，则 解得27≤n≤28，即S27和S28最大， 又a1=27，故S27=S28=378. 解 13 求等差数列前n项和Sn的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求Sn的最值，但要注意n∈N+，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值. 反 思 感 悟 14 二 等差数列前n项和的性质 等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 问题2 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+ n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d是一个公差为n2d的等差数列. 已知两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，你能用Sn，Tn表示吗？ 问题3 提示　====. 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n). 4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 知识梳理 　(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且= (n=1，2，…)，则+等于 A. B. C. D. 例 2 √ 19 因为数列{bn}是等差数列， 所以b3+b18=b6+b15， 所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)， 所以+=====. 解析 20 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=2，S8=12，则S20等于 A.30 B.58 C.60 D.90 由数列{an}为等差数列， 可知S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12，S20-S16也为等差数列， 由S4=2，S8=12，则S8-S4=10， 故S12-S8=18，S16-S12=26，S20-S16=34， 即有S12=18+S8=30，S16=26+S12=56，S20=34+S16=90. 解析 √ 21 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反 思 感 悟 22 等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 跟踪训练1 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 解析 √ 23 等差数列的奇(偶)项和问题 三 等差数列的奇(偶)项和的性质 (1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N+)，则有： ①S2n=n(an+an+1)； ②S偶-S奇=nd，=(an≠0，且S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、偶数项和). (2)设等差数列{an}的项数为2n-1(n≥2，且n∈N+)，则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项)，S奇-S偶=an，=. 　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 3 26 方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N+). 根据题意，得即 ∴ ∴首项为，项数为8. 解 27 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N+). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，项数为8. 解 28 解决等差数列奇偶项和的问题关键在于准确找到公式中的n. 反 思 感 悟 29 　(1)等差数列{an}共2 023项，求它的奇数项和与偶数项和之比. 跟踪训练 2 由题意知等差数列{an}共有1 012个奇数项，1 011个偶数项， ∴S奇=，S偶=. ∵a1+a2 023=a2+a2 022，∴=. 解 30 (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 解 31 求数列{|an|}的前n项和 四 　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 例 4 33 a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=- =-3n+104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 解 34 方法一　①当n≤34时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn =2-=n2-n+3 502. 解 35 故Tn= 解 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =- 36 解 =n2-n+3 502， 故Tn= 37 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. 反 思 感 悟 38 (2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前 n项和Tn= (3)若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则 Tn= (4)分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 反 思 感 悟 39 　 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 跟踪训练 3 40 ∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 解 41 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= 解 42 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的最值问题. (2)等差数列前n项和的性质及应用. (3)等差数列奇偶项和的问题. (4)含绝对值的前n项和. 2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想. 3.常见误区： (1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N+导致错误. (2)不注意运用性质导致解题烦琐. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.在等差数列{an}中，若S10=120，则a1+a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48 S10=×10(a1+a10)=5(a1+a10)=120，故a1+a10=24. 解析 √ 1 2 3 4 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 因为a7+a8+a9=S9-S6， 而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 解析 √ 1 2 3 4 3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为　　　　.  由等差数列前n项和的性质，得S偶-S奇=×d(d为该数列的公差)，即30-15=5d，解得d=3. 解析 3 1 2 3 4 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　　时，Sn取到最大值.  ∵S3=S8， ∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0， ∴a6=0.∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或n=6时，Sn最大. 解析 5或6 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D C ABD 2 021 1 980 题号 11 12 13 14 15 答案 C BCD 5 050 {-20，21} 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵{an}为等差数列， ∴S5==5a3，S9==9a5， ∴==×=1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20-S10，S30-S20，…，S110-S100也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100， 即10S10+d=S100=10. 又∵S10=100，代入上式，得d=-22， ∴S110-S100=S10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120， S110=-120+S100=-110. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d， ∴ 解得 ∴an=-7+(n-1)×2=2n-9，n∈N+. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知Sn=-7n+n(n-1)×2=n2-8n. 当an≥0时⇒2n-9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n-9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N+时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an)=8n-n2， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥5时， Tn=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an) =Sn-2S4=n2-8n-2×(-16) =n2-8n+32. 综上，Tn= 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设等差数列{an}的公差为d， S5=5·=5a3=-55， ∴a3=-11，∴d===2. ∴an=a1+(n-1)d=-15+(n-1)×2=2n-17，n∈N+. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知，an=2n-17， ∴Sn== =n(n-16)=(n-8)2-64， ∴(Sn)min=-64. Sn>t对任意的n∈N+恒成立等价于(Sn)min>t， 即-64>t.∴t的取值范围为(-∞，-64). 基础巩固 1.等差数列{an}满足a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列的前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，S20=×20×(a1+a20)=10(a2+a19)=10×18=180. