第1章 1.2.2 等差数列与一次函数（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦等差数列与一次函数的关系、判定证明及性质，以函数视角导入，将数列视为正整数集上的函数，搭建从函数知识到等差数列性质的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过函数图象分析数列单调性（数学眼光），结合定义法、通项法等培养推理能力（数学思维），例题与跟踪训练（如两点求通项、判断二次项系数）提升问题解决能力（数学语言）。学生能深化知识联系，教师可高效开展教学。

第1章　§1.2　等差数列 <<< 1.2.2 等差数列与一次函数 1.理解等差数列的通项公式与一次函数的关系. 2.掌握等差数列的判定和证明方法. 学习目标 导 语 数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)，因而我们可以利用函数知识来研究数列的性质. 一、等差数列的通项公式与一次函数的关系 二、等差数列的判定与证明 课时对点练 三、等差数列的性质 随堂演练 内容索引 等差数列的通项公式与一次函数的关系 一 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d).当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d=0时，y=a1(a1为常数).这两种情形的函数图象都是直线.这就说明，当用平面直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数n的孤立点 组成. (n，an) (1)当d>0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右上升，等差数列{an}递增(如图甲)； (2)当d<0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右下降，等差数列{an}递减(如图乙)； (3)当d=0时，y=a1为与x轴平行(或重合)的直线，数列为常数列(如图丙). 　 (课本例5) 　已知(2，-1)，(4，-7)是等差数列{an}的图象上的两点. (1)求数列{an}的通项公式； 例 1 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为(2，-1)，(4，-7)是等差数列{an}的图象上的两点，所以a2=-1，a4=-7， 即解得 因此，an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5. 解 8 (2)画出数列{an}的图象； 由(1)可知，数列{an}的图象是均匀分布在直线y=-3x+5上的一系列孤立点，如图. 解 9 (3)判断数列{an}的单调性. 由(1)可知公差d=-3<0，所以等差数列{an}为递减数列. 解 10 　已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1. (1)求首项a1和公差d； 例 1 由于an=2n-1=1+2(n-1)， 所以首项a1=1，公差d=2. 解 11 (2)画出数列{an}的图象； 数列{an}的图象是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如图所示. 解 12 (3)判断数列{an}的单调性. 由(1)可知d>0，所以数列{an}是递增数列. 解 13 根据等差数列{an}的通项公式an=pn+q=q+p+(n-1)p=dn+(a1-d)，可知首项a1=q+p，公差d=p.当公差d>0时，数列{an}是递增数列，当d<0时，数列{an}是递减数列. 反 思 感 悟 14 已知数列是等差数列，且an=an2+n，则实数a=　　　　.  跟踪训练1 ∵是等差数列，且an=an2+n， ∴an是关于n的一次函数，∴a=0. 解析 0 15 二 等差数列的判定与证明 　已知数列{an}满足a1=2，an+1=. (1)数列是否为等差数列？并说明理由； 例 2 17 数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+， ∴-=， 即数列=，公差为d=的等差数列. 解 18 (2)求数列{an}的通项公式an. 由(1)可知=+(n-1)d=， ∴an=，n∈N+. 解 19 　将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4- (n>1)，记bn=”. (1)试证明数列{bn}为等差数列； 延伸探究 20 bn+1-bn=- =-=- ==. 又b1==， ∴数列{bn}是首项为的等差数列. 证明 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知bn=+(n-1)×=. ∵bn=，∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N+. 解 22 判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. (2)通项法：an=kn+b(k，b为常数，n∈N+)⇔{an}是等差数列. (3)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. 反 思 感 悟 23 等差数列的性质 三 如果{an}是等差数列，a3=5，d=2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 问题1 提示　由定义可知a3=a1+2d，an=a1+(n-1)d，两式相减得an-a3=(n-3)d，即an=a3+(n-3)d. 若数列{an}是等差数列，公差为d，m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 问题2 提示　由等差数列的定义可知，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，故有am+an=ap+aq. 1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N+)； (2)an=am+(n-m)d(m，n∈N+)； (3)d=(m，n∈N+，且m≠n). 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am+an= . 特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N+)，则有am+an=2ap. ap+aq 知识梳理 (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. (3)若an=m，am=n(n≠m)，则an+m=0.(证明：=， 即=，=-1，故an+m=0) 注 意 点 <<< 28 　(1)已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) 例 3 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7， 所以a3+a15=2a9=2×7=14. 