第1章 1.1 第1课时 数列的概念及通项公式（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，通过自然现象情境导入，引导学生观察实例发现数列特征，构建从具体到抽象的学习支架，衔接后续通项公式的探究与应用。 其亮点在于以问题链驱动观察与归纳，培养数学思维，如对比不同数列项数和变化规律发展推理意识。例题与训练层次分明，结合生活实例，帮助学生用数学语言表达数量关系，提升应用能力，助力教师高效教学与学生深度学习。

第1章　§1.1　数列的概念 <<< 第1课时 数列的概念及通项公式 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 学习目标 导 语 有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 一、数列的概念与分类 二、数列的通项公式 课时对点练 三、数列通项公式的简单应用 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343， 2 401，16 807； (2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.把“一尺之棰”看成单位“1”，则这句话中隐藏着一列数：1，，…； (3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 026，2 026， …，2 026； (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； (5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，-， …. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 问题1 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化. 1.数列：按照 排成的一列数叫作数列. 2.数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的 ，排在 的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的 . 3.一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 . 4.数列按项的个数分类 (1)有穷数列：只有 多项的数列称为有穷数列. (2)无穷数列：有 多项的数列称为无穷数列. 一定顺序 项 第一位 第n项 {an} 有限 无穷 知识梳理 (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列. (2)同一个数可以在数列中重复出现. (3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项. 注 意 点 <<< 9 　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由. (1){0，1，2，3，4}是有穷数列； 例 1 错误.{0，1，2，3，4}是集合，不是数列. 解 (2)所有自然数能构成数列； 正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列. 解 10 (3)-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列. 错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成. 解 11 (1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别. 反 思 感 悟 12 (多选)下列说法错误的是 A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列 C.数列0，1，2，3，…是无穷数列 D.数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列 跟踪训练1 A说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的； B说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列； 显然C说法正确，D说法错误. 解析 √ √ √ 13 二 数列的通项公式 提示　对于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈； 对于(2)，an=，n∈N+； 对于(3)，an=2 026，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(5)，an=，n∈N+. 我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 问题2 1.数列{an}可以看成以 (或其子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，f(3)，….与函数的表示方法一样，数列还可以用_______ 和 来表示. 2.如果数列{an}的 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就称为数列{an}的通项公式. 正整数集N+ 列表法 图象法 第n项an 知识梳理 (1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)有些数列的通项公式表达形式不唯一. 注 意 点 <<< 17 　 (课本例1)　已知数列{an}的通项公式为an=. (1)写出数列的前5项及第n+1项. 例 2 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项分别为-，0，，，. 再用n+1代替通项公式an=中的n，得到数列的第n+1项是，即an+1=. 解 18 (2)和都是这个数列的项吗？若是，是第几项？ 若是数列{an}的项，则=，解得n=，不是整数. 因此，不是数列{an}的项. 同样地，若是数列{an}的项，则=，解得n=2 024. 因此，是数列{an}的项，是第2 024项. 解 19 　 (课本例2)　观察下面各数列，试着写出它的一个通项公式： (1)-1，1，-1，1，…； 例 2 因为这个数列的前4项为(-1)1，(-1)2，(-1)3，(-1)4，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n. 解 (2)9，99，999，9 999，…； 因为这个数列的前4项为10-1，102-1，103-1，104-1，由此得到它的一个通项公式an=10n-1. 解 20 (3)，-，，-，…. 因为这个数列的前4项为(-1)2·，(-1)3·，(-1)4·，(-1)5·，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n+1·. 解 21 　(1)根据数列{an}的通项公式，写出数列{an}的前5项，并作出它们的图象. ①an=(-1)n+2； 例 2 数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图①所示. 解 22 ②an=. 数列{an}的前5项依次是2，，图象如图②所示. 解 23 (2)写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①-1，，-，； 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. 解 24 ②，2，，8； 数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…， 所以它的一个通项公式为an=，n∈N+. 解 25 ③0，1，0，1； 这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an= 由第①题也可以写成an=(n∈N+)或an=(n∈N+). 解 26 ④9，99，999，9 999. 各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+. 解 27 根据本例(2)中的第④题，试解决以下2个问题： 1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式. 延伸探究 由本例(2)的第④题可知，每一项除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N+. 解 2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式. 由本例(2)的第④题可知，每一项乘即可， 即an=(10n-1)，n∈N+. 解 28 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 (-1)n或(-1)n+1处理符号.有时也可用分段形式. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 反 思 感 悟 29 　(1)数列2，-5，9，-14，…的一个通项公式可以是 A.an=(-1)n-1(3n-1) B.an=(-1)n(3n-1) C.an=(-1)n-1 D.an=(-1)n 跟踪训练 2 √ 30 (2)数列，，，1，，，…的一个通项公式为an=　　.  将原数列变形为，…， 所以an=. 解析 31 数列通项公式的简单应用 三 　已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，n∈N+. (1)写出数列的前3项； 例 3 在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. 解 33 (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项. 令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是数列{an}中的第5项. 令2n2-n=3，得2n2-n-3=0， 解得n=-1(舍去)或n=(舍去)， 故3不是数列{an}中的项. 解 34 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 反 思 感 悟 35 　已知数列{an}的通项公式为an=qn，n∈N+，且a4-a2=72. (1)求实数q的值； 跟踪训练 3 由题意知q4-q2=72， 则q2=9或q2=-8(舍去)，∴q=±3. 解 36 (2)判断-81是否为此数列中的项. 当q=3时，an=3n.显然-81不是此数列中的项； 当q=-3时，an=(-3)n. 令(-3)n=-81，无解，∴-81不是此数列中的项. 解 37 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列通项公式的简单应用. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法正确的是 A.数列中不能重复出现同一个数 B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C.1，1，1，1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 √ 1 2 3 4 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确； 由数列的定义可知，D正确. 解析 1 2 3 4 2.