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为 A.30 B.70 C.50 D.60 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵在等差数列{an}中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， ∴2(S2m-20)=20+90-S2m，∴S2m=50. 解析 √ 3.若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ======. 解析 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 016=S2 021，Sk=S2 014，则正整数k为 A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 016=S2 021， Sk=S2 014， 可得=，解得k=2 023. 解析 √ 5.等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 B.8 C.10 D.12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132， S偶=a2+a4+…+a2n=120， ∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12， ∴S2n+1=S奇+S偶= =(2n+1)an+1=12(2n+1)=252， 解得n=10. 解析 6.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn=23n-n2，则下列说法正确的是 A.an=24-2n B.使Sn取最大值的n值有2个 C.使得Sn>0成立的n的最大值为23 D.|a1|+|a2|+…+|a30|=474 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，数列{an}的前n项和为Sn=23n-n2，当n=1时，a1=S1=22， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23n-n2-[23(n-1)-(n-1)2]=24-2n，a1=22满足此式， 所以数列{an}的通项公式为an=24-2n，A正确； 对于B，Sn=-+，当n=11或n=12时，S11=S12且最大，B正确； 对于C，由Sn>0，得23n-n2>0，解得0<n<23，而n∈N+，所以nmax=22，C错误； 对于D，由an≥0，得n≤12，则|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+a2+…+a12-a13-…-a30 =2S12-S30=2(23×12-122)-(23×30-302) =474，D正确. 解析 7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=-2，-=2，则= 　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 021 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和， ∴是等差数列，设其公差为d. ∵-=2，∴2d=2，d=1. ∵a1=-2，∴=-2， ∴=-2+(n-1)×1=n-3， ∴=2 024-3=2 021. 解析 8.已知数列{an}满足a1=1，an+1=则{an}的前40项和为　　　　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 980 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=1，a2=a1+2=3， 又a2n=a2n-1+2，a2n+1=a2n+3， 所以a2n+1=a2n-1+2+3， 即a2n+1-a2n-1=5， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由a2n+2-a2n=5知， 数列{an}的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列. 所以{an}的前40项和为 S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40) =20×1+×5+20×3+×5=1 980. 解析 9.(1)在等差数列{an}中，=，求的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{an}为等差数列， ∴S5==5a3，S9==9a5， ∴==×=1. 解 (2)在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20-S10，S30-S20，…，S110-S100也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90) =S100， 即10S10+d=S100=10. 又∵S10=100，代入上式，得d=-22， ∴S110-S100=S10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120， S110=-120+S100=-110. 解 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=-16，S6=-12. (1)求{an}的通项公式an； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d， ∴ 解得 ∴an=-7+(n-1)×2=2n-9，n∈N+. 解 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知Sn=-7n+n(n-1)×2=n2-8n. 当an≥0时⇒2n-9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n-9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N+时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an)=8n-n2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥5时， Tn=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an) =Sn-2S4=n2-8n-2×(-16) =n2-8n+32. 综上，Tn= 解 11.在公差d=3的等差数列{an}中，a2+a4=-2，则数列{|an|}的前10项和为 A.127 B.125 C.89 D.70 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵d=3，a2+a4=-2， ∴2a1+4d=-2，解得a1=-7. ∴an=-7+3(n-1)=3n-10. ∴当n=1，2，3时，an<0；n≥4时，an>0. 其前n项和Sn==. 则数列{|an|}的前10项和=-a1-a2-a3+…+a10=S10-2S3=-2×=89. 解析 12.(多选)已知d为等差数列{an}的公差，Sn为数列{an}的前n项和.若{an}为递减数列，则下列结论正确的为 A.数列{Sn}为递减数列 B.数列是等差数列 C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，且S10=-170，则公 差为-2 D.若S15>0，S16<0，则S8>S9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为数列{an}是递减的等差数列，所以d<0， 不妨举例数列{an}为4，3，2，1，0，-1，-2，-3，…， 则S1=4，S2=7，S3=9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，==n+，是关于n的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列{an}的前10项中， 奇数项的和为a1+a3+a5+a7+a9=5a5， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 偶数项的和为a2+a4+a6+a8+a10=5a6， 所以a6∶a5=9∶8， 解析 设a6=9x，a5=8x， 则5a5+5a6=-170，解得x=-2， 所以公差d=a6-a5=x=-2，故C正确； 对于D，S15==15a8>0， 则a8>0， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 S16==8(a8+a9)<0， 则a9<-a8<0， 所以S9=S8+a9<S8，故D正确. 13.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且= (n∈N+)，则+=　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设An=kn(7n+45)，Bn=kn(n+3)，则当n≥2，n∈N+时，an=An-An-1=k(14n+38)，bn=k(2n+2)，则====+=+=. 解析 14.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，an+2-an=2+cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 050 当n为奇数时，an+2-an=1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an+2-an=3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=+=5 050. 解析 15.记Sn为数列{an}的前n项和，已知对任意的n∈N+，an+an+1=2n+1，且存在k∈N+，Sk=Sk+1=210，则a1的取值集合为　　　　　.(用列举法表示)  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {-20，21} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=3+7+…+2n-1 ===210， ∴n=20， ∴k=20或k=19， 当k=19时，S19=a1+a2+a3+…+a18+a19 =a1+5+9+…+37=a1+=a1+189=210， ∴a1=21； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=20时，S21=a1+5+9+…+41=a1+=a1+230=210， ∴a1=-20. 综上，a1的取值集合为{-20，21}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=-15，S5=-55. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， S5=5·=5a3=-55， ∴a3=-11，∴d===2. ∴an=a1+(n-1)d=-15+(n-1)×2=2n-17，n∈N+. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N+恒成立，求实数t的取值范围. 由(1)知，an=2n-17， ∴Sn== =n(n-16)=(n-8)2-64， ∴(Sn)min=-64. Sn>t对任意的n∈N+恒成立等价于(Sn)min>t， 即-64>t.∴t的取值范围为(-∞，-64). 解 第1章　1.2.3　等差数列的前n项和 <<< $