解析 √ 29 (2)已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 30 方法一　(利用an=am+(n-m)d) 设数列 {an}的公差为d， 则a60=a15+(60-15)d=8+45d， 所以d===， 所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 解 31 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60=a15+3d，解得d=4， 所以a75=a60+d=24. 解 32 (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p +q=2r(m，n，p，q，r∈N+)， 则am+an=ap+aq=2ar. 反 思 感 悟 33 　(1)已知{bn}为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　　　.  跟踪训练 2 8 34 方法一　∵{bn}为等差数列， ∴可设其公差为d， 则d===2， ∴bn=b3+(n-3)d=2n-8. ∴b8=2×8-8=8. 方法二　由==d， 得b8=×5+b3=2×5+(-2)=8. 解析 (2)数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9，则log6(a5+a7+a9)的值是 A.-2 B.- C.2 D. √ 36 由3+an=an+1， 得an+1-an=3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2+a4+a6=9， 且a2+a6=2a4， 所以3a4=9， 则a4=3， 所以a7=a4+3d=3+3×3=12， 故log6(a5+a7+a9)=log6(3a7)=log636=2. 解析 37 1.知识清单： (1)等差数列通项公式与一次函数的关系. (2)等差数列的判定与证明. (3)等差数列的项与项之间的性质及应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或解法烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.对于数列{an}，“an=kn+b(k，b为常数)”是“数列{an}为等差数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 2.已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定 等差数列{an}的图象所在直线的斜率k==-2<0，故数列{an}是递减数列. 解析 √ 1 2 3 4 3.在等差数列{an}中，若a2+a6=6，a5=8，则a10等于 A.20 B.25 C.30 D.33 √ 1 2 3 4 方法一　设等差数列的公差为d， 则 则a10=-12+5×9=33. 方法二　因为a2+a6=2a4=6，所以a4=3. 又a5=8，所以d=a5-a4=5， 所以a10=a5+(10-5)d=8+5×5=33. 解析 1 2 3 4 4.已知数列{an}中，a1=1，=1+(n∈N+)，则a10等于 A. B. C. D. √ 令bn=(n∈N+)，则bn+1=1+bn，b1=1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以bn=n，an=，所以a10=. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C B B BD 4052 题号 11 12 13 14 15 答案 AD C B 1 142 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设公差为d， 则d===-1， 从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 方法二　设等差数列的通项公式为an=an+b(a，b为常数)， 则 得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a(m+n)+b=0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)证明　由====+， 即-=，n∈N+， 故数列是等差数列. (2)解　由(1)知=+×=，所以an=，n∈N+. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)根据“等平方差数列”的定义，及a1=1，a5=3，得=+d=+2d=+3d=+4d，即9=1+4d，解得d=2. 依题意，得=+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1， 所以an=±， 所以满足条件的数列{an} 不唯一. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为an>0，所以由(1)得an=. 因为an-an+1=- =<0， 所以an<an+1，所以数列{an} 是递增数列. 基础巩固 1.已知数列{an}满足a1=3，且an=an+1+3(n∈N+)，则下列说法正确的是 A.数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列 B.数列{an}是以3为首项，-3为公差的等差数列 C.数列{an}是以-3为首项，3为公差的等差数列 D.数列{an}是以-3为首项，-3为公差的等差数列 因为数列{an}满足a1=3，且an=an+1+3，即an+1-an=-3，所以数列{an}是以3为首项，-3为公差的等差数列. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.在递增的等差数列{an}中，a3+a6=-6，a4a5=8，公差d等于 A.4 B.2 C.-2 D.2或-2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为在递增的等差数列{an}中，a3+a6=a4+a5=-6，a4a5=8， 所以a4=-4，a5=-2， 则公差d=a5-a4=2. 解析 √ 3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有 A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51， 由于a1+a2+a3+…+a101=0，所以a51=0， 故a3+a99=2a51=0. 解析 √ 4.在数列{an}中，a1=5，3an+1=3an-2(n∈N+)，则an等于 A.n+ B.-n+ C.-n- D.n- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意a1=5，3an+1=3an-2(n∈N+)，所以an+1=an-，即an+1-an=-， 所以数列{an}是首项为5，公差为-的等差数列，所以an=-n+5+=-n +. 解析 √ 5.等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 013+ a2 025等于 A.10 B.15 C.20 D.40 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 024=10， 由等差数列的性质得2a1 013=10，即a1 013=5， ∴a1+a1 013+a2 025=3a1 013=15. 