数列，-，，-，…的通项公式可能是 A.an=(-1)n B.an=(-1)n-1 C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1 方法一　将n=1，2，3，4代入各选项验证易得答案. 方法二　将数列，-，-，…变为，-，-，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n+2，再结合正负的调节，可知其通项公式可以为an=(-1)n-1. 解析 √ 1 2 3 4 3.下列各式是数列的是　　　　　；是有穷数列的是　　　　　　；是无穷数列的是　　　.  ①{1，3，5，7，9}；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2. ①是集合，不是数列； ③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来； ②④⑤是数列，其中④是无穷数列，②⑤是有穷数列. 解析 ②④⑤ ②⑤ ④ 1 2 3 4 4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　.  a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8. 解析 8 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABD A B A C ABD 5 　12 题号 11 12 13 14 15 答案 C B -　 61 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2，n∈N+. (2)每一项分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N+. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an=，n∈N+. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设an=kn+b(k≠0)， 则 ∴an=2n+1(n∈N+)， ∴a2 024=4 049. (2)∵a2，a4，a6，a8分别为5，9，13，17，可改写为4×1+1，4×2+1，4×3+1，4×4+1， ∴数列{bn}的一个通项公式为bn=4n+1(n∈N+). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)a10===. (2)令an==， 当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5，因为n∈N+且n为偶数， ∴原方程无解； 当n为奇数时，∵n∈N+，∴an<0，∴不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)an+1= =； a2n==. 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的是 A.数列可以用图象来表示 B.有些数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 数列中的项可以相等，故选项C中说法不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 2.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(n2-1)，则a6等于 A.35 B.-11 C.-35 D.11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知数列{an}的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a，且a3=-5，则实数a等于 A.1 B.3 C.-1 D.-3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an=(-1)n·2n+a，a3=-5， 所以-23+a=-5，解得a=3. 解析 √ 4.数列-1，3，-7，15，…的一个通项公式可以是 A.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+ B.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+ C.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N+ D.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N+ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数列各项正、负交替，故可用(-1)n来调节，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通项公式可以是an=(-1)n·(2n-1)，n∈N+. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.数列，，，，…的第10项是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知数列的通项公式是an=(n∈N+)，所以a10==. 解析 6.(多选)下列通项公式中，可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是 A.an=[1-(-1)n] B.an= C.an=[1-(-1)n] D.an= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 代入验证，可知A，B，D均符合题意. 解析 7.设函数f(x)的定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024=　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 x2=f(x1)=f(2)=1，x3=f(x2)=f(1)=4，x4=f(x3)=f(4)=5，x5=f(x4)=f(5)=2=x1， 从而数列{xn}是一个周期为4的数列， 故x2 024=x4=5. 解析 8.已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=　　，若an=，则n=　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=，∴a10==. 由an==，得n2+2n-168=0， 解得n=12或n=-14(舍去). 解析 12 9.写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2，n∈N+. 解 (2)，，，，，…； 每一项分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N+. 解 (3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，…. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 所以an=，n∈N+. 解 10.已知数列{an}中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 024； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设an=kn+b(k≠0)， 则 ∴an=2n+1(n∈N+)， ∴a2 024=4 049. 解 (2)若数列{bn}的前4项为a2，a4，a6，a8，试写出{bn}的一个通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2，a4，a6，a8分别为5，9，13，17，可改写为4×1+1，4×2+1，4×3+1，4×4+1， ∴数列{bn}的一个通项公式为bn=4n+1(n∈N+). 解 11.设an=++++…+(n∈N+)，则a2等于 A. B.+ C.++ D.+++ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=++++…+(n∈N+)，∴a2=++. 解析 √ 12.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为 A.6 B.7 C.64 D.65 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个， 因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以该数列的第22项为7. 解析 13.若数列{an}的通项公式为an=cos，则a5=　　　　， a2n=　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an=cos， 所以a5=cos=-sin=-， a2n=cos=cos= 解析 14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)=　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(1)=1=2×1×0+1， f(2)=1+3+1=2×2×1+1， f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1， f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1， 故f(n)=2n(n-1)+1. 当n=6时，f(6)=2×6×5+1=61. 解析 15.删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数(如4，8)，得到一个新数列，则这个数列的第2 020项是 A.2 072 B.2 073 C.2 074 D.2 075 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45个平方数，因为123=1 728<2 025<133=2 197，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12个立方数，又36<2 025<46，所以在数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3个数既是平方数，又是立方数，重复去掉了3个既是平方数，又是立方数的数，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971(项)，此时距第2 020项还差2 020-1 971=49(项)，所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074. 解析 16.已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. (1)写出它的第10项； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a10===. 解 (2)判断是不是该数列中的项； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令an==， 当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0， 解得n=-或n=5，因为n∈N+且n为偶数， ∴原方程无解； 当n为奇数时，∵n∈N+，∴an<0， ∴不是该数列中的项. 综上所述，不是该数列中的项. 解 (3)求an+1及a2n. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an+1= =； a2n==. 解 第1章　§1.1　数列的概念 <<< $