3 1.2.1　等差数列及其通项公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“等差数列”核心内容，涵盖定义、通项公式及等差中项。通过哈雷彗星出现时间、鞋号脚长等生活实例导入，问题导思引导学生观察数列共同特征，从具体到抽象建立概念，再通过归纳与累加法推导通项公式，配合例题与练习形成递进学习支架。 其亮点是问题驱动与核心素养深度融合，用生活实例培养数学抽象，两种推导方法提升逻辑推理，分层练习（如对点练、课时测评）强化数学运算。如冬奥会节气日影题体现应用，准等差数列拓展题培养创新思维，助力学生理解知识本质，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

1.2.1　等差数列及其通项公式 　 第1章　1.2　等差数列 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解等差数列通项公式的意义，掌握等差数列的通项公式、判断与证明方法，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　等差数列的定义 1 任务二　等差数列的通项公式 2 任务三　等差中项 3 课时测评 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　等差数列的定义 返回 问题导思 问题1．观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律. 新知构建 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的______，通常用字母___表示. 同一个 公差 d 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； 解：是，a1＝1，d＝2； (2)9，6，3，0，－3，…； 解：是，a1＝9，d＝－3； (3)1，3，4，5，6，…； 解：不是； (4)7，7，7，7，7，…； 解：是，a1＝7，d＝0； (5)1，，，，，…. 解：不是. 典例1 规律方法 　　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 对点练1．(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1，4，7，10　　　　 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 √ √ √ A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 返回 任务二　等差数列的通项公式 返回 问题导思 问题2．你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 新知构建 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_____________(n∈N＋). a1＋(n－1)d 在等差数列{an}中. (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：因为a5＝－1，a8＝2， 所以 (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：设数列{an}的公差为d. 由已知得， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， a9＝2×9－1＝17. 典例2 规律方法 　　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 对点练2．等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝ A.　　　　 B.　　　　 C.1　　　　 D.2 √ 由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝，故选B. 对点练3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝____. 15 设等差数列{an}的公差为d，则 所以a12＝a1＋11d＝－＋11×＝＝15，所以a12的值是15. 返回 任务三　等差中项 返回 问题导思 问题3．由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 新知构建 在两个数a，b之间插入数M，使a，M， b成等差数列，则____称为a与b的等差中项. M (1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为 A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 典例3 √ a，b的等差中项为×＝×(－＋＋)＝. (2){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝ A.2 B. C.1 D. √ 因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1. 规律方法 在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N＋)，则an是an－1与an＋1的等差中项. 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N＋均成立，则数列{an}是等差数列. 因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈ N＋).用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法. 对点练4．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于 A. B. C. D. √ 所以a＝，b＝x.所以＝. 对点练5．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 A.26 B.29 C.39 D.52 √ 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 返回 随堂评价 返回 √ 1.(多选)下列数列是等差数列的是 A. 1，1，1，1，1　　　　　　 B. 4，7，10，13，16 C. ，，1，， D. －3，－2，－1，1，2 √ √ 由等差数列的定义得，A项d＝0，故是等差数列；B项d＝3，故是等差数列；C项d＝，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是 A.1，4 B.－1，－4 C.4，1 D.－4，－1 √ n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4. 3.等差数列的前三项依次是a－1，a＋2，2a＋1，则a值为 A.2　　　　 B.1　　　　 C.4　　　　 D.8 √ 由题意a－1＋2a＋1＝2(a＋2)，解得a＝4.故选C. 4.若数列{an}满足 ＝＋4且a1＝1，an＞0，则an＝_________. (4n－3)2 因为＝＋4，所以－＝4，所以数列＝1为首项，4为公差的等差数列，所以＝＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝(4n－3)2. 返回 课时测评 返回 因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 则an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，n∈N＋. √ 1.数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是 A.3n－1　　　　　　　　 B.3n＋2 C.3n－2 D.3n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.等差数列0，－3，－7，…的第n＋1项是 A.－n B.－(n＋1) C.－n＋1 D.－(n－1) 由题意得，等差数列{an}中，a1＝0，a2－a1＝－3－0＝－＝d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)＝－n＋， 所以an＋1＝－(n＋1)＋＝－n，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为 A.9.5 尺 B.10.5 尺 C.11.5 尺 D.12.5 尺 由题意得：为等差数列，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得：d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. √ 4.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于 A.90　　　　 B.96　　　　 C.98　　　　 D.100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝，则公差d等于 A.0 B. C.1 D.2 根据题意知，a4＋a8＝⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2. 又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝或d＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1) C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1) 由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6， 即解得d＝3. 7.在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是______________. 由等差中项的定义知，x＝，x2＝， 所以＝， 即a2－2ab－3b2＝0， 所以(a－3b)(a＋b)＝0， 所以a＝3b或a＝－b. a＝－b或a＝3b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(10分)在等差数列{an}中， (1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； 解：a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29. (2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n. 解：由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； 解：法一：由题意得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. 法二：因为{an}为等差数列，所以d＝＝， 所以a105＝a60＋45×＝32. 法三：因为{an}为等差数列，所以a15，a60，a105也成等差数列， 则2a60＝a15＋a105，所以a105＝2×20－8＝32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若a2＋a4＋a6＝18，a2a6＝20，求公差d. 解：由a2＋a4＋a6＝18，得3a4＝18，a4＝6， 由a2a6＝20得(a4－2d)(a4＋2d)＝20， －4d2＝20，d＝±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范 围是 A. B. C. D. 设an＝－24＋(n－1)d，n∈N＋， 由＜d≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝_____. 对an＋1＝＝＋3， 所以－＝3， 所以为首项，3为公差的等差数列. 所以＝＋(n－1)·3＝3n－＝， 所以an＝，所以a20＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为____. 3 数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1， ln a2，ln a5成等差数列， 所以2ln (a1＋d)＝ln a1＋ln (a1＋4d)， 所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以＋2a1d＋d2＝＋4a1d， 解得d＝2a1， 所以＝＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(13分)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7. (1)求数列的第10项； 解：设数列{an}的公差为d， 则 a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)问112是数列{an}的第几项？ 解：设数列{an}的公差为d， 则 an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39. 所以112是数列{an}的第39项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)在80到110之间有多少项？ 解：设数列{an}的公差为d， 则 由80＜3n－5＜110， 解得28＜n＜38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10 项为 A.116 B.131 C.146 D.161 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{an}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{an}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以a10＝11＋(10－1)×15＝146. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列 {bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝则数列{cn}是 公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an＋ an＋1＝2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列； 证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N＋)，① 所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，② ②－①得an＋2－an＝2(n∈N＋)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)求数列{an}的通项公式. 解：因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N＋)， 所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a， 当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1. 所以an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 1.2　等差数列 返回 $