解析 √ 6.(多选)在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点在直线x-y-=0上，则 A.数列{an}是等差数列 B.数列是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an=3n D.数列的通项公式为=n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点在直线x-y-=0上，∴-=， ∴数列=为公差的等差数列，B正确； ∴=+=n，D正确； ∴an=3n2，C错误； ∴an-an-1=3n2-3=6n-3， ∴{an}不是等差数列，A错误. 解析 7.在数列{an}中，a1=2，a8=16，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 026=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 052 因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列. 设等差数列{an}的公差为d， 则a8=a1+7d=2+7d=16， 解得d=2， 所以an=2+2(n-1)=2n， 则a2 026=2×2 026=4 052. 解析 8.在数列{an}中，an+1=，a1=2，则a20=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对an+1==+3， ∴-=3， ∴为首项，3为公差的等差数列. ∴=+3(n-1) =3n-=， ∴an=，∴a20=. 解析 9.在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，求am+n的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设公差为d， 则d===-1， 从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 方法二　设等差数列的通项公式为an=an+b(a，b为常数)， 则 得a=-1，b=m+n. 所以am+n=a(m+n)+b=0. 解 10.已知数列{an}满足an+1=，且a1=3(n∈N+). (1)证明：数列是等差数列； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由====+， 即-=，n∈N+， 故数列是等差数列. 证明 (2)求数列{an}的通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知=+×=，所以an=，n∈N+. 解 11.(多选)下列关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的首项为a1，d>0， 则an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)， ∴数列{an}是递增数列，A正确； nan=dn2+(a1-d)n，当n<时，数列{nan}不是递增数列，B错误； =d+，当a1-d>0时，数列不是递增数列，C错误； [an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=an+1-an+3d=4d>0，∴数列{an+3nd}是递增数列，D正确. 解析 12.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 A.0 B.37 C.100 D.-37 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2，所以数列{an+bn}仍然是等差数列. 又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 解析 √ 13.已知数列{an}满足a1=1，an+1=，则满足an>的n的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an+1==-=4，又=1，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，=1+(n-1)×4= 4n-3，则an=，因为an>>，解得n<8，n∈N+，所以n的最大值是7. 解析 √ 14.已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且满足a1=1，=，则数列{bn}的公差为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，因为数列{an}和{bn}都是等差数列， 设an=kn+b，bn=pn+q， 则==， 整理得3kn2+(3b+2k)n+2b=2pn2+(2q+p)n+q， 所以 又因为a1=1，则k+b=1， ④ 将③代入②整理得2k=b+p， ⑤ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由④⑤整理得p=3k-1， ⑥ 由①⑥可解得p=1，k=， 所以b=，q=， 所以bn=n+， 所以bn+1-bn=n+1+-=1，故数列{bn}的公差为1. 解析 15.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 142       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x， 所以2x+y=113. ① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， a33+103=a23+2x，a23=3×103-4x， 所以2×74-3y=3×103-4x， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即4x-3y=161， ② 由①②，得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格应填142. 解析 16.定义数列“从第二项起，若数列{an} 的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列{an} 为等平方差数列，d 叫作此数列的公平方差.” 已知数列{an} 为“等平方差数列”，且a1=1，a5=3. (1)判断满足条件的数列{an} 是否唯一，并说明理由； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据“等平方差数列”的定义，及a1=1，a5=3，得=+d=+2d=+3d=+4d，即9=1+4d，解得d=2. 依题意，得=+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1， 所以an=±， 所以满足条件的数列{an} 不唯一. 解 (2)求正项数列{an} 的通项公式，并判断其单调性. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an>0，所以由(1)得an=. 因为an-an+1=- =<0， 所以an<an+1，所以数列{an} 是递增数列. 解 第1章　§1.2　等差数列 <<< $