第4章 计数原理 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学讲义通过系统梳理两个计数原理、排列与组合的综合应用、二项式定理及其应用构建知识体系，以原理阐述为基础，结合例题解析和方法总结呈现知识脉络，突出重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“原理应用—方法提炼—分层训练”的设计，如计数原理中卡片取法问题、排列组合中课代表安排问题，培养逻辑推理和数学运算素养。反思感悟总结解题步骤，跟踪训练覆盖不同难度，助力学生自主复习，支持教师精准教学。

一、两个计数原理 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性. 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　) A.484 B.472 C.252 D.232 答案　B 解析　根据题意，从16张卡片中任取3张，共有种取法，其中每一种卡片各取3张，有4种取法，取2张绿色卡片有·种取法，故所求的取法共有-4-=472(种). (2)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为(　　) A.(34，34) B.(43，34) C.(34，43) D.(，) 答案　C 解析　首先每名学生报名有3种选择， 有4名学生根据分步乘法计数原理知共有34种方案， 每项冠军有4种可能结果， 3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果. 反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 跟踪训练1　(1)用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法(　　) A.120种 B.720种 C.840种 D.960种 答案　D 解析　A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C，E均有4种颜色可选，故共有涂色方法5×4×3×4×4=960(种). (2)从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有　　个.(用数字作答)  答案　60 解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有个.所以满足条件的三位数共有+2+=60(个). 二、排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 例2　从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表.分别求出符合下列条件的安排方法种数. (1)女生人数不少于男生人数； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生丙若入选，只担任数学或物理课代表. 解　(1)由女生人数不少于男生人数可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的安排方法有种； ②有3个女生的安排方法有种， 所以不同的安排方法种数为+=5 400. (2)因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任物理课代表， 再从剩下的8个人中选其余4科的课代表，所以不同的安排方法种数为=13 440. (3)因为女生乙入选且不担任生物课代表，男生丙若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生丙入选的安排方法有种； ②男生丙不入选的安排方法有种， 所以不同的安排方法种数为+=4 620. 反思感悟　解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净. 跟踪训练2　6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 解　(1)要完成这件事分三步. 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有=40 320(种)不同的排法. (2)思路与(1)相同，有=5 760(种)不同的排法. 三、二项式定理及其应用 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解. 2.掌握二项式定理，提升数学运算素养. 角度1　二项展开式的“赋值问题” 例3　(1)若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12，则log2(a1+a3+…+a11)=　　　　.  答案　7 解析　令x=-1，得28=a0+a1+a2+…+a11+a12， 令x=-3，得0=a0-a1+a2-…-a11+a12， ∴28=2(a1+a3+…+a11)， ∴a1+a3+…+a11=27， ∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7. (2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2. 解　令x=1，得a0+a1+…+a10=25； 令x=-1，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65. 两式相乘，得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125. 反思感悟　在二项展开式中应用“赋值法”的一般步骤 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征. (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x=-1，x=0，x=1等等，具体视情况而定. (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可. 跟踪训练3　若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11，则a1+a2+a3+…+a11的值为　　　　.  答案　5 解析　令x=2，得a0=(22+1)×(2-3)9=-5， 令x=3，得a0+a1+a2+a3+…+a11=(32+1)×(3-3)9=0， 所以a1+a2+a3+…+a11=-a0=5. 角度2　二项展开式的特定项问题 例4　已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； (3)求n+9+81+…+9n-1的值. 解　(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3， 解得n=10(负值舍去)， 则展开式的通项为 Tr+1=)10-r=(-2)r， 当5-为整数时，r可取0，6， 于是有理项为T1=x5和T7=13 440. (2)设第r+1项系数的绝对值最大，则 解得≤r≤， 又因为r∈N，所以r=7， 当r=7时，T8=-15 360， 所以系数的绝对值最大的项为 T8=-15 360. (3)原式=10+9+81+…+910-1 = = ==. 反思感悟　二项式特定项的求解策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项，再由条件确定项数，然后代入通项求出此项的系数. (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质. 跟踪训练4　已知(-)n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求(1-x)3+(1-x)4+…+(1-x)n的展开式中含x2的项的系数. 解　(1)由题意得，2n=1 024， ∴n=10， ∴展开式的通项为 Tr+1=)10-r(-)r=(-1)r =(-1)r(r=0，1，…，10)， 令5-∈Z，得r=0，6. ∴有理项为T1=x5=x5，T7=x4=210x4. (2)∵+=， ∴=-， ∴含x2的项的系数为++…+=(-)+(-)+…+(-)=-=164. 学科网（北京）股份有限公司 $